01PRA1 2:Kapitola9: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Založena nová stránka: %\wikiskriptum{01PRA1_2}) |
|||
Řádka 1: | Řádka 1: | ||
%\wikiskriptum{01PRA1_2} | %\wikiskriptum{01PRA1_2} | ||
+ | |||
+ | \section{Konvergence na prostoru náhodných veličin} | ||
+ | |||
+ | \begin{define} | ||
+ | Buď $\posloupnost{1}{\infty}{X_n}$ posloupnost náhodných | ||
+ | veličin. Potom $X_n$ konverguje k~$X$ podle pravděpodobnosti --- | ||
+ | značíme $X_n\kp X$ --- pokud pro každé $\epsilon>0$ je | ||
+ | \[\lim_{n\to\infty} P(\{\omega|\abs{X_n-X}\ge\epsilon\})=0.\] | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | Pro limitu podle pravděpodobnosti platí: | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item Jestliže $X_n\kp X$ a $Y_n\kp Y$, pak $X_n+Y_n\kp X+Y$. | ||
+ | \item Jestliže $X_n\kp X$, pak $X_n-X\kp 0$. | ||
+ | \item Jestliže $X_n\kp X$, pak $\alpha X_n\kp\alpha X$. | ||
+ | \item Jestliže $X_n\kp K$, pak $X_n^2\kp K^2$. | ||
+ | \item Jestliže $X_n\kp a$ a $Y_n\kp b$, pak $X_nY_n\kp ab$. | ||
+ | \item Jestliže $X_n\kp a$ a $Y_n\kp b$, pak $X_n/Y_n\kp a/b$. | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item Platí | ||
+ | \[ | ||
+ | \begin{split} | ||
+ | \{\omega|\abs{(X_n-X)+(Y_n-Y)}\ge\epsilon\}&\subset | ||
+ | \{\omega|\abs{X_n-X}+\abs{Y_n-Y}\ge\epsilon\}\subset\\ | ||
+ | &\subset\left\{\omega\left|\abs{X_n-X}\ge\frac\epsilon2\right.\right\}\cup | ||
+ | \left\{\omega\left|\abs{Y_n-Y}\ge\frac\epsilon2\right.\right\}. | ||
+ | \end{split} | ||
+ | \] | ||
+ | Dále z~Booleovy nerovnosti vyplývá, že | ||
+ | \[ | ||
+ | P(\abs{(X_n-X)+(Y_n-Y)}\ge\epsilon)\le | ||
+ | P(\abs{X_n-X}\ge\frac\epsilon2)+ | ||
+ | P(\abs{Y_n-Y}\ge\frac\epsilon2). | ||
+ | \] | ||
+ | \item $P(\abs{X_n-X-0}\ge\epsilon)=P(\abs{X_n-X}\ge\epsilon)$. | ||
+ | \item $P(\abs{\alpha X_n-\alpha X}\ge\epsilon)= | ||
+ | P(\abs{X_n-X}\ge\frac{\epsilon}{a})$. | ||
+ | \item | ||
+ | $P(\abs{X_n-0}^2\ge\epsilon)=P(\abs{X_n}\ge\sqrt{\epsilon})$. Potom | ||
+ | pokud $X_n-K\kp 0$, pak $Z_n=(X_n-K)^2\kp 0$, $Z_n=X_n^2-2KX_n+K^2\kp 0$. Dále | ||
+ | označme $U_n=2KX_n-K^2$. Protože $X_n\kp K$, platí $2KX_n\kp 2K^2$ a | ||
+ | $2KX_n-K^2\kp K^2$. Konečně $X_n^2=Z_n+U_n\kp K^2$. | ||
+ | \item Z~předchozích pravidel vyplývá, že | ||
+ | \[X_nY_n=\frac14((X_n+Y_n)^2-(X_n-Y_n)^2)\kp\frac14((a+b)^2-(a-b)^2)=ab.\] | ||
+ | \item Nejprve dokážeme, že $X_n\kp 1\implies\frac1{X_n}\kp 1$: Platí, | ||
+ | že | ||
+ | \[\left\{\abs{\frac1{X_n}-1}\ge\epsilon\right\}= | ||
+ | \left\{\frac1{X_n}\le 0\right\}\cup | ||
+ | \left\{0\le\frac1{X_n}\le 1-\epsilon\right\}\cup | ||
+ | \left\{1+\epsilon\le\frac1{X_n}\right\}.\] | ||
+ | Z~Booleovy nerovnosti | ||
+ | \[P\left(\abs{\frac1{X_n}-1}\ge\epsilon\right)\le | ||
+ | P\left(\frac1{X_n}\le 0\right)+ | ||
+ | P\left(0\le\frac1{X_n}\le 1-\epsilon\right)+ | ||
+ | P\left(1+\epsilon\le\frac1{X_n}\right).\] | ||
+ | Dále platí | ||
+ | \[ | ||
+ | \begin{split} | ||
+ | P\left(\frac{1}{X_n}\le 0\right)&=P\left(X_n\le 0\right)\le | ||
+ | P(X_n\le 0)+P(X_n\ge 2)=\\ | ||
+ | &=P(\abs{X_n-1}\ge 1)\to 0, | ||
+ | \end{split} | ||
+ | \] | ||
+ | \[P\left(0<\frac1{X_n}\le 1-\epsilon\right)= | ||
+ | P\left(X_n-1\ge \frac{\epsilon}{1-\epsilon}\right)\to 0,\] | ||
+ | \[P\left(\frac1{X_n}\ge 1+\epsilon\right)= | ||
+ | P\left(1-X_n\ge \frac{\epsilon}{1-\epsilon}\right)\to 0.\] | ||
+ | Potom $\frac{Y_n}{b}\kp 1$, podle lemmatu $\frac{b}{Y_n}\kp 1$ a z | ||
+ | předchozích pravidel pak $\frac1a X_n\frac{b}{X_n}\kp 1$. | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \begin{example} | ||
+ | Buďte $\posloupnost{1}{\infty}{X_n}$ iid $\sim N(\mu,\sigma^2)$, | ||
+ | \[Y_n=\frac1n\sum_1^n X_i.\] | ||
+ | Ukážeme, že $Y_n\kp\mu$. Pro $Y_n$ platí $Y_n\sim | ||
+ | N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$. | ||
+ | \[ | ||
+ | \begin{split} | ||
+ | P(\abs{Y_n-\mu}\ge\epsilon)&= | ||
+ | 1-P(\abs{Y_n-n}<\epsilon)=\\ | ||
+ | &=1-\int_{S_n:\abs{y_n-\mu}<\epsilon}\frac{1}{\sqrt{2\pi}} | ||
+ | \frac{\sqrt{n}}{\sigma} | ||
+ | \exp\left(-\frac{(y_n-\mu)^2n}{2\sigma^2}\right)\,\d y_n=\\ | ||
+ | &=1-\int_{-\frac{\epsilon\sqrt{n}}{\sigma}} | ||
+ | ^{\frac{\epsilon\sqrt{n}}{\sigma}} | ||
+ | \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{t^2}{2}\right)\to | ||
+ | 1-\int_{\R}\frac{1}{\sqrt{2\pi}} | ||
+ | \exp\left(-\frac{t^2}{2}\right)=0 | ||
+ | \end{split} | ||
+ | \] | ||
+ | \end{example} | ||
+ | |||
+ | \begin{define} | ||
+ | Posloupnost náhodných veličin $X_n$ konverguje skoro jistě ($X_n\ksj | ||
+ | X$), právě když | ||
+ | \[P\left\{\omega\left|\lim_{n\to\infty}X_n=X\right.\right\}=1.\] | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \begin{define} | ||
+ | Posloupnost náhodných veličin $X_n$ konverguje podle $\alpha$-středu | ||
+ | ($X_n\ks{\alpha} X$), právě když $E\abs{X_n-X}^\alpha\to 0$. | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \begin{define} | ||
+ | Posloupnost náhodných veličin $X_n$ konverguje v~distribuci | ||
+ | ($X_n\kd X$), právě když $F_{X_n}(x)\to F_X$ pro každé $x\in\R$, kde | ||
+ | $F_X$ je spojitá. | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \begin{define} | ||
+ | Kolmogorovova vzdálenost distribučních funkcí | ||
+ | \[K(F,G)=\sup_{x\in\R}\abs{F(x)-G(x)}.\] Píšeme $X_n\kk X$, právě když | ||
+ | $K(F_{X_n},F_X)\to 0$. | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | Buď $X_n$ posloupnost náhodných veličin. Potom platí: | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item $X_n\ks{\alpha=2}X\implies X_n\kp X$; | ||
