02KVAN:Kapitola4: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
m
m (drobné formální úpravy)
Řádka 20: Řádka 20:
 
Z~pravděpodobnostního rozdělení polohy jsme samozřejmě schopni určit i \emph{střední hodnotu polohy částice ve stavu $\psi$}:
 
Z~pravděpodobnostního rozdělení polohy jsme samozřejmě schopni určit i \emph{střední hodnotu polohy částice ve stavu $\psi$}:
 
\be
 
\be
   \mean{\hat X_j}{\psi} = \int_{\R^3}x_jw(\vec x)d^3x = \frac{\int_{\R^3}x_j|\psi(\vec x)|^2d^3x}{\int_{\R^3}|\psi(\vec x)|^2d^3x}.
+
   \mean{\hat X_j}{\psi} = \int_{\R^3}x_jw(\vex)\d^3x = \frac{\int_{\R^3}x_j|\psi(\vex)|^2\d^3x}{\int_{\R^3}|\psi(\vex)|^2\d^3x}.
 
   \ll{xbar}
 
   \ll{xbar}
 
\ee
 
\ee
Řádka 37: Řádka 37:
 
Pro určení předpisu pro střední hodnoty si napřed všimneme toho, že čitatel výrazu pro \rf{xbar} je možno zapsat způsobem  
 
Pro určení předpisu pro střední hodnoty si napřed všimneme toho, že čitatel výrazu pro \rf{xbar} je možno zapsat způsobem  
 
\be
 
\be
   \int_{\R^3}\psi^*(\vec x)x_j\psi(\vec x)d^3x = \int_{\R^3}\psi^*(\vec x)[\hat Q_j\psi](\vec x)d^3x = (\psi,\hat X_j\psi),
+
   \int_{\R^3}\psi^*(\vex)x_j\psi(\vex)\d^3x = \int_{\R^3}\psi^*(\vex)[\hat Q_j\psi](\vex)\d^3x = (\psi,\hat X_j\psi),
 
   \ll{psixpsi}
 
   \ll{psixpsi}
 
\ee
 
\ee
Řádka 54: Řádka 54:
 
\bc
 
\bc
 
   Spočtěte střední hodnoty složek hybnosti kvantové částice popsané vlnovou \fc í \rf{mvb}. Napište tvar vlnové \fc e popisující minimální  
 
   Spočtěte střední hodnoty složek hybnosti kvantové částice popsané vlnovou \fc í \rf{mvb}. Napište tvar vlnové \fc e popisující minimální  
   vlnový balík se střední hodnotou hybnosti $\vec p_0$, který má v~čase $t_0$ střední hodnotu polohy $\vec x_0$.
+
   vlnový balík se střední hodnotou hybnosti $\vec p_0$, který má v~čase $t_0$ střední hodnotu polohy $\vex_0$.
 
\ec
 
\ec
 
\bc
 
\bc
Řádka 84: Řádka 84:
 
   \ll{pstprech}
 
   \ll{pstprech}
 
\ee
 
\ee
Veličina $A_{\psi\to\alpha} := (\psi,\alpha)/\sqrt{(\psi,\psi)}$ se nazývá \emph{amplitudou \pst i přechodu $\psi\to\alpha$}.
+
Veličina $\displaystyle A_{\psi\to\alpha} :=\frac{(\psi,\alpha)}{\sqrt{(\psi,\psi)}}$ se nazývá \emph{amplitudou \pst i přechodu $\psi\to\alpha$}.
  
 
\bc
 
\bc
Řádka 105: Řádka 105:
 
\bc
 
\bc
 
   Nechť částice je ve stavu popsaném vlnovou \fc í
 
   Nechť částice je ve stavu popsaném vlnovou \fc í
   \be \psi(x) = (4\pi)^{-1/2} (e^{i\phi}\sin\Theta+\cos\Theta )g(r)\ee
+
   \be \psi(x) = (4\pi)^{-1/2} (e^{i\phi}\sin\theta+\cos\theta )g(r)\ee
 
   Jaké hodnoty $L_z$ můžeme naměřit a s~jakou \pst í? Jaká je střední hodnota $L_z$ v~tomto stavu?
 
   Jaké hodnoty $L_z$ můžeme naměřit a s~jakou \pst í? Jaká je střední hodnota $L_z$ v~tomto stavu?
 
