02KVAN:Kapitola5: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Založena nová stránka: %\wikiskriptum{02KVAN}) |
|||
Řádka 1: | Řádka 1: | ||
%\wikiskriptum{02KVAN} | %\wikiskriptum{02KVAN} | ||
+ | |||
+ | Veškeré úvahy v kapitolách \ref{Popisstavu} a | ||
+ | \ref{Vysledkymereni} se týkaly stavu v daném časovém okamžiku. | ||
+ | Nyní se vrátíme k důsledkům plynoucím z časového vývoje, | ||
+ | %postulovaného \qv ou \mi kou. | ||
+ | %Jak už bylo konstatováno v kapitole \ref{SR}, časový vývoj | ||
+ | %kvantové částice, | ||
+ | který je v \qv é \mi ce | ||
+ | dán \sv ou \rc í. | ||
+ | \be i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=\hat H\psi. \ll{SRH}\ee | ||
+ | %V této kapitole si všimneme dalších důsledků tohoto faktu. | ||
+ | \subsection{Rovnice kontinuity} | ||
+ | Definujeme-li vedle hustoty \pst i $\rho(\vec x,t):=\psi^*(\vec x,t) | ||
+ | \psi(\vec x,t)$ také {\em hustotu toku \pst i} | ||
+ | \be \vec j(\vec | ||
+ | x,t):=\frac{i\hbar}{2M}[\psi(\vec x,t)\vec\nabla\psi^*(\vec x,t) | ||
+ | -\psi^*(\vec x,t)\vec\nabla\psi(\vec x,t)] \ll{tokpsti}\ee | ||
+ | pak je snadné ukázat, že pro tyto veličiny platí {\em rovnice | ||
+ | kontinuity} | ||
+ | \be \frac{\partial\rho}{\partial t}(\vec x,t)+div\ \vec j(\vec | ||
+ | x,t)=0. \ll{rcekont}\ee | ||
+ | |||
+ | \special{src: 22 CASVYVOJ.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | Důsledkem rovnice kontinuity je, že {\bf normalizace vlnové | ||
+ | funkce nezávisí na čase}. Přesnější vyjádření tohoto faktu je | ||
+ | dáno rovností | ||
+ | \be \frac{d}{dt}(\psi,\psi)=0 \ll{neznat}\ee | ||
+ | plynoucí z rovnice kontinuity pro funkce $\psi$, které spolu se | ||
+ | svými derivacemi jdou v nekonečnu dostatečně rychle k nule. | ||
+ | \subsection{Stacionární stavy} | ||
+ | Důležitou třídou stavů klasické mechaniky jsou | ||
+ | rovnovážné stavy, neboli statická řešení pohybových rovnic | ||
+ | $x(t)=x(t_0)$. Jejich obdobou v \qv é \mi ce jsou tzv. {\em | ||
+ | stacionární stavy}. | ||
+ | Tyto stavy jsou popsány vlnovými | ||
+ | %Budeme se zajímat o stavové | ||
+ | funkcemi $\psi(\vec x,t)$, pro které | ||
+ | střední hodnota libovolné pozorovatelné nezávisí na čase. Jinými | ||
+ | slovy pro ně musí platit | ||
+ | \be \frac{d}{dt}<\hat A>_{\psi}=0 \ee | ||
+ | pro libovolný samosdružený operátor, který explicitně nezávisí na čase. | ||
+ | |||
+ | \special{src: 43 CASVYVOJ.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | Je snadné ukázat, že pokud \qv á \cc e je popsána vlnovou \fc í, | ||
+ | která se v různých časech liší pouze faktorem nezávislým na $\vec | ||
+ | x$ | ||
+ | \be \psi (\vec x,t)=C(t)\psi (\vec x,t_0),\ll{stacstav}\ee | ||
+ | pak | ||
+ | faktor $C(t)$ je fyzikálně nepodstatný, neboť | ||
+ | neovlivní žádné fyzikálně interpretovatelné výsledky jako je | ||
+ | pravděpodobnost nalezení v místě $\vec x$, pravděpodobnost | ||
+ | přechodu do jiného stavu v důsledku měření, ani střední hodnotu | ||
+ | operátoru ve stavu $\psi$. Znamená to tedy, že stavy popsané | ||
+ | vlnovými funkcemi \rf{stacstav}) jsou stacionární. | ||
+ | |||
+ | \special{src: 57 CASVYVOJ.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | Na pravé straně \sv y \rc e \rf{SRH}) | ||
+ | stojí operátor energie -- hamiltonián. | ||
+ | Není tedy překvapivé, že | ||
+ | vlastní stavy operátoru energie budou hrát v časovém vývoji \qv ě \mi | ||
+ | ckých stavů důležitou roli. | ||
+ | Pro vlnové \fc e \rf{stacstav}) lze snadno ukázat, že pokud | ||
+ | vyhovují \sv ě \rc i, pak jsou | ||
+ | vlastními stavy energie a $C(t)=C(t_0)e^{-iE(t-t_0)/\hbar}$. Ze \sv | ||
+ | y \rc e totiž plyne | ||
+ | \be C(t)\hat H \psi(\vec x,t_0)= i\hbar \dot C(t) | ||
+ | \psi(\vec x,t_0).\ee | ||
+ | Odtud dostáváme, že $\psi(\vec x,t_0)$ je vlastní \fc í | ||
+ | hamiltoniánu s vlastní hodnotou $E=i\hbar\dot C(t)/C(t)$ a výše uvedený tvar \fc e $C(t)$. | ||
+ | |||
+ | \special{src: 73 CASVYVOJ.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | Na druhé straně, víme-li, že \cc e v čase $t_0$ je ve stavu $\psi_E $ | ||
+ | \be \hat H\psi_E=E\psi_E, \ll{vlstham}\ee | ||
+ | pak v tomto stavu zůstane do té doby, dokud není ovlivněna | ||
+ | nějakým vnějším zásahem (například měřením veličiny nekompatibilní | ||
+ | s energií), neboť řešením \sv y \rc e \rf{SRH}) s počáteční | ||
+ | podmínkou \rf{vlstham}) je | ||
+ | \be \fbox{$\psi_E(\vec x,t)=e^{-i\frac{E}{\hbar}(t-t_0)}\psi_E(\vec x)$}\ .\ee | ||
+ | Z právě uvedených důvodu se vlastní | ||
+ | stavy operátoru energie nazývají {stacionární stavy} | ||
+ | %Z tohoto důvodu se | ||
+ | a rovnice pro vlastní hodnoty \rf{vlstham}) se často | ||
+ | nazývá {\em bezčasová \sv a \rc e.} | ||
+ | |||
+ | \special{src: 88 CASVYVOJ.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | Za jistých velmi obecných předpokladů (unitarita časového vývoje, | ||
+ | viz \cite{for:ukt}) | ||
+ | lze ukázat i opak, totiž že všechny {\bf stacionární stavy jsou | ||
+ | vlastními stavy hamiltoniánu.} | ||
+ | |||
+ | \special{src: 95 CASVYVOJ.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | Jednoduchý časový vývoj stacionárních stavů je možno využít i | ||
+ | pro popis časového vývoje nestacionárních stavů tj. | ||
+ | řešení \sv y \rc e s počáteční podmínkou zadanou \fc í, která | ||
+ | není vlastní funkcí hamiltoniánu. Stačí k tomu, aby existovala | ||
+ | ortonormální baze $\{e_n\}$, jejíž prvky jsou vlastními stavy hamiltoniánu. | ||
+ | Pak je možno zapsat počáteční vlnovou \fc i způsobem | ||
+ | \be \psi(\vec x)=\sum_{n}\psi_ne_n(\vec x) \ll{rozklg0}\ee | ||
+ | a odpovídající řešení \sv y \rc e je | ||
+ | \be \psi(\vec x,t)=\sum_{n}\psi_ne_n(\vec | ||
+ | x)e^{-i\frac{En}{\hbar}(t-t_0)}. \ll{rozklgt}\ee | ||
+ | Neznamená to však, že stav rozložený podle | ||
+ | stacionárních stavů je stacionárním, neboť koeficient u každé | ||
+ | komponenty má jinou časovou závislost. | ||
+ | |||
+ | \special{src: 111 CASVYVOJ.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | Vyjímečnost stacionárních stavů | ||
+ | byl jeden z důvodů, proč jsme v předchozích kapitolách | ||
+ | hledali vlastní stavy operátorů | ||
+ | energie, pro některé fyzikálně zajímavé případy jako byl | ||
+ | harmonický oscilátor, či částice v Coulombově poli. | ||
+ | \bc | ||
+ | Nechť Hamiltonián kvantového systému má čistě bodové spektrum. Na systému byla naměřena hodnota $a$ pozorovatelné $A$, která má čistě bodové spektrum a $a$ je nedegenerovaná vlastní hodnota. Jaká je pravděpodobnost, že naměříme stejnou hodnotu, budeme-li měření opakovat po čase $t$? | ||
+ | \ec | ||
