01PRA1 2:Kapitola6: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Založena nová stránka: %\wikiskriptum{01PRA1_2}) |
|||
Řádka 1: | Řádka 1: | ||
%\wikiskriptum{01PRA1_2} | %\wikiskriptum{01PRA1_2} | ||
+ | |||
+ | \section{Příklady absolutně spojitých rozdělení} | ||
+ | |||
+ | \subsection{Gama rozdělení} | ||
+ | Značíme $G(\alpha,\beta)$. | ||
+ | \[ | ||
+ | f_X(x)=\frac{1}{\gammaf(\alpha)\beta^\alpha}x^{\alpha-1}\e^{-x/\beta}, | ||
+ | \quad x>0,\alpha>0,\beta>0. | ||
+ | \] | ||
+ | \[ | ||
+ | \int_\R f_X(x)\,\d x= | ||
+ | \frac{1}{\gammaf(\alpha)}\int_\R t^{\alpha-1}\e^{-t}\,\d t=1. | ||
+ | \] | ||
+ | |||
+ | \begin{figure} | ||
+ | \epsfbox{gamma.eps} | ||
+ | \caption{Hustota pravděpodobnosti při gama-rozdělení} | ||
+ | \end{figure} | ||
+ | |||
+ | \subsection{Beta rozdělení} | ||
+ | Značíme $B(p,q)$, | ||
+ | \[f_X(x)=\frac{x^{p-1}(1-x)^{q-1}}{\betaf(p,q)},\quad | ||
+ | 0<x<1,p>0,q>0.\] | ||
+ | |||
+ | \begin{figure} | ||
+ | \epsfbox{beta.eps} | ||
+ | \caption{Hustota pravděpodobnosti při beta-rozdělení} | ||
+ | \end{figure} | ||
+ | |||
+ | \subsection{Rovnoměrné rozdělení} | ||
+ | Značíme $U_G$, $G\subset\R^n$, | ||
+ | \[f_{\mathbf X}(\mathbf x)= | ||
+ | \begin{cases} | ||
+ | \frac{1}{\mu G}&x\in G\\ | ||
+ | 0&\text{jinde.} | ||
+ | \end{cases} | ||
+ | \] | ||
+ | |||
+ | \subsection{Exponenciální rozdělení} | ||
+ | Značíme $\Exp(\alpha,\mu)$, $\mu\in\R$, $\alpha>0$, | ||
+ | \[ | ||
+ | f_X(x)= | ||
+ | \begin{cases} | ||
+ | \alpha \e^{-\alpha(x-\mu)}&x>\mu\\ | ||
+ | 0&\text{jinak.} | ||
+ | \end{cases} | ||
+ | \] | ||
+ | Pro distribuční funkci platí | ||
+ | \[ | ||
+ | F_X(x)=1-\e^{-\alpha(x-\mu)}. | ||
+ | \] | ||
+ | Alternativní definice: $\alpha=1/\theta$, $\mu=0$, | ||
+ | \[\Exp(\theta)=\frac1{\theta}\e^{-\frac{x}{\theta}}.\] | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | Buďte $X_1,\dots,X_n$ nezávislé a identicky distribuované podle | ||
+ | $\Exp(\alpha,0)$. Pak $X_1+\dots+X_n\sim G(n,\frac1\alpha)$. | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | \[f_{\mathbf X}(\mathbf x)=\prod_{j=1}^n f_{X_j}(x_j)= | ||
+ | \begin{cases} | ||
+ | \alpha^n \e^{-\alpha\sum_{j=1}^n x_j}&\min_{j\in\hat n}(x_j)>0\\ | ||
+ | 0&\text{jinak.} | ||
+ | \end{cases} | ||
+ | \] | ||
+ | \[Y=\sum_{j=1}^n X_j,\] | ||
+ | definujeme zobrazení | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \phi\equiv u_1&=x_1+\dots+x_n\\ | ||
+ | u_2&=x_2\\ | ||
+ | &\xvdots\\ | ||
+ | u_n&=x_n | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | \[ | ||
+ | \abs{\J_{\phi^{-1}}}= | ||
+ | \begin{vmatrix} | ||
+ | 1 & -1 & \hdots & -1 & -1\\ | ||
+ | 0 & 1 & \hdots & 0 & 0\\ | ||
