01MAA4:Kapitola18: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
m (Drobné úpravy.) |
m |
||
Řádka 11: | Řádka 11: | ||
\begin{theorem}[nutná podmínka pro existenci extrému vzhledem k~varietě] | \begin{theorem}[nutná podmínka pro existenci extrému vzhledem k~varietě] | ||
− | Buď $M$ $r$-rozměrná varieta třídy $\c{1}$, $x_0\in M$, $f:\R^n\ | + | Buď $M$ $r$-rozměrná varieta třídy $\c{1}$, $x_0\in M$, $f:\R^n\to\R$ reálná funkce |
diferencovatelná v~$x_0$. Nechť $f$ má v~$x_0$ lokální extrém vzhledem | diferencovatelná v~$x_0$. Nechť $f$ má v~$x_0$ lokální extrém vzhledem | ||
k~varietě $M$. Potom existují čísla $\lambda_1,\dots,\lambda_m$ | k~varietě $M$. Potom existují čísla $\lambda_1,\dots,\lambda_m$ | ||
taková, že $x_0$ je stacionárním bodem funkce | taková, že $x_0$ je stacionárním bodem funkce | ||
\[\Lambda=f-\sum_{l=1}^m \lambda_l\Phi^l\] | \[\Lambda=f-\sum_{l=1}^m \lambda_l\Phi^l\] | ||
− | při značení z~ | + | při značení z~kapitoly 17. Čísla $\lambda_1,\dots,\lambda_m$ se nazývají {\bf |
Lagrangeovy multiplikátory} a $\Lambda$ {\bf Lagrangeova funkce}. | Lagrangeovy multiplikátory} a $\Lambda$ {\bf Lagrangeova funkce}. | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
− | Pro každý $\vec h\in T_{x_0}M$ existuje $\psi:\R\ | + | Pro každý $\vec h\in T_{x_0}M$ existuje $\psi:\R\to M$ takové, že |
− | $\psi(0)=x_0$ a $\psi'(0)=\vec h$. Definujme $\phi:\R\ | + | $\psi(0)=x_0$ a $\psi'(0)=\vec h$. Definujme $\phi:\R\to\R$ |
vztahem $\phi=f\circ\psi$. BÚNO nechť $f$ má v $x_0$ maximum, tedy: | vztahem $\phi=f\circ\psi$. BÚNO nechť $f$ má v $x_0$ maximum, tedy: | ||
$$ | $$ | ||
(\exists\H_{x_0})(\forall x\in\H_{x_0}\cap M)(f(x)\le f(x_0)) \Leftrightarrow (\exists\H_{0})(\forall t\in\H_{0})(f(\psi(t))\le f(\psi(0))) | (\exists\H_{x_0})(\forall x\in\H_{x_0}\cap M)(f(x)\le f(x_0)) \Leftrightarrow (\exists\H_{0})(\forall t\in\H_{0})(f(\psi(t))\le f(\psi(0))) | ||
$$ | $$ | ||
− | tedy $\phi$ | + | tedy $\phi$ má v $0$ maximum. Pak $\phi'(0)=0$, a platí |
\[0=\phi'(0)=f'(x_0)\cdot\psi'(0)=f'(x_0)\vec h | \[0=\phi'(0)=f'(x_0)\cdot\psi'(0)=f'(x_0)\vec h | ||
=\left\langle \grad f(x_0),\vec h\right\rangle =0.\] | =\left\langle \grad f(x_0),\vec h\right\rangle =0.\] | ||
Řádka 33: | Řádka 33: | ||
a tedy | a tedy | ||
\[\grad\left(f-\sum_{l=1}^m\lambda_l\Phi^l\right)=0\] | \[\grad\left(f-\sum_{l=1}^m\lambda_l\Phi^l\right)=0\] | ||
− | a z~ | + | a z~Rieszovy věty pak vyplývá nulovost derivace $\Lambda$. |
\end{proof} | \end{proof} | ||
\end{theorem} | \end{theorem} | ||
Řádka 59: | Řádka 59: | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
\begin{enumerate}[(i)] | \begin{enumerate}[(i)] | ||