\ec
 
\ec
 
\bc
 
\bc
 
   Nechť částice s~hmotou $M$ v~potenciálu harmonického oscilátoru s~vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$ je ve stavu popsaném vlnovou \fc í
 
   Nechť částice s~hmotou $M$ v~potenciálu harmonického oscilátoru s~vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$ je ve stavu popsaném vlnovou \fc í
   \be \psi(x) = C e^{-\vec x^2 + i\vec k\vec x}. \ll{cvic3}\ee
+
   \be \psi(x) = C e^{-\vex^2 + i\vec k\cdot\vex}. \ll{cvic3}\ee
 
   S~jakou \pst í naměříme hodnoty její energie rovné $\frac{5}{2}\hbar\omega$?
 
   S~jakou \pst í naměříme hodnoty její energie rovné $\frac{5}{2}\hbar\omega$?
 
\ec
 
\ec
Řádka 122: Řádka 122:
 
$(x,y)$
 
$(x,y)$
 
\be
 
\be
   \fbox{{\LARGE $W_{\psi,(A\in(x,y))} = \frac{\int_x^yda|(\alpha_a,\psi)|^2}{(\psi,\psi)}$}}\ ,
+
   \fbox{{\LARGE $W_{\psi,(A\in(x,y))} = \frac{\int_x^y|(\alpha_a,\psi)|^2\d a}{(\psi,\psi)}$}}\ ,
 
   \ll{pstnamersp}
 
   \ll{pstnamersp}
 
\ee
 
\ee
Řádka 128: Řádka 128:
 
v~tom případě $\alpha_a=\delta_a$. Podobně jej lze použít i pro nalezení pravděpodobnosti hybnosti. V~tom případě je třeba za $\alpha_a$ zvolit  
 
v~tom případě $\alpha_a=\delta_a$. Podobně jej lze použít i pro nalezení pravděpodobnosti hybnosti. V~tom případě je třeba za $\alpha_a$ zvolit  
 
$\delta$-normalizované zobecněné vlastní funkce hybnosti
 
$\delta$-normalizované zobecněné vlastní funkce hybnosti
\be \phi_{\vec p}(\vec x) = (2\pi\hbar)^{-3/2} \exp\left\{ i\frac{\vec p}{\hbar}\vec x \right\}. \ee
+
\be \phi_{\vec p}(\vex) = (2\pi\hbar)^{-3/2} \exp\left\{ i\frac{\vec p}{\hbar}\vex \right\}. \ee
 
Odtud pak plyne, že amplituda hustoty \pst i nalezení \cc e s~hybností $\vec p$ je dána Fourierovým obrazem její stavové \fc e.
 
Odtud pak plyne, že amplituda hustoty \pst i nalezení \cc e s~hybností $\vec p$ je dána Fourierovým obrazem její stavové \fc e.
  
Řádka 141: Řádka 141:
 
\be
 
\be
 
   W_{\psi,(E\in(E_1,E_2))}  
 
   W_{\psi,(E\in(E_1,E_2))}  
     = \sum_{l=0}^\infty \sum_{m=-l}^l \left[\int_{-k_2}^{-k_1}dk \frac{|(\phi_{klm},\psi)|^2}{(\psi,\psi)}%\sprod{\alpha}{\alpha}}
+
     = \sum_{l=0}^\infty \sum_{m=-l}^l \left[\int_{-k_2}^{-k_1}\d k \frac{|(\phi_{klm},\psi)|^2}{(\psi,\psi)}%\sprod{\alpha}{\alpha}}
     + \int_{k_1}^{k_2}dk \frac{|(\phi_{klm},\psi)|^2}{(\psi,\psi})\right],
+
     + \int_{k_1}^{k_2}\d k \frac{|(\phi_{klm},\psi)|^2}{(\psi,\psi)}\right],
 
\ee
 
\ee
kde $k_i=\sqrt{2ME_i/\hbar^2}$, $ \phi_{klm}= R_{kl}Y_{lm} $ a $Y_{lm}, R_{kl}$ jsou \fc e \rf{ylm}, \rf{zovlfcecoul} normalizované k~jedničce,  
+
kde $k_i=\sqrt{\frac{2ME_i}{\hbar^2}}$, $ \phi_{klm}= R_{kl}Y_{lm} $ a $Y_{lm}, R_{kl}$ jsou \fc e \rf{ylm}, \rf{zovlfcecoul} normalizované k~jedničce,  
 
resp.~k~$\delta$-funkci.
 
resp.~k~$\delta$-funkci.
  
Řádka 154: Řádka 154:
 
Důležitá \pst ní a experimentálně měřitelná veličina je \emph{střední kvadratická odchylka pozorovatelné $A$ při měření na stavu $\psi$}.  
 
Důležitá \pst ní a experimentálně měřitelná veličina je \emph{střední kvadratická odchylka pozorovatelné $A$ při měření na stavu $\psi$}.  
 
V~\qv é \mi ce je definována způsobem
 
V~\qv é \mi ce je definována způsobem
\be \Delta_{\psi}(A) := \sqrt{\mean{\hat A^2 - \mean{\hat A}{\psi}^2}{\psi}}. \ll{deltaapsi} \ee
+
\be \triangle_{\psi}(A) := \sqrt{\mean{\hat A^2 - \mean{\hat A}{\psi}^2}{\psi}}. \ll{deltaapsi} \ee
 
Je snadné ukázat, že
 
Je snadné ukázat, že
\be [\Delta_{\psi}(A)]^2 = \mean{(\widehat{\Delta_\psi A})^2}{\psi} = \mean{(\hat A - \mean{\hat A}{\psi})^2}{\psi}, \ll{dlt2} \ee
+
\be \left(\triangle_{\psi}(A)\right)^2 = \mean{(\widehat{\triangle_\psi A})^2}{\psi} = \mean{(\hat A - \mean{\hat A}{\psi})^2}{\psi}, \ll{dlt2} \ee
kde $\widehat{\Delta_\psi A}$ je lineární  operátor
+
kde $\widehat{\triangle_\psi A}$ je lineární  operátor
\be \widehat{\Delta_\psi A}{\phi} = (\hat A - \mean{\hat A}{\psi})\phi \ll{deltaa} \ee
+
\be \widehat{\triangle_\psi A}{\phi} = (\hat A - \mean{\hat A}{\psi})\phi \ll{deltaa} \ee
 
a odtud okamžitě plyne, že pokud $\psi$ je vlastním stavem pozorovatelné $A$, pak $\Delta_{\psi}(A)=0$.
 
a odtud okamžitě plyne, že pokud $\psi$ je vlastním stavem pozorovatelné $A$, pak $\Delta_{\psi}(A)=0$.
  
Řádka 168: Řádka 168:
 
   Spočtěte střední kvadratické odchylky složek polohy a hybnosti kvantové částice při měření na stavu popsaném vlnovou \fc í \rf{mvb}.  
 
   Spočtěte střední kvadratické odchylky složek polohy a hybnosti kvantové částice při měření na stavu popsaném vlnovou \fc í \rf{mvb}.  
 
   Ukažte, že pro tento stav platí
 
   Ukažte, že pro tento stav platí
   \be \Delta_{\psi}(X_{\underline k})\Delta_{\psi}(P_{\underline k}) = \hbar/2. \ll{dxdp} \ee
+
   \be \triangle_{\psi}(X_{\underline k})\triangle_{\psi}(P_{\underline k}) = \hbar/2. \ll{dxdp} \ee
 
\ec
 
\ec
  
Řádka 175: Řádka 175:
 
\bt \ll{tvrelneu}Pro každé dva samosdružené operátory $\hat A,\hat B$
 
\bt \ll{tvrelneu}Pro každé dva samosdružené operátory $\hat A,\hat B$
 
a $\psi \in D(AB)\cap D(BA)$ platí
 
a $\psi \in D(AB)\cap D(BA)$ platí
\be  \Delta_{\psi}(A)\Delta_{\psi}(B)\geq\half|\mean{[\hat A,\hat B]}{\psi}|
+
\be  \triangle_{\psi}(A)\triangle_{\psi}(B)\geq\half|\mean{[\hat A,\hat B]}{\psi}|
 
\ll{dadb}\ee
 
\ll{dadb}\ee
  
Řádka 188: Řádka 188:
 
takže podle tvrzení \ref{tvrelneu} pro každé $\psi\in D(X_jP_k)\cap D(P_kX_j)$ platí relace neurčitosti
 
takže podle tvrzení \ref{tvrelneu} pro každé $\psi\in D(X_jP_k)\cap D(P_kX_j)$ platí relace neurčitosti
 
\be
 
\be
   \fbox{{\LARGE$\Delta_{\psi}(X_j)\Delta_{\psi}(P_k) \geq\frac{\hbar}{2}\delta_{jk}$}} \ .
+
   \fbox{{\LARGE$\triangle_{\psi}(X_j)\triangle_{\psi}(P_k) \geq\frac{\hbar}{2}\delta_{jk}$}} \ .
 
   \ll{dxdp2}
 
   \ll{dxdp2}
 
\ee
 
\ee
Řádka 195: Řádka 195:
 
   Ukažte, že podmínka \rf{rovnost} pro operátory $\hat A =\hat X_j,\hat B= \hat P_j$ dává integrodiferenciální rovnice, jejchž jedinými řešeními  
 
   Ukažte, že podmínka \rf{rovnost} pro operátory $\hat A =\hat X_j,\hat B= \hat P_j$ dává integrodiferenciální rovnice, jejchž jedinými řešeními  
 
   jsou funkce %(\rf{mvb})
 
   jsou funkce %(\rf{mvb})
   \[ g(\vec x) = C \exp \left\{ -Ax^2+\vec B\vec x \right\}, \qquad A>0, \]
+
   \[ g(\vex) = C \exp \left\{ -Ax^2+\vec B\cdot\vex \right\}, \qquad A>0, \]
 
   které jsme nazvali minimální vlnové balíky.
 
   které jsme nazvali minimální vlnové balíky.
 
\ec
 
\ec
Řádka 202: Řádka 202:
 
přesností. Znamená to tedy, že v~rozporu s~představami klasické mechaniky, \cc i nelze přiřadit bod ve fázovém prostoru, nýbrž, že kvantovou  
 
přesností. Znamená to tedy, že v~rozporu s~představami klasické mechaniky, \cc i nelze přiřadit bod ve fázovém prostoru, nýbrž, že kvantovou  
 
částici si ve fázovém prostoru lze představit jako jistou rozmazanou oblast objemu
 
částici si ve fázovém prostoru lze představit jako jistou rozmazanou oblast objemu
\[ \Delta x\Delta p_x\Delta y\Delta p_y\Delta z\Delta p_z \geq \hbar^3/8. \]
+
\[ \triangle x\triangle p_x\triangle y\triangle p_y\triangle z\triangle p_z \geq \hbar^3/8. \]
  
 
Pro úlohy v~makrosvětě, které řeší klasická mechanika jsou však tyto úvahy zcela irelevantní: Např.~pro částice s~hmotou $\geq 10$ mg,  
 
Pro úlohy v~makrosvětě, které řeší klasická mechanika jsou však tyto úvahy zcela irelevantní: Např.~pro částice s~hmotou $\geq 10$ mg,  

Verze z 3. 2. 2014, 17:54

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02KVAN

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02KVANStefamar 18. 9. 201813:38
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůStefamar 18. 9. 201814:04
Header editovatHlavičkový souborStefamar 18. 9. 201813:39 header.tex
Kapitola0 editovatPoznámkaStefamar 18. 9. 201813:40 kapitola0.tex
Kapitola1 editovatCharakteristické rysy kvantové mechanikyStefamar 18. 9. 201813:41 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatZrod kvantové mechanikyStefamar 18. 9. 201813:42 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatStavy a pozorovatelné v kvantové mechaniceStefamar 18. 9. 201813:48 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatJednoduché kvantové systémyStefamar 18. 9. 201813:49 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatPříprava stavu kvantové částiceStefamar 18. 9. 201814:09 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatKvantová částice v centrálně symetrickém potenciáluStefamar 18. 9. 201813:57 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatZobecněné vlastní funkceStefamar 18. 9. 201813:58 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatBra-ketový formalismus a posunovací operátoryStefamar 18. 9. 201813:59 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatPředpovědi výsledků měřeníStefamar 18. 9. 201813:59 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatČasový vývoj kvantové částiceStefamar 18. 9. 201814:01 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatČástice v elektromagnetickém poli. SpinStefamar 18. 9. 201814:02 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatSystémy více částicStefamar 18. 9. 201814:03 kapitola12.tex
Kapitola13 editovatPřibližné metody výpočtu vlastních hodnot operátoruStefamar 18. 9. 201814:36 kapitola13.tex
Kapitola14 editovatPotenciálový rozptyl, tunelový jevStefamar 18. 9. 201814:05 kapitola14.tex
KapitolaA editovatLiteraturaStefamar 18. 9. 201814:06 literatura.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:blackbody.pdf blackbody.pdf
Image:s1s2.png s1s2.png
Image:s1full.png s1full.png
Image:s2full.png s2full.png
Image:wavefull.png wavefull.png
Image:ballfull.png ballfull.png
Image:roz1.pdf roz1.pdf
Image:roz2.pdf roz2.pdf
Image:fine_structure.pdf fine_structure.pdf
Image:zeeman_FS.pdf zeeman_FS.pdf
Image:tunel_prob.pdf tunel_prob.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02KVAN}
 
\section{Výsledky měření}
\ll{Vysledkymereni}
 
Otázka, na kterou odpovíme v~této kapitole, zní: \textbf{Jaké hodnoty fyzikálních veličin naměříme, je-li \qv á částice ve stavu popsaném 
funkcí $g$?}
 
Částečná odpověď na tuto otázku byla poskytnuta již v~sekci \ref{pozorovatelne}. V~principu můžeme naměřit libovolnou hodnotu, která leží 
ve spektru operátoru, odpovídajícího dané veličině. Otázkou však je, která z~nich to bude. Bornův postulát dává tušit, že odpověď na druhou 
otázku nemusí být jednoznačná, neboť pro měření polohy dostáváme pouze statistickou předpověď.
 
V~minulých kapitolách jsme provedli popis stavů kvantové částice pomocí vlnové funkce. To však neznamená, že jsme schopni v~daném čase určit 
hodnoty všech pozorovatelných jako v~klasické mechanice. Jediné pozorovatelné, jejichž hodnoty jsme schopni pro daný stav určit, jsou zatím 
ty, které jsme použili k~popisu stavu. V~minulé kapitole to byly například energie, kvadrát momentu hybnosti a jeho třetí složka. To ovšem 
nedává žádnou informaci například o~hybnosti kvantové částice, ba dokonce ani o~první a druhé složce momentu hybnosti. Jedinou další 
fyzikálně interpretovatelnou informací, kterou zatím o~daném stavu máme, je \emph{pravděpodobnostní rozdělení polohy} částice. O~něm nás 
informuje Bornův postulát.
 
Z~pravděpodobnostního rozdělení polohy jsme samozřejmě schopni určit i \emph{střední hodnotu polohy částice ve stavu $\psi$}:
\be
  \mean{\hat X_j}{\psi} = \int_{\R^3}x_jw(\vex)\d^3x = \frac{\int_{\R^3}x_j|\psi(\vex)|^2\d^3x}{\int_{\R^3}|\psi(\vex)|^2\d^3x}.
  \ll{xbar}
\ee
 
\bc Spočtěte střední hodnoty složek polohy kvantové částice popsané vlnovou \fc í \rf{mvb}. \ec
 
 
 
 
\subsection{Střední hodnoty pozorovatelných a pravděpodobnosti přechodu}
 
Pokud \qv á mechanika má být plnohodnotnou fyzikální teorií, pak pro systém v~daném stavu musí být schopna předpovědět výsledek měření nejen 
okamžité souřadnice částice, ale i ostatních fyzikálních veličin. Pokusíme se proto napřed najít předpis, kterým určíme střední hodnotu 
libovolné pozorovatelné v~daném stavu, a potom i předpis pro její pravděpodobnostní rozdělení.
 
Pro určení předpisu pro střední hodnoty si napřed všimneme toho, že čitatel výrazu pro \rf{xbar} je možno zapsat způsobem 
\be
  \int_{\R^3}\psi^*(\vex)x_j\psi(\vex)\d^3x = \int_{\R^3}\psi^*(\vex)[\hat Q_j\psi](\vex)\d^3x = (\psi,\hat X_j\psi),
  \ll{psixpsi}
\ee
takže
\be \mean{\hat X_j}{\psi} = \frac{(\psi,\hat Q_j\psi)}{(\psi,\psi)}. \ll{xavr} \ee
Na druhé straně není důvodu, proč by měla mít  poloha částice privilegované postavení mezi ostatními pozorovatelnými a je proto přirozené 
očekávat, že pro libovolnou pozorovatelnou se její střední hodnota bude počítat podle stejného předpisu. Experimenty tuto hypotézu plně 
potvrzují a skutečně platí že \textbf{je-li systém v~okamžiku měření ve stavu popsaném vlnovou funkcí $\psi$, pak střední hodnota měření 
pozorovatelné $A$, které jsme přiřadili operátor $\hat A$ je}
\be
  \fbox{{\LARGE $\mean{\hat A}{\psi} = \frac{(\psi,\hat A\psi)}{(\psi,\psi)}$}} \ .
  \ll{aavr}
\ee
Pro normalizované vlnové \fc e se tento vztah zjednoduší na $\mean{\hat A}{\psi}=(\psi,\hat A\psi)$.
 
\bc
  Spočtěte střední hodnoty složek hybnosti kvantové částice popsané vlnovou \fc í \rf{mvb}. Napište tvar vlnové \fc e popisující minimální 
  vlnový balík se střední hodnotou hybnosti $\vec p_0$, který má v~čase $t_0$ střední hodnotu polohy $\vex_0$.
\ec
\bc
  Spočtěte střední hodnoty složek hybnosti kvantové částice v~Coulombově poli s~energií $-MQ^2/2\hbar^2$ a nulovým momentem hybnosti 
  (elektron v~atomu vodíku ve stavu 1s).
\ec
\bc
  Spočítejte střední hodnotu energie jednorozměrného harmonického oscilátoru v~koherentním stavu $\rho_{\lambda}$ \rf{kohstav}.
\ec
 
Všimněme si, že předpis \rf{aavr} je ve shodě nejen s~Bornovým postulátem, ale i s~popisem stavu pomocí vlastních \fc í kompatibilních 
pozorovatelných. Skutečně, je-li $A$ jedna z~pozorovatelných, jež byly použity k~určení stavu a vlnová \fc e $\alpha$ je vlastní \fc í 
$\hat A$ pro vlastní hodnotu $a$, pak $\mean{\hat A}{\alpha} = a$.
 
Kvantová \mi ka je však schopna poskytnout ještě detailnější informaci o~výsledku měření pro částici v~daném stavu. Podle Bornova postulátu
jsme schopni určit pravděpodobnost, že poloha částice bude v~jistém intervalu hodnot. Podobnou pravděpodobnost můžeme určit i pro ostatní 
pozorovatelné.
 
Vzhledem k~tomu, že, jak už bylo řečeno, \qv á \mi ka má popisovat objekty na atomární a nižší úrovni, je rozumné předpokládat, že měření 
provedené na takovýchto objektech podstatným způsobem změní jejich stav. Dalším postulátem \qv é \mi ky je, že \textbf{měření pozorovatelné 
$A$, které dá hodnotu $a$, převede \qv ou \cc i do stavu, který je popsán vlastní funkcí $\alpha$ operátoru $\hat A$ s~vlastní hodnotou $a$.}
 
Předpokládejme zatím, že pro dané $a$ je takový stav jen jeden, tzn.~vlastní funkce je určena jednoznačně až na multiplikativní konstantu, 
kterou zvolíme tak, aby $(\alpha,\alpha) = 1$. Chceme-li určit pravděpodobnost naměření hodnoty $a$ pro \cc i popsanou vlnovou \fc í 
$\psi$, stačí budeme-li znát \textbf{pravděpodobnost přechodu \qv é \cc e z~původního stavu $\psi$ do stavu $\alpha$.} Kvantová mechanika
postuluje, že tato pravděpodobnost je rovna
\be
  \fbox{{\LARGE $W_{\psi\to\alpha} = \frac{|(\psi,\alpha)|^2}{(\psi,\psi)}$}} \ .
  \ll{pstprech}
\ee
Veličina $\displaystyle A_{\psi\to\alpha} :=\frac{(\psi,\alpha)}{\sqrt{(\psi,\psi)}}$ se nazývá \emph{amplitudou \pst i přechodu $\psi\to\alpha$}.
 
\bc
  Nechť \uv{jednorozměrná} částice v~potenciálu harmonického oscilátoru je ve stavu popsaném vlnovou \fc í
  \be \psi(x) = C e^{-x^2 + ikx}. \ll{tstfce} \ee
  S~jakou pravděpodobností naměříme hodnoty její energie rovné $\half\hbar\omega$, resp. $\hbar\omega$, $\frac{3}{2}\hbar\omega$?
\ec
 
Výraz \rf{pstprech} je možno použít i k~určení \pst i naměření hodnoty $a$ pozorovatelné $A$, jejíž vlastní podprostor má více rozměrů. Pokud 
množina $\{\alpha_k\}$ je ortonormální bazí v~prostoru vlastních stavů operátoru $\hat A$ s~vlastní hodnotou $a$, pak \textbf{pro \cc i ve 
stavu $\psi$ je \pst, že při měření pozorovatelné $A$ dostaneme hodnotu $a$, součtem pravděpodobností přechodů ze stavu $\psi$ do stavů 
$\alpha_k$}, tj.
\be
   \fbox{{\LARGE $W_{\psi,(A=a)} = \sum_k\frac{|(\alpha_k,\psi)|^2}{(\psi,\psi)}$}} \ .
  \ll{pstnamer}
\ee
Je zřejmé, že vynásobení vlnové funkce $\psi$ konstantou neovlivní \pst i \rf{pstprech} a \rf{pstnamer}, což je ve shodě s~předpokladem, že 
vlnové funkce lišící se multiplikativní konstantou popisují tentýž fyzikální stav.
 
\bc
  Nechť částice je ve stavu popsaném vlnovou \fc í
  \be \psi(x) = (4\pi)^{-1/2} (e^{i\phi}\sin\theta+\cos\theta )g(r)\ee
  Jaké hodnoty $L_z$ můžeme naměřit a s~jakou \pst í? Jaká je střední hodnota $L_z$ v~tomto stavu?
\ec
\bc
  Nechť částice s~hmotou $M$ v~potenciálu harmonického oscilátoru s~vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$ je ve stavu popsaném vlnovou \fc í
  \be \psi(x) = C e^{-\vex^2 + i\vec k\cdot\vex}. \ll{cvic3}\ee
  S~jakou \pst í naměříme hodnoty její energie rovné $\frac{5}{2}\hbar\omega$?
\ec
 
Nejsme-li z~nějakých, například experimentálních, důvodů schopni rozlišit mezi dvěma či více různými vlastními hodnotami, pak \pst{} naměření 
alespoň jedné z~nich je opět dána vzorcem \rf{pstnamer} s~tím, že suma probíhá přes všechny vlastní \fc e příslušné daným vlastním hodnotám. 
Tento fakt nabývá na významu zejména tehdy, když nějaká část spektra pokrývá souvislý interval hodnot.
 
Jsou-li body spektra (tj.~hodnoty fyzikální veličiny), mezi kterými nejsme schopni experimentálně rozlišit, v~intervalu $(x,y)$, což se stává 
zejména pro spojitou část spektra, pak zobecnění vzorce \rf{pstnamer} na tento případ dá \pst{} naměření hodnoty pozorovatelné $A$ v~intervalu 
$(x,y)$
\be
  \fbox{{\LARGE $W_{\psi,(A\in(x,y))} = \frac{\int_x^y|(\alpha_a,\psi)|^2\d a}{(\psi,\psi)}$}}\ ,
  \ll{pstnamersp}
\ee
kde $\alpha_a$ jsou zobecněné vlastní \fc e normalizované k~$\delta$-funkci. Všimněme si, že tento vzorec je zobecněním Bornova postulátu, neboť 
v~tom případě $\alpha_a=\delta_a$. Podobně jej lze použít i pro nalezení pravděpodobnosti hybnosti. V~tom případě je třeba za $\alpha_a$ zvolit 
$\delta$-normalizované zobecněné vlastní funkce hybnosti
\be \phi_{\vec p}(\vex) = (2\pi\hbar)^{-3/2} \exp\left\{ i\frac{\vec p}{\hbar}\vex \right\}. \ee
Odtud pak plyne, že amplituda hustoty \pst i nalezení \cc e s~hybností $\vec p$ je dána Fourierovým obrazem její stavové \fc e.
 
\bc
  Určete  pravděpodobnost nalezení hybnosti částice popsané vlnovou \fc í \rf{cvic3} v~intervalu $(a_1,b_1)\times(a_2,b_2)\times(a_3,b_3)$. Určete 
  hustotu \pst i nalezení hybnosti v~okolí hodnoty $\vec p_0$.
\ec
 
Vzorec \rf{pstnamersp} platí pro případ, že pro každý bod $a\in(x,y)$ existuje právě jedna (zobecněná) vlastní \fc e normalizovaná k~jedničce či 
$\delta$-funkci. Obecnější případ zatím řešit nebudeme (vede na tzv.~spektrální míru operátoru $\hat A$). Uveďme pouze, že například \pst{} 
naměření hodnoty energie částice v~Coulombově poli v~intervalu $(E_1,E_2)\subset\R_+$ je dána součtem integrálů
\be
  W_{\psi,(E\in(E_1,E_2))} 
    = \sum_{l=0}^\infty \sum_{m=-l}^l \left[\int_{-k_2}^{-k_1}\d k \frac{|(\phi_{klm},\psi)|^2}{(\psi,\psi)}%\sprod{\alpha}{\alpha}}
    + \int_{k_1}^{k_2}\d k \frac{|(\phi_{klm},\psi)|^2}{(\psi,\psi)}\right],
\ee
kde $k_i=\sqrt{\frac{2ME_i}{\hbar^2}}$, $ \phi_{klm}= R_{kl}Y_{lm} $ a $Y_{lm}, R_{kl}$ jsou \fc e \rf{ylm}, \rf{zovlfcecoul} normalizované k~jedničce, 
resp.~k~$\delta$-funkci.
 
 
 
 
\subsection{Střední kvadratická odchylka a relace neurčitosti}
\ll{relneu}
Důležitá \pst ní a experimentálně měřitelná veličina je \emph{střední kvadratická odchylka pozorovatelné $A$ při měření na stavu $\psi$}. 
V~\qv é \mi ce je definována způsobem
\be \triangle_{\psi}(A) := \sqrt{\mean{\hat A^2 - \mean{\hat A}{\psi}^2}{\psi}}. \ll{deltaapsi} \ee
Je snadné ukázat, že
\be \left(\triangle_{\psi}(A)\right)^2 = \mean{(\widehat{\triangle_\psi A})^2}{\psi} = \mean{(\hat A - \mean{\hat A}{\psi})^2}{\psi}, \ll{dlt2} \ee
kde $\widehat{\triangle_\psi A}$ je lineární  operátor
\be \widehat{\triangle_\psi A}{\phi} = (\hat A - \mean{\hat A}{\psi})\phi \ll{deltaa} \ee
a odtud okamžitě plyne, že pokud $\psi$ je vlastním stavem pozorovatelné $A$, pak $\Delta_{\psi}(A)=0$.
 
\bc
  Ukažte, že pokud $\hat A$ je samosdružený operátor, pak výraz pod odmocninou \rf{deltaapsi} je nezáporný pro libovolné $\psi\in D_A$.
\ec
\bc
  \ll{dpx}
  Spočtěte střední kvadratické odchylky složek polohy a hybnosti kvantové částice při měření na stavu popsaném vlnovou \fc í \rf{mvb}. 
  Ukažte, že pro tento stav platí
  \be \triangle_{\psi}(X_{\underline k})\triangle_{\psi}(P_{\underline k}) = \hbar/2. \ll{dxdp} \ee
\ec
 
Vztah \rf{dxdp} je zvláštním případem tvrzení, kterému se obvykle, říká \emph{relace neurčitosti}.
 
\bt \ll{tvrelneu}Pro každé dva samosdružené operátory $\hat A,\hat B$
a $\psi \in D(AB)\cap D(BA)$ platí
\be  \triangle_{\psi}(A)\triangle_{\psi}(B)\geq\half|\mean{[\hat A,\hat B]}{\psi}|
\ll{dadb}\ee
 
Rovnost ve vztahu \rf{dadb} nastává pro vlnové funkce, pro které
platí
\be [\hat A - \mean{\hat A}{\psi} - i\kappa(\hat B - \mean{\hat B}{\psi})]\psi = 0, \ll{rovnost} \ee
kde $\kappa\in\R$.
\et
 
Pro operátory \rf{xoper}, \rf{poper} platí
\be [\hat Q_j,\hat P_k] = i\hbar\delta_{jk}, \ll{comxp} \ee
takže podle tvrzení \ref{tvrelneu} pro každé $\psi\in D(X_jP_k)\cap D(P_kX_j)$ platí relace neurčitosti
\be
  \fbox{{\LARGE$\triangle_{\psi}(X_j)\triangle_{\psi}(P_k) \geq\frac{\hbar}{2}\delta_{jk}$}} \ .
  \ll{dxdp2}
\ee
 
\bc
  Ukažte, že podmínka \rf{rovnost} pro operátory $\hat A =\hat X_j,\hat B= \hat P_j$ dává integrodiferenciální rovnice, jejchž jedinými řešeními 
  jsou funkce %(\rf{mvb})
  \[ g(\vex) = C \exp \left\{ -Ax^2+\vec B\cdot\vex \right\}, \qquad A>0, \]
  které jsme nazvali minimální vlnové balíky.
\ec
 
Z~relací neurčitosti mezi polohou a hybností plyne, že v~principu nejsme schopni současně provést měření polohy a hybnosti \cc e s~libovolnou 
přesností. Znamená to tedy, že v~rozporu s~představami klasické mechaniky, \cc i nelze přiřadit bod ve fázovém prostoru, nýbrž, že kvantovou 
částici si ve fázovém prostoru lze představit jako jistou rozmazanou oblast objemu
\[ \triangle x\triangle p_x\triangle y\triangle p_y\triangle z\triangle p_z \geq \hbar^3/8. \]
 
Pro úlohy v~makrosvětě, které řeší klasická mechanika jsou však tyto úvahy zcela irelevantní: Např.~pro částice s~hmotou $\geq 10$ mg, 
jejichž polohu jsme schopni určit s~přesností $\leq 10\ \mu$m, relace neurčitosti říkají, že rychlost částice nelze určit s~chybou 
menší než $10^{-22}$ m/s, což je experimentálně nedosažitelná přesnost.
 
V~mikrosvětě však relace neurčitosti hrají důležitou roli. Hmota elektronu je cca.~$10^{-27}$ g a je-li nepřesnost měření polohy menší než 
lineární rozměr atomu, což je řádově $10^{-8}$ cm, pak nepřesnost měření jeho rychlosti je větší než $10^{8}$ cm/s, což je srovnatelné 
s~klasickou rychlostí elektronu v~atomu. Není tedy divu, že pro popis elektronů v~atomovém obalu nelze použít klasickou \mi ku.