01RMF:Kapitola6: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Řádka 32: | Řádka 32: | ||
$$\displaystyle \int_{G}v(x)Lu(x) \dd x = \displaystyle \int_{G}\left(-\div(p(x)\grad u(x)) + q(x) u(x)\right)\dd x = - \displaystyle \int_{G}\left(\div(p(x)\grad u(x)) + q(x) u(x)\right)\dd x$$ | $$\displaystyle \int_{G}v(x)Lu(x) \dd x = \displaystyle \int_{G}\left(-\div(p(x)\grad u(x)) + q(x) u(x)\right)\dd x = - \displaystyle \int_{G}\left(\div(p(x)\grad u(x)) + q(x) u(x)\right)\dd x$$ | ||
Nyní využijeme jednu identitu vektorové analýzy, která říká, že | Nyní využijeme jednu identitu vektorové analýzy, která říká, že | ||
− | $$\div (v(x)p(x)\grad u(x)) = p(x)\grad v(x) \grad u(x) + v(x) \div( p(x)\grad u(x).$$ | + | $$\div (v(x)p(x)\grad u(x)) = p(x)\grad v(x) \grad u(x) + v(x) \div( p(x)\grad u(x)).$$ |
Aplikací této identity na integrand obdržíme | Aplikací této identity na integrand obdržíme | ||
$$- \displaystyle \int_G \div v(x)p(x)\grad u(x)) \dd x + \displaystyle \int_G (p(x)\grad v(x) \grad u(x) + v(x)q(x)u(x)) \dd x =$$ | $$- \displaystyle \int_G \div v(x)p(x)\grad u(x)) \dd x + \displaystyle \int_G (p(x)\grad v(x) \grad u(x) + v(x)q(x)u(x)) \dd x =$$ | ||
Řádka 47: | Řádka 47: | ||
\item vlastní funkce příslušné různým vlastním hodnotám jsou na sebe kolmé; | \item vlastní funkce příslušné různým vlastním hodnotám jsou na sebe kolmé; | ||
\item vlastní funkce lze volit reálné. | \item vlastní funkce lze volit reálné. | ||
− | \ | + | \end{enumerate} |
+ | |||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
− | \item Jelikož $\langle u,Lv \rangle = \langle Lu,v \rangle \Leftrightarrow \langle u,Lv \rangle - \langle Lu,v \rangle =0 $, budeme zkoumat tento výraz a využijeme přitom rozepsání integrálu, které jsme provedli výše: | + | \item Jelikož $\langle u,Lv \rangle = \langle Lu,v \rangle \Leftrightarrow \langle u,Lv \rangle - \langle Lu,v \rangle =0 $, budeme zkoumat tento výraz a využijeme přitom faktu, že operátor $L$ má reálné koeficienty a rozepsání integrálu, které jsme provedli výše: |
− | $$ \langle u,Lv \rangle - \langle Lu,v \rangle = $$ | + | $$ \langle u,Lv \rangle - \langle Lu,v \rangle = \displaystyle \int_G \bar{u}Lv - \overline{Lu} v \dd x = \displaystyle \int_G \bar{u}Lv - L\bar{u} v \dd x =$$ |
+ | $$ = -\displaystyle \int_{\partial G} | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
\end{theorem} | \end{theorem} |
Verze z 18. 12. 2016, 21:40
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01RMF
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01RMF | Mazacja2 | 16. 12. 2016 | 19:29 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Mazacja2 | 28. 12. 2016 | 14:12 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Mazacja2 | 18. 12. 2016 | 22:10 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Předmluva | Mazacja2 | 9. 11. 2016 | 21:51 | predmluva.tex | |
Kapitola1 | editovat | Motivace | Johndavi | 8. 4. 2019 | 17:34 | motivace.tex | |
Kapitola2 | editovat | Zobecněné funkce | Lomicond | 7. 12. 2019 | 17:51 | zobecnene_funkce.tex | |
Kapitola3 | editovat | Integrální transformace | Lomicond | 25. 12. 2019 | 16:58 | integralni_transformace.tex | |
Kapitola4 | editovat | Řešení dif. rovnic | Johndavi | 9. 4. 2019 | 16:15 | reseni.tex | |
Kapitola5 | editovat | Integrální rovnice | Johndavi | 8. 4. 2019 | 17:25 | Kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Sturm-Liouvilleova teorie | Johndavi | 8. 4. 2019 | 16:35 | Kapitola6.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01RMF} \chapter{Eliptické diferenciální rovnice a operátory, Sturm-Liouvilleova teorie} \begin{define} Buď $G\subset \R^n$ omezená, otevřená množina. Nechť je dále $\partial G$ po částech z $\C^{1}$. Buďte dále $p\in \C^1(\bar{G})$, $q\in \C(\bar{G})$ takové funkce, že $p(x) >0$ a $q(x) \geq 0$ pro všechna $x\in G$. Pak $$ Lf(x) = -\div(p(x)\grad f(x)) + q(x) f(x) = g(x)$$ nazýváme {\bf Sturm-Liovilleovou úlohou} s okrajovými podmínkami (Robinovými): Existují funkce $\alpha(x),\beta(x)$ takové, že $\alpha \geq 0$, $\beta \geq 0$ a $\alpha+\beta >0$ takové, že $$ \alpha(x)f(x) + \beta(x)\pd{f}{\vec{n}} = 0\ \mbox{ na } \ \partial G,$$ kde $\vec{n}$ značí jednotkový vektor směřující ve směru vnější normály. \end{define} \begin{remark} Robinovy okrajové podmínky jsou jen kombinací dvou klasických podmínek, které je z nich možné snadno obdržet. Volíme-li \begin{enumerate} \item[$\alpha = 0$], pak má podmínka tvar $\pd{f}{\vec{n}} = 0\ \mbox{ na } \ \partial G$ a tuto podmínku běžně nazýváme {\it homogenní von Neumannovou okrajovou podmínkou}. \item[$\beta =0$], pak má podmínka tvar $f(x) = 0\ \mbox{ na } \ \partial G$ a tuto podmínku běžně nazýváme {\it Dirichletovou okrajovou podmínkou}. \end{enumerate} \end{remark} \begin{remark} Podmínky na funkce $p,q$ zajišťují eliptičnost operátoru, resp. rovnice. Provedeme-li totiž aplikaci divergence, obdržíme složky Laplaceova operátoru pronásobené funkcí $p(x)$, která je nenulová. \end{remark} V následující kapitole budeme zkoumat obecné vlastnosti operátoru $L$. Ty se budou odvíjet i od jeho definičního oboru, podobně jakou tomu je u funkcí. Pro naše účely budeme brát za definiční obor operátoru $L$ množinu $$\mathrm{Dom}(L) = \left\{f \in \C^2(G) \cap \C^1 (\bar{G}): Lf \in L^2(G) \ \mbox{a splňují okrajové podmínky}} \right\}$$ \section{Vlastnosti $L$} Než si ukážeme několik vlastností operátoru $L$, rozepíšeme z praktických důvodů, následující integrál: $$\displaystyle \int_{G}v(x)Lu(x) \dd x = \displaystyle \int_{G}\left(-\div(p(x)\grad u(x)) + q(x) u(x)\right)\dd x = - \displaystyle \int_{G}\left(\div(p(x)\grad u(x)) + q(x) u(x)\right)\dd x$$ Nyní využijeme jednu identitu vektorové analýzy, která říká, že $$\div (v(x)p(x)\grad u(x)) = p(x)\grad v(x) \grad u(x) + v(x) \div( p(x)\grad u(x)).$$ Aplikací této identity na integrand obdržíme $$- \displaystyle \int_G \div v(x)p(x)\grad u(x)) \dd x + \displaystyle \int_G (p(x)\grad v(x) \grad u(x) + v(x)q(x)u(x)) \dd x =$$ $$ = - \displaystyle \int_{\partial G} v(x)p(x)\underbrace{\grad u(x) \cdot \vec{n}}_{\pd{u(x)}{\vec{n}}} \dd S + \displaystyle \int_G (p(x)\grad v(x) \grad u(x) + v(x)q(x)u(x) )\dd x $$ Nyní již přikročme k větě, která nám ozřejmí vlastnosti Sturm-Liouvilleova operátoru \begin{theorem} Buď $L$ operátor z definice výše s Robinovými okrajovými podmínkami. Buďte dále $u,v \in \mathrm{Dom}(L)$. Pak platí: \begin{enumerate} \item L je symetrický operátor, tj. $\forall u,v \in \mathrm{Dom}(L) $ platí $\langle u,Lv \rangle = \langle Lu,v \rangle $; \item L je positivní operátor, tj. $\forall u \in \mathrm{Dom}(L) $ platí $\langle u,Lu \rangle \geq 0$ ; \item dimenze jádra operátoru $L$ je buď 0, nebo 1; \item všechny vlastní hodnoty operátoru $L$ jsou nezáporné, tj. $\sigma(L) \subset \R^+$; \item vlastní funkce příslušné různým vlastním hodnotám jsou na sebe kolmé; \item vlastní funkce lze volit reálné. \end{enumerate} \begin{proof} \begin{enumerate} \item Jelikož $\langle u,Lv \rangle = \langle Lu,v \rangle \Leftrightarrow \langle u,Lv \rangle - \langle Lu,v \rangle =0 $, budeme zkoumat tento výraz a využijeme přitom faktu, že operátor $L$ má reálné koeficienty a rozepsání integrálu, které jsme provedli výše: $$ \langle u,Lv \rangle - \langle Lu,v \rangle = \displaystyle \int_G \bar{u}Lv - \overline{Lu} v \dd x = \displaystyle \int_G \bar{u}Lv - L\bar{u} v \dd x =$$ $$ = -\displaystyle \int_{\partial G} \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem}