Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01RMF}
\chapter{Testovací funkce}
\section{Úvod do problematiky}
\begin{define}
{\bf Nosičem funkce $\phi$} rozumíme množinu $\overline{\{ x \in \R^n \ | \ \phi(x) \neq 0 \} }$. Označujeme jej $\nf \phi$.
\end{define}
\begin{define}
Množinu $\D (\R^n) = \{ \phi \in \Ci (\R^n) \ | \ \nf \phi \mbox{ je omezený} \}$ nazvěme {\bf množinu testovacích funkcí}. Tzn. {\bf testovací funkce} jsou funkce třídy $\Ci (\R^n)$ s kompaktním nosičem.
Buď nyní $G = G^o$ otevřená podmnožina $\R^n$. Pak definujeme $\D (G) = \{ \phi \in \D (\R^n) \ | \ \nf \phi \subset G \}$
\end{define}
\begin{remark}
Je zřejmé, že pokud $\phi \in \D (\R^n)$, pak $\alpha \phi \in \D (\R^n)$ pro $\alpha \in \R$.
Buď nyní $f$ hladká funkce. Pak rovněž $f\phi \in \D (\R^n)$
\end{remark}
Abychom získali jistou intuici a~vhled do dané problematiky, předběžně definujme zobecněné funkce $\D' (\R^1)$. Tuhle definici později zpřesníme a~zobecníme.
\begin{define}
Nechť $f$ je reálná, resp. komplexní funkce reálné proměnné. Nechť dále
$$\exists \displaystyle \int_{\left[a,b \right]}f(x)\phi(x)\dd x < +\infty , \: \forall \left[a,b \right] , \: \forall \phi \in \D(\R^1).$$
Pak nazvěme $f$ {\bf zobecněnou funkcí}.
\noindent {\bf Akcí testovací funkce $\phi$ na $f$} rozumíme
$$\left(f,\phi\right) := \displaystyle \int_\R f(x)\phi(x)\dd x , \: \forall \phi \in \D(\R^1)$$.
\end{define}
\begin{remark}
Zkuste najít množinu funkcí $f$ tak, aby definice zobecněných funkce (výše) byla rozumná.
\end{remark}
\begin{theorem}[ilustrativní, jednoduchá]
Nechť $f, \ g$ jsou spojité reálné funkce reálné proměnné a nechť dále akce libovolné testovací funkce $\phi$ na $f$ a $g$ jsou shodné, tj.
$\displaystyle \int_\R f(x)\phi(x)\dd x = \displaystyle \int_\R g(x)\phi(x)\dd x$. Pak $f=g$.
\begin{remark}
Tahle věta nám má ukázat, že dává smysl testovat funkce pomocí testovacích funkcí.
\end{remark}
\begin{proof}
Tvrzení dokážeme sporem. Pro ten předpokládejme, že $\exists x_0$ takové, že $f(x_0)\neq g(x_0)$. Pak víme, že $\displaystyle \int_\R \left( f(x)-g(x) \right)\phi \dd x = 0$.
Ze spojitosti funkcí $f$ a $g$ plyne existence okolí $U_{x_0}$ takového, že $\forall x \in U_{x_0}$ je BÚNO $f(x) > g(x)$. Pak předpokládejme, že existuje jistá
$\phi' \in \D(\R^1)$ taková, že $\nf \phi' \subset U_{x_0}$. O~tom, že tahle testovací funkce existuje se přesvědčíte na cvičeních. Pak můžeme psát
$\displaystyle \int_\R \left( f(x)-g(x) \right)\phi ' \dd x = \displaystyle \int_{\nf \phi '} \left( f(x)-g(x) \right)\phi \dd x \geq \varepsilon \displaystyle \int_\R \phi' \dd x > 0.$
Toto nám již dává spor s naším předpokladem. Je vhodné zde poznamenat, že nenulovost posledního integrálu plyne z toho, že mohu vždy najít takovou testovací funkci, jejíž integrál bude nenulový.
Kdybychom měli např. lichou testovací funkci, tak můžeme jako vhodnou testovací funkci použít její kvadrát, který je rovněž testovací funkcí. Toto plyne z poznámky pod definicí testovací funkce.
\end{proof}
\end{theorem}
\section{Konvence a domluvy ($L^2 Hilbertův prostor$}
Mějme prostor $\mathcal{L}^2(\R^n)$, tj. prostor všech komplexních funkcí $f(x)$ reálné proměnné Lebesgueovsky integrabilních s kvadrátem,
tj. $\displaystyle \int _{\R^n} \vert f(x)\vert ^2 \dd x < + \infty$. Pro $f$, $g \in \mathcal{L}^2(\R^n)$ definujme zobrazení
$\langle f,g \rangle := \mathcal \displaystyle \int _{\R^n} f(x) \overline{g(x)} \dd x$.
Je otázkou, je-li toto zobrazení skalárním součinem na $\mathcal{L}^2(\R^n)$.
Aby jím bylo, musí být splněny následující podmínky:
\begin{enumerate}
\item Zobrazení musí splňovat $\langle \cdot,\cdot \rangle :\mathcal{L}^2 \times \mathcal{L}^2 \longrightarrow \mathbb{C} $;
\item Musí být lineární v 1. argumentu;
\item Musí být hermitovské, tj. $\langle f,g \rangle = \overline {$\langle g,f \rangle} pro libovolné $f, \ g \in \mathcal{L}(\R^n)$
\item Musí být positivní, tj. $\langle f,f \rangle $