Verze z 18. 12. 2016, 22:09

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01RMF}
\chapter{Eliptické diferenciální rovnice a operátory, Sturm-Liouvilleova teorie}
 
\begin{define}
Buď $G\subset \R^n$ omezená, otevřená množina. Nechť je dále $\partial G$ po částech z $\C^{1}$. Buďte dále $p\in \C^1(\bar{G})$, $q\in \C(\bar{G})$ takové funkce, 
že  $p(x) >0$ a $q(x) \geq 0$ pro všechna $x\in G$. Pak 
$$ Lf(x) = -\div(p(x)\grad f(x)) + q(x) f(x) = g(x)$$
nazýváme {\bf Sturm-Liovilleovou úlohou} s okrajovými podmínkami (Robinovými):
Existují funkce $\alpha(x),\beta(x)$ takové, že $\alpha \geq 0$, $\beta \geq 0$ a $\alpha+\beta >0$ takové, že 
$$ \alpha(x)f(x) + \beta(x)\pd{f}{\vec{n}} = 0\ \mbox{ na } \ \partial G,$$
kde $\vec{n}$ značí jednotkový vektor směřující ve směru vnější normály. 
\end{define}
 
\begin{remark}
Robinovy okrajové podmínky jsou jen kombinací dvou klasických podmínek, které je z nich možné snadno obdržet. Volíme-li
\begin{enumerate}
\item[$\alpha = 0$], pak má podmínka tvar $\pd{f}{\vec{n}} = 0\ \mbox{ na } \ \partial G$ a tuto podmínku běžně nazýváme {\it homogenní von Neumannovou okrajovou podmínkou}.
\item[$\beta =0$], pak má podmínka tvar $f(x) = 0\ \mbox{ na } \ \partial G$ a tuto podmínku běžně nazýváme {\it Dirichletovou okrajovou podmínkou}.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{remark}
Podmínky na funkce $p,q$ zajišťují eliptičnost operátoru, resp. rovnice. Provedeme-li totiž aplikaci divergence, obdržíme složky Laplaceova operátoru pronásobené funkcí $p(x)$, která je nenulová. 
\end{remark}
 
V následující kapitole budeme zkoumat obecné vlastnosti operátoru $L$. Ty se budou odvíjet i od jeho definičního oboru, podobně jakou tomu je u funkcí. 
Pro naše účely budeme brát za definiční obor operátoru $L$ množinu
$$\mathrm{Dom}(L) = \left\{f \in \C^2(G) \cap \C^1 (\bar{G}): Lf \in L^2(G) \ \mbox{a splňují okrajové podmínky}} \right\}$$
 
\section{Vlastnosti $L$}
Než si ukážeme několik vlastností operátoru $L$, rozepíšeme z praktických důvodů, následující integrál:
$$\displaystyle \int_{G}v(x)Lu(x) \dd x = \displaystyle \int_{G}\left(-\div(p(x)\grad u(x)) + q(x) u(x)\right)\dd x = - \displaystyle \int_{G}\left(\div(p(x)\grad u(x)) + q(x) u(x)\right)\dd x$$
Nyní využijeme jednu identitu vektorové analýzy, která říká, že 
$$\div (v(x)p(x)\grad u(x)) = p(x)\grad v(x) \grad u(x) + v(x) \div( p(x)\grad u(x)).$$
Aplikací této identity na integrand obdržíme
$$- \displaystyle \int_G \div v(x)p(x)\grad u(x)) \dd x + \displaystyle \int_G (p(x)\grad v(x) \grad u(x) + v(x)q(x)u(x)) \dd x =$$
$$ = - \displaystyle \int_{\partial G}  v(x)p(x)\underbrace{\grad u(x) \cdot \vec{n}}_{\pd{u(x)}{\vec{n}}} \dd S + \displaystyle \int_G (p(x)\grad v(x) \grad u(x) + v(x)q(x)u(x) )\dd x $$
 
Nyní již přikročme k větě, která nám ozřejmí vlastnosti Sturm-Liouvilleova operátoru
\begin{theorem}
Buď $L$ operátor z definice výše s Robinovými okrajovými podmínkami. Buďte dále $u,v \in \mathrm{Dom}(L)$. Pak platí:
\begin{enumerate}
\item L je symetrický operátor, tj. $\forall u,v \in  \mathrm{Dom}(L) $ platí $\langle u,Lv \rangle = \langle Lu,v \rangle $;
\item L je positivní operátor, tj. $\forall u \in  \mathrm{Dom}(L) $ platí $\langle u,Lu \rangle \geq 0$ ;
\item dimenze jádra operátoru $L$ je buď 0, nebo 1;
\item všechny vlastní hodnoty operátoru $L$ jsou nezáporné, tj. $\sigma(L) \subset \R^+$;
\item vlastní funkce příslušné různým vlastním hodnotám jsou na sebe kolmé;
\item vlastní funkce lze volit reálné. 
\end{enumerate}
 
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item Jelikož $\langle u,Lv \rangle = \langle Lu,v \rangle \Leftrightarrow \langle u,Lv \rangle - \langle Lu,v \rangle =0 $, budeme zkoumat tento výraz a využijeme přitom faktu, že operátor $L$ má reálné koeficienty a rozepsání integrálu, které jsme provedli výše: 
$$ \langle u,Lv \rangle - \langle Lu,v \rangle  = \displaystyle \int_G \bar{u}Lv - \overline{Lu} v \dd x =  \displaystyle \int_G \bar{u}Lv - L\bar{u} v \dd x =$$
$$ =  -\displaystyle \int_{\partial G}p\left(\bar{u}\pd{v}{\vec{n}} - v \pd{\bar{u}}{\vec{n}} \right)\dd S + \displaystyle \int_G 
\left[ p\grad \bar{u} \grad v + \bar{u}vq -\left(p\grad v \grad \bar{u} + v\bar{u}q\right) \right]\dd x  = $$
$$ = - \displaystyle \int_{\partial G}p\left(\bar{u}\pd{v}{\vec{n}} - v \pd{\bar{u}}{\vec{n}} \right)\dd S$$
Abychom ukázali, že tento výraz je rovný nule, využijeme počáteční podmínky:
Ty jsou pro  funkce $\bar{u}$ a $v$ následující: $\left\{\begin{array}{ll} \alpha \bar{u} + \beta \pd{\bar{u}}{\vec{n}}, &\mbox{na } \partial G, \\ \alpha v + \beta\pd{v}{\vec{n}}, &\mbox{na } \partial G. \end{array}\right.$. Toto lze ale ekvivalentně přepsat na tvar rovnice pro $\alpha$, $\beta$:
$$ \left(\begin{array}{cc} 
\bar{u} & \pd{\bar{u}}{\vec{n}} \\ 
v & \pd{v}{\vec{n}}
\end{array} \right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
\alpha \\
\beta 
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{c}
0 \\
0
\end{array}
\right) $$
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}