Aktuální verze z 25. 12. 2019, 16:58

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01RMF}
\chapter{Integrální transformace}
Vybudovali jsme prostor zobecněných funkcí a pomalu směřujeme k řešení parciálních diferenciálních rovnic. Jak jsme viděli na konci minulé kapitoly, jsme na dobré cestě.
V této kapitole se tedy budeme věnovat integrálním transformacím, konkrétně Laplaceově a Fourierově, které, jak uvidíme, jsou velmi mocným a užitečným nástrojem.
Abychom s nimi mohli začít pracovat, je potřeba ještě vybudovat jistý speciální prostor a na něm zadefinovat speciální třídu zobecněných funkcí. 
 
 
\section{Motivace}
Na následujících několika řádcích a příkladech se pokusíme objasnit, proč je třeba revidovat naši definici zobecněných funkcí a proč je třeba vytvoření nějakého nového prostoru. 
Naší snahou a naším cílem je vytvoření takové struktury, která by byla uzavřená právě vůči integrálním transformacím, jako je například Fourierova transformace $\F$. 
Proto ji nyní poněkud neformálně zavedeme. Tato definice není zatím definitivní a je pouze pro účely této motivační sekce.
\begin{define}
Pod pojmem {\it Fourierova transformace $\F$} rozumíme zobrazení z prostoru $L^1(\R^n)$ takové, že 
pro $f\in L^1$ definujeme
$$\Ft{f(x)}{\xi}:= \displaystyle \int_{\R^n} e^{\im x\cdot \xi}f(x)\dd x.$$
\end{define}
 
\begin{remark}
V následujících poznámkách se budeme snažit ukázat některé vlastnosti $\F$, ze kterých vyplyne, že je skutečně nutné vytvářet nový prostor testovacích funkcí. 
\footnote{Ale není třeba se lekat. To, co jsme dosud vybudovali, nezahodíme, ale velmi účelně využijeme.}
\begin{enumerate}
\item {\it Je-li $f\in L^1$, pak $\Ft{f(x)}{\xi}$ je omezená funkce na $\R^n$}
\begin{proof}
Pro dokázání tohoto tvrzení stačí vyjít z definice:
$$ \left\vert \Ft{f(x)}{\xi} \right\vert = \left\vert  \displaystyle \int_{\R^n} e^{\im x\cdot \xi}f(x)\dd x \right \vert \leq 
\displaystyle \int_{\R^n} \underbrace{\left\vert e^{\im x\cdot \xi} \right\vert}_{=1}\left| f(x)\right| \dd x < + \infty$$
Poslední nerovnost plyne z faktu, že $f\in L^1$. 
\end{proof}
\item {Je-li $f\in L^1$, pak odtud neplyne, že $\Ft{f(x)}{\xi} \in L^1(\R^n)$}
\begin{proof}
$$\left| \displaystyle \int_{\R^n} \Ft{f(x)}{\xi} \dd \xi \right| = \left | \displaystyle \int_{\R^n} \dd \xi \displaystyle \int_{\R^n} \dd x e^{\im x\cdot \xi}f(x) \right| \leq
\displaystyle \int_{\R^n} \dd \xi \displaystyle \int_{\R^n} \dd x  \underbrace{\left\vert e^{\im x\cdot \xi} \right\vert}_{=1}  \underbrace{\left \vert f(x)\right\vert}_{<+\infty} = +\infty.$$
\end{proof}
Toto je možné samozřejmě ilustrovat konkrétním příkladem, ale nebudeme to dělat. Je to v podstatě zbytečné. Je důležité, že jsme objevili první nepříjemnou vlastnost námi definovaného zobrazení $\F$. 
Totiž nevíme, kam zobrazuje, resp. co je jeho oborem hodnot. Tento problém bude muset náš nový prostor nějak elegantně vyřešit. 
 
\item {\it Je-li $f\in L^1$ s kompaktním nosičem, pak odtud neplyne, že $\nf \Ft{f(x)}{\xi}$ je kompakt.}
 
Tuto vlastnost ukážeme na konkrétním příkladě. Za funkci $f(x)$ volme charakteristickou funkci intervalu $[0,1]$, tzn. $\chi_{[0,1]}(x)$. Pak 
$$\Ft{\chi_{[0,1]}}{\xi} = \displaystyle \int_0^1 e^{\im x\cdot \xi} \dd x = \displaystyle \int_0^1 \cos{x\xi} \dd x + \im \displaystyle \int_0^1 \sin{x\xi} \dd x = $$
$$ = \left[ \frac{1}{\xi} \sin{x\xi}\right]_0^1 -\im \left[ \frac{1}{\xi} \cos{x\xi}\right]_0^1  = \frac{1}{\xi} \sin \xi - \frac{\im}{\xi} (\cos \xi -1)$$
Tato funkce zcela určitě nemá omezený nosič.
\end{enumerate}
 
Vidíme tedy, že máme sice nějakou transformaci, ale nemůžeme ji použít na prostoru $\D'$, což bychom chtěli. Můžete namítat, že by možná bylo snazší najít jinou transformaci, 
ale vězte, že tato nám dává mocný nástroj pro výpočet fundamentálních řešení parciálních diferenciálních rovnic a navíc velmi zjednodušuje jejich řešení a usnadňuje výpočty konvolucí, neboť 
$$ \Ft{\frac{\dd}{\dd x}f(x)}{\xi} = C \xi \Ft{f(x)}{\xi}$$
$$ \Ft{f\ast g}{\xi}  = \Ft{f(x)}{\xi} \cdot \Ft{g(x)}{\xi}$$
Tedy zde vidíme sílu Fourierovy transformace. Ta převádí diferenciální problém na problém algebraický, nesrovnatelně jednodušeji řešitelný a konvoluci převádí na prosté násobení. 
K těmto vlastnostem časem dojdeme  a budou odvozeny. 
 
Nyní už jen pár vět k zamyšlení. Zkuste si zamyslet, proč obraz derivace při $\F$ vypadá tak, jak vypadá. Pokud budeme uvažovat nějaký lineární operátor $L =\frac{\dd}{\dd x}$ na nějakém 
vektorovém prostoru (třeba zde na prostoru funkcí), tak jeho vlastní funkce (vektory) splňují rovnici
$$ L f = \lambda f$$
a tedy $f(x) = c e^{\lambda x}$ pro libovolné $\lambda \in \C$. Pak bychom mohli tyto funkce považovat za jistou \uv{bázi} tohoto prostoru a zkoumat Fourierovy koeficienty v této bázi. 
Dostali bychom 
$$ \left \langle f, e^{\lambda x } \right \rangle  =\displaystyle \int_{\R} f(x) e^{\lambda x} \dd x$$
Zde už je vidět jistá silná podobnost s předpisem pro Fourierovu transformaci, a proto o ní můžeme tvrdit, že Fourierova transformace nezkoumá přímo chování prvku, ale chování jeho souřadnic v  nějaké bázi. 
\end{remark}
 
\section{Schwartzův prostor a prostor temperovaných zobecněných funkcí}
V minulé sekci jsme narazili na problém, že fourierovský obraz nějaké funkce nemusí být integrabilní. Proto zavedeme jeden pojem, který již, jak se později ukáže, tuto vlastnost zajistí. 
\begin{define}
Buď $f:\R^n \to \R$ reálná funkce. Pak tuto funkci nazveme 
\begin{enumerate}
\item {\bf rychle klesající}, právě když  $\forall \alpha \in \mathbb{Z}_+^n$ platí, že $\displaystyle \lim_{|x| \to +\infty} |x^{\alpha}f(x)| < + \infty $;
\item {\bf pomalu rostoucí}, právě když  $\exists \alpha \in \mathbb{Z}_+^n$ takové, že $\displaystyle \lim_{|x| \to +\infty} \left | \frac{f(x)}{x^{\alpha}} \right| < +\infty$.
\end{enumerate}
\end{define}
 
\begin{define}
O funkci $f$ řekneme, že je prvkem {\bf Schwartzova prostoru $\SP(\R^n)$}, právě když jsou splněny tyto podmínky
\begin{enumerate}
\item $f \in \Ci (\R^n)$;
 
\item $\forall \alpha,\beta \in \mathbb{Z}_+^n  \ \mathrm{sup}_{\R^n} \ |x^{\alpha}D^{\beta}f(x)| < +\infty$, tj. funkce a všechny její derivace jsou rychle klesající.
\end{enumerate}
\end{define}
 
\begin{remark}
$\SP$ je někdy též nazýván prostorem testovacích funkcí s otevřeným nosičem. 
\end{remark}
 
\begin{remark}
Právě o Schwartzově prostoru ukážeme, že $\F: \SP \to \SP$.
\end{remark}
 
\begin{remark}
V následují poznámce ukážeme dvě důležité inkluze týkající se Schwartzova prostoru.
\begin{enumerate}
\item $\SP \subset L^1$
 