+ | & & \ddots & & \vdots\\ | ||
+ | & & & 1 & 0\\ | ||
+ | & & & & 1 | ||
+ | \end{vmatrix} | ||
+ | =1. | ||
+ | \] | ||
+ | \[ | ||
+ | f_{\mathbf U}(\mathbf u)= | ||
+ | \begin{cases} | ||
+ | 1\cdot\alpha^n \e^{-\alpha u_1}& u_j>0,\ u_1-\dots-u_n>0\\ | ||
+ | 0 &\text{jinak}. | ||
+ | \end{cases} | ||
+ | \] | ||
+ | \[ | ||
+ | \begin{split} | ||
+ | f_{U_1}(u_1)&=\idotsint_{\substack{u_j>0\\u_1-\dots-u_n>0}} | ||
+ | \alpha^n \e^{-\alpha u_1}\,\d u_2\d u_3\cdots\d u_n=\\ | ||
+ | &=\alpha^n \e^{-\alpha u_1}\idotsint_{\substack{u_j>0\\u_1-\dots-u_n>0}} | ||
+ | 1\,\d u_2\d u_3\cdots\d u_n= | ||
+ | \frac{\alpha^n}{(n-1)!}u_1^{n-1}\e^{-\alpha u_1} | ||
+ | \end{split} | ||
+ | \] | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \subsection{Normální (Gaussovo) rozdělení} | ||
+ | Značíme $N(\mu,\sigma^2)$, | ||
+ | \[f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2\right), | ||
+ | \quad x\in\R,\mu\in\R,\sigma>0 | ||
+ | \] | ||
+ | Dále zavádíme | ||
+ | \[ | ||
+ | N(0,1)\equiv\phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{x^2}{2}\right),\quad | ||
+ | \Phi(x)=\int_{-\infty}^x\phi(t)\,\d t. | ||
+ | \] | ||
+ | |||
+ | \begin{figure} | ||
+ | \epsfbox{gauss.eps} | ||
+ | \caption{Hustota pravděpodobnosti při normálním rozdělení} | ||
+ | \end{figure} | ||
+ | |||
+ | \begin{remark} | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item | ||
+ | Je-li $X\sim N(\mu,\sigma^2)$, potom | ||
+ | \[F_X(x)=\Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right),\quad | ||
+ | f_X(x)=\frac1\sigma\phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)\] | ||
+ | \[ | ||
+ | \begin{split} | ||
+ | P(x_1\le X\le x_2)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} | ||
+ | \int_{x_1}^{x_2}\exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2\right)= | ||
+ | F_X(x_2)-F_X(x_1)=\\ | ||
+ | &=\Phi\left(\frac{x_2-\mu}{\sigma}\right)- | ||
+ | \Phi\left(\frac{x_1-\mu}{\sigma}\right) | ||
+ | \end{split} | ||
+ | \] | ||
+ | \item Pravidla $1\sigma$, $2\sigma$, $3\sigma$: | ||
+ | \[P(\mu-\sigma<X\le\mu+\sigma)=P\left( | ||
+ | -1<\frac{x-\mu}{\sigma}\le 1 | ||
+ | \right)=\Phi(1)-\Phi(-1)\] | ||
+ | \item Buď $X\sim N(\mu,\sigma^2)$, $Y=aX+b$. Potom | ||
+ | \[\abs{\J}=\frac1{\abs{a}},\] | ||
+ | \[ | ||
+ | \begin{split} | ||
+ | f_Y(y)&=\frac1{\abs{a}}f_X\left(\frac{y-b}{a}\right)= | ||
+ | \frac1{\abs{a}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} | ||
+ | \exp\left(\frac{-\left(\frac{y-b}{a}-\mu\right)^2}{2\sigma^2}\right)=\\ | ||
+ | &=\frac1{\abs{a}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} | ||
+ | \exp\left(-\frac{(y-(b+\mu a))^2}{2a^2\sigma^2}\right) | ||
+ | \sim N(a\mu+b,a^2\sigma^2) | ||
+ | \end{split} | ||
+ | \] | ||
+ | \item | ||
+ | Pokud položíme $a=1/\sigma$, $b=-\mu/\sigma$, dostáváme | ||
+ | \[Y=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1).\] | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \end{remark} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | Buďte $X_1\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)$, $X_2\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$ | ||
+ | nezávislé. Potom $X_1+X_2\sim N(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)$. | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | \[ | ||
+ | \begin{split} | ||
+ | f_Y(y)&=\int_{-\infty}^\infty | ||
+ | f_{X_1}(y-x)f_{X_2}(x)\,\d x=\\ | ||
+ | &=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2} | ||
+ | \int_{-\infty}^\infty | ||
+ | \exp\left( | ||
+ | -\frac1{2\sigma_1^2}(y-x-\mu_1)^2 | ||
+ | -\frac1{2\sigma_2^2}(x-\mu_2)^2 | ||
+ | \right)\,\d x=\\ | ||
+ | &=\frac{1}{\sqrt{2\pi(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}} | ||
+ | \exp\left(-\frac{1}{2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}(y-\mu_1-\mu_2)^2\right). | ||
+ | \end{split} | ||
+ | \] | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \begin{remark} | ||
+ | Indukcí to lze rozšířit na libovolný konečný počet náhodných veličin: | ||
+ | \[Y=\sum_{k=1}^n a_kX_k\sim N\left(\sum_{k=1}^n a_k\mu_k, | ||
+ | \sum_{k=1}^n a_k^2\sigma_k^2\right).\] | ||
+ | \end{remark} | ||
+ | |||
+ | \begin{dusl} | ||
+ | Buďte $X_k$ iid podle $N(\mu,\sigma^2)$. Potom | ||
+ | \[Y=\frac1n\sum_{k=1}^n X_k\sim N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right),\] | ||
+ | tj. s~rostoucím počtem veličin klesá rozptyl průměru. | ||
+ | \end{dusl} | ||
+ | |||
+ | \subsection{Rozdělení $\chi^2$ (Pearsonovo)} | ||
+ | Buďte $X_1,\dots,X_n$ iid $N(0,1)$. Potom definujeme rozdělení | ||
+ | $\chi^2$ jako | ||
+ | \[\sum_{i=1}^n X_i^2\sim\chi^2(n).\] | ||
+ | Odvození: Protože $X_j$ jsou nezávislé, je | ||
+ | \[f_{\mathbf X}(\mathbf x)=\prod_{j=1}^n N(0,1)= | ||
+ | (2\pi)^{-n/2}\exp\left(-\frac12\sum_{j=1}^n X_j^2\right).\] | ||
+ | Použijeme transformaci | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | x_1&=\rho\cos\phi_1\cos\phi_2\cdots\cos\phi_{n-1}\\ | ||
+ | x_2&=\rho\cos\phi_1\cos\phi_2\cdots\sin\phi_{n-1}\\ | ||
+ | &\xvdots\\ | ||
+ | x_n&=\rho\sin\phi_1 | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | Jakobián transformace má tvar | ||
+ | $\abs{\J}=\rho^{n-1}D(\phi_1,\dots,\phi_n)$, definiční obor je | ||
+ | $\phi_{n-1}\in(0,2\pi)$, $\phi_j\in(0,\pi)$ pro $j\in\widehat{n-2}$, | ||
+ | $\rho>0$. Potom platí | ||
+ | \[ | ||
+ | f_{\rho,\phi_1,\dots,\phi_{n-1}}(\cdots)= | ||
+ | (2\pi)^{-n/2}\e^{-\rho^2/2}\rho^{n-1}D(\phi_1,\dots,\phi_n). | ||
+ | \] | ||
+ | \[ | ||
+ | \begin{split} | ||
+ | f_\rho(\rho)&= | ||
+ | (2\pi)^{-n/2}\rho^{n-1}\e^{-\rho^2/2} | ||
+ | \int_0^{2\pi}\int_0^\pi\cdots\int_0^\pi D(\phi_1,\dots,\phi_n) | ||
+ | \,\d\phi_1,\cdots\d\phi_{n-1}=\\ | ||
+ | &=(2\pi)^{-n/2}\rho^{n-1}\e^{-\rho^2/2}\int_{B(0,1)}1 | ||
+ | \,\d x_1\cdots \d x_n. | ||
+ | \end{split} | ||
+ | \] | ||
+ | Po normování dostaneme | ||
+ | \[ | ||
+ | f_\rho(\rho)= | ||
+ | \frac{1}{\gammaf\left(\frac n2\right)2^{\frac n2-1}} | ||
+ | \rho^{n-1}\e^{-\rho^2/2}. | ||
+ | \] | ||
+ | Protože $X=\rho^2$, je | ||
+ | \[f_X(x)=\frac{1}{2\Gamma\left(\frac n2\right)} | ||
+ | \left(\frac x2\right)^{\frac n2-1}\e^{-\frac x2}.\] | ||
+ | Také platí, že $\chi^2(n)=G(n/2,2)$. | ||
+ | |||
+ | \begin{figure} | ||
+ | \epsfbox{chi2.eps} | ||
+ | \caption{Hustota pravděpodobnosti při rozdělení $\chi^2$} | ||
+ | \end{figure} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | Buďte $Y_1,\dots,Y_m\sim \chi^2(n_i)$, nezávislé. Potom | ||
+ | \[\sum_{i=1}^m Y_i\sim \chi^2\left(\sum_{i=1}^m n_i\right).\] | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Platí, že | ||
+ | \[ | ||
+ | \begin{split} | ||
+ | f_{Y_1+Y_2}&=\int_0^u f_{Y_1}(u-v)f_{Y_2}(v)\,\d v=\\ | ||
+ | &=\frac{1}{4\gammaf\left(\frac{n_1}2\right)\gammaf\left(\frac{n_2}2\right)} | ||
+ | \exp\left(-\frac u2\right) | ||
+ | \int_0^u\left(\frac{u-v}2\right)^{\frac{n_1}2-1} | ||
+ | \left(\frac{v}2\right)^{\frac{n_2}2-1}\,\d v=\\ | ||
+ | &=\frac{1}{4\gammaf\left(\frac{n_1}2\right)\gammaf\left(\frac{n_2}2\right)} | ||
+ | 2\left(\frac u2\right)^{\frac{n_1+n_2}{2}-1} | ||
+ | \betaf\left(\frac{n_1}2,\frac{n_2}2\right)=\\ | ||
+ | &=\frac{1}{2\gammaf\left(\frac{n_1+n_2}2\right)} | ||
+ | \left(\frac u2\right)^{\frac{n_1+n_2}{2}-1} | ||
+ | \exp\left(-\frac u2\right). | ||
+ | \end{split} | ||
+ | \] | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \subsection{Studentovo rozdělení} | ||
+ | Značíme $t(n)$. $X$, $Y$ jsou nezávislé, $X\sim N(0,1)$, | ||
+ | $Y\sim\chi^2(n)$, | ||
+ | \[T=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}\sim t(n).\] | ||
+ | \[f_T(t)=\frac{1}{\betaf\left(\frac12,\frac n2\right)} | ||
+ | n^{n/2}(n+t^2)^{-\frac{n+1}2}.\] | ||
+ | |||
+ | \subsection{Fisherovo rozdělení} | ||
+ | Značíme $F_{n,m}$. Buďte $X,Y$ nezávislé, $X\sim\chi^2(n)$, | ||
+ | $Y\sim\chi^2(m)$, | ||
+ | \[U\sim\frac{\frac{X}{n}}{\frac{Y}{m}}\sim F_{n,m}.\] | ||
+ | \[f_U(u)=\frac{1}{\betaf\left(\frac m2,\frac n2\right)} | ||
+ | \left(\frac mn\right)^{\frac m2}u^{\frac m2 -1} | ||
+ | \left(1+\frac mn u\right)^{-\frac{m+n}2}\] | ||
+ | |||
