01MAA4:Kapitola30

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 1. 8. 2010, 10:04, kterou vytvořil Admin (diskuse | příspěvky) (Založena nová stránka: %\wikiskriptum{01MAA4} \section{Integrál na měřitelné množině} \begin{define} Buď $A\subset X$ měřitelná, $f:X\mapsto\RR$, $A\subset\df f$. Položme \[ f_A(x)= ...)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01MAA4

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01MAA4Nguyebin 24. 1. 201413:14
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:46
Header editovatHlavičkový souborNguyebin 24. 1. 201413:28 header.tex
Kapitola0 editovatZnačeníNguyebin 24. 1. 201413:28 preamble.tex
Kapitola15 editovatRegulární zobrazeníKrasejak 7. 9. 201521:32 kapitola15.tex
Kapitola16 editovatImplicitní zobrazeníKubuondr 1. 5. 201708:09 kapitola16.tex
Kapitola17 editovatVarietyKubuondr 4. 3. 201708:48 kapitola17.tex
Kapitola18 editovatVázané extrémyKrasejak 7. 9. 201522:58 kapitola18.tex
Kapitola19 editovatDiferenciální formyKubuondr 12. 3. 201710:53 kapitola19.tex
Kapitola20 editovatKřivkový integrál druhého druhuKubuondr 15. 3. 201721:26 kapitola20.tex
Kapitola21 editovatKřivkový integrál prvního druhuNguyebin 24. 1. 201413:55 kapitola21.tex
Kapitola22 editovatRiemannův integrál jako elementární integrálKubuondr 10. 8. 201810:01 kapitola22.tex
Kapitola23 editovatStupňovité funkceKubuondr 10. 8. 201815:00 kapitola23.tex
Kapitola24 editovatZákladní integrálKubuondr 1. 6. 201710:06 kapitola24.tex
Kapitola25 editovatTřída Lambda plus a L plusKubuondr 2. 4. 201708:14 kapitola25.tex
Kapitola26 editovatTřída Lambda a LKubuondr 11. 8. 201809:16 kapitola26.tex
Kapitola27 editovatLimitní přechodyMazacja2 11. 4. 201620:11 kapitola27.tex
Kapitola28 editovatMěřitelné funkceKubuondr 2. 6. 201708:24 kapitola28.tex
Kapitola29 editovatMěřitelné množinyKubuondr 2. 6. 201708:01 kapitola29.tex
Kapitola30 editovatIntegrál na měřitelné množiněAdmin 1. 8. 201010:04 kapitola30.tex
Kapitola31 editovatVýpočet integráluKubuondr 8. 4. 201708:03 kapitola31.tex
Kapitola33 editovatParametrické integrályKubuondr 2. 6. 201712:38 kapitola33.tex
Kapitola34 editovatNewtonova formuleKrasejak 19. 9. 201500:48 kapitola34.tex
Kapitola39 editovatVnější algebraKubuondr 3. 5. 201720:13 kapitola39.tex
Kapitola35 editovatDivergenční větaKubuondr 3. 6. 201808:22 kapitola35.tex
Kapitola36 editovatKomplexní derivaceKubuondr 31. 5. 201708:27 kapitola36.tex
Kapitola37 editovatHolomorfní funkceKubuondr 31. 5. 201712:57 kapitola37.tex
Kapitola38 editovatLaurentovy řadyKubuondr 5. 6. 201710:01 kapitola38.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:01MAA4_lauren.pdf 01MAA4_lauren.pdf
Image:01MAA4_draha.pdf 01MAA4_draha.pdf
Image:01MAA4_gamma.pdf 01MAA4_gamma.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MAA4}
\section{Integrál na měřitelné množině}
 
\begin{define}
Buď $A\subset X$ měřitelná, $f:X\mapsto\RR$, $A\subset\df f$. Položme
\[
f_A(x)=
\begin{cases}
f(x) & x\in A\\
0 & x\in X\sm A
\end{cases}.
\]
Řekneme, že $f$ je {\bf měřitelná} na $A$ ($f\in\M(A)$), právě když
$f_A\in\M$. Řekneme, že $f\in\Lambda(A)$ (resp. $\LL(A)$), přávě když
$f_A\in\Lambda$ (resp. $\LL$). Řekneme, že $f$ je integrabilní na $A$,
právě když $f\in\LL(A)$. Řekneme, že $f$ má integrál na $A$, právě
když $f\in\Lambda(A)$. %Řekneme, že $f$ je měřitelná na $A$, právě když
$f\in\M(A)$.
\end{define}
 
\begin{remark}
$\LL(A)\subset\Lambda(A)\subset\M(A)$.
\end{remark}
 
\begin{define}
Buď $f\in\Lambda(A)$.
\[\int_A f=\II f_A\]
nazveme {\bf Lebesgueovým integrálem} funkce $f$ na množině $A$.
\end{define}
 
\begin{remark}
Budeme předpokládat, že $X=\R^n$. Toto omezení musíme zavést, neboť
potřebujeme, aby
$\exists\int_A f\implies\exists\int_{B\subset A} f$
a to obecně neplatí. V~$\R^n$ však platí
$f_B^+=f_A^+\chi_B\le f_A^+\in\Lambda$,
$f_B^-=f_A^-\chi_B\le f_A^-\in\Lambda$,
přičenž jedna z~nich je $\in\LL$, neboť jedna z~$f_A^+,f_A^-$ je z
$\LL$.
\end{remark}
 
\begin{theorem}
Buď $B$ měřitelná podmnožina měřitelné množiny $A\subset\R$. Jestliže
$f\in\Lambda(A)$, pak $f\in\Lambda(B)$.
\begin{proof}
Viz předchozí poznámku.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
Nechť $f\in\LL(A)$ a nechť pro skoro všechna $x\in A$ platí
$\abs{f(x)}\le C$. Pak
\[
\abs{\int_A f}\le C\mu(A).
\]
\begin{proof}
$\abs{f_A}\lesssim C\chi_A$.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
Buď $\system{m=1}{n,\infty}{A_m}$ nejvýše spočetný systém
vzájemně disjunktních měřitelných množin, $A=\bigcup_m A_m$ a
$f\in\Lambda(A)$. Potom
\[\int_A f=\sum_m\int_{A_m}f.\]
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item $f\gtrsim 0$,
\[f_A=\sum_m f_{A_m}\]
konečné i~nekonečné (Levi).
\item $f\sim f^+-f^-$ aplikováno na obě části zvlášť, jeden z~integrálů
bude konečný.
\item $(\forall m)(f\in\Lambda(A_m))$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
Buď $\system{m=1}{n,\infty}{A_m}$ nejvýše spočetný systém
vzájemně disjunktních měřitelných množin, buď dále $f(x)\gtrsim 0$ 
na $A$ a $f\in\Lambda(A_m)$. Potom $f\in\Lambda(A)$ a platí
\[\int_A f=\sum_m\int_{A_m}f.\]
\begin{proof}
Triviální. (z definice měřitelnosti a Leviho)
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
Buď $\posloupnost{m=1}{\infty}{B_m}$ rostoucí posloupnost měřitelných
množin $B_m\subset B_{m+1}$. Buď $A=\bigcup_{m=1}^\infty B_m$. Buď
dále $f(x)\gtrsim 0$  na $A$ a $f\in\Lambda(B_m)$. Potom
$f\in\Lambda(A)$ a
\[\int_A f=\lim_{m\to\infty}\int_{B_m}f.\]
\begin{proof}
%$A_1=B_1$, $A_n=B_n-B_{n-1}$ pro $n\ge 2$.
%\[B_m=\bigcup_{k=1}^m A_k,\]
%$A_k\cup A_l=\emptyset$, $f\in\Lambda(A_k)$,
%\[A=\bigcup_{m=1}^\infty B_m=\sum_{k=1}^\infty A_k\]
%\[\int_A f=\sum_{k=1}^\infty\int_{A_k}f=
%\lim_{m\to\infty}\sum_{k=1}^m\int_{A_k}f=
%\lim_{m\to\infty}\int_{B_m}f=\int_A f.\]
Vyplývá přímo z~rozšířené Leviovy věty pro posloupnosti.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
Buď $A\subset X$, $A\in\M$, $f\in\LL(A)$. Potom platí
\[(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)
\left(B\subset A\wedge\mu(B)<\delta\implies
\int_B\abs{f}<\epsilon\right).\]
\begin{proof}
$f\in\LL(A)$, $\abs{f}\in\LL(A)$, $f_m=\min(\abs{f},m)$,
$f_m\mathop{\nearrow}\limits_{\text{na }A}\abs{f}$,
\[\int_A\abs{f}=\lim_{m\to\infty}\II f_{m_A}=\lim_{m\to\infty}\int_A f_m.\]
\[(\forall\epsilon>0)(\exists m)\left(0\le\left(\int_A\abs{f}-\int_A f_m\right)<\frac{\epsilon}{2}\right)\]
Pro $B\subset A$ (volím $\delta<\frac{\epsilon}{2m}$)
\[\int_B\abs{f}=\int_B f_m+\int_B\left(\abs{f}-f_m\right)\le m\mu(B)+\int_A\left(\abs{f}-f_m\right)<
\frac{\epsilon}2+\frac{\epsilon}2 = \epsilon
\]
$\abs{f}-f_m\ge 0$, $(\abs{f}-f_m)_B\le(\abs{f}-f_m)_A$,$f_m=\min(\abs{f},m) \leq m$ 
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
Absolutní spojitost --- viz skripta.
\end{remark}
 
\begin{theorem}
Buď $f\in\M(A)$, nechť existují $\alpha,\beta$ taková, že
$\alpha\le f(x)\le\beta$ platí skoro všude na $A$. Buď $g\ge 0$ skoro
všude na $A$, $g\in\LL(A)$. Potom
\begin{enumerate}[(i)]
\item $fg\in\LL(A)$,
\[\alpha\int_A g\le\int_A fg\le\beta\int_A g;\]
\item existuje $\gamma\in\la\alpha,\beta\ra$ tak, že
\[\int_A fg=\gamma\int_A g;\]
\item je-li navíc $A$ kompaktní a souvislá, $f\in\c{0}(A)$, pak
existuje $\xi\in A$ takové, že
\[\int_A fg=f(\xi)\int_A g.\]
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item $\alpha g\lesssim fg\lesssim\beta g$ na $A$,
$\abs{fg}\le(\abs{\alpha}+\abs{\beta})g$, tedy $fg\in\LL$ ($fg$ má
integrabilní majorantu).
\item Je-li $\int_A g=0$, je $g\sim 0$, proto $fg\sim 0$ a $\int_A
fg=0$, nebo $\int_A g>0$ a pak
\[\alpha\le\underbrace{\frac{\int_A fg}{\int_A g}}_\gamma\le\beta.\]
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}