Abychom toto ukázali, využijeme faktu, že $\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^{\alpha}} \dd x$ konverguje pro všechna $\alpha > 1$. Uvažujme nyní $\phi \in \SP(\R)$ 
\footnote{Obdobně opět pro libovolnou dimenzi. }. Pak z vlastností funkcí z $\SP$ plyne, že (volbou $\beta = 0$) $|x^{\alpha} \phi(x)| < K_{\alpha}$ pro všechna $x$ 
větší než nějaké hraniční $x_0(\alpha)$. Nyní speciálně volbou $\alpha =2$ máme odhad $|\phi(x)|\leq \frac{K}{x^2} \in L^1(x_0,+\infty)$. Využijeme při odhadování naší funkce:
$$ \displaystyle \int_{\R} |\phi(x)|\dd x =  \displaystyle \int_{-R}^{R} |\phi(x)| \ddx + \displaystyle \int_{-\infty}^{-R} |\phi(x)| \dd x + \displaystyle \int_{R}^{+\infty} |\phi(x)| \dd x < +\infty$$
Nyní první člen můžeme snadno odhadnout, neboť $\phi \in \Ci$ a integrujeme na kompaktu, tedy na množině, kde spojitá funkce nabývá svého maxima,  a pro zbylé dva použijeme odhad výše.
Tímto jsme ukázali, že tento integrál je konečný a tedy každá funkce ze Schwartzova prostoru $\SP$ je integrabilní. 
 
\item $\SP \supset \D$
 
Toto tvrzení je zřejmé.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
Jak jsme již zjistili, nejsme schopni zavést zobecněnou $\F$ na $\D'$, protože nemáme $\F:\D \to \D$. Ovšem pokud bychom měli znalost, že $\F: \SP \to \SP$, 
pak bychom byli schopni zavést $\F$ na duálním prostoru $\SP^{\sharp}$, což jsou veškeré lineární funkcionály nad $\SP$. Platí, že $\SP^{\sharp}\subset \D^{\sharp}$, 
protože funkcionál definovaný nad $\D$ nemusíme být schopni vůbec rozšířit na $\SP$. Jinak řečeno, zvětšením prostoru $\SP$ \uv{zmenšíme} definiční obor $\SP^{\sharp}$. 
Toto je onen klíčový krok, který nám umožní zavést $\F$ pro zobecněné funkce. Ovšem ne pro všechny. Bohužel. Ale pro veškeré zobecněné funkce z $\SP'$ ano. 
 
\begin{define}
Prostor lineárních spojitých funkcionálů nad $\SP(\R^n)$ nazveme {\bf prostorem temperovaných zobecněných funkcí (distribucí) $\SP'(\R^n)$}. 
\end{define}
Abychom mohli na tomto prostoru ověřovat spojitost daného funkcionálu, je potřeba mít zadefinovaný pojem konvergence v $\SP$. 
 
\begin{define}
Řekneme, že posloupnost $\{\phi_n\}_{n \in \mathbb{N} } \subset \SP$ {\bf konverguje k $\phi \in \SP$ v $\SP$}, označujeme $\phi_n \kS \phi$, právě když
$$ \forall \alpha,\beta \in \mathbb{Z}_{+}^{n} \ x^{\alpha} D^{\beta} \phi_n \sk{\R^n} x^{\alpha} D^{\beta} \phi.$$
\end{define}
 
\begin{lemma}
Buďte $\{\phi_n\}_{n \in \mathbb{N} } \subset \D$, $\phi \in \D$ a nechť $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} \phi$. Pak $\phi_n \kS \phi$. 
\begin{proof}
Jelikož platí, že $\SP \supset \D$, jsou $\phi_k, \phi \in \SP$. Připomeňme, co znamená konvergence v $\D$. 
$\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} \phi$, právě když $\exists R>0$ takové, že $\forall k\in \mathbb{N}$ platí, že $\nf \phi_k \subset B_R(0)$ 
a zároveň $\forall \alpha \in \mathbb{Z}_{+}^{n}$ platí, že  $D^{\alpha} \phi_k \sk{\R^n} D^{\alpha}\phi$. 
 
Chceme ukázat, že $\forall \alpha,\beta \in \mathbb{Z}_{+}^{n} \ x^{\alpha} D^{\beta} \phi_n \sk{\R^n} x^{\alpha} D^{\beta} \phi$. 
Odhadneme výraz nalevo, tj. $|x^{\alpha} D^{\beta} \phi_n |\leq |R^n D^{\beta} \phi_n |$, což je funkce, která stejnoměrně konverguje dle předpokladu. 
Tento odhad jsme mohli udělat, protože funkce $\phi_n$ mají support omezený koulí $B_R(0)$ a tedy je možné $x^{\alpha}$ omezit $R^{\alpha}$. 
To, že výsledná funkce je funkcí, kterou si přejeme získat, plyne z bodové konvergence.
\end{proof}
 
Pomocí tohoto lemmatu nyní dokážeme, že prostor $\SP'$ je obsažen v $\D'$. Zároveň při tom využijeme toho, že $\SP \supset \D$ a $\SP^{\sharp} \subset \D^{\sharp}$. 
 
\begin{lemma}
$\SP' \subset \D'$. To znamená, že $f\in \SP' \Rightarrow f\in \D'$. 
\begin{proof}
Buď $f \in \SP'$. Chceme ukázat, že $f\in \D'$, to ale znamená ověřit linearitu a spojitost. Linearita je zjevná. 
Pro ověření spojitosti volme posloupnost $\phi_k \stackrel{\D}{\longrightarrow} \phi$. Platí pak, že $(f,\phi_k) \to (f,\phi)$ jako číselná posloupnost?
 Dle předešlého lemmatu platí, že  $\phi_k \kS \phi$. Ze spojitosti funkcionálu $f \in \SP'$ pak ale plyne, že  konverguje číselná posloupnost $(f,\phi_k) \to (f,\phi)$, což bylo dokázat. 
\end{proof}
\end{lemma}
 
Co nám tento důsledek říká? Už víme, že každá temperovaná zobecněná funkce je zobecněná funkce ve smyslu dříve definovaném. Neříká nám ale nic o tom, jestli jsou tyto zobecněné funkce regulární.
Toto nemusí být pravda. Regulární zobecněná funkce nemusí být temperovanou zobecněnou funkcí. Abychom toto demonstrovali, uvažujme zobecněnou regulární funkci $\widetilde{e^{x^2}}$. 
Kdyby byla $\widetilde{e^{x^2}}\in \SP'$, dávala by pro libovolnou $\phi \in \SP$ konečné číslo.  Nyní berme $ \phi(x)= e^{-x^2}\in \SP$. Pak 
$$\left(\widetilde{e^{x^2}},\phi(x) \right) = \left(\widetilde{e^{x^2}}, e^{-x^2} \right) = \displaystyle \int_{\R} e^{x^2}e^{-x^2} \dd x = +\infty .$$
 
\begin{remark }
Díky inkluzi $\SP' \subset \D'$ máme k dispozici veškeré operace zavedené na $\D'$. Jedná se o derivaci, násobení hladkou funkcí, regulární transforamci, limitu, konvoluci a tensorový součin. 
Je ale potřeba ukázat, že $\SP'$ je vůči těmto operacím uzavřený. Tato vlastnost nám pak zaručí uzavřenost (později definované) $\F$ nad $\SP'$. 
\end{remark}
 
\begin{theorem}
Prostor $\SP'$ je uzavřen vůči výše jmenovaným operacím s výjimkou násobení hladkou funkcí. Vlastnosti těchto operací se zachovávají. 
\begin{proof}
Vizte [Šťovíček]. Jako cvičení je možné si samostatně ukázat např. uzavřenost vůči derivaci. Dokazování uzavřenosti konvoluce a tensorového součinu je náročné. 
\end{proof}
\end{theorem}
 
\subsubsection{Násobení v $\SP'$}
Operace násobení hladkou funkcí tak, jak je definována na $\D'$, není  v $\SP'$ dobře použitelná. Připomeňme její definici. Uvažujme $a\in \Ci$, $f\in \D'$ pak $a\cdot f$ jsme definovali: 
$ (a(x)\cdot f(x),\phi(x)):= (f(x),a(x)\phi(x))$. Využívali jsme toho, že $a(x)\phi(x)\in \D$. Toto ale pro $\SP$ nefunguje. Uvažujme například (opět)
$a(x) = e^{x^2} \in \Ci$ a $\phi(x)  = e^{-x^2} \in \SP$. Pak $a(x)\phi(x) =1 \notin \SP$. Proto na funkci $a$ potřebujeme uvalit další podmínku. 
Jeví se jako nejpřirozenější požadovat, aby byla pomalu rostoucí se všemi svými derivacemi. 
 