+ | \subsection{Exponenciální třída hustot} | ||
+ | $h:\R^n\mapsto\R^s$, $g:\R^s\mapsto\R^s$, $T:\R^n\mapsto\R^s$. | ||
+ | \[f_{\mathbf X}=h(\mathbf x)c(\Theta)\Exp(g(\Theta)T(\mathbf x))\] | ||
+ | \[\Exp(\theta)=\frac1\theta\exp\left(\frac{-x}{\theta}\right)\] | ||
+ | |||
+ | \subsection{Weibullovo rozdělení} | ||
+ | \[F_X(x)=1-\exp\left(-\frac{(x-\mu)^\beta}c\right)\] |
Verze z 1. 11. 2010, 19:31
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01PRA1_2
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01PRA1_2 | Karel.brinda | 2. 11. 2010 | 13:27 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Valapet2 | 5. 3. 2016 | 19:31 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Fucikrad | 9. 1. 2012 | 14:04 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Úvod | Karel.brinda | 1. 11. 2010 | 19:29 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Diskrétní náhodné veličiny | Karel.brinda | 1. 11. 2010 | 19:30 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Vícerozměrná diskrétní rozdělení | Karel.brinda | 1. 11. 2010 | 19:30 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Absolutně spojitá rozdělení | Valapet2 | 3. 3. 2016 | 11:51 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Funkce náhodných veličin | Karel.brinda | 1. 11. 2010 | 19:31 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Příklady absolutně spojitých rozdělení | Valapet2 | 5. 3. 2016 | 19:35 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Charakteristiky náhodných veličin | Karel.brinda | 1. 11. 2010 | 19:32 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Charakteristiky vícerozměrných náhodných veličin | Karel.brinda | 1. 11. 2010 | 19:32 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Konvergence na prostoru náhodných veličin | Karel.brinda | 1. 11. 2010 | 19:32 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Limitní věty teorie pravděpodobnosti | Karel.brinda | 1. 11. 2010 | 19:33 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Základní pojmy ze statistiky | Karel.brinda | 1. 11. 2010 | 19:33 | kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Odhad parametrů rozdělení | Karel.brinda | 1. 11. 2010 | 19:33 | kapitola12.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:Gauss.eps | Gauss.eps |
Image:Fisher.eps | Fisher.eps |
Image:Gamma.eps | Gamma.eps |
Image:Chi2.eps | Chi2.eps |
Image:Pravd.eps | Pravd.eps |
Image:Gauss1.pdf | Gauss.pdf |
Image:Fisher.eps | Fisher.pdf |
Image:Gamma.pdf | Gamma.pdf |
Image:Chi2.pdf | Chi2.pdf |
