01MAA4:Kapitola15: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(První verze seznamu značení.) |
m (Drobná oprava.) |
||
Řádka 24: | Řádka 24: | ||
$\uz A$ & uzávěr množiny $A$ \\ | $\uz A$ & uzávěr množiny $A$ \\ | ||
$\iz A$ & izolátor množiny $A$ \\ | $\iz A$ & izolátor množiny $A$ \\ | ||
− | $ | + | $A'$ & derivace množiny $A$ \\ |
$\uz A^Y$ & množina $A$ uzavřená v množině $Y$ \\ | $\uz A^Y$ & množina $A$ uzavřená v množině $Y$ \\ | ||
$\vn A^Y$ & množina $A$ otevřená v množině $Y$ \\ | $\vn A^Y$ & množina $A$ otevřená v množině $Y$ \\ |
Verze z 22. 9. 2013, 10:31
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01MAA4
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01MAA4 | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:14 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:46 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:28 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Značení | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:28 | preamble.tex | |
Kapitola15 | editovat | Regulární zobrazení | Krasejak | 7. 9. 2015 | 22:32 | kapitola15.tex | |
Kapitola16 | editovat | Implicitní zobrazení | Kubuondr | 1. 5. 2017 | 09:09 | kapitola16.tex | |
Kapitola17 | editovat | Variety | Kubuondr | 4. 3. 2017 | 09:48 | kapitola17.tex | |
Kapitola18 | editovat | Vázané extrémy | Krasejak | 7. 9. 2015 | 23:58 | kapitola18.tex | |
Kapitola19 | editovat | Diferenciální formy | Kubuondr | 12. 3. 2017 | 11:53 | kapitola19.tex | |
Kapitola20 | editovat | Křivkový integrál druhého druhu | Kubuondr | 15. 3. 2017 | 22:26 | kapitola20.tex | |
Kapitola21 | editovat | Křivkový integrál prvního druhu | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:55 | kapitola21.tex | |
Kapitola22 | editovat | Riemannův integrál jako elementární integrál | Kubuondr | 10. 8. 2018 | 11:01 | kapitola22.tex | |
Kapitola23 | editovat | Stupňovité funkce | Kubuondr | 10. 8. 2018 | 16:00 | kapitola23.tex | |
Kapitola24 | editovat | Základní integrál | Kubuondr | 1. 6. 2017 | 11:06 | kapitola24.tex | |
Kapitola25 | editovat | Třída Lambda plus a L plus | Kubuondr | 2. 4. 2017 | 09:14 | kapitola25.tex | |
Kapitola26 | editovat | Třída Lambda a L | Kubuondr | 11. 8. 2018 | 10:16 | kapitola26.tex | |
Kapitola27 | editovat | Limitní přechody | Mazacja2 | 11. 4. 2016 | 21:11 | kapitola27.tex | |
Kapitola28 | editovat | Měřitelné funkce | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 09:24 | kapitola28.tex | |
Kapitola29 | editovat | Měřitelné množiny | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 09:01 | kapitola29.tex | |
Kapitola30 | editovat | Integrál na měřitelné množině | Admin | 1. 8. 2010 | 11:04 | kapitola30.tex | |
Kapitola31 | editovat | Výpočet integrálu | Kubuondr | 8. 4. 2017 | 09:03 | kapitola31.tex | |
Kapitola33 | editovat | Parametrické integrály | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 13:38 | kapitola33.tex | |
Kapitola34 | editovat | Newtonova formule | Krasejak | 19. 9. 2015 | 01:48 | kapitola34.tex | |
Kapitola39 | editovat | Vnější algebra | Kubuondr | 3. 5. 2017 | 21:13 | kapitola39.tex | |
Kapitola35 | editovat | Divergenční věta | Kubuondr | 3. 6. 2018 | 09:22 | kapitola35.tex | |
Kapitola36 | editovat | Komplexní derivace | Kubuondr | 31. 5. 2017 | 09:27 | kapitola36.tex | |