\begin{theorem}
Buď $a \in \Ci$  a nechť je dále $a$ pomalu rostoucí se všemi svými derivacemi. Pak $af \in \SP'$ pro libovolné $f\in \SP'$.
\begin{proof}
Je třeba opět ověřit linearitu a spojitost. Linearita je očividná. Zbývá tedy ukázat, že pro $\phi_k \kS 0$ platí, že $(af,\phi_k)\to 0$. 
To, že posloupnost konverguje, říká jen to, že $\forall \alpha,\beta \in \mathbb{Z}_{+}^{n} \ x^{\alpha} D^{\beta} \phi_k \sk{\R^n} 0$. 
My musíme vyzkoumat konvergenci výrazu $a\phi_k$. Pokud ukážeme, že $a\phi_k \kS 0$, pak dostaneme ze spojitosti $f$ informaci, že $(f, a\phi_k) \to 0$, což dokáže toto tvrzení. 
Musíme tedy ukázat, že $\forall \alpha,\beta \in \mathbb{Z}_{+}^{n} \ x^{\alpha} D^{\beta} a\phi_k \sk{\R^n} 0$. Zde ale jen stačí vhodně použít Leibnizovo pravidlo a máme hotovo. 
Využíváme pak jenom toho, že díky hladkosti můžeme $a$ odhadnout na libovolném kompaktu konstantou a v $\pm \infty$ je $a$ díky tomu, že je pomalu rostoucí, odhadnutelná polynomem. 
 
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{define}
O zobecněné funkci $f$ řekneme, že patří do {\bf prostoru $\SP'_{reg}$}, právě když je $f$ jako zobecněná funkce regulární, tj. $f\in \D'_{reg}$ a pokud je její generátor, tj. klasická funkce $f$, pomalu rostoucí.
\end{define}
 
\begin{remark}
Zřejmě $\SP'_{reg} \subset \SP' \cap \D'_{reg}$. 
\end{remark}
 
Měli bychom ověřit, že naše definice dává dobrý smysl. Mějme tedy $f\in L^1_{loc}$ (a tedy $f$ jako zobecněná funkce náleží do $\D'_{reg}$). 
Buď navíc $f$ pomalu rostoucí, tj. $\exists \alpha^{\ast} \in \mathbb{Z}_+^n$ tak, že  $\displaystyle \lim_{x\to \pm \infty} \left| \frac{f(x)}{x^{\alpha^{\ast}}} \right| < +\infty$. 
Nyní buď $\phi \in \SP$, pak máme
$$(f,\phi):= \displaystyle \int_{\R} f(x)\phi(x) \dd x = \displaystyle \int_{-R}^{R} f(x)\phi(x) \ddx + \displaystyle \int_{-\infty}^{-R} f(x)\phi(x) \dd x + \displaystyle \int_{R}^{+\infty} f(x)\phi(x)\dd x$$
První člen je opět integrál přes kompaktní množinu, tzn. funkce $\phi$ na ní nabývá svého maxima, kterým ji můžeme odhadnout. Funkce $f$ je navíc lokálně integrabilní, takže první člen máme odhadnutý. 
Zbývá provést odhad na zbylé dva členy. Vzhledem k jejich symetrii odhadneme pouze jeden z nich. Využijeme přitom toho, že $f$ je pomalu rostoucí. Z této vlastnosti totiž plyne, že existuje takové $C$, že  $\forall  x>R \ |f(x)| \leq C x^{\alpha^{\ast}}$. Pak ale máme odhad
$$\displaystyle \int_{R}^{+\infty} f(x)\phi(x)\dd x \leq \displaystyle \int_{R}^{+\infty} |f(x)\phi(x)|\dd x \leq \displaystyle \int_{R}^{+\infty} C |x^{\alpha^{\ast}}\phi(x)|\dd x <+\infty$$
Na závěr jsme využili faktu, že  $x^{\alpha^{\ast}}\phi(x) \in \SP \subset L^1(\R)$. 
Tímto jsme ukázali, že naše definice dává dobrý smysl, neboť výsledek působení funkce $f\in \SP'_{reg}$ na libovolnou $\phi \in \SP$ je konečný. Linearita a spojitost jsou jasné.
 
\section{Fourierova transformace na $\SP$}
\begin{define}
Buď $\phi \in \SP(\R^n)$. Pak Fourierovou transformací $\F$ rozumíme zobrazení 
$$ \F: \phi(x) \mapsto \Ft{\phi(x)}{\xi} := \displaystyle \int_{\R^n} e^{\im x\cdot\xi}\phi(x) \dd x.$$
\end{define}
\begin{remark}
Někdy budeme pro zjednodušení zápisu psát místo $\Ft{\phi(x)}{\xi}$ jen $\widehat{\phi}(\xi)$. \footnote{Na přednáškách se značilo oběma způsoby, já budu používat jediný.}
\end{remark}
\begin{remark}
Jelikož je $\SP \subset L^1$, víme již o $\F$ následující: 
\begin{enumerate}
\item $\Ft{\phi(x)}{\xi}$ je omezená, tzn. integrál konverguje absolutně;
\item Můžeme snadno zaměňovat limitu a integrál, neboť ten je snadno majorizovatelný. Odtud ale plyne, že funkce $\Ft{\phi}{\xi}$ je spojitá. 
\end{enumerate}
\end{remark}
Nyní si dokážeme dvě elementární tvrzení, která jsou ale zcela klíčová pro použití Fourierovy transformace
\begin{theorem}[Chování vůči derivaci]
Buď $\phi \in \SP$. Pak platí
\begin{enumerate}
\item 
$$ \frac{\partial}{\partial \xi} \Ft{\phi(x)}{\xi} = \Ft{(\im x) \phi(x)}{\xi};   $$
\item
$$ \Ft{\frac{\dd}{\dd x}\phi(x)}{\xi}  =(-\im \xi) \Ft{\phi(x)}{\xi}.$$
\end{enumerate}
\begin{proof}
Dokážeme obě tvrzení pro jednoduchost pouze pro $\R$:
$$ \frac{\partial}{\partial \xi} \Ft{\phi(x)}{\xi} = \frac{\partial}{\partial \xi} \displaystyle \int_{\R} e^{\im x \cdot \xi} \phi(x) \dd x = \displaystyle \int_{\R} (\im x)e^{\im x \cdot \xi}\phi(x) \dd x = \Ft{(\im x) \phi(x)}{\xi}$$ 
Přitom jsme  využili faktu, že $\left| (\im x)e^{\im x \cdot \xi}\phi(x) \right| \leq |\im x \phi(x)| \in \SP \subset L^1(\R)$. Jelikož jsme dokázali odhadnout derivaci, mohli jsme použít větu o záměně
derivace a integrálu. 
 
Druhé tvrzení se dokáže obdobně:
$$ \Ft{\frac{\dd}{\dd x}\phi(x)}{\xi}  = \displaystyle \int_{\R} e^{\im x \cdot \xi} \frac{\dd}{\dd x}\phi(x) \dd x \stackrel{\mbox{\scriptsize per partes}}{=} 
\underbrace{\left[ e^{\im x \cdot \xi} \phi(x) \right]_{-\infty}^{+\infty}}_{=0 \ (\phi\in \SP)} - (\im \xi) \displaystyle \int_{\R} e^{\im x \cdot \xi} \phi(x) \dd x = - (\im \xi) \Ft{\phi(x)}{\xi}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
Je jasné, že obě tvrzené lze rozšířit pro libovolnou derivaci, tj. 
$$ D^{\alpha}_{\xi} \Ft{\phi(x)}{\xi} = \Ft{(\im x)^{\alpha}\phi(x)}{\xi};$$
$$ \Ft{D^{\alpha}_{x}\phi(x)}{\xi}  =(-\im \xi)^{\alpha} \Ft{\phi(x)}{\xi}.$$
\end{remark}
 
Za pomoci těchto dvou tvrzení dokážeme následující důležitou větu. K jejímu důkazu ještě navíc využijeme faktu, že pokud $\phi \in \SP$, pak také $x^{p}\phi(x) \in \SP$ pro $p \in \mathbb{N}$. 
 
