Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01RMF}
\chapter{Integrální transformace}
Vybudovali jsme prostor zobecněných funkcí a pomalu směřujeme k řešení parciálních diferenciálních rovnic. Jak jsme viděli na konci minulé kapitoly, jsme na dobré cestě.
V této kapitole se tedy budeme věnovat integrálním transformacím, konkrétně Laplaceově a Fourierově, které, jak uvidíme, jsou velmi mocným a užitečným nástrojem.
Abychom s nimi mohli začít pracovat, je potřeba ještě vybudovat jistý speciální prostor a na něm zadefinovat speciální třídu zobecněných funkcí.
\section{Motivace}
Na následujících několika řádcích a příkladech se pokusíme objasnit, proč je třeba revidovat naši definici zobecněných funkcí a proč je třeba vytvoření nějakého nového prostoru.
Naší snahou a naším cílem je vytvoření takové struktury, která by byla uzavřená právě vůči integrálním transformacím, jako je například Fourierova transformace $\F$.
Proto ji nyní poněkud neformálně zavedeme. Tato definice není zatím definitivní a je pouze pro účely této motivační sekce.
\begin{define}
Pod pojmem {\it Fourierova transformace $\F$} rozumíme zobrazení z prostoru $L^1(\R^n)$ takové, že
pro $f\in L^1$ definujeme
$$\Ft{f(x)}{\xi}:= \displaystyle \int_{\R^n} e^{\im x\cdot \xi}f(x)\dd x.$$
\end{define}
\begin{remark}
V následujících poznámkách se budeme snažit ukázat některé vlastnosti $\F$, ze kterých vyplyne, že je skutečně nutné vytvářet nový prostor testovacích funkcí.
\footnote{Ale není třeba se lekat. To, co jsme dosud vybudovali, nezahodíme, ale velmi účelně využijeme.}
\begin{enumerate}
\item {\it Je-li $f\in L^1$, pak $\Ft{f(x)}{\xi}$ je omezená funkce na $\R^n$}
\begin{proof}
Pro dokázání toto tvrzení stačí vyjít z definice:
$$ \left\vert \Ft{f(x)}{\xi} \right\vert = \left\vert \displaystyle \int_{\R^n} e^{\im x\cdot \xi}f(x)\dd x \right \vert \leq
\displaystyle \int_{\R^n} \underbrace{\left\vert e^{\im x\cdot \xi} \right\vert}_{=1}\left| f(x)\right| \dd x < + \infty$$
Poslední nerovnost plyne z faktu, že $f\in L^1$.
\end{proof}
\item {Je-li $f\in L^1$, pak odtud neplyne, že $\Ft{f(x)}{\xi} \in L^1(\R^n)$}
\begin{proof}
$$\left| \displaystyle \int_{\R^n} \Ft{f(x)}{\xi} \dd \xi \right| = \left | \displaystyle \int_{\R^n} \dd \xi \displaystyle \int_{\R^n} \dd x e^{\im x\cdot \xi}f(x) \right| \leq
\displaystyle \int_{\R^n} \dd \xi \displaystyle \int_{\R^n} \dd x \underbrace{\left\vert e^{\im x\cdot \xi} \right\vert}_{=1} \underbrace{\left \vert f(x)\right\vert}_{<+\infty} = +\infty.$$
\end{proof}
Toto je možné samozřejmě ilustrovat konkrétním příkladem, ale nebudeme to dělat. Je to v podstatě zbytečné. Je důležité, že jsme objevili první nepříjemnou vlastnost námi definovaného zobrazení $\F$.
Totiž nevíme, kam zobrazuje, resp. co je jeho oborem hodnot. Tento problém bude muset náš nový prostor nějak elegantně vyřešit.
\item {\it Je-li $f\in L^1$ s kompaktním nosičem, pak odtud neplyne, že $\nf \Ft{f(x)}{\xi}$ je kompakt.}
Tuto vlastnost ukážeme na konkrétním příkladě. Za funkci $f(x)$ volme charakteristickou funkci intervalu $[0,1]$, tzn. $\chi_{[0,1]}(x)$. Pak
$$\Ft{\chi_{[0,1]}}{\xi} = \displaystyle \int_0^1 e^{\im x\cdot \xi} \dd x = \displaystyle \int_0^1 \cos{x\xi} \dd x + \im \displaystyle \int_0^1 \sin{x\xi} \dd x = $$
$$ = \left[ \frac{1}{\xi} \sin{x\xi}\right]_0^1 -\im \left[ \frac{1}{\xi} \cos{x\xi}\right]_0^1 = \frac{1}{\xi} \sin \xi - \frac{\im}{\xi} (\cos \xi -1)$$
Tato funkce zcela určitě nemá omezený nosič.
\end{enumerate}
Vidíme tedy, že máme sice nějakou transformaci, ale nemůžeme ji použít na prostoru $\D'$, což bychom chtěli. Můžete namítat, že by možná bylo snazší najít jinou transformaci,
ale vězte, že tato nám dává mocný nástroj pro výpočet fundamentálních řešení parciálních diferenciálních rovnic a navíc velmi zjednodušuje jejich řešení a usnadňuje výpočty konvolucí, neboť
$$ \Ft{\frac{\dd}{\dd x}f(x)}{\xi} = C \xi \Ft{f(x)}{\xi}$$
$$ \Ft{f\ast g}{\xi} = \Ft{f(x)}{\xi} \cdot \Ft{g(x)}{\xi}$$
Tedy zde vidíme síle Fourierovy transformace. Ta převádí diferenciální problém na problém algebraický, nesrovnatelně jednodušeji řešitelný a konvoluci převádí na prosté násobení.
K těmto vlastnostem časem dojdeme a budou odvozeny.
Nyní už jen pár vět k zamyšlení. Zkuste si zamyslet, proč obraz derivace při $\F$ vypadá tak, jak vypadá. Pokud budeme uvažovat nějaký lineární operátor $L =\frac{\dd}{\dd x}$ na nějakém
vektorovém prostoru (třeba zde na prostoru funkcí), tak jeho vlastní funkce (vektory) splňují rovnici
$$ L f = \lambda f$$
a tedy $f(x) = c e^{\lambda x}$ pro libovolné $\lambda \in \C$. Pak bychom mohli tyto funkce považovat za jistou \uv{bázi} tohoto prostoru a zkoumat Fourierovy koeficienty v této bázi.
Dostali bychom
$$ \left \langle f, e^{\lambda x } \right \rangle =\displaystyle \int_{\R} f(x) e^{\lambda x} \dd x$$
Zde už je vidět jistá silná podobnost s předpisem pro Fourierovu transformaci a proto o ní můžeme tvrdit, že Fourierova transformace nezkoumá přímo chování prvku, ale chování jeho souřadnic v nějaké bázi.
\end{remark}
\section{Schwartzův prostor a prostor temperovaných zobecněných funkcí}
V minulé sekci jsme narazili na problém, že fourierovský obraz nějaké funkce nemusí být integrabilní. Proto zavedeme jeden pojem, který již, jak se později ukáže, tuto vlastnost zajistí.
\begin{define}
Buď $f:\R^n \to \R$ reálná funkce. Pak tuto funkci nazveme
\begin{enumerate}
\item {\bf rychle klesající}, právě když $\forall \alpha \in \mathbb{Z}_+^n$ platí, že $\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} |x^{\aplha}f(x)| < + \infty $;
\item {\bf pomalu rostoucí}, právě když $\forall \alpha \in \mathbb{Z}_+^n$ platí, že $\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} \left | \frac{f(x)}{x^{\alpha}} \right| < +\infty$.
\end{enumerate}
\end{define}
\begin{define}
O funkci $f$ řekneme, že je prvkem {\bf Schwartzova prostoru $\SP(\R^n)$}, právě když jsou splněny tyto podmínky
\begin{enumerate}
\item $f \in \Ci (\R^n)$;
\item $\forall \alpha,\beta \in \mathbb{Z}_+^n \ \mathrm{sup}_{\R^n} \ |x^{\alpha}D^{\beta}f(x)| < +\infty$, tj. funkce a všechny její derivace jsou rychle klesající.
\end{enumerate}
\end{define}
\begin{remark}
$\SP$ je někdy též nazýván prostorem testovacích funkcí s otevřeným nosičem.
\end{remark}
\begin{remark}
Právě o Schwartzově prostoru ukážeme, že $\F: \SP \to \SP$.
\end{remark}
\begin{reamrk}
V následují poznámce ukážeme dvě důležité inkluze týkající se Schwartzova prostoru.