Kapitola37 | editovat | Holomorfní funkce | Kubuondr | 31. 5. 2017 | 13:57 | kapitola37.tex | |
Kapitola38 | editovat | Laurentovy řady | Kubuondr | 5. 6. 2017 | 11:01 | kapitola38.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:01MAA4_lauren.pdf | 01MAA4_lauren.pdf |
Image:01MAA4_draha.pdf | 01MAA4_draha.pdf |
Image:01MAA4_gamma.pdf | 01MAA4_gamma.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA4} \section*{Značení} \begin{tabular}{| c | p{250pt} |} \hline \textbf{Značka} & \textbf{Popis} \\ \hline\hline $\RR$ & $\R\cup \left\lbrace -\infty, +\infty \right\rbrace$ \\ $\CC$ & $\C\cup \left\lbrace \infty \right\rbrace$ \\ $\mathbbm{X}_0$ & $\mathbbm{X} \cup \left\lbrace 0 \right\rbrace$, kde $\mathbbm{X}$ je číselná množina \\ $\n$ & $\left\lbrace m \in \N \, \vert \, m \leq n \right\rbrace$ \\ $\df f $ & definiční obor zobrazení $f$ \\ $\obr f $ & obor hodnot zobrazení $f$ \\ $\P(X)$ & potenční množina (množina všech podmnožin $X$) \\ $\posl{x}$ & posloupnost jdoucí od $1$ do $+\infty$ \\ $\lfloor k \rfloor$ & dolní celá část čísla $k$ \\ $\left(c,d\right)$ & otevřený interval \\ $\left[c,d\right] $ & uzavřený interval \\ $\sim$ & ekvivalence matic, množin či funkcí \\ $\to$ & bodová konvergence \\ $\mapsto$ & přiřazení \\ \hline $\vn A$ & vnitřek množiny $A$ \\ $\hr A$ & hranice množiny $A$ \\ $\uz A$ & uzávěr množiny $A$ \\ $\iz A$ & izolátor množiny $A$ \\ $A'$ & derivace množiny $A$ \\ $\uz A^Y$ & množina $A$ uzavřená v množině $Y$ \\ $\vn A^Y$ & množina $A$ otevřená v množině $Y$ \\ $\left[\phi \right] $ & stopa dráhy $\phi$ ($\obr \phi$) \\ \hline $\VEC V = V^n$ & lineární vektorový prostor dimenze $n$ \\ $\covec V=V^\# = V_n $ & lineární kovektorový (duální) prostor dimenze $n$ \\ $\L(\VEC X,\VEC Y)$ & normovaný prostor všech spojitých lineárních zobrazení $\VEC X \mapsto \VEC Y$ \\ $\vert b \ra = \vec b = (b^1,b^2,\dots ,b^r)^\text{T}$ & ket = vektor (kontravariantní tenzor 1.řádu) = sloupcový vektor \\ $\la a \vert = \covec a = a^\# =(a_1,a_2,\dots ,a_r)$ & bra = kovektor (kovariantní tenzor 1.řádu) = lineární funkcionál (1-forma) = řádkový vektor \\ $\covec a \vec b = \la a \vert b \ra$ & akce kovektoru na vektor (funkcionál v bodě) = braket \\ $\la \vec a, \vec b \ra$ & skalární součin vektorů \\ $\norm{\vec x}_p$ & $p$--norma vektoru $\vec x$ \\ \hline $\boldsymbol\omega$ & diferenciální 1-forma \\ $\boldsymbol\omega \wedge \boldsymbol\zeta $ & vnější součin forem \\ $\star \vec x$ & Hodgeův duál (operátor sdružení) \\ \hline $\c p(M)$ & třída všech funkcí majících na množině $M$ spojitou derivaci až do řádu $p$ \\ $\L^p(M)$ & normovaný prostor všech Lebesgueovsky integrabilních funkcí na množině $M$ s $p$-normou \\ $\pd_k = \frac{\pd}{\pd x_k} $ & operátor parciální derivace podle $k$--té složky \\ $\im$ & imaginární jednotka \\ \hline \end{tabular} \clearpage \section{Regulární zobrazení} Připomeňme si Banachovu větu: \begin{define} Zobrazení $f:(X,\rho)\mapsto(X,\rho)$ se nazývá {\bf kontrahující}, právě když \[(\exists k\in(0,1))(\forall x,y\in X)(\rho(f(x),f(y))\le k\rho(x,y)).\] \end{define} \begin{theorem} Každé kontrahující zobrazení na úplném prostoru má právě jeden pevný bod, tj. existuje takové $x$, že platí $f(x)=x$. \end{theorem} \begin{theorem}[o~inverzním zobrazení]\label{VInvZob} Nechť $q\in\N$, $g:E\mapsto E\in\c{q}$, $t_0\in\df g$, $\jac g(t_0)=\det g'(t_0)\not=0$. Potom existuje $\H_{t_0} = \vn{\H_{t_0}}$ takové, že \begin{enumerate}[(i)] \item Zúžení $g|_{\H_{t_0}}$ je prosté, \item $\U=g(\H_{t_0})=\vn{\U}$, tj. obraz otevřeného okolí je otevřený, \item $f=(g|_{\H_{t_0}})^{-1}\in\c{q}$. \end{enumerate} \begin{proof} Buď $x_0=g(t_0)$, $x=g(t)$. Pak $x-g(t)=0$, $t=x+(t-g(t))=\phi_x(t)$. \begin{enumerate}[I)] \item předpokládejme, že $g'(t_0)\in\L(\vec E,\vec E)$, $g'(t_0)=\id{E}$ \[\phi'_x(t_0)=\id{\vec E}-g'(t_0)=\Theta\] \[\abs{\phi_x^i(t_2)-\phi_x^i(t_1)}=\abs{(\phi_x^i)'(\xi)(t_2-t_1)}\] S využitím spojitosti $g$ existuje $\uz{B}(t_0,r)$ taková, že $(\forall t\in B)\norm{\phi'_x(t)}\le k\in(0,1)$ a zároveň $\uz{B}$ je úplný prostor (je uzavřená v~úplném prostoru). Musíme ještě ověřit, zda $\phi_x:\uz{B}(t_0,r)\mapsto \uz{B}(t_0,r)$. \[ \begin{split} \norm{\phi_x(t)-t_0}&=\norm{x+t-g(t)-(x_0+t_0-g(t_0))}=\\ &=\norm{(x-x_0)+(x+t-g(t))-(x+t_0-g(t_0))}\le\\ &\le\norm{x-x_0}+\norm{\phi_x(t)-\phi_x(t_0)}\le (1-k)r+kr \le r \end{split} \] Jestliže je $x\in B(x_0,(1-k)r)$, pak $\phi_x$ na $\uz{B}(t_0,r)$ kontrahuje a $\phi_x$ je $\uz{B}\mapsto\uz{B}$. Z~toho vyplývá, že má právě jeden pevný bod pro každé $x\in B(x_0,(1-k)r)$ a tedy zvolím-li si $x\in B$, pak existuje právě jedno $t\in B(t_0,r)$ tak, že platí $x=g(t)$. Tedy $g|_\H$ je prosté. Definujeme tímto zobrazení $f(x)=t$. % \[\H=f(B(x_0,(1-k)r))=g^{-1}(B(x_0,(1-k)r)).\] % Jelikož $g\in\c{q}$, je $\U=B(x_0,(1-k)r)$ otevřená. Zbývá dokázat, že % $f=(g|_\H)^{-1}\in \c{q}$. Nejprve ukážeme spojitost $f$. \[ \begin{split} \norm{g(t_2)-g(t_1)}&=\norm{x+t_2-\phi_x(t_2)-(x+t_1-\phi_x(t_1))}\ge\\ &\ge\norm{t_2-t_1}-\norm{\phi_x(t_2)-\phi_x(t_1)} \ge(1-k)\norm{t_2-t_1} \end{split} \] a tedy pro každé $x_1,x_2\in g(\H)$ platí: \[\norm{f(x_2)-f(x_1)}\le\frac{1}{1-k}\norm{x_2-x_1},\] tedy zobrazení $f$ je lipschitzovské, tedy i spojité. Vzor otevřené množiny při spojitém zobrazení je otevřený. Proto $\U=g(\H)=f^{-1}(\H)=\vn{\U}$. Zbývá dokázat, že $f=(g|_\H)^{-1}\in \c{q}$. \[g(t)=g(t_0)+g'(t_0)(t-t_0)+\mu(t)\norm{t-t_0}\] \[x-x_0=g'(t_0)(f(x)-f(x_0))+\mu(f(x))\norm{f(x)-f(x_0)}\] \[f(x)-f(x_0)=(g'(t_0))^{-1}(x-x_0)- (g'(t_0))^{-1}(\mu(f(x))\norm{f(x)-f(x_0)})\] \[\norm{f(x)-f(x_0)}\le\norm{(g'(t_0))^{-1}}\norm{x-x_0}+ \norm{(g'(t_0))^{-1}}\norm{\mu(f(x))}\norm{f(x)-f(x_0)}\] \[\norm{f(x)-f(x_0)}\le\frac{\norm{(g'(t_0))^{-1}}\norm{x-x_0}}{1-\norm{(g'(t_0))^{-1}}\norm{\mu(f(x))}}\] a tedy \[f(x)=f(x_0)+(g'(t_0))^{-1}(x-x_0)+\omega(x)\norm{x-x_0}\] a \[ \norm{\omega(x)}\le\norm{(g'(t_0))^{-1}}\norm{\mu(f(x))} \frac{\norm{(g'(t_0))^{-1}}}{1-\norm{(g'(t_0))^{-1}}\norm{\mu(f(x))}} \] Existuje $f'(x_0)=(g'(t_0))^{-1}$. Pro $x\in\U$, $t\in\H$ \[f'(x)=(g'(t))^{-1}\] \item Pokud $g'(t_0)\not=\id{\vec E}$: Definujeme \[h(x)=x_0-g'(t_0)^{-1}(x-x_0).\] Platí, že $G=(h\circ g)\in\c{q}$, $G(t_0)=x_0$, $G'(t_0)=(h\circ g)'(t_0)=(g'(t_0))^{-1}\circ g'(t_0)=\id{\vec E}$. \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} \begin{enumerate} \item $g^{-1}=f$ \item $f'(x_0)=(g'(t_0))^{-1}$ \item $\jac f(x_0)=\frac{1}{\jac g(t_0)}$ \end{enumerate} \end{remark} \begin{define} Buď $g$ zobrazení třídy alespoň $\c{1}$ pro každé $t\in\df g$. