01MAA4cviceni:Kapitola4: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
m (oprava chyby v derivaci.) |
m |
||
Řádka 222: | Řádka 222: | ||
\begin{remark} | \begin{remark} | ||
− | Obecná záměna se provadí | + | Obecná záměna se provadí opět pomocí jistého zobrazení |
\[ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \overset{\Psi}{\longleftrightarrow} \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}, \] | \[ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \overset{\Psi}{\longleftrightarrow} \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}, \] | ||
kde $\Psi$ je regulární. | kde $\Psi$ je regulární. |
Aktuální verze z 3. 12. 2017, 11:25
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01MAA4cviceni
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01MAA4cviceni | Admin | 1. 8. 2010 | 11:18 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:47 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Karel.brinda | 30. 3. 2012 | 15:39 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Kvadriky | Kubuondr | 21. 2. 2017 | 17:45 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Implicitní funkce | Admin | 1. 8. 2010 | 11:16 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Extrémy na varietách | Vybirja2 | 21. 11. 2017 | 14:18 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Záměna proměnných | Kubuondr | 3. 12. 2017 | 11:25 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Lebesqueův integrál | Kubuondr | 17. 4. 2017 | 21:19 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Funkce komplexní proměnné | Admin | 1. 8. 2010 | 11:17 | kapitola6.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Soubor:Vivi01.jpg | Vivi01.jpg |
Soubor:Krivk1.jpg | Krivk1.jpg |
Soubor:Kuzel1.jpg | Kuzel1.jpg |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA4cviceni} \section{Záměna proměnných} \begin{define} (\textsc{Regulární zobrazení}) \index{Definice!Regulárního zobrazení} \label{DRegularni} Zobrazení $f : (\Rn) \to \Rn$ se nazývá regulární, právě když platí \begin{enumerate}[(i)] \item $(\defo f ) = (\defo f) \vnitr$, \item $f \in C^{(1)}(\defo f)$, \item $(\forall x \in \defo f)(f'(x)$ je regulární $)$. \end{enumerate} \end{define} \begin{remark} Regulární zobrazení je lokálně invertovatelné (jsou pro něj splněny požadavky Věty o inverzi \ref{VInverze}). To znamená, že regulární zobrazení je lokálně prosté, \[ f, f' \in C^{(1)}. \] Regulární zobrazení je též difeomorfismem. \end{remark} % klasifikace zamen ------------------------------------------------ \medskip \subsection{Klasifikace záměn proměnných} V následujících odstavcích probereme záměny proměnných v obyčejných i parciálních diferenciálních výrazech. %Zamena v obyc ----------------------------------- \medskip \subsection{Záměna proměnných v obyčejných diferenciálních výrazech} Nechť $y = y (x)$ je funkce ($y: (\R) \to \R$). Pod obyčejným diferenciálním výrazem myslíme výrazy typu \[ F = F (x,y(x), y'(x), \ldots , y^{(m)}(x)), \ m \ge 1. \] Záměnou proměnných přecházíme od starých proměnných $x$, $y$ k novým $t$ a $u$. \[ \svekt{x}{y} \longleftrightarrow \svekt{t}{u} \] Což můžeme vystihnout pomocí zobrazení \[ \Psi \svekt{x}{y} = \svekt{t}{u}, \] kde $\Psi$ je regulární, tedy matice \label{PTransform} \[ \begin{pmatrix} \parc{\Psi^1}{x} & \parc{\Psi^1}{y} \\ \parc{\Psi^2}{x} & \parc{\Psi^2}{y} \end{pmatrix} \] je regulární. \begin{remark} V záměně popsané výše považujeme staré $x$ a nové $t$ za nezávislé proměnné. Naopak $y$ a $u$ za závislé, a tedy \begin{gather*} y = y(x), \\ u =u(t). \end{gather*} \end{remark} Pro přehled všech možností, které probereme, následuje malé schámátko \begin{enumerate} \item[I.] Záměna nezávislých proměnných \begin{enumerate} \item[a)] Staré pomocí nových \item[b)] Nové pomocí starých \item[c)] Implicitně $\Phi (t,x) = 0$ \end{enumerate} \item[II.] Záměna závislých a nezávislých proměnných \begin{enumerate} \item[a)] Staré pomocí nových \item[b)] Nové pomocí starých \item[c)] Implicitně $\Phi (t,u,x,y) = 0$ \end{enumerate} \end{enumerate} % I --------------------- \medskip \subsection{I. Záměna nezávislých proměnných} Zobrazení $\Psi$ v tomto případě vypadá takto \[ \Psi \svekt{x}{y} = \svekt{\Psi^1(x)}{y}=\svekt{t}{u}. \] % Ia --------------------- \medskip \subsubsection{I. a) Staré pomocí nových } Máme \begin{gather*} \svekt{x}{y} = \svekt{\varphi(t)}{u} = \Psi^{-1} \svekt{t}{u}, \\ x = \varphi(t). \end{gather*} $\varphi$ musí být dostatečně diferencovatelné ($\varphi \in C^{(m)}$) vzhledem k povaze $F$. Zároveň je $\Phi$ regulární, neboť $\dot{\varphi} = \derv{\varphi}{t} \ne 0$. Nyní sestavíme tzv. \textsc{Základní identitu}\index{Identita!Základní}, která nám pomůže vyjádřit neznámé. V tomto případě má tvar \[ u(t) = y(\varphi(t)). \] Tento vztah derivujeme podle $t$ a získáme \footnote{Pozor! $\dot{\varphi} = \derv{\varphi}{t}$, $y' = \derv{y}{x}$.} \begin{equation} \label{deriv1} \dot{u} (t) = y' (\varphi (t)) \cdot \dot{\varphi} (t) \ \Rightarrow \ y'(\varphi(t)) = \frac{1}{\dot{\varphi (t)}} \dot{u} (t). \end{equation} Pokud chceme derivace vyššího řádu, nic nám nebrání derivovat identitu dál. \begin{equation} \label{deriv2} y''(\varphi(t)) = \frac{\dot{u} (t)}{(\dot{\varphi}(t))^2} - \frac{\dot{u}(t) \ddot{\varphi}(t)}{(\dot{\varphi}(t))^3} \quad \textrm{atd.} \end{equation} \par Dále můžeme využít operátorového zápisu. Vyjdeme ze vztahu pro první derivaci \eqref{deriv2}. Operátorově se to dá přepsat následovně \[ \frac{\difer}{\difer x} = \frac{1}{\dot{\varphi}} \frac{\difer}{\difer t}. \] Rekurzivně zapíšeme derivaci $k$-tého řádu \[ \frac{\difer^k}{\difer x^k} = \frac{\difer}{\difer x} \Big( \frac{\difer^{k-1}}{\difer x^{k-1}} \Big). \] Pro náš případ druhé derivace v rovnici \eqref{deriv2} dostaneme \begin{gather*} \frac{\difer^2}{\difer x^2} = \frac{1}{\dot{\varphi}} \frac{\difer}{\difer t} \Big( \frac{1}{\dot{\varphi}} \frac{\difer}{\difer t} \Big) = \frac{1}{\dot{\varphi}^2} \frac{\difer^2}{\difer t^2} - \frac{\ddot{\varphi}}{\dot{\varphi}^3} \frac{\difer}{\difer t}, \end{gather*} což souhlasí. % Ib ----------- \medskip \subsubsection{ I. b) Nové pomocí starých } V tomto případě zaměňujeme \[ t = \alpha(x), \ \alpha \in C^{(m)}, \alpha ' \ne \Theta. \] Sestrojíme základní identitu \[ y(x) = u(\alpha(x)). \] Odtud snadno dostáváme derivace \begin{align*} y'(x) &= \dot{u}(\alpha (x)) \cdot \alpha ' (x) \\ y''(x) &= \ddot{u} (\alpha(x)) \cdot (\alpha ' (x))^2 + \dot{u} (\alpha (x)) \cdot \alpha '' (x). \end{align*} Operátorové zápisy jsou již patrny z výše uvedených derivací. % Ic ---------- \medskip \subsubsection{ I. c) Implicitně $\Phi (t,x) = 0$} V tomto případě požadujeme $\BP{x} \Phi$, $BP{t} \Phi \ne 0$. \par Případ \textbf{I. a)} dostaneme volbou $x= \varphi(t)$, pak máme $\Phi(t, \varphi(t)) = 0$ odkud derivací získáme \[ \dot{\varphi} = -\frac{\BP{t}\Phi}{\BP{x}\Phi}. \] \par Druhou záměnu v \textbf{I. b)} dostaneme, pokud $t = \alpha (x)$, a tedy $\Phi(\alpha(x),x) = 0$. Odkud již snadno \[ \alpha ' (x) = - \frac{\BP{x}\Phi}{\BP{t}\Phi}. \] \begin{remark} Celkem jsme převedli $F(x,y,y', \ldots)$ na cosi jako $\widetilde{F}(t,u,\dot{u}, \ldots)$. \end{remark} \begin{example} Ve výrazu \[ F(x,y,y',y'') = x^2y'' + xy' + y, \] kde $x \in (0, + \infty)$ a $y \in C^{(2)}$, proveďte záměnu $x = e^t$. \end{example} \begin{example} Proveďte Keplerovu transformaci \index{Transformace!Keplerova} výrazu \[ F(x,y,y',y'') = y'' - y' \frac{\epsilon \sin x}{1-\epsilon \cos x} - y (1-\epsilon \cos x)^2, \] kde $\epsilon \in (0,1)$, $x \in \R$ a $y \in C^{(2)}$. A \[ t = x - \epsilon \sin x. \] \[ \] \end{example} % II --------------------- \medskip \subsection{II. Záměna závislých a nezávislých proměnných} %II a ----------------------------------- \medskip \subsubsection{\textbf{II. a)} Staré pomocí nových} Narozdíl od předešlých případů máme pro záměnu \begin{align*} x &= \varphi(t,u) &\textrm{staré:} \ y=y(x), \\ y &= \psi(t,u) &\textrm{nové:} \ u=u(t). \end{align*} Pro další postup předpokládáme, že $\varphi, \psi \in C^{(n)}$, regulární. Sestrojme základní identitu \[ \psi(t,u) = y( \varphi(t,u)). \] Naší oblíbenou činností \footnote{Derivováním podle $t$} vyjádříme \[ y' = (\BP{t} \psi + \BP{u} \psi \cdot \dot{u}) (\BP{t} \varphi + \BP{u} \varphi \cdot \dot{u})^{-1}. \] Další derivací bychom dostali výrazy pro vyšší řády. % IIb ----------------------------------- \medskip \subsubsection{\textbf{II. b)} Nové pomocí starých} Nyní platí \[ t = \alpha (x,y), \quad u = \beta (x,y), \] kde $\alpha, \beta \in C^{(n)}$, regulární. Základní identita \[ \beta(x,y) = u(\alpha(x,y)) \] dává po derivaci podle $x$ \[ y' = \frac{\dot{u} \cdot \BP{x}\alpha - \BP{x} \beta}{\BP{y} \beta - \dot{u} \BP{y} \alpha}. \] % IIc ----------------------------------- \medskip \subsubsection{\textbf{III. c)} Implicitně} \begin{example} V rovnici \[ (1-x^2)^2 y'' = -y \] proveďte substituci \begin{align*} x &= \tanh t, \\ y &= \frac{u}{\cosh t} \end{align*} a uvidíte. \end{example} \begin{example} V Stokesově rovnici \[ y'' = \frac{Ay}{(x-a)^2(x-b)^2} \] proveďte záměnu \begin{align*} u &= \frac{y}{x-b}, \\ t &= \ln \frac{x-a}{x-b}. \end{align*} \end{example} %Zamena v PARCIALNICH ----------------------------------- \medskip \subsection{Záměna proměnných v parciálních diferenciálních výrazech} Označme \[ z= z (x_1, x_2, \ldots, x_n), \] a tzv. multiindex \index{Multiindex} \[ \alpha = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n). \] Jeho délka je rovna \[ | \alpha | = \sum_{i=1} ^{n} \alpha _i. \] Parciální derivace jistho řádu se pak dá zapsat jako \[ D _Z ^{\alpha} = \frac{\partial ^{| \alpha |} Z}{\partial x_1 ^{\alpha_1} \dots \partial x_n ^{\alpha_n}}. \] Parciální difierenciální výraz $m$-tého řádu je výraz typu \[ F = F(x_1, \ldots, x_n, z, \{ D_Z ^{\alpha} \big| \ | \alpha | \ge m \}). \] V dalším textu se omezíme na funkci dvou proměnných $z = z(x,y)$. Analogicky záměnnám v obyčejných diferenciálních výrazech budeme studovat jisté případy. % I ----------------------------------- \medskip \subsection{I. Záměna nezávislých proměnných} \begin{remark} Obecná záměna se provadí opět pomocí jistého zobrazení \[ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \overset{\Psi}{\longleftrightarrow} \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}, \] kde $\Psi$ je regulární. \end{remark} Nyní v situaci I. platí, že $z=w$. %Ia ----------------------------------- \medskip \subsubsection{\textbf{I. a)} Staré pomocí nových} Máme \begin{align*} x &= \varphi(u,v), y &= \psi(u,v) \end{align*} a \[ \Psi \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \varphi(u,v) \\ \psi(u,v) \\ w \end{pmatrix}. \] Základní identita má tvar \[ z( \varphi(u,v), \psi(u,v)) = w(u,v). \] Odtud (po trochu složitějším derivování podle $u$ a $v$) dostaneme \begin{align*} \BP{x} z &= A(u,v) \BP{u} w + B(u,v) \BP{v} w, \\ \BP{y} z &= C(u,v) \BP{u} w + D(u,v) \BP{v} w, \end{align*} nebo operátorově \[ \svekt{\BP{x}}{\BP{y}} = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} \cdot \svekt{\BP{u}}{\BP{v}}. \] %Ib ----------------------------------- \medskip \subsubsection{\textbf{I. b)} Nové pomocí starých} V tomto případě jsou \begin{align*} u &= \alpha(x,y) \\ v &= \beta(x,y) \\ \Psi \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \alpha(x,y) \\ \beta(x,y) \\ z \end{pmatrix}. \end{align*} Napišme si základní identitu \[ z(x,y) = w(\alpha(x,y), \beta(x,y). \] Odtud již snadno derivací podle $x$ a $y$ vyjádříme hledané derivace. %Ic ----------------------------------- \medskip \subsubsection{\textbf{I. c)} Implicitní funkce } \begin{example} Ve výrazu \[ \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = 0, \] proveďte Galileiho transformaci \index{Transformace!Galileiho} \begin{gather*} u = x - ct, \\ v = x + ct. \end{gather*} \end{example} \begin{example} Proveďte záměnu \begin{gather*} x = u, \\ y = wv, \end{gather*} ve výrazu \[ x \BP{x} z + y \BP{y} z = z. \] \end{example} % II ----------------------------------- \medskip \subsection{II. Záměna nezávislých i závislých proměnných} % IIa ----------------------------------- \medskip \subsubsection{\textbf{II. a)} Staré pomocí nových} Máme \begin{align*} x &= \varphi(u,v,w), \\ y &= \psi(u,v,w), \\ z &= \xi(u,v,w). \end{align*} Zobrazení transformace pak vypadá \[ \Psi \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \varphi(u,v,w) \\ \psi(u,v,w) \\ \xi(u,v,w) \end{pmatrix}. \] Základní identita v tomto případě \[ z \big( \varphi(u,v,w(u,v)), \psi(u,v,w(u,v)) \big) = \xi(u,v,w(u,v)) \] po zderivování podle $u$ a $v$ dává opět hledané vztahy. % IIb ----------------------------------- \medskip \subsubsection{\textbf{II. b)} Nové pomocí starých} Máme \begin{align*} u &= \alpha(x,y,z), \\ v &= \beta(x,y,z), \\ w &= \gamma(x,y,z). \end{align*} Zobrazení transformace pak vypadá \[ \Psi \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha(x,y,z) \\ \beta(x,y,z) \\ \gamma(x,y,z) \end{pmatrix}. \] Základní identita v tomto případě \[ w \big( \alpha(x,y,z(x,y)), \beta(x,y,z(x,y)) \big) = \gamma(x,y,z(x,y)) \] po zderivování podle $u$ a $v$ dává opět hledané vztahy. % IIc ----------------------------------- \medskip \subsubsection{\textbf{II. c)} Implicitní vazba} ... \begin{example} Ve výrazu \[ (y-z) \BP{x} z + (y+z) \BP{y} z = 0, \] proveďte záměnu proměnných \begin{align*} u &= y-z, \\ v &= y+z, \\ w &= x. \end{align*} \end{example} % Polarni ------------------------- \medskip \subsection{Polární transformace} \index{Transformace!Polární} Polární transformace je transformace typu \begin{equation} \label{TransPolar} x = \rho \cos \varphi, \ y= \rho \sin \varphi, \end{equation} \[ \svekt{x}{y} \longleftrightarrow \svekt{\rho}{\varphi}. \] Zatím můžeme brát \begin{align*} \rho &\in <0, + \infty), \\ \varphi &\in <-\pi, \pi), \end{align*} neboť pak máme \[ \svekt{x}{y} \in \R^2. \] Tyto obory budeme muset omezit, kvůli požadavku regularity zobrazení \[ \Psi \svekt{\rho}{\varphi} = \svekt{\rho \cos \varphi}{\rho \sin \varphi}. \] Spočítejme derivaci zobrazení $\Psi$, \[ \Psi' \svekt{\rho}{\varphi} = \begin{pmatrix} \cos \varphi & - \rho \sin \varphi \\ \sin \varphi & \rho \cos \varphi \end{pmatrix}.\] A Jakobián (determinant matice $\Psi'$) jest roven \[ \det \Psi' = \boxed{\jak _{\textrm{polární}} = \rho}. \] Požadavek nenulovosti Jakobiánu transformace a otevřenosti oboru \footnote{viz. \ref{DRegularni} a \ref{PTransform}.} nás omezí na \begin{align*} \rho &\in (0, + \infty), \\ \varphi &\in (-\pi, \pi). \end{align*} Můžeme si povšimnout, že vypuštěním těchto hraničních bodů jsme z roviny $xy$ odstranili tzv. Zápornou přímku \index{Přímka!Záporná} (záporná část osy $x$), označme ji $P_0$. Pak víme, že zobrazení $\Psi$ je regulární jako \[ \Psi : (0,+\infty) \times (-\pi, \pi) \to \R^2 - P_0. \] \subsubsection{Náhrada některých diferenciálních výrazů} V tomto odstavci si spočteme výrazy pro náhradu gradientu $\nabla$ a Laplaciánu $\laplace$. Pro zopakování, v kartézských souřadnicích v $\R^2$ máme \begin{align} \label{OperKart} \nabla_{xyz} &= (\BP{x},\BP{y}), \\ \label{OperKart2} \laplace_{xyz} &= \BP{x}^2 + \BP{y}^2. \end{align} \par Sestrojme základní identitu \[ z(\rho \cos \varphi, \rho \sin \varphi) = w (\rho, \varphi), \] z které derivací podle $\rho$ a $\varphi$ dostaneme následující vyjádření \begin{align} \label{PolarDeriv} \BP{x} z &= \cos \varphi \cdot \BP{\rho} w - \frac{\sin \varphi}{\rho} \BP{\varphi} w, \\ \label{PolarDeriv2} \BP{y} z &= \sin \varphi \cdot \BP{\rho} w + \frac{\cos \varphi}{\rho} \BP{\varphi} w. \end{align} Prostým dosazením do vztahu \eqref{OperKart} dostaneme gradient v polárních souřadnicích \footnote{Pozor! Jde o náhradu \textrm{z} kartézských souřadnic!} \index{Gradient!V polárních souřadnicích} \[ \nabla_{\textrm{polární}} = \big( \cos \varphi \cdot \BP{\rho} - \frac{\sin \varphi}{\rho} \BP{\varphi} , \ \sin \varphi \cdot \BP{\rho} + \frac{\cos \varphi}{\rho} \BP{\varphi} \big). \] \par Pro odvození Laplaciánu je potřeba spočítat druhé derivace. to provedeme derivováním vztahů \eqref{PolarDeriv} a \eqref{PolarDeriv2}. Tyto výpočty jsou prostorově náročnější, takže je zde nebudeme vypisovat a je pouze na laskavém čtenáři, aby naše výsledky ověřil. Zjistí, že mnoho členů se dosazením do \eqref{OperKart2} vymlátí. Pak Laplacián v polárních souřadnicích má tvar \index{Laplacián!V polárních souřadnicích} \begin{equation} \label{LaplacePolar} \laplace_{\textrm{polární}} = \BP{\rho \rho}^2 + \frac{1}{\rho} \BP{\rho} + \frac{1}{\rho^2} + \BP{\varphi \varphi}^2 = \frac{1}{\rho} \BP{\rho}(\rho \BP{\rho}) + \frac{1}{\rho^2} \BP{\varphi \varphi} ^2. \end{equation} % Cylindricka ------------------------- \medskip \subsection{Cylindrická (válcová) transformace} \index{Transformace!Cylindrická} Cylindrická transformace má tvar \begin{align*} x & = \rho \cos \varphi, \\ y &= \rho \sin \varphi, \\ z &= \xi. \end{align*} Bez omezení zatím uvažujeme \begin{align*} \rho &\in <0, +\infty), \\ \varphi &\in <-\pi, \pi > \\ \xi &\in \R. \end{align*} Zjistíme, kdy je zobrazení $\Psi$ regulární. Máme \[ \Psi \begin{pmatrix} \rho \\ \varphi \\ \xi \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \rho \cos \varphi \\ \rho \sin \varphi \\ \xi \end{pmatrix}. \] Derivace dává \[ \Psi' \begin{pmatrix} \rho \\ \varphi \\ \xi \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \varphi & - \rho \sin \varphi & 0 \\ \sin \varphi & \rho \cos \varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}. \] Jakobián cylindrické transformace \index{Jakobián!Cylindrické transformace} \[ \boxed{\jak _{\textrm{cylindr.}} = \rho}. \] Odtud dostáváme omezení na obory \begin{align*} \rho &\in \R^+, \\ \varphi &\in (-\pi, \pi ) \\ \xi &\in \R. \end{align*} Opět tedy vypouštíme zápornou přímku $P_0$ (teď je to rovina). Pro výpočet integrálu to nehraje žádnou roli, neboť $\nu (P_0) = 0$. Zobrazení $\Psi$ je regulární při \[ \Psi : \R^+ \times (-\pi, \pi) \times \R \to \R^3 - P_0 \times \R. \] \subsubsection{Výpočet některých diferenciálních výrazů} V tomto případě budeme derivovat základní identitu \[ f (\rho \cos \varphi, \rho \sin \varphi, \xi) = w (\rho, \varphi, \xi) \] podle $x$, $y$ a $z$. Pokud si ovšm neuvědomíme, že hledané derivace jsou stejné jako v případě \eqref{PolarDeriv} a \eqref{PolarDeriv2}. Stačí jen spočísti derivaci podle $z$ (derivováním základní identity podle $\xi$), která je však triviální \[ \BP{z} f = \BP{\xi} w. \] Odtud dostáváme gradient v cylindrických souřadnicích \index{Gradient!V Cylindrických souřadnicích} \[ \nabla_{\textrm{cylindr.}} = \big( \cos \varphi \cdot \BP{\rho} - \frac{\sin \varphi}{\rho} \BP{\varphi} , \ \sin \varphi \cdot \BP{\rho} + \frac{\cos \varphi}{\rho} \BP{\varphi}, \BP{\xi} \big). \] Stejně tak můžeme využít výsledků \eqref{LaplacePolar} a dostaneme Laplacián v cylindrických souřadnicích \index{Laplacián!V cylindrických souřadnicích} \[ \laplace_{\textrm{cylindr.}} = \underbrace{\BP{xx}^2 + \BP{yy}^2}_{\textrm{známe z polárních souř.}} + \BP{zz}^2 = \frac{1}{\rho} \BP{\rho}(\rho \BP{\rho}) + \frac{1}{\rho^2} \BP{\varphi \varphi} ^2 + \BP{\xi \xi}^2. \] % Sfericka ------------------------- \medskip \subsection{Sférická transformace} \index{Tansformace!Sférická} Pro sférickou transformaci platí \begin{align*} x &= \rho \cos \varphi \cos \vartheta, \\ y &= \rho \sin \varphi \cos \vartheta, \\ x &= \rho \sin \vartheta, \end{align*} při zatím neomezených podmínkách \begin{align*} \rho &\in <0, + \infty), \\ \varphi &\in <- \pi, \pi>, \\ \vartheta &\in <-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}>. \end{align*} Regularita zobrazení \[ \Psi \begin{pmatrix} \rho \\ \varphi \\ \vartheta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \rho \cos \varphi \cos \vartheta \\ \rho \sin \varphi \cos \vartheta \\ \rho \sin \vartheta \end{pmatrix}. \] Po několika úpravách dostaneme \[ \det \Psi ' = \boxed{\jak _{\textrm{sférická}} = \rho \cos \vartheta}. \] Regularitu tedy máme pro \[ \Psi : \R^+ \times (-\pi, \pi) \times (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \to \R^3 - P_0 \times \R. \] \subsubsection{Náhrada některých diferenciálních výrazů} Základní identita má tvar \[ f = f(\rho \cos \varphi \cos \vartheta, \rho \sin \varphi \cos \vartheta, \rho \sin \vartheta) = w(\rho, \varphi, \vartheta). \] Derivováním této identity podle $\rho$, $\varphi$ a $\vartheta$ dostaneme soustavu lineární vzhledem k členům $\BP{x}f$, $\BP{y}f$ a $\BP{z}f$, které hledáme. Tuto soustavu vyřešíme pomocí Cramerova pravidla (viz. \cite[p.~80, Věta 83.]{Pytlicek} ) a zjistíme, že \begin{align*} \BP{x} f &= \cos \vartheta \cos \varphi \cdot \BP{\rho} w - \frac{\sin \varphi}{\rho \cos \vartheta} \BP{\varphi} w - \frac{\cos \varphi \sin \vartheta}{\rho}\BP{\vartheta} w, \\ \BP{y} f &= \cos \vartheta \sin \varphi \cdot \BP{\rho} w - \frac{\cos \varphi}{\rho \cos \vartheta} \BP{\varphi} w - \frac{\sin \varphi \sin \vartheta}{\rho}\BP{\vartheta} w, \\ \BP{z} f &= \sin \vartheta \cdot \BP{\rho} w + \frac{\cos \vartheta}{\rho} \BP{\vartheta} w. \end{align*} Pak můžeme gradient zapsat jako \index{Gradient!Ve sférických souřadnicích} \[ \nabla_{\textrm{sférické}} f = ( \BP{x} f, \BP{y} f, \BP{z} f). \] Laplace... \begin{remark} Sférickou transformaci můžeme dostat jako složení dvou válcových. \end{remark} % Zobec Sfericka ------------------------- \medskip \subsection{Zobecněná sférická transformace} \index{Tansformace!Zobecněná sférická} \begin{example} Mějme množinu \[ M \equiv x^3 + y^3 + z^3 = 1, \quad x,y,z>0. \] Proveďte transformaci \begin{align*} x &= \rho \cos^{2/3} \varphi \cos^{2/3} \vartheta, y &= \rho \sin^{2/3} \varphi \cos^{2/3} \vartheta, z &= \rho \sin^{2/3} \vartheta. \end{align*} \end{example} \begin{example} Ve výrazu \[ \BP{xx}^2 z + 2xy^2 \BP{x}z + 2 (y-y^3) \BP{y}z + x^2 y^2 z = 0 \] proveďte záměnu \begin{align*} x &= uv, \\ y &= \frac{1}{v}, \\ z &= w. \end{align*} \end{example} \begin{example} Ve výrazu \[ \BP{xx}^2 z + \BP{yy}^2 z + cz = 0, \quad c > 0 \] proveďte záměnu \begin{align*} x &= e^u \cos v, \\ y &= e^u \sin v, \\ z &= w. \end{align*} \end{example} \begin{example} V \textbf{obyčejné} diferenciální rovnici \[ y' y''' - 3 (y'')^2 = x \] proveďte záměnu \[ t = y, \ u = x. \] \end{example} %Priklady Demidovic--------------------- \medskip \subsection{Příklady - Děmidovič} V následujících výrazech proveďte zadané záměny. \begin{dex} 3434. $x^2 + y'' + xy' + y = 0$, když $x = e^t$. \solution{\ddot{y}+y=0} \end{dex} \begin{dex} 3435. $y'''=\frac{6y}{x^3}$, když $t = \ln |x|$. \solution{\dot{\ddot{y}}-3\ddot{y}+2\dot{y}-6y=0} \end{dex} \begin{dex} 3436. $(1-x^2)y''-xy'+n^2y=0$, když $x=\cos t$. \solution{\ddot{y}+n^2y=0} \end{dex} \begin{dex} 3437. $y'' + y' \tanh x + \frac{m^2}{\cosh^2 x}y=0$, když $x=\ln \tan \frac{t}{2}$. \solution{\ddot{y}+m^2y=0} \end{dex} \begin{dex} 3438. $y''+p(x)y'+q(x)y=0$, když \[ y = u e^{-\frac{1}{2} \int_{x_0}^x p(\xi) \difer \xi }, \] kde $p(x) \in C^1$. \solution{u''+\big( q(x) - \frac{1}{4}p^2(x) - \frac{1}{2}p'(x) \big) u = 0} \end{dex} \begin{dex} 3439. $x^4y''+xyy'-2y^2=0$, když $x=e^t$ a $y = ue^{2t}$, kde $u = u(t)$. \solution{\ddot{u} + (u+3) \dot{u} + 2 u = 0} \end{dex} \begin{dex} 3440. $(1+x^2)^2y''=y$, když $x = \tan t$ a $y = \frac{u}{\cos t}$, kde $u=u(t)$. \solution{\ddot{u}=0} \end{dex} \begin{dex} 3441. $(1-x^2)^2y''=-y$, když $x = \tanh t$ a $y = \frac{u}{\cosh t}$, kde $u=u(t)$. \solution{\ddot{u}=0} \end{dex} \begin{dex} 3442. $y''+(x+y)(1+y')^3=0$, když $x=u+t$ a $y=u-t$, kde $u=u(t)$. \solution{\ddot{u}+8u \dot{u}^3=0} \end{dex} \begin{dex} 3443. $y'''-x^3y''+xy'-y=0$, když $x=\frac{l}{t}$ a $y=\frac{u}{t}$, kde $u= u(t)$. \solution{t^5 \dot{\ddot{u}}+(3t^4+1)\ddot{u}+\dot{u}=0} \end{dex} \begin{dex} 3444. Proveďte záměnu v \emph{Stokesově} rovnici \index{Rovnice!Stokesova} \[ y'' = \frac{Ay}{(x-a)^2(x-b)^2}, \] pomocí \begin{align*} u &= \frac{y}{x-b}, \\ t &= \ln \big| \frac{x-a}{x-b} \big|, \end{align*} kde $u=u(t)$. \solution{u''-u'=\frac{A}{(a-b)^2}u} \end{dex} \begin{dex} 3445. Ukažte, že když rovnici \[ y'' + p(x) y' + q(x)y = 0 \] převedete záměnou $x = \varphi(\xi)$ na tvar \[ \frac{\difer^2 y}{\difer \xi^2} + P(\xi) \frac{\difer y}{\difer \xi} + Q(\xi) y = 0, \] pak platí, že \[ \big( 2P(\xi) Q(\xi) + Q'(\xi) \big) \big( Q(\xi) \big)^{-3/2} = \big( 2p(x) q(x) + q'(x) \big) \big( q(x) \big)^{-3/2} \] \end{dex} \begin{dex} 3446. Ve výrazu $\Phi(y,y',y'') = 0$, kde $\Phi$ je homogenní (adnarodnaja funkcija) funkce $y$, $y'$, $y''$, položte \[ y = e^{\int_{x_0}^x u \difer x}. \] \solution{\Phi(1,u,u'+u^2)=0} \end{dex} \begin{dex} 3447. Ve výrazu $F(x^2y'',xy',y) = 0$, kde $\Phi$ je homogenní funkcí svých argumentů, položte \[ u = x \frac{y'}{y}. \] \solution{F(xu'+u^2-u,u,1)=0} \end{dex}