\begin{enumerate}
\item $\SP \subset L^1$
Abychom toto ukázali, využijeme faktu, že $\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^{\alpha}} \dd x$ konverguje pro všechna $\alpha > 1$. Uvažujme nyní $\phi \in \SP(\R)$
\footnote{Obdobně opět pro libovolnou dimenzi. }. Pak z vlastností funkcí z $\SP$ plyne, že (volbou $\beta = 0$) $|x^{\alpha} \phi(x)| < K_{\alpha}$ pro všechna $x$
větší než nějaké hraniční $x_0(\alpha)$. Nyní speciálně volbou $\alpha =2$ máme odhad $|\phi(x)|\leq \frac{K}{x^2} \in L^1(x_0,+\infty)$. Využijeme při odhadování naší funkce:
$$ \displaystyle \int_{\R} |\phi(x)|\dd x = \displaystyle \int_{-R}^{R} |\phi(x)| \ddx + \displaystyle \int_{-\infty}^{-R} |\phi(x)| \dd x + \displaystyle \int_{R}^{+\infty} |\phi(x)| \dd x$$
Nyní první člen můžeme snadno odhadnout, neboť $\phi \in \Ci$ a integrujeme na kompaktu, tedy na množině, kde spojitá funkce nabývá svého maxima, a pro zbylé dva použijeme odhad výše.
Tímto jsme ukázali, že tento integrál je konečný a tedy každá funkce ze Schwartzova prostoru $\SP$ je integrabilní.
\item $\SP \supset \D$
Toto tvrzení je zřejmé.
\end{enumerate}
\end{remark}
Jak jsme již zjistili, nejsme schopni zavést zobecněnou $\F$ na $\D'$, protože nemáme $\F:\D \to \D$. Ovšem pokud bychom měli znalost, že $\F: \SP \to \SP$,
pak bychom byli schopni zavést $\F$ na duálním prostoru $\SP^{\sharp}$, což jsou veškeré lineární funkcionály nad $\SP$. Platí, že $\SP^{\sharp}\subset \D^{\sharp}$,
protože funkcionál definovaný nad $\D$ nemusíme být schopni vůbec rozšířit na $\SP$. Jinak řečeno, zvětšením prostoru $\SP$ \uv{zmenšíme} definiční obor $\SP^{\sharp}$.
Toto je onen klíčový krok, který nám umožní zavést $\F$ pro zobecněné funkce. Ovšem ne pro všechny. Bohužel. Ale pro veškeré zobecněné funkce z $\SP'$
\begin{define}
Prostor lineárních spojitých funkcionálů nad $\SP(\R^n)$ nazveme {\bf prostorem temperovaných zobecněných funkcí (distribucí) $\SP'(\R^n)$}.
\end{define}
Abychom mohli na tomto prostoru ověřovat spojitost daného funkcionálu, je potřeba mít zadefinovaný pojem konvergence v $\SP$.
\begin{define}
Řekneme, že posloupnost $\{\phi_n\}_{n \in \mathbb{N} } \subset \SP$ {\bf konverguje k $\phi \in \SP$ v $\SP$}, označujeme $\phi_n \kS \phi$, právě když
$$ \forall \alpha,\beta \in \mathbb{Z}_{+}^{n} \ x^{\alpha} D^{\beta} \phi_n \sk{\R^n} x^{\alpha} D^{\beta} \phi.$$
\end{define}
\begin{lemma}
Buďte $\{\phi_n\}_{n \in \mathbb{N} } \subset \D$, $\phi \in \D$ a nechť $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} \phi$. Pak $\phi_n \kS \phi$.
\begin{proof}
Jelikož platí, že $\SP \supset \D$, jsou $\phi_k, \phi \in \SP$. Připomeňme, co znamená konvergence v $\D$.
$\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} \phi$, právě když $\exist R>0$ takové, že $\forall k\in \mathbb{N}$ platí, že $\nf \phi_k \subset B_R(0)$
a zároveň $\forall \alpha \in \mathbb{Z}_{+}^{n}$ platí, že $D^{\alpha} \phi_k \sk{\R^n} \phi$.
Chceme ukázat, že $\forall \alpha,\beta \in \mathbb{Z}_{+}^{n} \ x^{\alpha} D^{\beta} \phi_n \sk{\R^n} x^{\alpha} D^{\beta} \phi$.
Odhadneme výraz nalevo, tj. $|x^{\alpha} D^{\beta} \phi_n |\leq |R^n D^{\beta} \phi_n |$, což je funkce, která stejnoměrně konverguje dle předpokladu.
Tento odhad jsme mohli udělat, protože funkce $\phi_n$ mají support omezený koulí $B_R(0)$ a tedy je možné $x^{\alpha}$ omezit $R^{\alpha}$.
To, že výsledná funkce je funkcí, kterou si přejeme získat, plyne z bodové konvergence.
\end{proof}
Pomocí toho lemmatu nyní dokážeme, že prostor $\SP'$ je obsažen v $\D'$. Zároveň při tom využijeme toho, že $\SP \supset \D$ a $\SP^{\sharp} \subset \D^{\sharp}$.
\begin{lemma}
$\SP' \subset \D'$. To znamená, že $f\in \SP' \Rightarrow f\in \D'$.
\begin{proof}
Buď $f \in \SP'$. Chceme ukázat, že $f\in \D'$, to ale znamená ověřit linearitu a spojitost. Linearita je zjevná.