− | \item Buď $\vec h\in T_{x_0}M$. Potom existuje $\psi:\R\ | + | \item Buď $\vec h\in T_{x_0}M$. Potom existuje $\psi:\R\to M$ |
takové, že $\psi(0)=x_0$, $\psi'(0)=\vec h$. Provedeme Taylorův rozvoj | takové, že $\psi(0)=x_0$, $\psi'(0)=\vec h$. Provedeme Taylorův rozvoj | ||
$\Lambda$ v~$x_0$ do druhého řádu (to můžeme, protože $f''(x_0)$ | $\Lambda$ v~$x_0$ do druhého řádu (to můžeme, protože $f''(x_0)$ | ||
Řádka 112: | Řádka 112: | ||
\[ | \[ | ||
\norm{\vec{h_1}}^2=\norm{\vec{h}}^2-\norm{\vec{h_2}}^2 \wedge \lim_{\vec h\to \vec 0}\frac{\norm{\vec{h_2}}}{\norm{\vec{h}}}=0 \implies | \norm{\vec{h_1}}^2=\norm{\vec{h}}^2-\norm{\vec{h_2}}^2 \wedge \lim_{\vec h\to \vec 0}\frac{\norm{\vec{h_2}}}{\norm{\vec{h}}}=0 \implies | ||
− | \norm{\vec{h_1}}^2\ge\frac{1}{2}\norm{\vec{h}}^2 | + | \norm{\vec{h_1}}^2\ge\frac{1}{2}\norm{\vec{h}}^2. |
\] | \] | ||
+ | \qedhere | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
Řádka 133: | Řádka 134: | ||
$\Lambda$. | $\Lambda$. | ||
\item $\Lambda''(x_0)\vec h^2=Q(\vec h)$. | \item $\Lambda''(x_0)\vec h^2=Q(\vec h)$. | ||
− | \item Pokud je $Q(\vec h)$ PD nebo ND, pak je to minimum, případně maximum | + | \item Pokud je $Q(\vec h)$ PD nebo ND, pak je to minimum, případně maximum. |
\item Jinak musím nalézt tečný prostor ($T_{x_0}M=\ker\Phi'(x_0)$) a zúžím $Q(\vec h)$ na $T_{x_0}M$. | \item Jinak musím nalézt tečný prostor ($T_{x_0}M=\ker\Phi'(x_0)$) a zúžím $Q(\vec h)$ na $T_{x_0}M$. | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} |
Aktuální verze z 7. 9. 2015, 23:58
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01MAA4
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01MAA4 | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:14 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:46 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:28 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Značení | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:28 | preamble.tex | |
Kapitola15 | editovat | Regulární zobrazení | Krasejak | 7. 9. 2015 | 22:32 | kapitola15.tex | |
Kapitola16 | editovat | Implicitní zobrazení | Kubuondr | 1. 5. 2017 | 09:09 | kapitola16.tex | |
Kapitola17 | editovat | Variety | Kubuondr | 4. 3. 2017 | 09:48 | kapitola17.tex | |
Kapitola18 | editovat | Vázané extrémy | Krasejak | 7. 9. 2015 | 23:58 | kapitola18.tex | |
Kapitola19 | editovat | Diferenciální formy | Kubuondr | 12. 3. 2017 | 11:53 | kapitola19.tex | |
Kapitola20 | editovat | Křivkový integrál druhého druhu | Kubuondr | 15. 3. 2017 | 22:26 | kapitola20.tex | |
Kapitola21 | editovat | Křivkový integrál prvního druhu | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:55 | kapitola21.tex | |
Kapitola22 | editovat | Riemannův integrál jako elementární integrál | Kubuondr | 10. 8. 2018 | 11:01 | kapitola22.tex | |
Kapitola23 | editovat | Stupňovité funkce | Kubuondr | 10. 8. 2018 | 16:00 | kapitola23.tex | |
Kapitola24 | editovat | Základní integrál | Kubuondr | 1. 6. 2017 | 11:06 | kapitola24.tex | |
Kapitola25 | editovat | Třída Lambda plus a L plus | Kubuondr | 2. 4. 2017 | 09:14 | kapitola25.tex | |
Kapitola26 | editovat | Třída Lambda a L | Kubuondr | 11. 8. 2018 | 10:16 | kapitola26.tex | |
Kapitola27 | editovat | Limitní přechody | Mazacja2 | 11. 4. 2016 | 21:11 | kapitola27.tex | |
Kapitola28 | editovat | Měřitelné funkce | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 09:24 | kapitola28.tex | |
Kapitola29 | editovat | Měřitelné množiny | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 09:01 | kapitola29.tex | |
Kapitola30 | editovat | Integrál na měřitelné množině | Admin | 1. 8. 2010 | 11:04 | kapitola30.tex | |
Kapitola31 | editovat | Výpočet integrálu | Kubuondr | 8. 4. 2017 | 09:03 | kapitola31.tex | |
Kapitola33 | editovat | Parametrické integrály | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 13:38 | kapitola33.tex | |
Kapitola34 | editovat | Newtonova formule | Krasejak | 19. 9. 2015 | 01:48 | kapitola34.tex | |
Kapitola39 | editovat | Vnější algebra | Kubuondr | 3. 5. 2017 | 21:13 | kapitola39.tex | |
Kapitola35 | editovat | Divergenční věta | Kubuondr | 3. 6. 2018 | 09:22 | kapitola35.tex | |
Kapitola36 | editovat | Komplexní derivace | Kubuondr | 31. 5. 2017 | 09:27 | kapitola36.tex | |
Kapitola37 | editovat | Holomorfní funkce | Kubuondr | 31. 5. 2017 | 13:57 | kapitola37.tex | |
Kapitola38 | editovat | Laurentovy řady | Kubuondr | 5. 6. 2017 | 11:01 | kapitola38.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:01MAA4_lauren.pdf | 01MAA4_lauren.pdf |
Image:01MAA4_draha.pdf | 01MAA4_draha.pdf |
Image:01MAA4_gamma.pdf | 01MAA4_gamma.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA4} \section{Vázané extrémy} \begin{define} Řekneme, že funkce $f$ má v~bodě $x_0\in M$ {\bf lokální extrém vzhledem k~varietě $M$}, právě když \[(\exists\H_{x_0})(\forall x\in\H_{x_0}\cap M)(f(x)\ge f(x_0)) \text{, resp. } (\exists\H_{x_0})(\forall x\in\H_{x_0}\cap M)(f(x)\le f(x_0)).\] \end{define} \begin{theorem}[nutná podmínka pro existenci extrému vzhledem k~varietě] Buď $M$ $r$-rozměrná varieta třídy $\c{1}$, $x_0\in M$, $f:\R^n\to\R$ reálná funkce diferencovatelná v~$x_0$. Nechť $f$ má v~$x_0$ lokální extrém vzhledem k~varietě $M$. Potom existují čísla $\lambda_1,\dots,\lambda_m$ taková, že $x_0$ je stacionárním bodem funkce \[\Lambda=f-\sum_{l=1}^m \lambda_l\Phi^l\] při značení z~kapitoly 17. Čísla $\lambda_1,\dots,\lambda_m$ se nazývají {\bf Lagrangeovy multiplikátory} a $\Lambda$ {\bf Lagrangeova funkce}. \begin{proof} Pro každý $\vec h\in T_{x_0}M$ existuje $\psi:\R\to M$ takové, že $\psi(0)=x_0$ a $\psi'(0)=\vec h$. Definujme $\phi:\R\to\R$ vztahem $\phi=f\circ\psi$. BÚNO nechť $f$ má v $x_0$ maximum, tedy: $$ (\exists\H_{x_0})(\forall x\in\H_{x_0}\cap M)(f(x)\le f(x_0)) \Leftrightarrow (\exists\H_{0})(\forall t\in\H_{0})(f(\psi(t))\le f(\psi(0))) $$ tedy $\phi$ má v $0$ maximum. Pak $\phi'(0)=0$, a platí \[0=\phi'(0)=f'(x_0)\cdot\psi'(0)=f'(x_0)\vec h =\left\langle \grad f(x_0),\vec h\right\rangle =0.\] Z~toho dále vyplývá, že $\grad f(x_0)\in N_M(x_0)$ a dále existence $\lambda_1,\dots,\lambda_m$ takových, že \[\grad f(x_0)=\sum_{l=1}^m\lambda_l\grad\Phi^l(x_0),\] a tedy \[\grad\left(f-\sum_{l=1}^m\lambda_l\Phi^l\right)=0\] a z~Rieszovy věty pak vyplývá nulovost derivace $\Lambda$. \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} Derivace vzhledem k~varietě: $f_M'(x_0)=f'(x_0)|_{T_{x_0}M}$, tj. derivace zúžená na tečný prostor. \end{remark} \begin{theorem}[postačující podmínka] Buď $M$ varieta třídy $\c{2}$, nechť existuje $f''(x_0)$, $x_0\in M$, existuje $\Lambda$ a $\Lambda'(x_0)=0$. Potom \begin{enumerate}[(i)] \item Má-li funkce $f|_M$ v~$x_0$ lokální minimum, potom $\Lambda''(x_0)|_{T_{x_0}M}\ge 0$. \item Je-li $\Lambda''(x_0)|_{T_{x_0}M}>0$, má $f|_M$ v~$x_0$ ostré lokální minimum. \item Má-li funkce $f|_M$ v~$x_0$ lokální maximum, potom $\Lambda''(x_0)|_{T_{x_0}M}\le 0$. \item Je-li $\Lambda''(x_0)|_{T_{x_0}M}<0$, má $f|_M$ v~$x_0$ ostré lokální maximum. \item Je-li $\Lambda''(x_0)|_{T_{x_0}M}$ indefinitní, nemá $f|_M$ v $x_0$ lokální extrém. \end{enumerate} \begin{proof} \begin{enumerate}[(i)] \item Buď $\vec h\in T_{x_0}M$. Potom existuje $\psi:\R\to M$ takové, že $\psi(0)=x_0$, $\psi'(0)=\vec h$. Provedeme Taylorův rozvoj $\Lambda$ v~$x_0$ do druhého řádu (to můžeme, protože $f''(x_0)$ existuje a $M\in\c{2}$) \[\Lambda(x)=\Lambda(x_0)+\underbrace{\Lambda'(x_0)(x-x_0)}_{=0}+ \frac12\Lambda''(x_0)(x-x_0)^2+\omega(x)\norm{x-x_0}^2,\] \[\Lambda(\psi(t))=\Lambda(x_0)+ \frac12\Lambda''(x_0)(\psi(t)-\psi(0))^2+ \omega(\psi(t))\norm{\psi(t)-\psi(0)}^2.\] Protože $\psi(t)$ je z~variety, kde splývá $f$ s~$\Lambda$, vyjde \[\frac{1}{t^2}\left(f(\psi(t))-f(\psi(0))- \omega(\psi(t))\norm{\psi(t)-\psi(0)}^2\right)= \frac12\Lambda''(\psi(0))\left(\frac{\psi(t)-\psi(0)}{t}\right)^2.\] Limitním přechodem $t\to 0$ dostáváme \[\frac{1}{t^2}\underbrace{f(\psi(t))-f(\psi(0))}_{\ge 0}= \frac12\Lambda''(x_0){\vec h}^2.\] \item Buď $\Lambda''(x_0)\vec h^2>0$, $x\in M\cap H$. Potom \[f(x)=f(x_0)+\frac12\Lambda''(x_0)(x-x_0)^2+\omega(x)\norm{x-x_0}^2.\] Problém je v~tom, že $x-x_0$ nemusí být obecně z~$T_{x_0}M$. Položme $\vec h=x-x_0$, potom $\vec h$ lze vyjádřit jako $\vec h=\vec{h_1}+\vec{h_2}$, kde $\vec{h_1}\in T_{x_0}M$, $\vec{h_2}\in N_M(x_0)$. Potom z~pozitivní definitnosti $\Lambda''$ vyplývá \[\Lambda''(x_0)\vec{h_1}^2\ge\alpha\norm{\vec{h_1}}^2\] pro nějaké $\alpha>0$, neboť $\vec{h_1}\in T_{x_0}M$. \[ \begin{split} f(x)-f(x_0)&=\frac12\Lambda''(x_0)\vec{h_1}^2+\Lambda''(x_0)\vec{h_1}\vec{h_2}+ \frac12\Lambda''(x_0)\vec{h_2}^2+\omega(x)\norm{\vec{h_1}+\vec{h_2}}^2\ge\\ &\ge\frac{\alpha}{2}\norm{\vec{h_1}}^2-\frac{\alpha}{8}\norm{\vec{h}}^2\ge \frac{\alpha}{4}\norm{\vec{h}}^2-\frac{\alpha}{8}\norm{\vec{h}}^2= \frac{\alpha}{8}\norm{\vec{h}}^2, \end{split} \] neboť \[ \lim_{\vec h\to\vec 0}\frac{\norm{\vec{h_2}}}{\norm{\vec{h}}}=0,\quad \lim_{\vec h\to\vec 0}\frac{\norm{\vec{h_1}}}{\norm{\vec{h}}}=1 \] a \[ \lim_{\vec h\to\vec 0}\frac{1}{\norm{\vec{h}}^2} \left(\Lambda''(x_0)\vec{h_1}\vec{h_2}+\frac12\Lambda''\vec{h_2}^2 +\omega(x)\norm{\vec{h}}^2\right)=0, \] takže lze zvolit takové $\alpha>0$, aby \[ \frac{1}{\norm{\vec{h}}^2} \left(\Lambda''(x_0)\vec{h_1}\vec{h_2}+\frac12\Lambda''\vec{h_2}^2 +\omega(x)\norm{\vec{h}}^2\right)\le\frac{\alpha}{8}. \] Konečně díky ortogonalitě $\vec{h_1}$ a $\vec{h_2}$ \[ \norm{\vec{h_1}}^2=\norm{\vec{h}}^2-\norm{\vec{h_2}}^2 \wedge \lim_{\vec h\to \vec 0}\frac{\norm{\vec{h_2}}}{\norm{\vec{h}}}=0 \implies \norm{\vec{h_1}}^2\ge\frac{1}{2}\norm{\vec{h}}^2. \] \qedhere \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} Metodika hledání extrémů: \begin{enumerate} \item Nechť $f$, $\Phi^1,\dots,\Phi^m\in\c{2}$. \item Ověříme, zda $M=\{x\in\R^n|\Phi(x)=0\}= \{x\in\R^n|\Phi(x)=0\wedge\h(\Phi'(x))=m\}$, tj. je varieta. \item Sestavím funkční předpis \[\Lambda = f-\sum_{l=1}^m \lambda_l\Phi^l,\] kde $\lambda$ zatím neznám. \item Položím $\Lambda'(x_0)=\Theta$, $\Lambda_j(x_0)=0$ pro $j\in\n$, $\Phi^l(x_0)=0$ pro $l\in\hat m$. Dostanu $m+n$ rovnic pro $m+n$ neznámých. \item Vyberu si jeden bod $x_0$, určím $\lambda_j$ a dosadím do $\Lambda$. \item $\Lambda''(x_0)\vec h^2=Q(\vec h)$. \item Pokud je $Q(\vec h)$ PD nebo ND, pak je to minimum, případně maximum. \item Jinak musím nalézt tečný prostor ($T_{x_0}M=\ker\Phi'(x_0)$) a zúžím $Q(\vec h)$ na $T_{x_0}M$. \end{enumerate} Tedy nalézám $q(\vec h)=Q(\vec h)|_{T_{x_0}M}$. $\Phi'(x_0)\vec h=0$ \[\sum_{i=1}^n\Phi_i^l(x_0)\vec h^i=0\text{ pro }l\in\hat m.\] \item Prověřím definitnost $Q$. Je nutno hlídat dimenze. \end{remark} \begin{remark} Důkaz nerovnosti $f(x)\le g(x)$: $f(x)=a$ je varieta, např. uzavřená dráha. Najdu extrém $g(x)$ na varietě $f(x)=a$, to provedu pro každé $a$. \end{remark}