02KVAN:Kapitola4: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Řádka 1: | Řádka 1: | ||
%\wikiskriptum{02KVAN} | %\wikiskriptum{02KVAN} | ||
+ | |||
+ | \section{Výsledky měření}\ll{Vysledkymereni} | ||
Otázka, na kterou | Otázka, na kterou |
Verze z 1. 11. 2010, 01:55
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02KVAN
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02KVAN | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:38 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:04 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:39 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Poznámka | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:40 | kapitola0.tex | |
Kapitola1 | editovat | Charakteristické rysy kvantové mechaniky | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:41 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Zrod kvantové mechaniky | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:42 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Stavy a pozorovatelné v kvantové mechanice | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:48 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Jednoduché kvantové systémy | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:49 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Příprava stavu kvantové částice | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:09 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Kvantová částice v centrálně symetrickém potenciálu | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:57 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Zobecněné vlastní funkce | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:58 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Bra-ketový formalismus a posunovací operátory | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:59 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Předpovědi výsledků měření | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:59 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Časový vývoj kvantové částice | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:01 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Částice v elektromagnetickém poli. Spin | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:02 | kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Systémy více částic | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:03 | kapitola12.tex | |
Kapitola13 | editovat | Přibližné metody výpočtu vlastních hodnot operátoru | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:36 | kapitola13.tex | |
Kapitola14 | editovat | Potenciálový rozptyl, tunelový jev | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:05 | kapitola14.tex | |
KapitolaA | editovat | Literatura | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:06 | literatura.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:blackbody.pdf | blackbody.pdf |
Image:s1s2.png | s1s2.png |
Image:s1full.png | s1full.png |
Image:s2full.png | s2full.png |
Image:wavefull.png | wavefull.png |
Image:ballfull.png | ballfull.png |
Image:roz1.pdf | roz1.pdf |
Image:roz2.pdf | roz2.pdf |
Image:fine_structure.pdf | fine_structure.pdf |
Image:zeeman_FS.pdf | zeeman_FS.pdf |
Image:tunel_prob.pdf | tunel_prob.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02KVAN} \section{Výsledky měření}\ll{Vysledkymereni} Otázka, na kterou odpovíme v této kapitole, zní: {\bf Jaké hodnoty fyzikálních veličin naměříme, je-li \qv á částice ve stavu popsaném funkcí $g$ ? } \special{src: 5 VYSLMERE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Částečná odpověď na tuto otázku byla poskytnuta již v sekci \ref{pozorovatelne}. V principu můžeme naměřit libovolnou hodnotu, která leží ve spektru operátoru, odpovídajícího dané veličině. Otázkou však je, která z nich to bude. Bornův postulát dává tušit, že odpověď na druhou otázku nemusí být jednoznačná, neboť pro měření polohy dostáváme pouze statistickou předpověď. \special{src: 14 VYSLMERE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel V minulých kapitolách jsme provedli popis stavů kvantové částice pomocí vlnové funkce. To však neznamená, že jsme schopni v daném čase určit hodnoty všech pozorovatelných jako v klasické mechanice. Jediné pozorovatelné, jejichž hodnoty jsme schopni pro daný stav určit, jsou zatím ty, které jsme použily k popisu stavu. V minulé kapitole to byly například energie, kvadrát momentu hybnosti a jeho třetí složka. To ovšem nedává žádnou informaci například o hybnosti kvantové částice, ba dokonce ani o první a druhé složce momentu hybnosti. Jedinou další fyzikálně interpretovatelnou informací, kterou zatím o daném stavu máme, je {\em pravděpodobnostní rozdělení polohy} částice. O něm nás informuje Bornův postulát. \special{src: 30 VYSLMERE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Z pravděpodobnostního rozdělení polohy jsme samozřejmě schopni určit i {\em střední hodnotu polohy částice ve stavu $\psi$}: \be <X_j>_{\psi}=\int_{\real^3}x_jw(\vec x)d^3x= \frac{\int_{\real^3}x_j|\psi(\vec x)|^2d^3x} {\int_{\real^3}|\psi(\vec x)|^2d^3x}. \ll{xbar}\ee \bc Spočtěte střední hodnoty složek polohy kvantové částice popsané vlnovou \fc í \rf{mvb}). \ec \subsection{Střední hodnoty pozorovatelných a pravděpodobnosti přechodu} Pokud \qv á mechanika má být plnohodnotnou fyzikální teorií, pak pro systém v daném stavu musí být schopna předpovědět výsledek měření nejen okamžité souřadnice částice, ale i ostatních fyzikálních veličin. Pokusíme se proto napřed najít předpis, kterým určíme střední hodnotu libovolné pozorovatelné v daném stavu, a potom i předpis pro její pravděpodobnostní rozdělení. \special{src: 52 VYSLMERE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Pro určení předpisu pro střední hodnoty si napřed všimneme toho, že čitatel výrazu pro \rf{xbar}) je možno zapsat způsobem \be \int_{\real^3}\psi^*(\vec x)x_j\psi(\vec x)d^3x= \int_{\real^3}\psi^*(\vec x)[\hat Q_j\psi](\vec x)d^3x=(\psi,\hat X_j\psi), \ll{psixpsi}\ee takže \be <X_j>_{\psi}=\frac{(\psi,\hat Q_j\psi)}{(\psi,\psi)}. \ll{xavr}\ee Na druhé straně není důvodu, proč by měla mít poloha částice privilegované postavení mezi ostatními pozorovatelnými a je proto přirozené očekávat, že pro libovolnou pozorovatelnou se její střední hodnota bude počítat podle stejného předpisu. %Ukazuje se, že skutečně platí, že Experimenty tuto hypotézu plně potvrzují a skutečně platí že {\bf je-li systém v okamžiku měření ve stavu popsaném vlnovou funkcí $\psi$, pak střední hodnota měření pozorovatelné $A$, které jsme přiřadili operátor $\hat A$ je} \begin{equation}{\LARGE \fbox{$ <A>_{\psi}=\frac{(\psi,\hat A\psi)}{(\psi,\psi)} $}}\ . \ll{aavr}\ee Pro normalizované vlnové \fc e se tento vztah zjednoduší na $<A>_{\psi}=(\psi,\hat A\psi)$. \bc Spočtěte střední hodnoty složek hybnosti kvantové částice popsané vlnovou \fc í \rf{mvb}). Napište tvar vlnové \fc e popisující minimální vlnový balík se střední hodnotou hybnosti $\vec p_0$, který má v čase $t_0$ střední hodnotu polohy $\vec x_0$. \ec \bc Spočtěte střední hodnoty složek hybnosti kvantové částice v Coulombově poli s energií $-\frac{MQ^2}{2\hbar^2}$ a nulovým momentem hybnosti (elektron v atomu vodíku ve stavu 1s). \ec \bc Spočítejte střední hodnotu energie jednorozměrného harmonického oscilátoru v koherentním stavu $\rho_{\lambda}$ \rf{kohstav}).\ec Všimněme si, že předpis \rf{aavr}) je ve shodě nejen s Bornovým postulátem, ale i s popisem stavu pomocí vlastních \fc í kompatibilních pozorovatelných. Skutečně, je-li $A$ jedna z pozorovatelných, jež byly použity k určení stavu a vlnová \fc e $\alpha$ je vlastní \fc í $\hat A$ pro vlastní hodnotu $a$, pak %\[ \hat A\alpha=a\alpha\Rightarrow $<A>_\alpha= a.$% \] \special{src: 98 VYSLMERE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Kvantová \mi ka je však schopna poskytnout ještě detailnější informaci o výsledku měření pro částici v daném stavu. Podle Bornova postulátu jsme schopni určit pravděpodobnost, že poloha částice bude v jistém intervalu hodnot. Podobnou pravděpodobnost můžeme určit i pro ostatní pozorovatelné. \special{src: 107 VYSLMERE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Vzhledem k tomu, že, jak už bylo řečeno, \qv á \mi ka má popisovat objekty na atomární a nižší úrovni %na rozdíl od klasické je rozumné předpokládat, že měření provedené na takovýchto objektech podstatným způsobem změní jejich stav. %(Velmi hrubá analogie je měření polohy kulečníkové koule pomocí jiných %kulečníkových koulí.) Dalším postulátem \qv é \mi ky je, že {\bf měření pozorovatelné $A$, které dá hodnotu $ a $ převede \qv ou \cc i do stavu, který je popsán vlastní funkcí $\alpha$ operátoru $\hat A$ s vlastní hodnotou $ a $.} \special{src: 120 VYSLMERE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Předpokládejme zatím, že pro dané $a$ je takový stav jen jeden, tzn. vlastní funkce je určena jednoznačně až na multiplikativní konstantu, kterou zvolíme tak, aby $(\alpha,\alpha)=1$. Chceme-li určit pravděpodobnost naměření hodnoty $ a $ pro \cc i popsanou vlnovou \fc í $\psi$, stačí, budeme-li znát {\bf pravděpodobnost přechodu \qv é \cc e z původního stavu $\psi$ do stavu $\alpha$.} Kvantová mechanika postuluje, že tato pravděpodobnost %přechodu ze stavu popsaného %vlnovou funkcí $\psi$ do stavu popsaného %normalizovanou vlnovou funkcí $\alpha$ je rovna \begin{equation}{\LARGE \fbox{$ W_{\psi\rightarrow\alpha}=\frac{|(\psi,\alpha)|^2} {(\psi,\psi)}%(\alpha,\alpha)} $}}\ . \ll{pstprech}\end{equation} Veličina $A_{\psi\lim\alpha}:=(\psi,\alpha)/\sqrt{(\psi,\psi)}$ se nazývá {\em amplitudou \pst i přechodu $\psi\lim\alpha$} \bc Nechť "jednorozměrná" částice v potenciálu harmonického oscilátoru je ve stavu popsaném vlnovou \fc í \be \psi(x)=C e^{-x^2 + ikx}. \ll{tstfce}\ee S jakou pravděpodobností naměříme hodnoty její energie rovné $\half\hbar\omega$, resp. $\hbar\omega$, $\frac{3}{2}\hbar\omega$? \ec Výraz \rf{pstprech}) je možno použít i k určení pravděpodobnosti naměření hodnoty $ a $ pozorovatelné $A$, jejíž vlastní podprostor má více rozměrů. Pokud množina $\{\alpha_k\}$ je ortonormální bazí v prostoru vlastních stavů operátoru $\hat A$ s vlastní hodnotou $ a $, pak {\bf pro \cc i ve stavu $\psi$ je pravděpodobnost, že při měření pozorovatelné $A$ dostaneme hodnotu $ a $, součtem pravděpodobností přechodů ze stavu $\psi$ do stavů $\alpha_k$. } \begin{equation}{\LARGE \fbox{$ W_{\psi,(A=a)}=\sum_k\frac{|(\alpha_k,\psi)|^2} {(\psi,\psi)}%(\alpha_k,\alpha_k)} $}}\ . \ll{pstnamer}\end{equation} Je zřejmé, že vynásobení vlnové funkce $\psi$ konstantou neovlivní \pst i \rf{pstprech}) a \rf{pstnamer}), což je ve shodě s předpokladem, že vlnové funkce lišící se multiplikativní konstantou popisují tentýž fyzikální stav. %Pro vlnové funkce normalizované na jedničku se vzorce \rf{pstprech}) %a \rf{pstnamer}) pochopitelně zjednoduší. \bc Nechť částice je ve stavu popsaném vlnovou \fc í \be \psi(x)=(4\pi)^{-1/2} (e^{i\phi}\sin\Theta+\cos\Theta )g(r)\ee Jaké hodnoty $L_z$ můžeme naměřit a s jakou pravděpodobností? Jaká je střední hodnota $L_z$ v tomto stavu? \ec \bc Nechť částice s hmotou $M$ v potenciálu harmonického oscilátoru s vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$ je ve stavu popsaném vlnovou \fc í \be \psi(x)=C e^{-\vec x^2 + i\vec k\vec x}. \ll{cvic3}\ee S jakou pravděpodobností naměříme hodnoty její energie rovné $\frac{5}{2}\hbar\omega$? \ec \special{src: 185 VYSLMERE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Nejsme-li z nějakých, například experimentálních, důvodů schopni rozlišit mezi dvěma či více různými vlastními hodnotami, pak \pst{} naměření aspoň jedné z nich je opět dána vzorcem \rf{pstnamer}) s tím, že suma probíhá přes všechny vlastní \fc e příslušné daným vlastním hodnotám. Tento fakt nabývá na významu zejména tehdy, když nějaká část spektra pokrývá souvislý interval hodnot. \special{src: 194 VYSLMERE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Jsou-li body spektra (tj. hodnoty fyzikální veličiny), mezi kterými nejsme schopni experimentálně rozlišit, v intervalu $(x,y)$, což se stává zejména pro spojitou část spektra, pak zobecnění vzorce \rf{pstnamer}) na tento případ dá \pst{} naměření hodnoty pozorovatelné $A$ v intervalu $(x,y)$ \begin{equation}{\LARGE \fbox{$ W_{\psi,(A\in(x,y))}=\frac{\int_x^yda|(\alpha_a,\psi)|^2} {(\psi,\psi)} $}}\ , \ll{pstnamersp}\end{equation}kde $\alpha_a$ jsou zobecněné vlastní \fc e normalizované k $\delta-$funkci. Všimněme si, že tento vzorec je zobecněním Bornova postulátu, neboť v tom případě $\alpha_a=\delta_a$. Podobně jej lze použít i pro nalezení pravděpodobnosti hybnosti. V tom případě je třeba za $\alpha_a$ zvolit $\delta$--normalizované zobecněné vlastní funkce hybnosti \be \phi_{\vec p}(\vec x)=(2\pi\hbar)^{-3/2}\exp(i\frac{\vec p}{\hbar}\vec x). \ee Odtud pak plyne, že amplituda hustoty \pst i nalezení \cc e s hybností $\vec p$ je dána Fourierovým obrazem její stavové \fc e. \bc Určete pravděpodobnost nalezení hybnosti částice popsané vlnovou \fc í \rf{cvic3}) v intervalu $(a_1,b_1)\times(a_2,b_2)\times(a_3,b_3)$. Určete hustotu \pst i nalezení hybnosti v okolí hodnoty $\vec p_0$. \ec \special{src: 217 VYSLMERE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Vzorec \rf{pstnamersp}) platí pro případ, že pro každý bod $a\in(x,y)$ existuje právě jedna (zobecněná) vlastní \fc e normalizovaná k jedničce či $\delta$--funkci. Obecnější případ zatím řešit nebudeme (vede na tzv. spektrální míru operátoru $\hat A$). Uveďme pouze, že například pravděpodobnost naměření hodnoty energie částice v Coulombově poli v intervalu $(E_1,E_2)\subset\real_+$ je dána součtem integrálů \be W_{\psi,(E\in(E_1,E_2))}=\sum_{l=0}^\infty\sum_{m=-l}^l \left[\int_{-k_2}^{-k_1}dk \frac{|(\phi_{klm},\psi)|^2} {(\psi,\psi)}%(\alpha_k,\alpha_k)} +\int_{k_1}^{k_2}dk \frac{|(\phi_{klm},\psi)|^2} {(\psi,\psi)}\right], \ee kde $k_i=\sqrt{2ME_i/\hbar^2}$, $ \phi_{klm}= R_{kl}Y_{lm} $ a $Y_{lm}, R_{kl}$ jsou \fc e \rf{ylm}, \ref{zovlfcecoul}) normalizované k jedničce, resp. k $\delta$--funkci. \special{src: 240 VYSLMERE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel \subsection{Střední kvadratická odchylka a relace neurčitosti}\ll{relneu} Důležitá pravděpodobnostní a experimentálně měřitelná veličina %, kterou budeme je {\em střední kvadratická odchylka pozorovatelné $A$ při měření na stavu $\psi$}. V \qv é \mi ce je definována způsobem \be \Delta_{\psi}(A):=\sqrt{<\hat A^2 - <\hat A>^2_{\psi}>_{\psi}}. \ll{deltaapsi}\ee Je snadné ukázat, že \be [\Delta_{\psi}(A)]^2=<(\widehat{\Delta_\psi A})^2>_{\psi}=<(\hat A -<\hat A>_\psi)^2>_\psi, \ll{dlt2}\ee kde $\widehat{\Delta_\psi A}$ je lineární operátor \be \widehat{\Delta_\psi A}{\phi}=(\hat A -<\hat A>_\psi)\phi \ll{deltaa}\ee a odtud okamžitě plyne, že pokud $\psi$ je vlastním stavem pozorovatelné A, pak $\Delta_{\psi}(A)=0$. \bc Ukažte, že pokud $\hat A$ je samosdružený operátor, pak výraz pod odmocninou \rf{deltaapsi}) je nezáporný pro libovolné $\psi\in D_A$. \ec \bc \ll{dpx}Spočtěte střední kvadratické odchylky složek polohy a hybnosti kvantové částice při měření na stavu popsaném vlnovou \fc í \rf{mvb}). Ukažte, že pro tento stav platí \be \Delta_{\psi}(X_{\underline k})\Delta_{\psi}(P_{\underline k})=\hbar/2.%\delta_{jk} \ll{dxdp}\ee \ec Vztah \rf{dxdp}) je zvláštním případem tvrzení, kterému se obvykle, říká {\em relace neurčitosti}. \bt \ll{tvrelneu}Pro každé dva samosdružené operátory $\hat A,\hat B$ a $\psi \in D(AB)\cap D(BA)$ platí \be \Delta_{\psi}(A)\Delta_{\psi}(B)\geq\half|<[A,B]>_{\psi}| \ll{dadb}\ee \special{src: 275 VYSLMERE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Rovnost ve vztahu \rf{dadb}) nastává pro vlnové funkce, pro které platí \be [\hat A - <\hat A>_{\psi} - i\kappa(\hat B -<\hat B>_{\psi})]\psi=0, \ll{rovnost}\ee kde $\alpha\in\real$. \et Pro operátory \rf{xoper}, \ref{poper}) platí \be [\hat Q_j,\hat P_k]=i\hbar\delta_{jk}, \ll{comxp}\ee takže podle tvrzení \ref{tvrelneu} pro každé $\psi\in D(X_jP_k)\cap D(P_kX_j)$ platí relace neurčitosti \begin{equation}{\LARGE \fbox{$ \Delta_{\psi}(X_j)\Delta_{\psi}(P_k) \geq\frac{\hbar}{2}\delta_{jk} $}}\ . \ll{dxdp2}\ee \bc Ukažte, že podmínka \rf{rovnost}) pro operátory $\hat A =\hat X_j,\hat B= \hat P_j$ dává integrodiferenciální rovnice, jejchž jedinými řešeními jsou funkce %\rf{mvb}) \[ g(\vec x)=C\exp[-Ax^2+\vec B\vec x],\ A>0, \] které jsme nazvali minimální vlnové balíky. \ec \special{src: 298 VYSLMERE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Z relací neurčitosti mezi polohou a hybností plyne, že {v principu} nejsme schopni současně provést měření polohy a hybnosti \cc e s libovolnou přesností. Znamená to tedy, že v rozporu s představami klasické mechaniky \cc i nelze přiřadit bod ve fázovém prostoru, nýbrž, že kvantovou částici si ve fázovém prostoru lze představit jako jistou rozmazanou oblast objemu \[ \Delta x\Delta p_x\Delta y\Delta p_y\Delta z\Delta p_z\geq \hbar^3/8.\] \special{src: 310 VYSLMERE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Pro úlohy v makrosvětě, které řeší klasická mechanika jsou však tyto úvahy zcela irelevantní: Např. pro částice s hmotou $\geq 10$ mg, jejichž polohu jsme schopni určit s přesností $\leq 10\ \mu$m, relace neurčitosti říkají, že rychlost částice nelze určit s chybou menší než $10^{-22}$ m/s, což je experimentálně nedosažitlená přesnost. \special{src: 319 VYSLMERE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel V mikrosvětě však relace neurčitosti hrají důležitou roli. Hmota elektronu je cca $10^{-27}$g a je-li nepřesnost měření polohy menší než lineární rozměr atomu, což je řádově $10^{-8}$cm, pak nepřesnost měření jeho rychlosti je větší než $10^{8}$cm/s, což je srovnatelné s klasickou rychlostí elektronu v atomu. Není tedy divu, že pro popis elektronů v atomovém obalu nelze použít klasickou \mi ku.