Image:Beta.pdf | Beta.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01PRA1_2} \section{Příklady absolutně spojitých rozdělení} \subsection{Gama rozdělení} Značíme $G(\alpha,\beta)$. \[ f_X(x)=\frac{1}{\gammaf(\alpha)\beta^\alpha}x^{\alpha-1}\e^{-x/\beta}, \quad x>0,\alpha>0,\beta>0. \] \[ \int_\R f_X(x)\,\d x= \frac{1}{\gammaf(\alpha)}\int_\R t^{\alpha-1}\e^{-t}\,\d t=1. \] \begin{figure} \epsfbox{gamma.eps} \caption{Hustota pravděpodobnosti při gama-rozdělení} \end{figure} \subsection{Beta rozdělení} Značíme $B(p,q)$, \[f_X(x)=\frac{x^{p-1}(1-x)^{q-1}}{\betaf(p,q)},\quad 0<x<1,p>0,q>0.\] \begin{figure} \epsfbox{beta.eps} \caption{Hustota pravděpodobnosti při beta-rozdělení} \end{figure} \subsection{Rovnoměrné rozdělení} Značíme $U_G$, $G\subset\R^n$, \[f_{\mathbf X}(\mathbf x)= \begin{cases} \frac{1}{\mu G}&x\in G\\ 0&\text{jinde.} \end{cases} \] \subsection{Exponenciální rozdělení} Značíme $\Exp(\alpha,\mu)$, $\mu\in\R$, $\alpha>0$, \[ f_X(x)= \begin{cases} \alpha \e^{-\alpha(x-\mu)}&x>\mu\\ 0&\text{jinak.} \end{cases} \] Pro distribuční funkci platí \[ F_X(x)=1-\e^{-\alpha(x-\mu)}. \] Alternativní definice: $\alpha=1/\theta$, $\mu=0$, \[\Exp(\theta)=\frac1{\theta}\e^{-\frac{x}{\theta}}.\] \begin{theorem} Buďte $X_1,\dots,X_n$ nezávislé a identicky distribuované podle $\Exp(\alpha,0)$. Pak $X_1+\dots+X_n\sim G(n,\frac1\alpha)$. \begin{proof} \[f_{\mathbf X}(\mathbf x)=\prod_{j=1}^n f_{X_j}(x_j)= \begin{cases} \alpha^n \e^{-\alpha\sum_{j=1}^n x_j}&\min_{j\in\hat n}(x_j)>0\\ 0&\text{jinak.} \end{cases} \] \[Y=\sum_{j=1}^n X_j,\] definujeme zobrazení \begin{align*} \phi\equiv u_1&=x_1+\dots+x_n\\ u_2&=x_2\\ &\xvdots\\ u_n&=x_n \end{align*} \[ \abs{\J_{\phi^{-1}}}= \begin{vmatrix} 1 & -1 & \hdots & -1 & -1\\ 0 & 1 & \hdots & 0 & 0\\ & & \ddots & & \vdots\\ & & & 1 & 0\\ & & & & 1 \end{vmatrix} =1. \] \[ f_{\mathbf U}(\mathbf u)= \begin{cases} 1\cdot\alpha^n \e^{-\alpha u_1}& u_j>0,\ u_1-\dots-u_n>0\\ 0 &\text{jinak}. \end{cases} \] \[ \begin{split} f_{U_1}(u_1)&=\idotsint_{\substack{u_j>0\\u_1-\dots-u_n>0}} \alpha^n \e^{-\alpha u_1}\,\d u_2\d u_3\cdots\d u_n=\\ &=\alpha^n \e^{-\alpha u_1}\idotsint_{\substack{u_j>0\\u_1-\dots-u_n>0}} 1\,\d u_2\d u_3\cdots\d u_n= \frac{\alpha^n}{(n-1)!}u_1^{n-1}\e^{-\alpha u_1} \end{split} \] \end{proof} \end{theorem} \subsection{Normální (Gaussovo) rozdělení} Značíme $N(\mu,\sigma^2)$, \[f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2\right), \quad x\in\R,\mu\in\R,\sigma>0 \] Dále zavádíme \[ N(0,1)\equiv\phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{x^2}{2}\right),\quad \Phi(x)=\int_{-\infty}^x\phi(t)\,\d t. \] \begin{figure} \epsfbox{gauss.eps} \caption{Hustota pravděpodobnosti při normálním rozdělení} \end{figure} \begin{remark} \begin{enumerate} \item Je-li $X\sim N(\mu,\sigma^2)$, potom \[F_X(x)=\Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right),\quad