\begin{theorem}
Prostor $\SP$ je invariantní vůči $\F$, tj. $\F: \SP \to \SP$.
\begin{proof}
Chceme ukázat, že pokud $\phi \in \SP$, tak pak $\Ft{\phi(x)}{\xi} \in \SP$. Abychom toto ukázali, musíme ukázat, že $\forall \alpha ,\beta \in \mathbb{Z}^n_{+}$ $\sup_{\R} \left| \xi^{\alpha} D^{\beta} \Ft{\phi(x)}{\xi}\right| <+ \infty$. 
Na výraz uvnitř závorek nejdříve použijeme první tvrzení, tj. $\left| \xi^{\alpha} D^{\beta} \Ft{\phi(x)}{\xi}\right| = \left|\xi^{\alpha} \Ft{(\im x)^{\beta}\phi(x)}{\xi}\right|$. Následně 
využijeme druhého tvrzení, tj. $\left|\xi^{\alpha} \Ft{(\im x)^{\beta}\phi(x)}{\xi}\right| = \left |\Ft{D^{\alpha}_x (x^{\beta}\phi(x))}{\xi} \right| < +\infty.$ To, že je výraz menší než nekonečno 
plyne z toho, že $D^{\alpha}_x (x^{\beta}\phi(x)) \in \SP$ a již víme, že $\F$ je omezená na tomto prostoru. 
\end{proof}
\end{theorem}
 
V následující části budou postupně dokazovány různé užitečné vlastnosti Fourierovy transformace. 
\begin{theorem}
Fourierova transformace jako zobrazení $\F:\SP \to \SP$ je spojité zobrazení. 
\begin{proof}
Bereme posloupnost $\phi_n(x) \kS 0$. Zajímá nás, jestli odtud plyne, že konverguje rovněž $\Ft{\phi_n(x)}{\xi} \kS 0$. 
To, že posloupnost $\phi_n$ konverguje v $\SP$ k 0 znamená, že $\forall \alpha,\beta \ x^{\alpha}D^{\beta} \phi_n \sk{\R^n}0$.
Označme 
$$\psi ^{\alpha,\beta}_n := D^{\alpha}_x ((\im x)^{\beta}\phi_n(x)).$$ 
Pak tato posloupnost rovněž stejnoměrně konverguje k 0 na $\R^n$. Tento fakt vychází z předpokladu konvergence posloupnosti $\phi_n$ a vlastností derivace a násobení. 
Nyní nám stačí prozkoumat, jestli v $\SP$ konverguje k 0 posloupnost $\F[\psi ^{\alpha,\beta}_n]$. 
Toto pak totiž bude znamenat, že $\forall \alpha, \beta : \ \xi^{\alpha}D^{\beta} \F[\phi_n(x)](\xi) \sk{\R^n}0$.
Zkoumejme tedy 
$$\left | \Ft{\psi ^{\alpha,\beta}_n}{\xi}  \right| = \left| \displaystyle \int_{\R^n} e^{\im x \cdot \xi} \psi ^{\alpha,\beta}_n(x) \dd x \right| \leq 
\displaystyle \int_{\R^n} \left| \psi ^{\alpha,\beta}_n (x)\right| \dd x $$
Získali jsme tedy odhad nezávislý na $\xi$. Nyní proto prozkoumáme limitu $\forall \xi \in \R^n$:
$$ \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \displaystyle \int_{\R^n} \left| \psi ^{\alpha,\beta}_n (x)\right| \dd x = \displaystyle \int_{\R^n} \displaystyle \lim_{n \to +\infty}  \left| \psi ^{\alpha,\beta}_n (x)\right| \dd x = 0$$
Poslední rovnost plyne ze stejnoměrné konvergence posloupnosti $\psi ^{\alpha,\beta}_n$. Tímto jsme dokázali stejnoměrnou konvergenci Fourierových obrazů a tedy jsme ukázali, že Fourierova transformace převádí konvergentní posloupnost na konvergentní posloupnost, a tedy se jedná o spojité zobrazení. 
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}[Posuny v argumentech]
Buď $\phi \in \SP(\R^n)$ a nechť $b\in \R^n$ a $c \in \mathbb{C}$. Pak 
\begin{enumerate}
\item 
$$\Ft{\phi(x)}{\xi +b} = \Ft{e^{\im bx} \phi(x)}{\xi};$$
\item 
$$ e^{\im b\xi}\Ft{\phi(x)}{\xi} = \Ft{\phi(x-b)}{\xi};$$
\item
$$\Ft{\phi(cx)}{\xi} = \frac{1}{|c|^n} \Ft{\phi(x)}{\frac{\xi}{c}}.
\end{enumerate}
 
\begin{proof}
Důkaz je zřejmý. Ve všech případech se využívá jen definice a substituce v integrálu. Ukažme pro ilustraci třeba třetí tvrzení:
$$\Ft{\phi(cx)}{\xi} = \displaystyle \int_{\R^n} e^{\im x \cdot \xi} \phi(cx) \dd x = \frac{1}{|c|^n} \displaystyle \int_{\R^n} e^{\im y \cdot \frac{\xi}{c}}\phi(y) \dd y = \frac{1}{|c|^n} \Ft{\phi(x)}{\frac{\xi}{c}}.$$
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{define}
{\bf Částečnou Fourierovou transformaci} definujeme pro $\phi\in \SP(\R^{n+m})$ takto:
$$\F_x[\phi(x,y)](\xi,y) := \displaystyle \int_{\R^n} e^{\im x \cdot \xi}\phi(x,y) \dd x;$$
$$ \F_y[\phi(x,y)](x,\xi) := \displaystyle \int_{\R^m} e^{\im y\cdot \xi}\phi(x,y) \dd y.$$
\end{define}
 
\begin{theorem}[o částečné Fourierově transformaci]
Platí:
\begin{enumerate}
\item $$\F_x \circ \F_y = \F_y \circ \F_x = \F;$$
\item $$D^{\alpha}_{\xi} \F_x \left[\phi(x,y)\right](\xi,y) = \F_x \left[(\im x)^{\alpha} \phi(x,y)\right](\xi,y);$$
\item $$\F_x\left[D^{\alpha}_{x} \phi(x,y)\right] (\xi,y) = (-\im \xi)^{\alpha} \F_x[ \phi(x,y)](\xi,y).$$
\end{enumerate}
\begin{proof}
První tvrzení plyne okamžitě z Fubiniovy věty. Druhé a třetí se dokazují stejně, jako bylo výše uvedeno. 
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Obdobná tvrzení platí i pro $\F_y$. 
\end{remark}
 
\begin{theorem}[o konvoluci]
Buďte $\phi,\psi \in \SP$. Pak 
$$\Ft{\phi \ast \psi}{\xi} = \Ft{\phi(x)}{\xi} \!\cdot \! \Ft{\psi(x)}{\xi}.$$
\begin{proof}
$$\Ft{\phi \ast \psi}{\xi} = \displaystyle  \int_{\R^n} e^{\im x \cdot \xi} (\phi \ast \psi)(x) \dd x = \displaystyle  \int_{\R^n}\dd x  \ e^{\im x \cdot \xi} \displaystyle  \int_{\R^n} \dd y \ \phi(y) \psi (x-y) = $$
Zde jsme použili definici konvoluce. Nyní můžeme použít Fubiniovu větu ($\phi, \psi \in \SP \subset L^1$) a pomocí substituce $x-y=z$ můžeme přejít od souřadnic $x,y$ k $y,z$ a výraz dále upravit
$$ = \displaystyle  \int_{\R^{2n}} \dd x \dd y \ e^{\im x \cdot \xi} \phi(y) \psi (x-y) = \displaystyle  \int_{\R^{2n}} \dd y \dd z \ e^{\im (y+z) \cdot\xi} \phi(y) \psi (z) = $$
$$= \displaystyle  \int_{\R^n} e^{\im y \cdot \xi}\phi(y) \dd y \cdot \displaystyle  \int_{\R^n} e^{\im z\cdot \xi}\psi(z) \dd z =  \Ft{\phi(x)}{\xi} \! \cdot \! \Ft{\psi(x)}{\xi}$$
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
Buďte $\phi,\psi \in \SP$. Pak 
$$ \displaystyle \int_{\R} \phi(x) \Ft{\psi(y)}{x} \dd x = \displaystyle \int_{\R} \Ft{\phi(y)}{x} \psi(x) \dd x.$$
\begin{proof}
$$ \displaystyle \int_{\R} \phi(x) \Ft{\psi(y)}{x} \dd x = \displaystyle \int_{\R} \dd x \ \phi(x)  \int_{\R} \dd y \ e^{\im y\cdot x}\psi(y) \stackrel{\mbox{\scriptsize Fubini}}{=} 
\displaystyle \int_{\R} \dd x \ \psi(x)  \int_{\R} \dd y \ e^{\im y\cdot x}\phi(y) = \displaystyle \int_{\R} \Ft{\phi(y)}{x} \psi(x) \dd x$$
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
Zkuste se zamyslet, jak je v tomto případě možné zeslabit předpoklady na funkce $\phi, \psi$. Předpoklad, aby byly z prosotru $\SP$ je totiž docela silný. 
To, jaké jsou tedy podmínky na tyto funkce, vyplývá přímo z předpokladů Fubiniovy věty, která je v důkazu použita.
\end{remark}
 
\begin{theorem}
\label{o_bijekci}
$\F: \SP(\R^n) \to \SP(\R^n)$ je bijekce a navíc platí, že $\F^{-1} = \frac{1}{(2\pi)^n} \bar{\F}$, kde 
$$\bar{\F}[\phi(x)](\xi):= \displaystyle \int_{\R^n} e^{-\im x \cdot \xi}\phi(x) \dd x.$$
\begin{proof}
Důkaz tohoto tvrzení provedeme ve chvíli, kdy budeme znát $\F: \SP' \to \SP'$.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
Fourierovu transformaci lze zavést mnoha způsoby, resp. princip je zcela totožný, jen se mění \uv{rozdistribuování} konstanty $\frac{1}{(2\pi)^n}$.
\end{remark}
 
\begin{theorem}[Riemann-Lebesgueovo lemma]
Buď $\phi \in \SP$. Pak $\displaystyle \lim_{\xi \to + \infty} \Ft{\phi(x)}{\xi} = 0$. 
\begin{proof}
Tvrzení věty je okamžitým důsledkem Riemann-Lebesgueova lemmatu z klasické analýzy.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\noindent {\bf Příklad}
 
\noindent Tento příklad se korektně (pomocí integrace v komplexní rovině) vyřeší na cvičeních, ale je vhodné si jej zde uvést. 
$$\Ft{e^{-x^2}}{\xi} = \displaystyle \int_{\R} e^{\im x \xi} e^{-x^2} \dd x = \sqrt{\pi} e^{- \frac{\xi ^2}{4}}.$$
Zkoumejme nyní výraz $\Ft{e^{-(cx)^2}}{\xi} = \frac{1}{c} \Ft{e^{-x^2}}{\frac{\xi}{c}} = \frac{\sqrt{\pi}}{c} e^{- \frac{\xi ^2}{4c^2}} $. 
Zvolíme-li za $c = \frac{1}{\sqrt{2}}$, máme $\Ft{e^{-\frac{x^2}{2}}}{\xi} = \sqrt{\frac{\pi}{2}}  e^{-\frac{x^2}{2}}$. 
Toto ale neznamená nic jiného, než že jsme našli vlastní funkci  operátoru $\F$ a jemu příslušné vlastní číslo. 
 
\section{Fourierova transformace na $\SP'$}
\subsection{Motivace}
Uvažujme funkci $f \in L^1(\R)$. Pak už víme, že existuje $\Ft{f(x)}{\xi}$, která je omezená a spojitá. Díky omezenosti je ale funkce $\frac{1}{1+\xi^2}\Ft{f(x)}{\xi} \in L^1(\R)$. 
Pak ale můžeme tvrdit (dokonce jsme to tímto krokem ukázali), že funkce $\Ft{f(x)}{\xi}$ je pomalu rostoucí. Tudíž funkce $\widetilde{\Ft{f(x)}{\xi}} \in \SP'_{reg}$. 
Tohoto využijeme. 
 
Buď tedy $\phi \in \SP$ a nechť $\widetilde{\Ft{f(x)}{\xi}} \in \SP'_{reg}$. Pak 
$$ (\widetilde{\Ft{f(x)}{\xi}},\phi(\xi)) = \displaystyle \int_{\R^n} \widetilde{\Ft{f(x)}{\xi}} \phi(\xi) \dd \xi = \displaystyle \int_{\R^n} \dd \xi \ 
\displaystyle \int_{\R^n } \dd x \ e^{\im x\xi} f(x) \phi(\xi) \stackrel{\mbox{\scriptsize Fubini}}{=} $$ 
$$ =\displaystyle \int_{\R^n} \dd x \ f(x) \left( \displaystyle \int_{\R^n} \dd \xi \  e^{\im x\xi}\phi(\xi) \right) =  \displaystyle \int_{\R^n} f(x) \Ft{\phi(\xi)}{x} \dd x = (f(x),\Ft{\phi(\xi)}{x}).$$
Ona poslední rovnost vychází právě z výše ukázaného. 
 
\begin{remark}
Z Fourierovy transformace klasických funkcí plyne, že $\phi\in \SP \Rightarrow \Ft{\phi(x)}{\xi} \in \SP$. Dále pak z její spojitosti plyne fakt, že $\F$ 
(ve smyslu transformace zobecněných funkcí) mohu rozšířit na celý prostor $\SP'$ a není nutné se omezovat prostorem $L^1$. 
\end{remark}
 
\begin{define}
Buď $f\in \SP'$. Pak {\bf Fourierovou transformací temperované distribuce $f$} rozumíme:
$$ (\F[f],\phi) := (f,\F[\phi]) \ \forall \phi \in \SP$$
\end{define}
 
\begin{remark}
Z předešlé poznámky plyne dobrý smysl definice, protože $\F[\phi] \in \SP$.
 
\begin{remark}
Uvažujme $f\in \SP'$ a $\phi \in \SP$. Pak podle definice je $(\F[f],\phi) := (f,\F[\phi])$. Jelikož ale víme, že $\F$ je na $\SP$ spojité zobrazení, znamená to, 
že převede libovolnou konvergentní posloupnost $\phi_n$ na konvergentní posloupnost $\F[\phi_n]$. Díky spojitosti $f$ víme, že $(f,\F[\phi_n])$ bude konvergentní číselná posloupnost. 
Tímto jsme ale dokázali, že $\F[f]$ je spojitý funkcionál na $\SP$. Je zjevně rovněž lineární, tedy jsme ukázali, že $\F[f] \in \SP'$. 
Tedy $\F: \SP' \to \SP'$. 
\end{remark}
 
Fourierovu transformaci jsme již zavedli na $L^1$, $\SP$ a $\SP'$. Tyto znalosti nám pomohou řešit příklady, které bychom jinak nedokázali spočítat. Například mějme $\Theta(x)$. Fourierův obraz této funkce bychom nedokázali spočítat, ale jelikož $\Theta(x) \in \SP'$ ve smyslu zobecněné funkce, je možné zjistit takto její Fourierův obraz. 
 
Následující příklad ukáže, že nemůžeme obecně nic tvrdit o nosiči Fourierova obrazu. Chceme spočítat $\Ft{\delta_{x_0}}{\xi}$. Je zřejmé, že $\delta_{x_0} \in \SP'$. 
 
$$ (\F[\delta_{x_0}], \phi(\xi)) = (\delta_{x_0}, \F[\phi(\xi)](x)) = \left \Ft{\phi(\xi)}{x_0} = \left. \int_{\R^n} e^{\im x_0 \xi} \phi(\xi) \dd \xi \right|_{x=x_0}=$$
$$ = \displaystyle \int_{\R^n} e^{\im x_0 \xi} \phi(\xi) \dd \xi = (\widetilde{e^{\im x_0 \xi}} ,\phi )$$
V poslední úpravě jsme si všimli toho, že to není nic jiného, než definice akce zobecněné regulární funkce (v našem případě temperované) na funkci $\phi$. 
Tedy jsme nalezli Fourierův obraz Diracovy delta funkce:
$$ \Ft{\delta_{x_0}}{\xi} = e^{\im x_0 \xi} $$
Je odtud taky vidět, že Fourierova transformace převedla jednobodový nosič na celé $\R^n$.
 
