Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01RMF}
\chapter{Eliptické diferenciální rovnice a operátory, Sturm-Liouvilleova teorie}
\begin{define}
Buď $G\subset \R^n$ omezená, otevřená množina. Nechť je dále $\partial G$ po částech z $\C^{1}$. Buďte dále $p\in \C^1(\bar{G})$, $q\in \C(\bar{G})$ takové funkce,
že $p(x) >0$ a $q(x) \geq 0$ pro všechna $x\in G$. Pak
$$ Lf(x) = -\div(p(x)\grad f(x)) + q(x) f(x) = g(x)$$
nazýváme {\bf Sturm-Liovilleovou úlohou} s okrajovými podmínkami (Robinovými):
Existují funkce $\alpha(x),\beta(x)$ takové, že $\alpha \geq 0$, $\beta \geq 0$ a $\alpha+\beta >0$ takové, že
$$ \alpha(x)f(x) + \beta(x)\pd{f}{\vec{n}} = 0\ \mbox{ na } \ \partial G,$$
kde $\vec{n}$ značí jednotkový vektor směřující ve směru vnější normály.
\end{define}
\begin{remark}
Robinovy okrajové podmínky jsou jen kombinací dvou klasických podmínek, které je z nich možné snadno obdržet. Volíme-li
\begin{enumerate}
\item[$\alpha = 0$], pak má podmínka tvar $\pd{f}{\vec{n}} = 0\ \mbox{ na } \ \partial G$ a tuto podmínku běžně nazýváme {\it homogenní von Neumannovou okrajovou podmínkou}.
\item[$\beta =0$], pak má podmínka tvar $f(x) = 0\ \mbox{ na } \ \partial G$ a tuto podmínku běžně nazýváme {\it Dirichletovou okrajovou podmínkou}.
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{remark}
Podmínky na funkce $p,q$ zajišťují eliptičnost operátoru, resp. rovnice. Provedeme-li totiž aplikaci divergence, obdržíme složky Laplaceova operátoru pronásobené funkcí $p(x)$, která je nenulová.
\end{remark}
V následující kapitole budeme zkoumat obecné vlastnosti operátoru $L$. Ty se budou odvíjet i od jeho definičního oboru, podobně jakou tomu je u funkcí.
Pro naše účely budeme brát za definiční obor operátoru $L$ množinu
$$\mathrm{Dom}(L) = \left\{f \in \C^2(G) \cap \C^1 (\bar{G}): Lf \in L^2(G) \ \mbox{a splňují okrajové podmínky}} \right\}$$
\section{Vlastnosti $L$}
Než si ukážeme několik vlastností operátoru $L$, rozepíšeme z praktických důvodů, následující integrál:
$$\displaystyle \int_{G}v(x)Lu(x) \dd x = \displaystyle \int_{G}\left(-\div(p(x)\grad u(x)) + q(x) u(x)\right)\dd x$$
\begin{theorem}
Buď $L$ operátor z definice výše s Robinovými okrajovými podmínkami.
\begin{enumerate}
\end{theorem}