+ | \bc Nechť částice hmoty $M$ v jednorozměrné nekonečně hluboké potenciálové jámě šířky $2a$ je v čase $t=0$ popsána vlnovou \fc í, (která je superpozicí stacionárních stavů) | ||
+ | \[ \psi(x,0)=0,\ {\rm pro}\ |x|>a,\ \ \psi(x,0)=sin[\frac{\pi}{2a}(x-a)]+sin[\frac{\pi}{a}(x-a)],\ {\rm pro} \ |x|<a.\] | ||
+ | Jaká je pravděpodobnost, že \cc e se v čase $t=0$ a $t=\frac{8Ma^2}{\pi\hbar}$ bude nacházet v intervalu (-a,0)? | ||
+ | \ec | ||
+ | |||
+ | \special{src: 126 CASVYVOJ.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | \subsection{Integrály pohybu, časová derivace operátoru, Ehrenfestovy teorémy} | ||
+ | V klasické mechanice známe zachovávající se veličiny -- | ||
+ | integrály pohybu, jejichž hodnota se během časového | ||
+ | vývoje systému nemění, přestože jsou funkcemi jiných, časově proměnných | ||
+ | veličin jako je například poloha či hybnost \cc e. | ||
+ | |||
+ | \special{src: 134 CASVYVOJ.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | I v \qv é \mi ce lze definovat integrály pohybu. | ||
+ | Jejich definici však nelze převzít z klasické \mi ky, neboť | ||
+ | zatím všechny operátory odpovídající fyzikálním veličinám jsou | ||
+ | nezávislé na čase. | ||
+ | |||
+ | \special{src: 141 CASVYVOJ.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | Zavedeme proto nejdříve užitečný pojem časové derivace | ||
+ | operátoru: Nechť $\hat A$ je samosdružený operátor. {\em Časovou derivací operátoru} $\hat A$ nazveme operátor označený | ||
+ | $\hat {\frac{dA}{dt}}$, definovaný jako | ||
+ | \be {\LARGE \fbox{$ \hat {\frac{dA}{dt}}:=\frac{i}{\hbar}[\hat H,\hat A] + | ||
+ | \frac{\partial\hat A}{\partial t} $ }}\ . \ll{casderoper}\ee | ||
+ | Poslední člen na pravé straně je nenulový pouze tehdy závisí-li akce operátoru na čase, s čímž se setkáváme jen zřídka. Důvodem pro tuto definici je, že | ||
+ | pro všechna $\psi$, která leží v nějakém uzavřeném podprostoru hustém v | ||
+ | $\hil$ platí | ||
+ | \be \frac{d}{dt}<\hat A>_{\psi}=<\hat {\frac{dA}{dt}}>_\psi.\ll{casderop}\ee | ||
+ | Provedeme-li totiž (poněkud formálně) časovou | ||
+ | derivaci na levé straně \rf{casderop}) dostaneme | ||
+ | \be \frac{d}{dt}<\hat A>_{\psi}=(\psi,\psi)^{-1}\left[ | ||
+ | (\frac{\partial\psi}{\partial t},\hat A\psi) | ||
+ | +(\psi,\frac{\partial\hat A}{\partial t}\psi) | ||
+ | +(\psi,\hat A\frac{\partial\psi}{\partial t})\right].\ee | ||
+ | a ze \sv y \rc e pak plyne vztah (\ref{casderop}) | ||
+ | \bc Nalezněte operátor rychlosti pro \cc i v poli konzervativních | ||
+ | sil. | ||
+ | \ec | ||
+ | \bc Ukažte jak závisí na čase střední kvadratická odchylka souřadnice jednorozměrného harmonického oscilátoru. | ||
+ | \ec | ||
+ | {\em Integrálem pohybu v \qv é \mi ce } nazveme | ||
+ | operátor $\hat A$, pro který | ||
+ | $\hat {\frac{dA}{dt}}=0$. | ||
+ | Pro {\bf operátory, které nejsou explicitně závislé na | ||
+ | čase} | ||
+ | to znamená, že {\bf jsou integrály pohybu pokud komutují s $\hat | ||
+ | H$.} | ||
+ | |||
+ | \special{src: 172 CASVYVOJ.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | Speciálním případem vztahů \rf{casderop}) a \rf{casderoper}) jsou tzv. Ehrenfestovy teorémy. Zvolíme-li za operátor $\hat A$ operátor souřadnice či hybnosti dostaneme | ||
+ | \be \frac{d}{dt}<\hat Q_j>_{\psi}=<\hat {\frac{P_j}{M}}>_\psi \ll{ehrx}\ee | ||
+ | \be \frac{d}{dt}<\hat P_j>_{\psi}=<{\widehat{-\frac {\partial V}{\partial x_j}}}>_\psi. \ll{ehrp}\ee | ||
+ | Tyto vztahy připomínají do jisté míry Hamiltonovy rovnice klasické mechaniky. První z nich říká, že časová derivace střední hodnoty souřadnice ve stavu $\psi$ je rovna střední hodnotě "operátoru rychlosti" $\hat P_j/M$. Analogie je úplná pokud pravá strana \rf{ehrp}) je rovna hodnotě síly v bodě $<\hat Q_j>_{\psi}$, neboli pokud | ||
+ | \[ <{\widehat{-\frac {\partial V}{\partial x_j}}}>_\psi = -\frac {\partial V}{\partial x_j}(<\vec X>_\psi). \] | ||
+ | To je splněno pouze pro potenciály, které jsou maximálně kvadratickou funkcí souřadnic. | ||
+ | Pro obecnější typy potenciálů je souvislost Ehrenfestových teorémů s pohybovými rovnicemi klasické mechaniky mnohem složitější (viz \cite{kv:qm} kap. 1.7., \cite{for:ukt} kap 3.5) a očekávaná shoda s klasickou teorií nastává až pro stavy s dostatečně velkou energií. | ||
+ | |||
+ | \special{src: 182 CASVYVOJ.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel |
Verze z 1. 11. 2010, 01:49
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02KVAN
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02KVAN | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:38 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:04 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:39 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Poznámka | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:40 | kapitola0.tex | |
Kapitola1 | editovat | Charakteristické rysy kvantové mechaniky | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:41 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Zrod kvantové mechaniky | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:42 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Stavy a pozorovatelné v kvantové mechanice | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:48 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Jednoduché kvantové systémy | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:49 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Příprava stavu kvantové částice | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:09 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Kvantová částice v centrálně symetrickém potenciálu | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:57 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Zobecněné vlastní funkce | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:58 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Bra-ketový formalismus a posunovací operátory | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:59 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Předpovědi výsledků měření | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:59 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Časový vývoj kvantové částice | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:01 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Částice v elektromagnetickém poli. Spin | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:02 | kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Systémy více částic | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:03 | kapitola12.tex | |
Kapitola13 | editovat | Přibližné metody výpočtu vlastních hodnot operátoru | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:36 | kapitola13.tex | |