Pro ověření spojitosti volme posloupnost $\phi_k \stackrel{\D}{\longrightarrow} \phi$. Platí pak, že $(f,\phi_k) \to (f,\phi)$ jako číselná posloupnost?
Dle předešlého lemmatu platí, že $\phi_k \kS \phi$. Ze spojitosti funkcionálu $f \in \SP'$ pak ale plyne, že konverguje číselná posloupnost $(f,\phi_k) \to (f,\phi)$, což bylo dokázat.
\end{proof}
\end{lemma}
Co nám tento důsledek říká? Už víme, že každá temperovaná zobecněná funkce je zobecněná funkce ve smyslu dříve definovaném. Neříká nám nic ale o tom, jestli jsou tyto zobecněné funkce regulární.
Toto nemusí být pravda. Regulární zobecněná funkce nemusí být temperovanou zobecněnou funkcí. Abychom toto demonstrovali, uvažujme zobecněnou regulární funkci $\widetilde{e^{x^2}}$.
Kdyby byla $\widetilde{e^{x^2}}\in \SP'$, dávala by pro libovolnou $\phi \in \SP$ konečné číslo. Nyní berme $ \phi(x)= e^{-x^2}\in \SP$. Pak
$$\left(\widetilde{e^{x^2}},\phi(x) \right) = \left(\widetilde{e^{x^2}}, e^{-x^2} \right) = \displaystyle \int_{\R} e^{x^2}e^{-x^2} \dd x = +\infty .$$
\begin{remark }
Díky inkluzi $\SP' \subset \D'$ máme k dispozici veškeré operace zavedené na $\D'$. Jedná se o derivaci, násobení hladkou funkcí, regulární transforamci, limitu, konvoluci a tensorový součin.
Je ale potřeba ukázat, že $\SP'$ je vůči těmto operacím uzavřený. Tato vlastnost nám pak zaručí uzavřenost (později definové) $\F$ nad $\SP'$.
\end{remark}
\begin{theorem}
Prostor $\SP'$ je uzavřen vůči výše jmenovaným operacím s výjimkou násobení hladkou funkcí. Vlastnosti těchto operací se zachovávají.
\begin{proof}
Vizte [Šťovíček]. Jako cvičení je možné si samostatně ukázat např. uzavřenost vůči derivaci. Dokazování uzavřenosti konvoluce a tensorového součinu je náročné.
\end{proof}
\end{theorem}
\subsubsection{Násobení v $\SP'$}
Operace násobení hladkou funkcí tak, jak je definována na $\D'$, není v $\SP'$ dobře použitelná. Připomeňme její definici. Uvažujme $a\in \Ci$, $f\in \D'$ pak $a\cdot f$ jsme definovali:
$ (a(x)\cdot f(x),\phi(x)):= (f(x),a(x)\phi(x))$. Využívali jsme toho, že $a(x)\phi(x)\in \D$. Toto ale pro $\SP$ nefunguje. Uvažujme například (opět)
$a(x) = e^{x^2} \in \Ci$ a $\phi(x) = e^{-x^2} \in \SP$. Pak $a(x)\phi(x) =1 \notin \SP$. Proto na funkci $a$ potřebujeme uvalit další podmínku.
Jeví se jako nejpřirozenější požadovat, aby byla rychle klesající se všemi svými derivacemi.
\begin{theorem}
Buď $a \in \Ci$ a nechť je dále $a$ rychle klesající se všemi svými derivacemi. Pak $af \in \SP'$ pro libovolné $f\in \SP'$.
\begin{proof}
Je třeba opět ověřit linearitu a spojitost. Linearitu je očividná. Zbývá tedy ukázat, že pro $\phi_k \kS 0$ platí, že $(af,\phi_k)\to 0$.
To, že posloupnost konverguje, říká jen to, že $\forall \alpha,\beta \in \mathbb{Z}_{+}^{n} \ x^{\alpha} D^{\beta} \phi_k \sk{\R^n} 0$.
My musíme vyzkoumat konvergenci výrazu $a\phi_k$. Pokud ukážeme, že $a\phi_k \kS 0$ dostaneme ze spojitosti $f$ informaci, že $(f, a\phi_k) \to 0$, což dokáže toto tvrzení.
Musíme tedy ukázat, že $\forall \alpha,\beta \in \mathbb{Z}_{+}^{n} \ x^{\alpha} D^{\beta} a\phi_k \sk{\R^n} 0$. Zde ale jen stačí vhodně použít Leibnizovo pravidlo a máme hotovo.
Využíváme pak jenom toho, že díky hladkosti můžeme $a$ odhadnout na libovolném kompaktu konstantou a v $\pm \infty$ je $a$ díky tomu, že je rychle klesající, odhadnutelná polynomem.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{define}
O zobecněné funkci $f$ řekneme, že patří do {\bf prostoru $\SP'_{reg}$}, právě když je $f$ jako zobecněná funkce regulární, tj. $f\in \D'$ a pokud je její generátor, tj. klasická funkce $f$ pomalu rostoucí.
\end{define}
\begin{remark}
Zřejmě $\SP'_{reg} \subset \SP' \cap \D'_{reg}$.
\end{remark}
Měli bychom ověřit, že naše definice dává dobrý smysl. Mějme tedy $f\in L^1_{loc}$ (a tedy $f$ jako zobecněná funkce náleží do $\D'_{reg}$).
Buď navíc $f$ pomalu rostoucí, tj. $\exists \alpha^{\ast} \in \mathbb{Z}_+^n$ tak, že $\displaystyle \lim_{x\to \pm \infty} \left| \frac{f(x)}{x^{\alpha^{\ast}}} \right| < +\infty$.
Nyní buď $\phi \in \SP$, pak máme
$$(f,\phi):= \displaystyle \int_{\R} f(x)\phi(x) \dd x = \displaystyle \int_{-R}^{R} f(x)\phi(x) \ddx + \displaystyle \int_{-\infty}^{-R} f(x)\phi(x) \dd x + \displaystyle \int_{R}^{+\infty} f(x)\phi(x)\dd x$$
První člen je opět integrál přes kompaktní množinu, tzn. funkce $\phi$ na ní nabývá svého maxima, kterým ji můžeme odhadnout. Funkce $f$ je navíc lokálně integrabilní, takže první člen máme odhadnutý.
Zbývá provést odhad na zbylé dva členy. Vzhledem k jejich symetrii odhadneme pouze jeden z nich. Využijeme přitom toho, že $f$ je pomalu rostoucí. Z té totiž plyne, že existuje takové $C$, že $\forall >R \ |f(x)| \leq C x^{\alpha^{\ast}}$. Pak ale máme odhad
$$\displaystyle \int_{R}^{+\infty} f(x)\phi(x)\dd x \leq \displaystyle \int_{R}^{+\infty} |f(x)\phi(x)|\dd x \leq \displaystyle \int_{R}^{+\infty} C |x^{\alpha^{\ast}}\phi(x)|\dd x <+\infty$$
Na závěr jsme využili faktu, že $x^{\alpha^{\ast}}\phi(x) \in \SP \subset L^1(\R)$.
Tímto jsme ukázali, že naše definice dává dobrý smysl, neboť výsledek působení funkce $f\in \SP'_{reg}$ na libovolnou $\phi \in \SP$ je konečný. Linearita a spojitost jsou jasné.
\section{Fourierova transformace na $\SP$}
\begin{define}
Buď $\phi \in \SP(\R^n)$. Pak Fourierovou transformací $\F$ rozumíme zobrazení
$$ \F: \phi(x) \mapsto \Ft{\phi(x)}{\xi} := \displaystyle \int_{\R^n} e^{\im x\xi}\phi(x) \dd x.$$
\end{define}
\begin{remark}
Někdy budeme pro zjednodušení zápisu psát místo $\Ft{\phi(x)}{\xi}$ jen $\widehat{\phi}\xi$. \footnote{Na přednáškách se značilo oběma způsoby, já budu používat jediný}
\end{remark}
\begin{remark}
Jelikož je $\SP \subset L^1$, víme již o $\F$ následující:
\begin{enumerate}
\item $\Ft{\phi}{\xi}$ je omezená, tzn. integrál konverguje absolutně;
\item Můžeme snadno zaměňovat limitu a integrál, neboť ten je snadno majorizovatelný. Odtud ale plyne, že funkce $\Ft{\phi}{\xi}$ je spojitá.
\end{enumerate}
Nyní si dokážeme dvě elementární tvrzení, která jsou ale zcela klíčová pro použití Fourierovy transformace
\begin{theorem}[Chování vůči derivaci]
Buď $\phi \in \SP$. Pak platí
\begin{enumerate}
\item
$$ \frac{\partial}{\partial \xi} \Ft{\phi(x)}{\xi} = \Ft{(\im x) \phi(x)}{\xi}; $$
\item
$$ \Ft{\frac{\dd}{\dd x}\phi(x)}{\xi} =(-\im \xi) \Ft{\phi(x)}{\xi}.$$
\end{enumerate}
\begin{proof}
Dokážeme obě tvrzení pro jednoduchost pouze pro $\R$:
$$ \frac{\partial}{\partial \xi} \Ft{\phi(x)}{\xi} = \frac{\partial}{\partial \xi} \displaystyle \int_{\R} e^{\im x \xi} \phi(x) \dd x = \displaystyle \int_{\R} (\im x)e^{\im x \xi}\phi(x) \dd x = \Ft{(\im x) \phi(x)}{\xi}$$
Přitom jsme využili faktu, že $\left| (\im x)e^{\im x \xi}\phi(x) \right| \leq |\im x \phi(x)| \in \SP \subset L^1(\R)$. Jelikož jsme dokázali odhadnout derivaci, mohli jsme použít větu o záměně
derivace a integrálu.
Druhé tvrzení se dokáže obdobně:
$$ \Ft{\frac{\dd}{\dd x}\phi(x)}{\xi} = \displaystyle \int_{\R} e^{\im x \xi} \frac{\dd}{\dd x}\phi(x) \dd x \stackrel{\mbox{\scriptsize per partes}}{=}
\underbrace{\left[ e^{\im x \xi} \phi(x) \right]_{-\infty}^{+\infty}}_{=0 \_ (\phi\in \SP)} - (\im \xi) \displaystyle \int_{\R} e^{\im x \xi} \phi(x) \dd x = - (\im \xi) \Ft{\phi(x)}{\xi}
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Je jasné, že obě tvrzené lze rozšířit pro libovolnou derivaci, tj.
$$ D^{\alpha}_{\xi} \Ft{\phi(x)}{\xi} = \Ft{(\im x)^{\alpha}\phi(x)}{\xi};$$
$$ \Ft{D^{\alpha}_{x}\phi(x)}{\xi} =(-\im \xi)^{\alpha} \Ft{\phi(x)}{\xi}.$$
\end{remark}
Za pomoci těchto dvou tvrzení dokážeme následující důležitou větu. K jejímu důkazu ještě navíc využijeme faktu, že pokud $\phi \in \SP$, pak také $x^{p}\phi(x) \in \SP$ pro $p \in \mathbb{N}$.
\begin{theorem}
Prostor $\SP$ je invariantní vůči $\F$, tj. $\F: \SP \to \SP$.
\begin{proof}
Chceme ukázat, že pokud $\phi \in \SP$, tak pak $\Ft{\phi(x)}{\xi} \in \SP$. Abychom tohle ukázali, musíme ukázat, že $\sup_{\R} \left| \xi^{\alpha} D^{\beta} \Ft{f(x)}{\xi}\right| <+ \infty$.
Na výraz uvnitř závorek nejdříve použijeme první tvrzení, tj. $\left| \xi^{\alpha} D^{\beta} \Ft{f(x)}{\xi}\right| = \left|\xi^{\alpha} \Ft{(\im x)^{\beta}\phi(x)}{\xi}\right|$. Následně
využijeme druhého tvrzení, tj. $\left|\xi^{\alpha} \Ft{(\im x)^{\beta}\phi(x)}{\xi}\right| = \Ft{D^{\alpha}_x (x^{\beta}\phi(x))}{\xi} \right| < +\infty.$ To, že je výraz menší než nekonečno
plyne z toho, že $D^{\alpha}_x (x^{\beta}\phi(x)) \in \SP$ a již víme, že $\F$ je omezená na tomto prostoru.
\end{proof}
\end{theorem}
V následující části budou postupně dokazovány různé užitečné vlastnosti Fourierovy transformace.
\begin{theorem}
Fourierova transformace jako zobrazení $\F:\SP \to \SP$ je spojité zobrazení.
\begin{proof}
Bereme posloupnost $\phi_n(x) \kS 0$. Zajímá nás, jestli odtud plyne, že konverguje rovněž $\Ft{\phi_n(x)}{\xi} \kS 0$.
nějaké divné...
časem dodělám
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}[Posuny v argumentech]
Buď $\phi \in \SP(\R^n)$ a nechť $b\in \R^n$ a $c \in \mathbb{C}$. Pak
\begin{enumerate}
\item
$$\Ft{\phi(x)}{\xi +b} = \Ft{e^{\im bx} \phi(x)}{\xi};$$
\item
$$ e^{\im b\xi}\Ft{\phi(x)}{\xi} = \Ft{\phi(x-b)}{\xi};$$
\item
$$\Ft{\phi(cx)}{\xi} = \frac{1}{|c|^n} \Ft{\phi(x)}{\frac{\xi}{c}}.
\end{enumerate}
\begin{proof}
Důkaz je zřejmý. Ve všech případech se využívá jen definice a substituce v integrálu. Ukažme pro ilustraci třeba třetí tvrzení:
$$\Ft{\phi(cx)}{\xi} = \displaystyle \int_{\R^n} e^{\im x \xi} \phi(cx) \dd x = \frac{1}{|c|^n} \displaystyle \int e^{\im y \frac{\xi}{c}}\phi(y) \dd y = \frac{1}{|c|^n} \Ft{\phi(x)}{\frac{\xi}{c}}.$$
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{define}
{\bf Částečnou Fourierovou transformaci} definujeme pro $\phi\in \SP(\R^{n+m})$ takto:
$$\F_x[\phi(x,y)](\xi,y) := \displaystyle \int_{\R^n} e^{\im x\xi}\phi(x,y) \dd x;$$
$$ \F_y[\phi(x,y)](x,\xi) := \displaystyle \int_{\R^m} e^{\im y\xi}\phi(x,y) \dd y.$$
\end{define}
\begin{theorem}[o částečné Fourierově transformaci]
Platí:
\begin{enumerate}
\item $$\F_x \circ \F_y = \F_y \circ \F_x = \F;$$
\item $$D^{\alpha}_{\xi} \F_x \left[\phi(x,y)\right](\xi,y) = \F_x \left[(\im x)^{\alpha} \phi(x,y)\right](\xi,y);$$
\item $$\F_x\left[D^{\alpha}_{x} \phi(x,y)\right] (\xi,y) = (\im \xi)^{\alpha} \F_x[ \phi(x,y)](\xi,y).$$
\end{enumerate}
\begin{proof}
První tvrzení plyne okamžitě z Fubiniovy věty. Druhé a třetí se dokazují stejně, jako bylo výše uvedeno.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}[o konvoluci]
Buďte $\phi,\psi \in \SP$. Pak
$$\Ft{\phi \ast \psi}{\xi} = \Ft{\phi(x)}{\xi} \Ft{\psi(x)}{\xi}.$$
\begin{proof}
$$\Ft{\phi \ast \psi}{\xi} = \displaystyle \int_{\R^n} e^{\im x \xi} (\phi \ast \psi)(x) \dd x = \displaystyle \int_{\R^n}\dd x e^{\im x \xi} \displaystyle \int_{\R^n} \dd y \phi(y) \psi (x-y) = $$
Zde jsme použili definici konvoluce. Nyní můžeme použít Fubiniovu větu ($\phi, \psi \in \SP \subset L^1$) a pomocí substituce výraz dále upravit
$$ = \displaystyle \int_{\R^{2n}} \dd x \dd y e^{\im x \xi} \phi(y) \psi (x-y) = \displaystyle \int_{\R^{2n}} \dd y \dd z e^{\im (y+z) \xi} \phi(y) \psi (z) = $$
$$= \displaystyle \int_{\R^n} e^{\im y \xi}\phi(y) \dd y \cdot \displaystyle \int_{\R^n} e^{\im z \xi}\psi(z) \dd z = \Ft{\phi(x)}{\xi} \Ft{\psi(x)}{\xi}$$
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}
Buďte $\phi,\psi \in \SP$. Pak
$$ \displaystyle \int_{\R} \phi(x) \Ft{\psi(y)}{x} \dd x = \displaystyle \int_{\R} \Ft{\phi(y)}{x} g(x) \dd x.$$
\begin{proof}
$$ \displaystyle \int_{\R} \phi(x) \Ft{\psi(y)}{x} \dd x = \displaystyle \int_{\R} \dd x \phi(x) \int_{\R} \dd y e^{\im yx}\psi(y) \stackrel{\mbox{\scriptsize Fubini}}{=}
\displaystyle \int_{\R} \dd x \psi(x) \int_{\R} \dd y e^{\im yx}\phi(y) = \displaystyle \int_{\R} \Ft{\phi(y)}{x} g(x) \dd x$$
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Zkuste se zamyslet, jak je v tomto případě možné zeslabit předpoklady na funkce $\phi, \psi$. Předpoklad, aby byly z prosotru $\SP$ je totiž docela silný.
To, jaké jsou tedy podmínky na tyto funkce, vyplývá přímo z předpokladů Fubiniovy věty, která je v důkazu použita.
\end{remark}
\begin{theorem}
$\F: \SP(\R^n) \to \SP(\R^n)$ je bijekce a navíc platí, že $\F^{-1} = \frac{1}{{2\pi}^n} \bar{\F}$, kde $\bar{\F}[\phi(x)](\xi):= \displaystyle \int_{\R^n} e^{-\im x\xi}\phi(x) \dd x$.
\begin{proof}
Důkaz tohoto tvrzení provedeme ve chvíli, kdy budeme znát $\F: \SP' \to \SP'$.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Fourierovu transformaci lze zavést mnoha způsoby, resp. princip je zcela totožný, jen se mění "rozdistribuování" konstanty $\frac{1}{{2\pi}^n}$.
\end{remark}
\begin{theorem}[Riemann-Lebesgueovo lemma]
Buď $\phi \in \SP$. Pak $\displaystyle \lim_{\xi \to + \infty} \Ft{\phi(x)}{\xi} = 0$.
\begin{proof}
Tvrzení věty je okamžitým důsledkem Riemann-Lebesgueova lemmatu z klasické analýzy.
\end{proof}
\end{theorem}
{\bf Příklad}
Tento příklad se korektně (pomocí integrace v komplexní rovině) vyřeší na cvičeních, ale je vhodné si jej zde uvést.
$$\Ft{e^{-x^2}}{\xi} = \displaystyle \in_{\R} e^{\im x \xi} e^{-x^2} \dd x = \sqrt{\pi} e^{- \frac{\xi ^2}{4}}.$$
Zkoumejme nyní výraz $\Ft{e^{-(cx)^2}}{\xi} = \frac{1}{c} \Ft{e^{-x^2}}{\frac{\xi}{c}} = \frac{\sqrt{\pi}}{c} e^{- \frac{\xi ^2}{4c^2}} $.
Zvolíme-li za $c = \frac{1}{\sqrt{2}}, máme\Ft{e^{-\frac{x^2}{2}}}{\xi} = \sqrt{\frac{\pi}{2}} e^{-\frac{x^2}{2}}$.
Toto ale neznamená nic jiného, než že jsme našli vlastní funkci operátoru $\F$ a jemu příslušné vlastní číslo.
\section{Fourierova transformace na $\SP'$}
\subsection{Motivace}
Uvažujme funkci $f \in L^1(\R)$. Pak už víme, že existuje $\Ft{f(x)}{\xi}$, která je omezená a spojitá. Díky omezenosti je ale funkce $\frac{1}{1+\xi^2}\Ft{f(x)}{\xi} \in L^1(\R)$.
Pak ale můžeme tvrdit (dokonce jsme to tímto krokem ukázali), že funkce $\Ft{f(x)}{\xi}$ je pomalu rostoucí. Tudíž funkce $\widetilde{\Ft{f(x)}{\xi}} \in \SP'_{reg}$.
Tohoto využijeme.
Buď tedy $\phi \in \SP$ a nechť $\widetilde{\Ft{f(x)}{\xi}} \in \SP'_{reg}$. Pak
$$ (\widetilde{\Ft{f(x)}{\xi}},\phi(\xi)) = \displaystyle \int_{\R^n} \widetilde{\Ft{f(x)}{\xi}} \phi(\xi) \dd \xi = \displaystyle \int_{\R^n} \dd \xi \
\displaystyle \int_{\R^n } \dd x \ e^{\im x\xi} f(x) \phi(\xi) \stackrel{\mbox{\scriptsize Fubini}}{=} $$
$$ =\displaystyle \int_{\R^n} \dd x \ f(x) \left( \displaystyle \int_{\R^n} \dd \xi \ e^{\im x\xi}\phi(\xi) \right) = \displaystyle \int_{\R^n} f(x) \Ft{\phi(\xi)}{x} \dd x = (f(x),\Ft{\phi(\xi)}{x}).$$
Ona poslední rovnost vychází právě z výše ukázaného.
\begin{remark}
Z Fourierovy transformace klasických funkcí plyne, že $\phi\in \SP \Rightarrow \Ft{\phi(x)}{\xi} \in \SP$. Dále pak z její spojitosti plyne fakt, že $\F$
(ve smyslu transformace zobecněných funkcí) mohu rozšířit na celý prostor $\SP'$ a není nutné se omezovat prostorem $L^1$.
\end{remark}
\begin{define}
Buď $f\in \SP'$. Pak {\bf Fourierovou transformací zobecněné funkce $f$} rozumíme:
$$ (\F[f],\phi) := (f,\F[\phi]). $$
\end{define}
\begin{remark}
Z předešlé poznámky plyne dobrý smysl definice, protože $\F[\phi] \in \SP$. Rovněž, z textu nahoře, vyplývá, že pokud $f\in \SP'$, tak pak i $\F[f] \in \SP'$.
\end{remark}