f_X(x)=\frac1\sigma\phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)\] \[ \begin{split} P(x_1\le X\le x_2)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \int_{x_1}^{x_2}\exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2\right)= F_X(x_2)-F_X(x_1)=\\ &=\Phi\left(\frac{x_2-\mu}{\sigma}\right)- \Phi\left(\frac{x_1-\mu}{\sigma}\right) \end{split} \] \item Pravidla $1\sigma$, $2\sigma$, $3\sigma$: \[P(\mu-\sigma<X\le\mu+\sigma)=P\left( -1<\frac{x-\mu}{\sigma}\le 1 \right)=\Phi(1)-\Phi(-1)\] \item Buď $X\sim N(\mu,\sigma^2)$, $Y=aX+b$. Potom \[\abs{\J}=\frac1{\abs{a}},\] \[ \begin{split} f_Y(y)&=\frac1{\abs{a}}f_X\left(\frac{y-b}{a}\right)= \frac1{\abs{a}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left(\frac{-\left(\frac{y-b}{a}-\mu\right)^2}{2\sigma^2}\right)=\\ &=\frac1{\abs{a}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left(-\frac{(y-(b+\mu a))^2}{2a^2\sigma^2}\right) \sim N(a\mu+b,a^2\sigma^2) \end{split} \] \item Pokud položíme $a=1/\sigma$, $b=-\mu/\sigma$, dostáváme \[Y=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1).\] \end{enumerate} \end{remark} \begin{theorem} Buďte $X_1\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)$, $X_2\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$ nezávislé. Potom $X_1+X_2\sim N(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)$. \begin{proof} \[ \begin{split} f_Y(y)&=\int_{-\infty}^\infty f_{X_1}(y-x)f_{X_2}(x)\,\d x=\\ &=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2} \int_{-\infty}^\infty \exp\left( -\frac1{2\sigma_1^2}(y-x-\mu_1)^2 -\frac1{2\sigma_2^2}(x-\mu_2)^2 \right)\,\d x=\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}} \exp\left(-\frac{1}{2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}(y-\mu_1-\mu_2)^2\right). \end{split} \] \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} Indukcí to lze rozšířit na libovolný konečný počet náhodných veličin: \[Y=\sum_{k=1}^n a_kX_k\sim N\left(\sum_{k=1}^n a_k\mu_k, \sum_{k=1}^n a_k^2\sigma_k^2\right).\] \end{remark} \begin{dusl} Buďte $X_k$ iid podle $N(\mu,\sigma^2)$. Potom \[Y=\frac1n\sum_{k=1}^n X_k\sim N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right),\] tj. s~rostoucím počtem veličin klesá rozptyl průměru. \end{dusl} \subsection{Rozdělení $\chi^2$ (Pearsonovo)} Buďte $X_1,\dots,X_n$ iid $N(0,1)$. Potom definujeme rozdělení $\chi^2$ jako \[\sum_{i=1}^n X_i^2\sim\chi^2(n).\] Odvození: Protože $X_j$ jsou nezávislé, je \[f_{\mathbf X}(\mathbf x)=\prod_{j=1}^n N(0,1)= (2\pi)^{-n/2}\exp\left(-\frac12\sum_{j=1}^n X_j^2\right).\] Použijeme transformaci \begin{align*} x_1&=\rho\cos\phi_1\cos\phi_2\cdots\cos\phi_{n-1}\\ x_2&=\rho\cos\phi_1\cos\phi_2\cdots\sin\phi_{n-1}\\ &\xvdots\\ x_n&=\rho\sin\phi_1 \end{align*} Jakobián transformace má tvar $\abs{\J}=\rho^{n-1}D(\phi_1,\dots,\phi_n)$, definiční obor je $\phi_{n-1}\in(0,2\pi)$, $\phi_j\in(0,\pi)$ pro $j\in\widehat{n-2}$, $\rho>0$. Potom platí \[ f_{\rho,\phi_1,\dots,\phi_{n-1}}(\cdots)= (2\pi)^{-n/2}\e^{-\rho^2/2}\rho^{n-1}D(\phi_1,\dots,\phi_n). \] \[ \begin{split} f_\rho(\rho)&= (2\pi)^{-n/2}\rho^{n-1}\e^{-\rho^2/2} \int_0^{2\pi}\int_0^\pi\cdots\int_0^\pi D(\phi_1,\dots,\phi_n) \,\d\phi_1,\cdots\d\phi_{n-1}=\\ &=(2\pi)^{-n/2}\rho^{n-1}\e^{-\rho^2/2}\int_{B(0,1)}1 \,\d x_1\cdots \d x_n. \end{split} \] Po normování dostaneme \[ f_\rho(\rho)= \frac{1}{\gammaf\left(\frac n2\right)2^{\frac n2-1}} \rho^{n-1}\e^{-\rho^2/2}. \] Protože $X=\rho^2$, je \[f_X(x)=\frac{1}{2\Gamma\left(\frac n2\right)} \left(\frac x2\right)^{\frac n2-1}\e^{-\frac x2}.\] Také platí, že $\chi^2(n)=G(n/2,2)$. \begin{figure} \epsfbox{chi2.eps} \caption{Hustota pravděpodobnosti při rozdělení $\chi^2$} \end{figure} \begin{theorem} Buďte $Y_1,\dots,Y_m\sim \chi^2(n_i)$, nezávislé. Potom \[\sum_{i=1}^m Y_i\sim \chi^2\left(\sum_{i=1}^m n_i\right).\] \begin{proof} Platí, že \[ \begin{split} f_{Y_1+Y_2}&=\int_0^u f_{Y_1}(u-v)f_{Y_2}(v)\,\d v=\\ &=\frac{1}{4\gammaf\left(\frac{n_1}2\right)\gammaf\left(\frac{n_2}2\right)} \exp\left(-\frac u2\right) \int_0^u\left(\frac{u-v}2\right)^{\frac{n_1}2-1} \left(\frac{v}2\right)^{\frac{n_2}2-1}\,\d v=\\ &=\frac{1}{4\gammaf\left(\frac{n_1}2\right)\gammaf\left(\frac{n_2}2\right)} 2\left(\frac u2\right)^{\frac{n_1+n_2}{2}-1} \betaf\left(\frac{n_1}2,\frac{n_2}2\right)=\\ &=\frac{1}{2\gammaf\left(\frac{n_1+n_2}2\right)} \left(\frac u2\right)^{\frac{n_1+n_2}{2}-1} \exp\left(-\frac u2\right). \end{split} \] \end{proof} \end{theorem} \subsection{Studentovo rozdělení} Značíme $t(n)$. $X$, $Y$ jsou nezávislé, $X\sim N(0,1)$, $Y\sim\chi^2(n)$, \[T=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}\sim t(n).\] \[f_T(t)=\frac{1}{\betaf\left(\frac12,\frac n2\right)} n^{n/2}(n+t^2)^{-\frac{n+1}2}.\] \subsection{Fisherovo rozdělení} Značíme $F_{n,m}$. Buďte $X,Y$ nezávislé, $X\sim\chi^2(n)$, $Y\sim\chi^2(m)$, \[U\sim\frac{\frac{X}{n}}{\frac{Y}{m}}\sim F_{n,m}.\] \[f_U(u)=\frac{1}{\betaf\left(\frac m2,\frac n2\right)} \left(\frac mn\right)^{\frac m2}u^{\frac m2 -1} \left(1+\frac mn u\right)^{-\frac{m+n}2}\] \subsection{Exponenciální třída hustot} $h:\R^n\mapsto\R^s$, $g:\R^s\mapsto\R^s$, $T:\R^n\mapsto\R^s$. \[f_{\mathbf X}=h(\mathbf x)c(\Theta)\Exp(g(\Theta)T(\mathbf x))\] \[\Exp(\theta)=\frac1\theta\exp\left(\frac{-x}{\theta}\right)\] \subsection{Weibullovo rozdělení} \[F_X(x)=1-\exp\left(-\frac{(x-\mu)^\beta}c\right)\]