\subsection{Vlastnosti $\F$ na $\SP'$}
 
Následující část bude věnována vlastnostem Fourierovy transformace na $\SP'$. Tvrzení jsou vesměs zcela identická jako v předešlé podkapitole, důkazy jsou opět jednoduché. Jejich základním 
principem je využití příslušné dané vlastnosti u funkcí z $\SP$. 
 
\begin{theorem}[o derivaci]
Buď  $f \in \SP'$. Pak 
\begin{enumerate}
\item 
$$ D^{\alpha}_{\xi} \Ft{f(x)}{\xi} = \Ft{(\im x)^{\alpha}f(x)}{\xi};$$
\item
$$ \Ft{D^{\alpha}_{x}f(x)}{\xi}  =(-\im \xi)^{\alpha} \Ft{f(x)}{\xi}.$$
\end{enumerate}
\begin{proof}
Buď $\phi \in \SP$ libovolné. Pak
$$ ( D^{\alpha}_{\xi} \Ft{f(x)}{\xi}, \phi(\xi) ) = (-1) ^{|\alpha|} (\Ft{f(x)}{\xi},  D^{\alpha}_{\xi} \phi(\xi)) = (-1) ^{|\alpha|} (f(x), \Ft{D^{\alpha}_{\xi} \phi(\xi)}{x}) =$$
$$ = (-1) ^{|\alpha|} (f(x), (-\im x)^{\alpha} \Ft{\phi(\xi)}{x}) = (f(x) (\im x)^{\alpha} , \Ft{\phi(\xi)}{x} ) = (\Ft{(\im x)^{\alpha}f(x)}{\xi}, \phi(\xi))$$
Druhé tvrzení se dokáže zcela analogicky.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
$\F: \SP' \to \SP'$ je spojité zobrazení.
\begin{proof}
O tom, že $\F: \SP' \to \SP'$ jsme se již přesvědčili. Nyní zbývá ukázat spojitost. 
Mějme tedy posloupnost $\{f_k\} \subset \SP'$, $f \in \SP'$ a nechť $f_k \to f$ v $\SP'$.  Toto znamená, že $\forall \phi \in \SP$ je $\displaystyle \lim_{k\to + \infty} (f_k,\phi) = (f,\phi)$. 
Chceme ukázat, že odtud plyne $\F[f_k] \to \F[f]$. Zkoumejme tedy
$$ \displaystyle \lim_{k\to + \infty} (\Ft{f_k}{\xi},\phi(\xi))= \displaystyle \lim_{k\to + \infty} (f_k(x),\Ft{\phi(\xi)}{x}) =(f(x),\Ft{\phi(\xi)}{x}) = (\F[f],\phi)$$
V důkazu jsme využili toho, že $\Ft{\phi(\xi)}{x}\in \SP$ a spojitosti $f$. 
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
Buď $f \in \SP'(\R^n)$ a nechť $b\in \R^n$ a $c \in \mathbb{C}$. Pak 
\begin{enumerate}
\item 
$$\Ft{f(x)}{\xi +b} = \Ft{e^{\im bx} f(x)}{\xi};$$
\item 
$$ e^{\im b\xi}\Ft{f(x)}{\xi} = \Ft{f(x-b)}{\xi};$$
\item
$$\Ft{f(cx)}{\xi} = \frac{1}{|c|^n} \Ft{f(x)}{\frac{\xi}{c}}.
\end{enumerate}
\begin{proof}
Ukážeme pouze první tvrzení, zbylá dvě se dokazují zcela analogicky.
Zajímá nás opět působení na libovolnou funkci $\phi \in \SP$. 
$$(\Ft{f(x)}{\xi +b},\phi(\xi)) = (\Ft{f(x)}{\xi},\phi(\xi -b)) = (f(x),\Ft{\phi(\xi -b)}{x} = $$
$$= (f(x), e^{\im bx } \Ft{\phi(\xi)}{x}) = (\Ft{e^{\im bx} f(x)}{\xi},\phi(\xi))$$
Opět jsme jen ve třetí rovnosti využili analogie tohoto tvrzení v $\SP$. 
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{define}
{\bf Částečnou Fourierovu transformaci} definujeme pro $\forall f\in \SP'(\R^{n+m})$ a $\forall \phi \in \SP(R^{n+m})$ takto:
 
$$(\F_x[f(x,y)](\xi,y),\phi(\xi,y)) := (f(x,y), \F_x[\phi(\xi,y)](x,y))$$
Obdobně pro $\F_y$.
\end{define}
 
\begin{theorem}[o částečné Fourierově transformaci]
Platí:
\begin{enumerate}
\item $$\F_x \circ \F_y = \F_y \circ \F_x = \F;$$
\item $$\F_x [f(x) \ts g(y)](\xi,y) = \F_x[f(x)](\xi) \ts g(y);$$
\item $$\F_y [f(x)\ts g(y)](x,\eta) = f(x) \ts \F_y[g(y)](\eta);$$
\item $$ \Ft{f(x)\ts g(y)}{\xi,\eta} = \F_x[f(x)](\xi) \ts \F_y[g(y)](\eta).$$
\end{enumerate}
\begin{proof}
Důkazy jsou zřejmé, využívá se opět jen vlastností z předešlé sekce a definice tensorového součinu.
\end{proof}
\end{theorem}
 
Nyní spočítáme jeden na první pohled zvláštní příklad. Znalost jeho výsledku nám ale pomůže s důkazem další věty.
Určíme totiž $\Ft{1}{\xi}$. 
 
\noindent Uvědomme si nejprve, že $\F$ je lineární jak v $\SP$, tak i v $\SP'$. Proto zcela jistě platí, že 
$$ 0 = \Ft{0}{\xi} = \Ft{\frac{\dd}{\dd x}1}{\xi} = (-\im \xi)\Ft{1}{\xi}.$$
Nyní se odvoláme na větu \ref{o_reseni_rce} z předešlé kapitoly, která tvrdí, že pokud $0= xf(x)$ v $\D'$, pak $f(x)= C \delta(x)$. 
Maje tyto dvě znalosti, můžeme psát, že $\im \F[1] = C\delta$, což ještě můžeme přeznačit na $\F[1]= c\delta   \in \SP'$. Zbývá nám určit konstantu $c$. 
Využijeme k tomu jednoho předešlého výsledku.
$$ (\F[1](\xi),e^{-\xi^2}) = (c\delta(\xi), e^{-\xi^2}) = c$$
Zároveň víme, že
$$ (\F[1](\xi),e^{-\xi^2}) = (1, \underbrace{\Ft{e^{-\xi^2}}{x}}_{= \sqrt{\pi}e^{-\frac{x^2}{4} }} ) = \sqrt{\pi} \displaystyle \int_{\R} e^{-\frac{x^2}{4}} \dd x = \sqrt{\pi}\sqrt{4\pi} = 2\pi$$
Odtud tedy máme výsledek 
$$ \Ft{1}{\xi} = 2\pi \delta(\xi).$$
 
Nyní dokážeme větu \ref{o_bijekci}, kterou jsme slíbili ukázat a společně s ní následující větu.
\begin{theorem}
$\F: \SP' \to \SP'$ je bijekce a navíc platí, že $\F^{-1}  =\frac{1}{(2\pi)^n} \overline{\F}$. 
\begin{remark}
$$(\overline{\F}[f],\phi) = (f,\overline{\F}[\phi])$$
\begin{proof}
Předpokládejme pro jednoduchost opět, že se pohybujeme v dimensi 1. 
\begin{enumerate}
\item[i) v $\SP$:]
 
Musíme ukázat, že $\F\overline{\F} = \overline{\F}\F =  (2\pi)^n id_{\SP}$. Musíme ukázat obě rovnosti, neboť prostor funkcí, na kterém tento operátor působí, je prostorem nekonečné dimense.
Nejprve prozkoumáme výraz $\overline{\F}[\phi(\xi)](x)$:
$$\overline{\F}[\phi(\xi)](x) =  \displaystyle \int_{\R} e^{-\im x\xi} \phi(\xi) \dd \xi = \displaystyle \int_{\R} e^{i x \eta} \phi(-\eta) \dd \eta = \Ft{\phi(-\eta)}{x}.$$
Ve druhé rovnosti jsme jen provedli substituci $\xi = -\eta$, ze které vypadlo jedno mínus před integrál, které se ihned použilo na obrácení mezí. 
 
Nyní zkoumejme $\Ft{\overline{\F}[\phi(\xi)](x)}{y}$:
$$\Ft{\Ft{\phi(-\eta)}{x}}{y} = \displaystyle \int_{\R} e^{\im xy} \Ft{\phi(-\eta)}{x} \dd x =$$
Nyní přeznačíme $\phi(-\eta) = \psi(\eta)$ a upravíme integrand dle věty o posunu v  argumentu.
$$ = \displaystyle \int_{\R} \Ft{\psi(\eta - y )}{x} \dd x = \displaystyle \int_{\R} \Ft{\phi(y-\eta)}{x} \dd x.$$
V tuto chvíli je třeba provést drobný trik, kvůli kterému jsme počítali $\F[1]$. 
$$ \displaystyle \int_{\R} \Ft{\phi(y-\eta)}{x} \dd x = (1, \Ft{\phi(y-\eta)}{x})  = (\Ft{1}{\eta},\phi(y-\eta)) = (2\pi \delta (\eta),\phi(y-\eta)) = 2\pi \phi(y).$$
Tímto jsme tedy ukázali, že $(\F \circ \overline {\F})(\phi) = 2\pi \phi$, což jsme měli ukázat. 
Druhá rovnost se ukáže zcela stejně. 
 
\item[ii) v $\SP'$:]
 
Zde musíme ukázat, že $\F\overline{\F} = \overline{\F}\F =  (2\pi)^n id_{\SP'}$. Pro důkaz využijeme předešlého tvrzení. 
$$ ((\F\overline{\F}[f])(y),\phi(y) ) = (\overline{\F}[f](x),\Ft{\phi(y)}{x})= (f(\xi), \overline{\F}[\F[\phi(y)](x)](\xi)) = (f(\xi),(2\pi)^n id_{\SP}\phi(\xi)) = (2\pi)^n (f,\phi) $$
Obdobně pro druhou rovnost - jako v předešlém případě. A tímto je důkaz hotov. 
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
Buďte $f,g \in \SP'$ funkce s kompaktním nosičem. Pak $\F[f\ast g] = \F[f]\cdot\F[g]$.
\begin{proof}
Důkaz bude proveden jen z části. Opírá se totiž o dvě netriviální pozorování, která jsou dokázána třeba ve [Šťovíček]. 
\begin{lemma}[Lemma 1]
Buď $g \in \SP'$ funkce s kompaktním nosičem. Pak 
\[ \Ft{g(y-x)}{\xi} \in \SP'_{reg}. \]
\end{lemma}
\begin{lemma}[Lemma 2]
Buď $g \in \SP'$ funkce s kompaktním nosičem. Pak 
$\Ft{g(y)}{\xi}$ je funkce třídy $\Ci$, která je pomalu rostoucí se všemi derivacemi.
\end{lemma}
 
Mějme $f\ast g \in \SP'$. Pak 
$$(\Ft{f\ast g}{\xi},\phi(\xi)) = ((f\ast g)(x),\Ft{\phi(\xi)}{x})  =(f(x),(g(y),\Ft{\phi(\xi)}{x+y})) = \bullet$$
Nyní se zaměříme na výraz $(g(y),\Ft{\phi(\xi)}{x+y})$. Ten upravíme následujícím způsobem
$$ (g(y),\Ft{\phi(\xi)}{x+y}) = (g(y-x),\Ft{\phi(\xi)}{y}) = (\Ft{g(y-x)}{\xi}, \phi(\xi)) = \displaystyle \int_{\R} \Ft{g(y-x)}{\xi} \phi(\xi) \dd \xi =$$
v této úpravě bylo použito první lemma. 
$$ = \displaystyle \int_{\R} e^{\im x\xi} \Ft{g(y)}{\xi} \phi(\xi) \dd \xi = \Ft{\Ft{g(y)}{\xi}\phi(\xi)}{x}$$
Nyní můžeme přijít zpět k $\bullet$:
$$\bullet  = (f(x), \Ft{\Ft{g(y)}{\xi}\phi(\xi)}{x} ) = (\Ft{f(x)}{\xi},\Ft{g(y)}{\xi}\phi(\xi) ) = (\F[f] \cdot \F[g], \phi)$$
V poslední rovnosti bylo použito druhé lemma.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\section{Klasická Laplaceova transformace}
V této kapitole se budeme věnovat Laplaceově transformaci, což je opět integrální transformace s exponenciálním jádrem. 
To znamená, že vlastnosti s derivací, kterých jsme si cenili u Fourierovy transformace, budou platit i pro tuto transformaci. 
 
\begin{define}
Klasickou Laplaceovou transformací funkce $f$ rozumíme 
$$ \Lt{f(t)}{p} = \displaystyle \int_{\R^+} e^{-pt}f(t)\dd t, \mbox{ pro } p\in \mathbb{C}, \Re(p) > a,$$
Funkce $f$ musí být měřitelná na $\R^+$ (na záporné polopřímce ji lze dodefinovat 0) a požadujeme, aby existovaly $c\geq0 $ a $a \in \R$ takové, že  $|f(x)| \leq ce^{at}$ pro skoro všechna $t$.
\end{define}
 
\begin{remark}
Požadavky na funkci $f$ vycházejí z postačující podmínky konvergence integrálu. Zkoumejme tedy pro jaká $p \in \mathbb{C}$ je výraz $\Lt{f(t)}{p}$ dobře definovaný:
\begin{multline*}
\left| \displaystyle \int_{\R^+} e^{-pt}f(t)\dd t  \right| \leq \displaystyle \int_{\R^+} e^{-\Re(p)t} |f(t)|\dd t \leq  
c\displaystyle \int_{\R^+} e^{-\Re(p)t} e^{at} \dd t = c \displaystyle \int_{\R^+}e^{-(\Re(p)-a)t}\dd t < + \infty \Leftrightarrow \Re(p)-a >0
\end{multline*} 
Tedy zde vidíme proč, na funkci klademe takovéto nároky a odkud se vzala podmínka na $p$. 
 
Provedeme ještě jeden odhad, konkrétně pro derivaci. 
\begin{multline*}
\left| \frac{\dd ^n}{\dd p^n} e^{-pt}f(t)\right| = \left|(-t)^n f(t) e^{-pt} \right| \leq 
c|t^n|e^{at - \Re (p)t} \in L^1(\R^+) \Leftrightarrow  \Re(p) > a
\end{multline*}
 
Toto ale znamená, že jsme nalezli integrabilní majorantu derivace a tedy můžeme volně zaměňovat limitu a integrál na oboru konvergence Laplaceovy transformace.
\end{remark}
 
Nyní zformulujeme vlastnosti Laplaceovy transformace. Jejich pořadí bude odpovídat řazení u Fourierovy transformace. 
\begin{theorem}[Vlastnosti Laplaceovy transformace]
Buď $f$ funkce s vlastnostmi potřebnými pro Laplaceovu transformaci, pak
\begin{enumerate}
	\item $\frac{\dd^n}{\dd p^n}\Lt{f(t)}{p} = \Lt{(-t)^nf(t)}{p};$
	\item $\Lt{\frac{\dd}{\dd t}f(t)}{p} = p\Lt{f(t)}{p} -f(0^+);$
	\item Neumíme rozhodnout, zda $\L: \SP \to \SP$ a zda je $\L$ spojité zobrazení;
	\item $\Lt{f(t)}{p-b} = \Lt{e^{bt}f(t)}{p};$
	\item $e^{\alpha p}\Lt{f(t)}{p} =\Lt{f(t+\alpha)}{p};$
	\item $\Lt{f(ct)}{p} = \frac{1}{c} \Lt{f(t)}{\frac{p}{c}};$
	\item Částečná Laplaceova transformace funguje stejně jako částečná Fourierova transformace;
	\item $\Lt{f(t)\ast g(t)}{p} = \Lt{f(t)}{p}\cdot \Lt{g(t)}{p};$
	\item $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(t)\Lt{g(\tau)}{t} \dd t = \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \Lt{f(\tau)}{t} g(t) \dd t;$
	\item $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(t)\dd t = \displaystyle \lim_{p\to 0^+}\Lt{f(t)}{p};$
	\item $\Lt{\Theta(t)\displaystyle \int_{0}^{t} f(\tau) \dd \tau}{p} = \frac{1}{p}\Lt{f(t)}{p};$
	\item $\Lt{\frac{f(t)}{t}}{p} = \displaystyle \int_{p}^{+\infty} \Lt{f(t)}{q}\dd q$ pro $p\in \R$ a $p>a $.
\end{enumerate}
\begin{proof}
Důkaz nebudeme provádět pro všechna tvrzení, je totiž zcela analogický jako u Fourierovy transformace. Ukážeme pro ilustraci jen několik tvrzení, která jsou odlišná:
\begin{enumerate}
\item[2.] 
$$\Lt{\dot{f}(t)}{p}= \displaystyle \int_{\R^+} e^{-pt}\dot{f}(t)\dd t = \left[e^{-pt}f(t) \right]_{0}^{+\infty} - \displaystyle \int_{\R^+} (-p)e^{-pt}f(t)\dd t = 
p \Lt{f(t)}{p} - \underbrace{\displaystyle \lim_{t \to 0^+} e^{-pt}f(t)}_{f(0^+)}$$
\item[11. a 12.]
Tato tvrzení se dokazují stejně jako tvrzení 2., tj. rozepsáním levé a pravé strany a aplikací integrace per partes, která zajistí, že hraniční členy se vyruší. 
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
Druhá vlastnost Laplaceovy transformace umožňuje na rozdíl od Fourierovy transformace zohlednit počáteční podmínky. 
\end{remark}
 
\subsubsection{Příklad}
Řešme pomocí Laplaceovy transformace úlohu:
\begin{equation}
\label{priklad}
 \dot{u} + 4u = 1 \mbox{ s počáteční podmínkou } u(0)=1 
\end{equation}
Pro jednoduchost zápisu budeme označovat $\L[u] = \hat{u}$. Aplikací Laplaceovy transformace na levou a~pravou stranu rovnice $\ref{priklad}$ máme:
 
$$\Lt{\dot{u} + 4u}{p} = \Lt{\dot{u}}{p} + 4 \Lt{u}{p} = p\hat{u} - u(0^+) + 4 \hat{u} = p\hat{u} + 4\hat{u} - 1 $$
$$\Lt{1}{p} = \left(\Lt{\Theta(x)}{p} \right) = \displaystyle \int_{\R^+}e^{-pt} \cdot 1 \dd t = \frac{1}{p} $$
 
Jelikož je funkce~1~odhadnutelná funkcí $e^{0t}$, je podle předpokladů Laplaceovy transformace obraz~1~definován pro všechna~$p$ taková, že $\Re(p)>0$. 
Dostali jsme tedy rovnici 
\begin{equation*}
p\hat{u} + 4\hat{u} + 1 = \frac{1}{p} \Rightarrow \hat{u}= \left(\frac{1}{p}+1\right) \frac{1}{p+4} = \frac{p+1}{p(p+4)}
\end{equation*} 
Jelikož $\L[u] = \hat{u}$, převedli jsme problém vyřešení rovnice $\ref{priklad}$ na nalezení vzoru Laplaceova obrazu $\hat{u} = \frac{p+1}{p(p+4)}$. 
Abychom tento vzor nalezli, stačí si uvědomit, jaké jsou vzory funkcí $ \frac{1}{p}$  a~$\frac{1}{p-\alpha}$. Již víme, že 
 
 
$$\frac{1}{p} = \Lt{1}{p} $$
$$\frac{1}{p-\alpha} = \Lt{1}{p-\alpha} = \displaystyle \int_{\R^+} 1\cdot e^{-(p-\alpha)t}\dd t = \displaystyle \int_{\R^+} e^{\alpha t} e^{-pt} \dd t = \Lt{e^{\alpha t}}{p}$$
 
 
Pokud nyní rozložíme výraz $\frac{p+1}{p(p+4)}$ na parciální zlomky, můžeme pak vzor díky linearitě Laplaceovy transformace nalézt snadno. 
$$ u(t) = \L^{-1}\left[ \frac{p+1}{p(p+4)} \right](t) = \frac{1}{4} \L^{-1}\left[\frac{1}{p} \right](t) + \frac{3}{4} \L^{-1}\left[\frac{1}{p+4} \right](t) = 
\frac{1}{4} + \frac{3}{4}e^{-4t}$$
 
\begin{remark}
Výpočet vzoru funkce při Laplaceově transformaci je obecně obtížný, ale u~obyčejných lineárních diferenciálních 
rovnic s~konstantními koeficienty je možné jej obejít tímto postupem. 
\end{remark}
 
V~úvodu jsme naznačovali, že Laplaceova a~Fourierova transformace spolu souvisejí. Následující věta ukazuje, na čem je tato souvislost založena. 
 
\begin{theorem}[o inverzní Laplaceově transformaci]
Buď $F(p)$ funkce komplexní proměnné a buď $c\in \R$ bod, který náleží oboru konvergence $F(p)$ a buď dále $c$ větší než reálná část všech singularit funkce $F(p)$. 
Pak platí
$$ \L^{-1}[F(p)](t) = \frac{1}{2\pi \im} \displaystyle \int_{c-\im \R} F(p)e^{pt} \dd p,$$
kde $c-\im \R$ označuje přímku procházející bodem $c$, která je rovnoběžná s imaginární osou komplexní roviny. 
\begin{proof}
Důkaz uveden například ve [Šťovíček]. 
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
Je zřejmé, že výpočet integrálu ve větě uvedeném vede na použití residuové věty. 
 
Speciálně, pokud leží veškeré singularity funkce $F$ v levé polorovině komplexní roviny, je možné volit $c=0$ a provádět integraci pro $p$ ryze imaginární.
Tímto však získáváme Fourierovu transformaci. 
\end{remark}
 
\section{Zobecněná Laplaceova transformace}
\paragraph{Motivace}
 
Uvažujme $f(t)$ funkci takovou, že $\forall t < 0$ je $f(t) =0$. Pak její Laplaceovu transformaci jsme schopni vyjádřit v následující podobě:
$$\Lt{f(t)}{p} = \displaystyle \int_{\R^+} e^{-pt}f(t) \dd t =  \displaystyle \int_{\R} e^{-(\sigma + \im \omega)t}f(t) \dd t = $$
$$= \displaystyle \int_{\R} e^{-\im \omega t} \left(f(t) e^{-\sigma t} \right) \dd t = \Ft{f(t) e^{-\sigma t}}{-\omega}$$
Pomocí toho budeme definovat zobecněnou Laplaceovu transformaci.
 
\begin{define}
Pro zobecněnou funkci $f$ takovou, že $\nf f \subset \R_0^+$, která navíc splňuje, že  $\exists a \in \R$ takové, že $\forall \sigma > a$ platí $e^{-\sigma t}f(t) \in \SP'$
definujeme její Laplaceův obraz předpisem 
$$ \Lt{f(t)}{p}:= \Ft{f(t) e^{-\sigma t}}{-\omega} \mbox{ pro } p=\sigma + \im \omega $$
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Laplaceova transformace je jednoparametrická množina temperovaných zobecněných funkcí ($\sigma$ je parametr, $\omega$ proměnná).
\item Je možné ukázat, [Šťovíček], že Laplaceův obraz zobecněné funkce, tak jak je definovaný, je vždy regulární zobecněnou funkcí.
\item Naše definice je konzistentní. Uvažujme $f$ měřitelnou funkci na $\R$ takovou, že $f(t) = 0 \ \forall t<0$ a $|f(t)|\leq C e^{at} \ \forall t \geq 0$. Potom $f \in \D'_{reg}$ 
a navíc, $\forall \sigma > a$ je $f(t) e^{-\sigma  t} \in L^1 (\R) $ a tedy  $f(t) e^{-\sigma  t} \in \SP'_{reg}$. Naše definice má tedy hezký smysl a je konsistentní. 
Navíc je možné si ověřit, že  (při značení vlnkou, stejně jako u zobecněných regulárních funkcí) platí 
$$ \Lt{\tilde{f}(t)}{p} = \widetilde{\L[f(t)]}(p).$$
\end{enumerate}
\end{remark}
 
Nyní se pokusíme vypočítat Laplaceův obraz Diracovy $\delta$-funkce. Tato distribuce splňuje oba předpoklady, které definice požaduje, protože  $\nf \delta = \{0\} \subset \R_0^+$ 
a navíc dokonce pro všechna $a \in \R$ \footnote{Definice požaduje existenci alespoň jednoho $a \in \R$} platí, že $\forall \sigma > a \ e^{-\sigma t}\delta(t) = \delta(t) \in \SP'$. 
$$\left( \Lt{\delta(t)}{\sigma + \im \omega},\phi(\omega)\right) = \left(\Ft{e^{-\sigma t}\delta(t)}{-\omega},\phi(\omega) \right) =  \left( e^{-\sigma t}\delta(t), \Ft{\phi(-\omega)}{t}\right) = $$
$$  = (\delta(t),\Ft{\phi(\omega)}{-t}) = \Ft{\phi(\omega)}{0} = \displaystyle \int_{\R} \phi(\omega) \dd \omega  = (1 ,\phi(\omega))$$
Tedy jsme určili, že $\Lt{\delta(t)}{p} = 1$ v $\SP'$. 
 
\begin{theorem}
Pro Laplaceovu transformaci zobecněných funkcí platí:
\begin{enumerate}
\item 
$$ \Lt{(-t)^mf(t)}{p} = \frac{\dd ^m}{\dd p^m }\Lt{f(t)}{p};$$
\item
$$ \Lt{\frac{\dd ^m}{\dd p^m } f(t)}{p} = p^m \Lt{f(t)}{p};$$
\item
$$ \forall \lambda \in \mathbb{C} \ \Lt{e^{\lambda t}f(t)}{p} = \Lt{f(t)}{p-\lambda};$$
přitom musí platit, že $\Re(p) > a+ \Re(\lambda)$,
\item
$$\forall k > 0 \ \Lt{f(kt)}{p} = \frac{1}{k}\Lt{f(t)}{\frac{p}{k}};$$
přičemž opět musí platit $\Re(p) > ka$. Volba $k$ vychází z nutnosti zachovat nosič funkce v $\R^+$,
\item
$$\Lt{f(t) \ast g(t)}{p} = \Lt{f(t)}{p} \codt \Lt{g(t)}{p};$$
\item
$$ \forall \tau \geq 0  \ \Lt{f(t-\tau)}{p} = e^{-\tau p} \Lt{f(t)}{p}.$$
\end{enumerate}
\begin{proof}
Zvídavý čtenář nalezne tento důkaz ve [Šťovíček].
\end{proof}
\end{theorem}