Kapitola14 | editovat | Potenciálový rozptyl, tunelový jev | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:05 | kapitola14.tex | |
KapitolaA | editovat | Literatura | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:06 | literatura.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:blackbody.pdf | blackbody.pdf |
Image:s1s2.png | s1s2.png |
Image:s1full.png | s1full.png |
Image:s2full.png | s2full.png |
Image:wavefull.png | wavefull.png |
Image:ballfull.png | ballfull.png |
Image:roz1.pdf | roz1.pdf |
Image:roz2.pdf | roz2.pdf |
Image:fine_structure.pdf | fine_structure.pdf |
Image:zeeman_FS.pdf | zeeman_FS.pdf |
Image:tunel_prob.pdf | tunel_prob.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02KVAN} Veškeré úvahy v kapitolách \ref{Popisstavu} a \ref{Vysledkymereni} se týkaly stavu v daném časovém okamžiku. Nyní se vrátíme k důsledkům plynoucím z časového vývoje, %postulovaného \qv ou \mi kou. %Jak už bylo konstatováno v kapitole \ref{SR}, časový vývoj %kvantové částice, který je v \qv é \mi ce dán \sv ou \rc í. \be i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=\hat H\psi. \ll{SRH}\ee %V této kapitole si všimneme dalších důsledků tohoto faktu. \subsection{Rovnice kontinuity} Definujeme-li vedle hustoty \pst i $\rho(\vec x,t):=\psi^*(\vec x,t) \psi(\vec x,t)$ také {\em hustotu toku \pst i} \be \vec j(\vec x,t):=\frac{i\hbar}{2M}[\psi(\vec x,t)\vec\nabla\psi^*(\vec x,t) -\psi^*(\vec x,t)\vec\nabla\psi(\vec x,t)] \ll{tokpsti}\ee pak je snadné ukázat, že pro tyto veličiny platí {\em rovnice kontinuity} \be \frac{\partial\rho}{\partial t}(\vec x,t)+div\ \vec j(\vec x,t)=0. \ll{rcekont}\ee \special{src: 22 CASVYVOJ.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Důsledkem rovnice kontinuity je, že {\bf normalizace vlnové funkce nezávisí na čase}. Přesnější vyjádření tohoto faktu je dáno rovností \be \frac{d}{dt}(\psi,\psi)=0 \ll{neznat}\ee plynoucí z rovnice kontinuity pro funkce $\psi$, které spolu se svými derivacemi jdou v nekonečnu dostatečně rychle k nule. \subsection{Stacionární stavy} Důležitou třídou stavů klasické mechaniky jsou rovnovážné stavy, neboli statická řešení pohybových rovnic $x(t)=x(t_0)$. Jejich obdobou v \qv é \mi ce jsou tzv. {\em stacionární stavy}. Tyto stavy jsou popsány vlnovými %Budeme se zajímat o stavové funkcemi $\psi(\vec x,t)$, pro které střední hodnota libovolné pozorovatelné nezávisí na čase. Jinými slovy pro ně musí platit \be \frac{d}{dt}<\hat A>_{\psi}=0 \ee pro libovolný samosdružený operátor, který explicitně nezávisí na čase. \special{src: 43 CASVYVOJ.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Je snadné ukázat, že pokud \qv á \cc e je popsána vlnovou \fc í, která se v různých časech liší pouze faktorem nezávislým na $\vec x$ \be \psi (\vec x,t)=C(t)\psi (\vec x,t_0),\ll{stacstav}\ee pak faktor $C(t)$ je fyzikálně nepodstatný, neboť neovlivní žádné fyzikálně interpretovatelné výsledky jako je pravděpodobnost nalezení v místě $\vec x$, pravděpodobnost přechodu do jiného stavu v důsledku měření, ani střední hodnotu operátoru ve stavu $\psi$. Znamená to tedy, že stavy popsané vlnovými funkcemi \rf{stacstav}) jsou stacionární. \special{src: 57 CASVYVOJ.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Na pravé straně \sv y \rc e \rf{SRH}) stojí operátor energie -- hamiltonián. Není tedy překvapivé, že vlastní stavy operátoru energie budou hrát v časovém vývoji \qv ě \mi ckých stavů důležitou roli. Pro vlnové \fc e \rf{stacstav}) lze snadno ukázat, že pokud vyhovují \sv ě \rc i, pak jsou vlastními stavy energie a $C(t)=C(t_0)e^{-iE(t-t_0)/\hbar}$. Ze \sv y \rc e totiž plyne \be C(t)\hat H \psi(\vec x,t_0)= i\hbar \dot C(t) \psi(\vec x,t_0).\ee Odtud dostáváme, že $\psi(\vec x,t_0)$ je vlastní \fc í hamiltoniánu s vlastní hodnotou $E=i\hbar\dot C(t)/C(t)$ a výše uvedený tvar \fc e $C(t)$. \special{src: 73 CASVYVOJ.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Na druhé straně, víme-li, že \cc e v čase $t_0$ je ve stavu $\psi_E $ \be \hat H\psi_E=E\psi_E, \ll{vlstham}\ee pak v tomto stavu zůstane do té doby, dokud není ovlivněna nějakým vnějším zásahem (například měřením veličiny nekompatibilní s energií), neboť řešením \sv y \rc e \rf{SRH}) s počáteční podmínkou \rf{vlstham}) je \be \fbox{$\psi_E(\vec x,t)=e^{-i\frac{E}{\hbar}(t-t_0)}\psi_E(\vec x)$}\ .\ee Z právě uvedených důvodu se vlastní stavy operátoru energie nazývají {stacionární stavy} %Z tohoto důvodu se a rovnice pro vlastní hodnoty \rf{vlstham}) se často nazývá {\em bezčasová \sv a \rc e.} \special{src: 88 CASVYVOJ.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Za jistých velmi obecných předpokladů (unitarita časového vývoje, viz \cite{for:ukt}) lze ukázat i opak, totiž že všechny {\bf stacionární stavy jsou vlastními stavy hamiltoniánu.} \special{src: 95 CASVYVOJ.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Jednoduchý časový vývoj stacionárních stavů je možno využít i pro popis časového vývoje nestacionárních stavů tj. řešení \sv y \rc e s počáteční podmínkou zadanou \fc í, která není vlastní funkcí hamiltoniánu. Stačí k tomu, aby existovala ortonormální baze $\{e_n\}$, jejíž prvky jsou vlastními stavy hamiltoniánu. Pak je možno zapsat počáteční vlnovou \fc i způsobem \be \psi(\vec x)=\sum_{n}\psi_ne_n(\vec x) \ll{rozklg0}\ee a odpovídající řešení \sv y \rc e je \be \psi(\vec x,t)=\sum_{n}\psi_ne_n(\vec x)e^{-i\frac{En}{\hbar}(t-t_0)}. \ll{rozklgt}\ee Neznamená to však, že stav rozložený podle stacionárních stavů je stacionárním, neboť koeficient u každé komponenty má jinou časovou závislost. \special{src: 111 CASVYVOJ.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Vyjímečnost stacionárních stavů byl jeden z důvodů, proč jsme v předchozích kapitolách hledali vlastní stavy operátorů energie, pro některé fyzikálně zajímavé případy jako byl harmonický oscilátor, či částice v Coulombově poli. \bc Nechť Hamiltonián kvantového systému má čistě bodové spektrum. Na systému byla naměřena hodnota $a$ pozorovatelné $A$, která má čistě bodové spektrum a $a$ je nedegenerovaná vlastní hodnota. Jaká je pravděpodobnost, že naměříme stejnou hodnotu, budeme-li měření opakovat po čase $t$? \ec \bc Nechť částice hmoty $M$ v jednorozměrné nekonečně hluboké potenciálové jámě šířky $2a$ je v čase $t=0$ popsána vlnovou \fc í, (která je superpozicí stacionárních stavů) \[ \psi(x,0)=0,\ {\rm pro}\ |x|>a,\ \ \psi(x,0)=sin[\frac{\pi}{2a}(x-a)]+sin[\frac{\pi}{a}(x-a)],\ {\rm pro} \ |x|<a.\] Jaká je pravděpodobnost, že \cc e se v čase $t=0$ a $t=\frac{8Ma^2}{\pi\hbar}$ bude nacházet v intervalu (-a,0)? \ec \special{src: 126 CASVYVOJ.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel \subsection{Integrály pohybu, časová derivace operátoru, Ehrenfestovy teorémy} V klasické mechanice známe zachovávající se veličiny -- integrály pohybu, jejichž hodnota se během časového vývoje systému nemění, přestože jsou funkcemi jiných, časově proměnných veličin jako je například poloha či hybnost \cc e. \special{src: 134 CASVYVOJ.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel I v \qv é \mi ce lze definovat integrály pohybu. Jejich definici však nelze převzít z klasické \mi ky, neboť zatím všechny operátory odpovídající fyzikálním veličinám jsou nezávislé na čase. \special{src: 141 CASVYVOJ.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Zavedeme proto nejdříve užitečný pojem časové derivace operátoru: Nechť $\hat A$ je samosdružený operátor. {\em Časovou derivací operátoru} $\hat A$ nazveme operátor označený $\hat {\frac{dA}{dt}}$, definovaný jako \be {\LARGE \fbox{$ \hat {\frac{dA}{dt}}:=\frac{i}{\hbar}[\hat H,\hat A] + \frac{\partial\hat A}{\partial t} $ }}\ . \ll{casderoper}\ee Poslední člen na pravé straně je nenulový pouze tehdy závisí-li akce operátoru na čase, s čímž se setkáváme jen zřídka. Důvodem pro tuto definici je, že pro všechna $\psi$, která leží v nějakém uzavřeném podprostoru hustém v $\hil$ platí \be \frac{d}{dt}<\hat A>_{\psi}=<\hat {\frac{dA}{dt}}>_\psi.\ll{casderop}\ee Provedeme-li totiž (poněkud formálně) časovou derivaci na levé straně \rf{casderop}) dostaneme \be \frac{d}{dt}<\hat A>_{\psi}=(\psi,\psi)^{-1}\left[ (\frac{\partial\psi}{\partial t},\hat A\psi) +(\psi,\frac{\partial\hat A}{\partial t}\psi) +(\psi,\hat A\frac{\partial\psi}{\partial t})\right].\ee a ze \sv y \rc e pak plyne vztah (\ref{casderop}) \bc Nalezněte operátor rychlosti pro \cc i v poli konzervativních sil. \ec \bc Ukažte jak závisí na čase střední kvadratická odchylka souřadnice jednorozměrného harmonického oscilátoru. \ec {\em Integrálem pohybu v \qv é \mi ce } nazveme operátor $\hat A$, pro který $\hat {\frac{dA}{dt}}=0$. Pro {\bf operátory, které nejsou explicitně závislé na čase} to znamená, že {\bf jsou integrály pohybu pokud komutují s $\hat H$.} \special{src: 172 CASVYVOJ.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Speciálním případem vztahů \rf{casderop}) a \rf{casderoper}) jsou tzv. Ehrenfestovy teorémy. Zvolíme-li za operátor $\hat A$ operátor souřadnice či hybnosti dostaneme \be \frac{d}{dt}<\hat Q_j>_{\psi}=<\hat {\frac{P_j}{M}}>_\psi \ll{ehrx}\ee \be \frac{d}{dt}<\hat P_j>_{\psi}=<{\widehat{-\frac {\partial V}{\partial x_j}}}>_\psi. \ll{ehrp}\ee Tyto vztahy připomínají do jisté míry Hamiltonovy rovnice klasické mechaniky. První z nich říká, že časová derivace střední hodnoty souřadnice ve stavu $\psi$ je rovna střední hodnotě "operátoru rychlosti" $\hat P_j/M$. Analogie je úplná pokud pravá strana \rf{ehrp}) je rovna hodnotě síly v bodě $<\hat Q_j>_{\psi}$, neboli pokud \[ <{\widehat{-\frac {\partial V}{\partial x_j}}}>_\psi = -\frac {\partial V}{\partial x_j}(<\vec X>_\psi). \] To je splněno pouze pro potenciály, které jsou maximálně kvadratickou funkcí souřadnic. Pro obecnější typy potenciálů je souvislost Ehrenfestových teorémů s pohybovými rovnicemi klasické mechaniky mnohem složitější (viz \cite{kv:qm} kap. 1.7., \cite{for:ukt} kap 3.5) a očekávaná shoda s klasickou teorií nastává až pro stavy s dostatečně velkou energií. \special{src: 182 CASVYVOJ.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel