02GMF1:Kapitola10: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
m |
|||
Řádka 22: | Řádka 22: | ||
\begin{defi} | \begin{defi} | ||
− | \textbf{Orientace vektorového prostoru {\boldmath $V$}}, $\dim V = n$, je zobrazení $\sigma$ přiřazující každé $n$-tici LN vektorů číslo $\pm 1$ a vyhovující $\forall e_1, \ldots e_n \in V, \ (e_1, \ldots , e_n) \ \text{LN}, \ T \in GL(V) $: | + | \textbf{Orientace vektorového prostoru {\boldmath $V$}}, $\dim V = n$, je zobrazení $\sigma$ přiřazující každé $n$-tici LN vektorů číslo $\pm 1$ a vyhovující $\forall e_1, \ldots, e_n \in V, \ (e_1, \ldots , e_n) \ \text{LN}, \ T \in GL(V) $: |
\[\sigma (T(e_1), \ldots, T(e_n)) = \frac{\det T}{| \det T|} \ \sigma (e_1, \ldots, e_n). | \[\sigma (T(e_1), \ldots, T(e_n)) = \frac{\det T}{| \det T|} \ \sigma (e_1, \ldots, e_n). | ||
\] | \] |
Verze z 10. 11. 2013, 17:44
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02GMF1
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02GMF1 | Kyseljar | 21. 3. 2013 | 22:31 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:50 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Kyseljar | 21. 3. 2013 | 22:12 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Diferencovatelné variety | Kyseljar | 10. 11. 2013 | 13:32 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Tečné vektory k varietě | Kyseljar | 27. 10. 2013 | 17:12 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Tečný bundle, vektorová pole, integrální křivky | Kyseljar | 27. 10. 2013 | 18:38 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Abstraktnější pohled na vektorová pole | Kyseljar | 21. 3. 2013 | 22:17 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Diferenciální formy | Kyseljar | 27. 10. 2013 | 20:30 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Operace s diferenciálními formami | Kyseljar | 30. 10. 2013 | 01:05 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Zobrazení indukovaná zobrazením variet, podvariety | Kyseljar | 31. 10. 2013 | 12:24 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Lieova derivace | Kyseljar | 10. 11. 2013 | 15:44 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Geometrická formulace Hamiltonovy mechaniky | Kyseljar | 10. 11. 2013 | 17:26 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Integrace forem | Kyseljar | 10. 11. 2013 | 18:15 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Integrace na varietách s hranicí, Stokesova věta | Kyseljar | 10. 11. 2013 | 21:00 | kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Variety s dodatečnou strukturou | Kyseljar | 21. 3. 2013 | 22:19 | kapitola12.tex | |
Kapitola13 | editovat | Literatura a poznámka na konec | Kyseljar | 30. 3. 2013 | 01:08 | literatura.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02GMF1} \chapter{Integrace forem} Jedním z důvodů zavedení diferenciálních forem na varietách je to, že jsou přirozenými objekty, které se dají integrovat. Uvažujme na $n$-rozměrné varietě $M$ $n$-formu v lokálních souřadnicích $(x^i)$, resp. $(\tilde{x}^j)$. Máme \begin{align*} \omega & = \omega_{1 2 \ldots n} \ \dx^1 \wedge \dx^2 \wedge \ldots \wedge \dx^n = \omega_{1 \ldots n} (x(\tilde{x})) \pderA{x^1}{\tilde{x}^{i_1}} \ldots \pderA{x^n}{\tilde{x}^{i_n}} \, \de{\tilde{x}}^{i_1} \wedge \ldots \wedge \de{\tilde{x}}^{i_n} \\& = \sum_{\overrightharpoon{I}} \omega_{1 \ldots n} \ \delta_{(1 \ldots n)}^{\overrightharpoon{I}} \pderA{x^1}{\tilde{x}^{i_1}} \ldots \pderA{x^n}{\tilde{x}^{i_n}} \, \de{\tilde{x}}^1 \wedge \ldots \wedge \de{\tilde{x}}^n = \det \pderA{x^i}{\tilde{x}^j} \cdot \omega_{1 \ldots n} (x (\tilde{x})) \, \de{\tilde{x}}^1 \wedge \ldots \wedge \de{\tilde{x}}^n, \end{align*} tedy \[ \tilde{\omega}_{1 \ldots n} (\tilde{x}) = \det \pderA{x^i}{\tilde{x}^j} \cdot \omega_{1 \ldots n} (x (\tilde{x})). \] Tento vztah připomíná větu o substituci v Lebesgueově integrálu $(x^i = \varphi^i (\tilde{x}))$: \[ \int_{\varphi(\Omega)} f \ \dx^1 \ldots \dx^n = \int_{\Omega} f \circ \varphi \ \left|\det \pderA{\varphi^i}{\tilde{x}^j} \right| \de{\tilde{x}^1} \ldots \de{\tilde{x}^n}. \] V definici integrálu $n$-formy ovšem narazíme na dvě nesnáze: \begin{enumerate} \item rozdíl v absolutní hodnotě jakobiánu -- řešíme zavedením orientace \item možná neexistence globálních souřadnic na $M$ -- řešíme pomocí tzv. rozkladu jednotky \end{enumerate} \begin{defi} \textbf{Orientace vektorového prostoru {\boldmath $V$}}, $\dim V = n$, je zobrazení $\sigma$ přiřazující každé $n$-tici LN vektorů číslo $\pm 1$ a vyhovující $\forall e_1, \ldots, e_n \in V, \ (e_1, \ldots , e_n) \ \text{LN}, \ T \in GL(V) $: \[\sigma (T(e_1), \ldots, T(e_n)) = \frac{\det T}{| \det T|} \ \sigma (e_1, \ldots, e_n). \] \end{defi} \begin{defi} Mějme vektorový prostor $V$ s orientací $\sigma$, $\dim V = n$, $U =U^\circ \subset V$, diferencovatelnou varietu $M$, $\dim M \geq n$, hladké zobrazení $F: U \rightarrow M$ a formu $\omega \in \Om{n}$. Označme $\tilde{U} = F(U)$. Definujeme \textbf{integrál z formy {\boldmath $\omega$} na množině {\boldmath $\tilde{U}$}} při parametrizaci $F$ předpisem \[ \int_{(\tilde{U},F)} \omega = \sigma (e_1, \ldots, e_n) \int_U (F^\star \omega)_{1 \ldots n} \ \dx^1 \ldots \dx^n, \] kde $(x^1, \ldots, x^n)$ jsou standardní souřadnice na $V$, $x^j (a^i e_i) = a^j$, ve zvolené bázi $(e_1, \ldots , e_n)$ vektorového prostoru $V$, $e_i \equiv \pder{x^i}$. \end{defi} Takto definovaný integrál $\int_{(\tilde{U},F)} \omega$ má následující vlastnost: při výběru jiného $V', \sigma', U'$ a $F'$ takového, že $F'(U') = \tilde{U}$ a že existuje difeomorfizmus $\phi: U \rightarrow U'$ zachovávající orientaci ve smyslu $\sigma' (\phi_\star (\restr{\pder{x^1}}{p}), \ldots, \phi_\star (\restr{\pder{x^n}}{p})) = \sigma (\pder{x^1}, \ldots, \pder{x^n})$ pro všechny báze $\left( \pder{x^1}, \ldots, \pder{x^n} \right)$ prostoru $T_p V \equiv V$, pro který současně platí $F = F' \circ \phi$, plyne z věty o substituci v Lebesgueově integrálu: \[ \int_{(\tilde{U},F)} \omega = \int_{(\tilde{U}, F')} \omega. \] \begin{pozn} Pokud je $F$ prosté, tak až na orientaci hodnota integrálu na $F$ nezávisí. \end{pozn} \begin{defi} \textbf{Orientace {\boldmath $\sigma$} variety {\boldmath $M$}}, kde $\dim M = n$, je zobrazení přiřazující každému $p \in M$ orientaci tečného prostoru $\tecn$ tak, že $\forall U = U^\circ \subset M, \ \forall X_1, \ldots, X_n \in \cXA{U}$ taková, že $(\restr{X_1}{p}, \ldots, \restr{X_n}{p})$ je LN $\forall p \in U$, platí: \[ \sigma (p) (\restr{X_1}{p}, \ldots, \restr{X_n}{p}) = f(p) \text{ je konstantní (či ekvivalentně hladká) funkce na $U$}. \] Varietu, na níž existuje orientace, nazýváme \textbf{orientovatelná}. \end{defi} \begin{pozn} Označení: $\sigma (p) (\restr{X_1}{p}, \ldots, \restr{X_n}{p}) = \sigma (\restr{X_1}{p}, \ldots, \restr{X_n}{p})$. \end{pozn} \begin{pozn} Pokud na $M$, $\dim M = n$, existuje $\omega \in \Om{n}$ taková, že $(\forall p \in M)(\omega(p) \neq 0)$, tak je $M$ orientovatelná a ($X_1, \ldots, X_n \in \tecn$ jsou LN): \[ \sigma (\restr{X_1}{p}, \ldots, \restr{X_n}{p}) = \frac{\omega (X_1, \ldots, X_n) (p)}{| \, \omega (X_1, \ldots, X_n) (p)\, |}. \] \end{pozn} \begin{dusledek} $\kotecnA$ je vždy orientovatelná, $T M$ orientovatelná být nemusí. \end{dusledek} Pokud v $M$ existuje křivka $\gamma: \langle 0,1 \rangle \rightarrow M$ taková, že $\gamma (0) = \gamma (1)$, $\gamma( \langle 0,1 \rangle) \subset U = U^\circ$ a pro pole $X \in \cXA{U}$ a $\forall t \in \langle 0, 1 \rangle$ splňuje $\dot{\gamma} (t) = X_{\gamma (t)}$, a LN vektory $E_1, \ldots, E_n \in T_{\gamma(0)}M = T_{\gamma(1)} M$ takové, že $(\Psi_{X \star}^1 (E_1), \ldots, \Psi_{X \star}^1 (E_n))$ je báze opačně orientovaná než $(E_1, \ldots, E_n)$, tj. matice přechodu z jedné báze do druhé má záporný determinant, pak $M$ není orientovatelná. \begin{priklad} Möbiův list není orientovatelný. \end{priklad} \begin{defi} Buď $M$ diferencovatelná varieta s orientací $\sigma$, $\dim M = n$, $U =U^\circ$ souřadnicové okolí se souřadnicemi $(x^i)$, $\varphi: x(U) \subset \R^n \rightarrow U$ zobrazení inverzní k souřadnicím. Buď dále forma $\omega \in \Om{n}$ a nosič této formy $\supp \omega = \overline{\{ p \in M | \omega(p) \neq 0\}} \subset U$. Definujeme \textbf{integrál z formy {\boldmath $\omega$} na varietě {\boldmath $M$}} předpisem \[ \int_M \omega = \int_{(U, \varphi)} \omega = \sigma \left( \pder{x^1}, \ldots, \pder{x^n} \right) \int_{x(U)} (\varphi^\star \omega)_{1 \ldots n} \dx^1 \ldots \dx^n. \] \end{defi} \begin{pozn} Dle výše uvedeného nezávisí $\int_M \omega$ na výběru souřadnic na $U$. \end{pozn} Jak integrovat formy, jejichž nosič nelze pokrýt jedinou mapou? \begin{defi} Buď $M$ diferencovatelná varieta, $\pokryti$ její otevřené pokrytí. Indexová množina $J$ a soubor funkcí $f_\beta \in \Cnek$, $\beta \in J$, tvoří \textbf{rozklad jednotky} podřízený pokrytí $\pokryti$ pokud jsou splněny následující podmínky: \begin{enumerate} \item $(\forall \beta \in J )( \exists \alpha \in I)( \supp f_\beta \subset U_\alpha$ a současně je $\supp f_\beta$ kompaktní$)$ \item $(\forall p \in M )(\exists K_p \subset J, \# \{ K_p\} < + \infty )( \exists U =U^\circ, \ p \in U)(\forall \beta \in J \setminus K_p)(\supp f_\beta \cap U = \emptyset)$ \item $(\forall \beta \in J)(\forall p \in M)(f_\beta (p) \geq 0)$ \item $(\forall p \in M)(\sum_{\beta \in J} f_\beta (p) = \sum_{\beta \in K_p} f_\beta (p) = 1)$ \end{enumerate} \end{defi} \begin{veta} Ke každému otevřenému pokrytí $\pokryti$ variety $M$ existuje jemu podřízený rozklad jednotky. (Přičemž není určen jednoznačně.) \end{veta} \begin{dukaz} Bez důkazu. K platnosti věty potřebujeme parakompaktnost v definici variety. \end{dukaz} \begin{defi} Buď $M$ diferencovatelná varieta s orientací $\sigma$, $\dim M = n$ a $\omega \in \Om{n}$. Definujeme \textbf{integrál z {\boldmath $n$}-formy {\boldmath $\omega$} na varietě {\boldmath $M$}} předpisem \[ \int_M \omega = \sum_{\beta \in J} \int_M f_\beta \, \omega, \] kde $\{ f_\beta\}_{\beta \in J}$ je rozklad jednotky podřízený nějakému atlasu $\{ U_\alpha, (x_\alpha^i)\}_{\alpha \in I}$. \end{defi} \begin{pozn} $\int_M \omega$ nezávisí na výběru $\pokryti$. \end{pozn} \begin{dukaz} Společné zjemnění $\{ U_\alpha \cap \tilde{U}_\beta \}_{\alpha \in I, \, \beta \in \tilde{I}}$ a jemu podřízený rozklad jednotky. \end{dukaz}