+ | \item $X_n\ksj X\implies X_n\kp X\implies X_n\kd X$. | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item Buď $\epsilon>0$ libovolné, potom | ||
+ | \[ | ||
+ | \begin{split} | ||
+ | P\{\abs{X_n-x}\ge\epsilon\}&= | ||
+ | \int_{S:\abs{x_n-x}\ge\epsilon}f_{X_n,X}\,\d x_n\d x\le\\ | ||
+ | &\le\int_{S:\abs{x_n-x}\ge\epsilon} | ||
+ | \underbrace{\frac{(x_n-x)^2}{\epsilon^2}}_{\ge 1}f_{X_n,X} | ||
+ | \,\d x_n\d x\le\\ | ||
+ | &\le\frac{1}{\epsilon^2}\int_{\R^2}(x_n-x)^2 f_{X_n,X}= | ||
+ | \frac1{\epsilon^2}E(X_n-X)^2. | ||
+ | \end{split} | ||
+ | \] | ||
+ | \item | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item | ||
+ | \[ | ||
+ | \begin{split} | ||
+ | F_{X_n(x)}&=P(X_n\le x)=\\&=P(X_n\le x\wedge\abs{X_n-X}<\epsilon)+ | ||
+ | P(X_n\le x\wedge\abs{X_n-X}\ge\epsilon)\le\\ | ||
+ | &\le P(X-\epsilon<x\wedge\abs{X_n-X}<\epsilon)+ | ||
+ | P(\abs{X_n-X}\ge\epsilon)\le\\ | ||
+ | &\le P(X\le x+\epsilon)+P(\abs{X_n-X}\ge\epsilon) | ||
+ | \end{split} | ||
+ | \] | ||
+ | Z~toho vyplývá, že $\limsup F_{X_n}(x)\le F_X(x+\epsilon)$. Analogicky | ||
+ | se dokáže, že $F_{X_n}(x)\ge | ||
+ | F_X(x-\epsilon)-P(\abs{X_n-X}\ge\epsilon)$ a | ||
+ | $\liminf F_{X_n}(x)\ge F_X(x-\epsilon)$. | ||
+ | |||
+ | Pokud je $x$ bod spojitosti $F_X$, pak $F_{X_n}(x)\to F_X(x)$. | ||
+ | \item $X_n\ksj X$, právě když | ||
+ | \[ | ||
+ | \{\omega|X_n\to X\}= | ||
+ | \bigcap_{k=1}^\infty\bigcup_{n=1}^\infty\bigcap_{p=n}^\infty | ||
+ | \left\{\omega\left|\abs{X_p-X}\le\frac1k\right.\right\}=M\text{ a } | ||
+ | P(M)=1. | ||
+ | \] | ||
+ | \[ | ||
+ | P(M\compl)= | ||
+ | P\left(\bigcup_{k=1}^\infty\bigcap_{n=1}^\infty | ||
+ | \bigcup_{p=n}^\infty\left\{\abs{X_p-X}\ge\frac1k\right\}\right)=0, | ||
+ | \] | ||
+ | z~čehož vyplývá, že $\forall k\in\N$ | ||
+ | \[ | ||
+ | P\left(\bigcap_{n=1}^\infty | ||
+ | \bigcup_{p=n}^\infty\left\{\abs{X_p-X}\ge\frac1k\right\}\right)=0 | ||
+ | \] | ||
+ | a z~věty o~spojitosti pravděpodobnosti | ||
+ | \[ | ||
+ | \lim_{n\to\infty} | ||
+ | P\left(\bigcup_{p=n}^\infty\left\{\abs{X_p-X}\ge\frac1k\right\}\right)=0, | ||
+ | \] | ||
+ | dále $(\forall k)(\forall\delta)(\exists n_0)(\forall n>n_0)$ | ||
+ | \[ | ||
+ | P\left(\bigcup_{p=n}^\infty\left\{\abs{X_p-X}\ge\frac1k\right\}\right)<\delta, | ||
+ | \] | ||
+ | a $(\forall k)(\forall\delta)(\forall p>n_0)$ | ||
+ | \[ | ||
+ | P\left(\abs{X_p-X}\ge\frac1k\right)<\delta. | ||
+ | \] | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} |
Aktuální verze z 1. 11. 2010, 19:32
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01PRA1_2
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01PRA1_2 | Karel.brinda | 2. 11. 2010 | 13:27 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Valapet2 | 5. 3. 2016 | 19:31 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Fucikrad | 9. 1. 2012 | 14:04 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Úvod | Karel.brinda | 1. 11. 2010 | 19:29 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Diskrétní náhodné veličiny | Karel.brinda | 1. 11. 2010 | 19:30 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Vícerozměrná diskrétní rozdělení | Karel.brinda | 1. 11. 2010 | 19:30 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Absolutně spojitá rozdělení | Valapet2 | 3. 3. 2016 | 11:51 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Funkce náhodných veličin | Karel.brinda | 1. 11. 2010 | 19:31 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Příklady absolutně spojitých rozdělení | Valapet2 | 5. 3. 2016 | 19:35 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Charakteristiky náhodných veličin | Karel.brinda | 1. 11. 2010 | 19:32 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Charakteristiky vícerozměrných náhodných veličin | Karel.brinda | 1. 11. 2010 | 19:32 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Konvergence na prostoru náhodných veličin | Karel.brinda | 1. 11. 2010 | 19:32 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Limitní věty teorie pravděpodobnosti | Karel.brinda | 1. 11. 2010 | 19:33 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Základní pojmy ze statistiky | Karel.brinda | 1. 11. 2010 | 19:33 | kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Odhad parametrů rozdělení | Karel.brinda | 1. 11. 2010 | 19:33 | kapitola12.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:Gauss.eps | Gauss.eps |
Image:Fisher.eps | Fisher.eps |
Image:Gamma.eps | Gamma.eps |
Image:Chi2.eps | Chi2.eps |
Image:Pravd.eps | Pravd.eps |
Image:Gauss1.pdf | Gauss.pdf |
Image:Fisher.eps | Fisher.pdf |
Image:Gamma.pdf | Gamma.pdf |
Image:Chi2.pdf | Chi2.pdf |
Image:Beta.pdf | Beta.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01PRA1_2} \section{Konvergence na prostoru náhodných veličin} \begin{define} Buď $\posloupnost{1}{\infty}{X_n}$ posloupnost náhodných veličin. Potom $X_n$ konverguje k~$X$ podle pravděpodobnosti --- značíme $X_n\kp X$ --- pokud pro každé $\epsilon>0$ je \[\lim_{n\to\infty} P(\{\omega|\abs{X_n-X}\ge\epsilon\})=0.\] \end{define} \begin{theorem} Pro limitu podle pravděpodobnosti platí: \begin{enumerate} \item Jestliže $X_n\kp X$ a $Y_n\kp Y$, pak $X_n+Y_n\kp X+Y$. \item Jestliže $X_n\kp X$, pak $X_n-X\kp 0$. \item Jestliže $X_n\kp X$, pak $\alpha X_n\kp\alpha X$. \item Jestliže $X_n\kp K$, pak $X_n^2\kp K^2$. \item Jestliže $X_n\kp a$ a $Y_n\kp b$, pak $X_nY_n\kp ab$. \item Jestliže $X_n\kp a$ a $Y_n\kp b$, pak $X_n/Y_n\kp a/b$. \end{enumerate} \begin{proof} \begin{enumerate} \item Platí \[ \begin{split} \{\omega|\abs{(X_n-X)+(Y_n-Y)}\ge\epsilon\}&\subset \{\omega|\abs{X_n-X}+\abs{Y_n-Y}\ge\epsilon\}\subset\\ &\subset\left\{\omega\left|\abs{X_n-X}\ge\frac\epsilon2\right.\right\}\cup \left\{\omega\left|\abs{Y_n-Y}\ge\frac\epsilon2\right.\right\}. \end{split} \] Dále z~Booleovy nerovnosti vyplývá, že \[ P(\abs{(X_n-X)+(Y_n-Y)}\ge\epsilon)\le P(\abs{X_n-X}\ge\frac\epsilon2)+ P(\abs{Y_n-Y}\ge\frac\epsilon2). \] \item $P(\abs{X_n-X-0}\ge\epsilon)=P(\abs{X_n-X}\ge\epsilon)$. \item $P(\abs{\alpha X_n-\alpha X}\ge\epsilon)= P(\abs{X_n-X}\ge\frac{\epsilon}{a})$. \item $P(\abs{X_n-0}^2\ge\epsilon)=P(\abs{X_n}\ge\sqrt{\epsilon})$. Potom pokud $X_n-K\kp 0$, pak $Z_n=(X_n-K)^2\kp 0$, $Z_n=X_n^2-2KX_n+K^2\kp 0$. Dále označme $U_n=2KX_n-K^2$. Protože $X_n\kp K$, platí $2KX_n\kp 2K^2$ a $2KX_n-K^2\kp K^2$. Konečně $X_n^2=Z_n+U_n\kp K^2$. \item Z~předchozích pravidel vyplývá, že \[X_nY_n=\frac14((X_n+Y_n)^2-(X_n-Y_n)^2)\kp\frac14((a+b)^2-(a-b)^2)=ab.\] \item Nejprve dokážeme, že $X_n\kp 1\implies\frac1{X_n}\kp 1$: Platí, že \[\left\{\abs{\frac1{X_n}-1}\ge\epsilon\right\}= \left\{\frac1{X_n}\le 0\right\}\cup \left\{0\le\frac1{X_n}\le 1-\epsilon\right\}\cup \left\{1+\epsilon\le\frac1{X_n}\right\}.\] Z~Booleovy nerovnosti \[P\left(\abs{\frac1{X_n}-1}\ge\epsilon\right)\le P\left(\frac1{X_n}\le 0\right)+ P\left(0\le\frac1{X_n}\le 1-\epsilon\right)+ P\left(1+\epsilon\le\frac1{X_n}\right).\] Dále platí \[ \begin{split} P\left(\frac{1}{X_n}\le 0\right)&=P\left(X_n\le 0\right)\le P(X_n\le 0)+P(X_n\ge 2)=\\ &=P(\abs{X_n-1}\ge 1)\to 0, \end{split} \] \[P\left(0<\frac1{X_n}\le 1-\epsilon\right)= P\left(X_n-1\ge \frac{\epsilon}{1-\epsilon}\right)\to 0,\] \[P\left(\frac1{X_n}\ge 1+\epsilon\right)= P\left(1-X_n\ge \frac{\epsilon}{1-\epsilon}\right)\to 0.\] Potom $\frac{Y_n}{b}\kp 1$, podle lemmatu $\frac{b}{Y_n}\kp 1$ a z předchozích pravidel pak $\frac1a X_n\frac{b}{X_n}\kp 1$. \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \begin{example} Buďte $\posloupnost{1}{\infty}{X_n}$ iid $\sim N(\mu,\sigma^2)$, \[Y_n=\frac1n\sum_1^n X_i.\] Ukážeme, že $Y_n\kp\mu$. Pro $Y_n$ platí $Y_n\sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$. \[ \begin{split} P(\abs{Y_n-\mu}\ge\epsilon)&= 1-P(\abs{Y_n-n}<\epsilon)=\\ &=1-\int_{S_n:\abs{y_n-\mu}<\epsilon}\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{\sqrt{n}}{\sigma} \exp\left(-\frac{(y_n-\mu)^2n}{2\sigma^2}\right)\,\d y_n=\\ &=1-\int_{-\frac{\epsilon\sqrt{n}}{\sigma}} ^{\frac{\epsilon\sqrt{n}}{\sigma}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{t^2}{2}\right)\to 1-\int_{\R}\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{t^2}{2}\right)=0 \end{split} \] \end{example} \begin{define} Posloupnost náhodných veličin $X_n$ konverguje skoro jistě ($X_n\ksj X$), právě když \[P\left\{\omega\left|\lim_{n\to\infty}X_n=X\right.\right\}=1.\] \end{define} \begin{define} Posloupnost náhodných veličin $X_n$ konverguje podle $\alpha$-středu ($X_n\ks{\alpha} X$), právě když $E\abs{X_n-X}^\alpha\to 0$. \end{define} \begin{define} Posloupnost náhodných veličin $X_n$ konverguje v~distribuci ($X_n\kd X$), právě když $F_{X_n}(x)\to F_X$ pro každé $x\in\R$, kde $F_X$ je spojitá. \end{define} \begin{define} Kolmogorovova vzdálenost distribučních funkcí \[K(F,G)=\sup_{x\in\R}\abs{F(x)-G(x)}.\] Píšeme $X_n\kk X$, právě když $K(F_{X_n},F_X)\to 0$. \end{define} \begin{theorem} Buď $X_n$ posloupnost náhodných veličin. Potom platí: \begin{enumerate} \item $X_n\ks{\alpha=2}X\implies X_n\kp X$; \item $X_n\ksj X\implies X_n\kp X\implies X_n\kd X$. \end{enumerate} \begin{proof} \begin{enumerate} \item Buď $\epsilon>0$ libovolné, potom \[ \begin{split} P\{\abs{X_n-x}\ge\epsilon\}&= \int_{S:\abs{x_n-x}\ge\epsilon}f_{X_n,X}\,\d x_n\d x\le\\ &\le\int_{S:\abs{x_n-x}\ge\epsilon} \underbrace{\frac{(x_n-x)^2}{\epsilon^2}}_{\ge 1}f_{X_n,X} \,\d x_n\d x\le\\ &\le\frac{1}{\epsilon^2}\int_{\R^2}(x_n-x)^2 f_{X_n,X}= \frac1{\epsilon^2}E(X_n-X)^2. \end{split} \] \item \begin{enumerate} \item \[ \begin{split} F_{X_n(x)}&=P(X_n\le x)=\\&=P(X_n\le x\wedge\abs{X_n-X}<\epsilon)+ P(X_n\le x\wedge\abs{X_n-X}\ge\epsilon)\le\\ &\le P(X-\epsilon<x\wedge\abs{X_n-X}<\epsilon)+ P(\abs{X_n-X}\ge\epsilon)\le\\ &\le P(X\le x+\epsilon)+P(\abs{X_n-X}\ge\epsilon) \end{split} \] Z~toho vyplývá, že $\limsup F_{X_n}(x)\le F_X(x+\epsilon)$. Analogicky se dokáže, že $F_{X_n}(x)\ge F_X(x-\epsilon)-P(\abs{X_n-X}\ge\epsilon)$ a $\liminf F_{X_n}(x)\ge F_X(x-\epsilon)$. Pokud je $x$ bod spojitosti $F_X$, pak $F_{X_n}(x)\to F_X(x)$. \item $X_n\ksj X$, právě když \[ \{\omega|X_n\to X\}= \bigcap_{k=1}^\infty\bigcup_{n=1}^\infty\bigcap_{p=n}^\infty \left\{\omega\left|\abs{X_p-X}\le\frac1k\right.\right\}=M\text{ a } P(M)=1. \] \[ P(M\compl)= P\left(\bigcup_{k=1}^\infty\bigcap_{n=1}^\infty \bigcup_{p=n}^\infty\left\{\abs{X_p-X}\ge\frac1k\right\}\right)=0, \] z~čehož vyplývá, že $\forall k\in\N$ \[ P\left(\bigcap_{n=1}^\infty \bigcup_{p=n}^\infty\left\{\abs{X_p-X}\ge\frac1k\right\}\right)=0 \] a z~věty o~spojitosti pravděpodobnosti \[ \lim_{n\to\infty} P\left(\bigcup_{p=n}^\infty\left\{\abs{X_p-X}\ge\frac1k\right\}\right)=0, \] dále $(\forall k)(\forall\delta)(\exists n_0)(\forall n>n_0)$ \[ P\left(\bigcup_{p=n}^\infty\left\{\abs{X_p-X}\ge\frac1k\right\}\right)<\delta, \] a $(\forall k)(\forall\delta)(\forall p>n_0)$ \[ P\left(\abs{X_p-X}\ge\frac1k\right)<\delta. \] \end{enumerate} \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem}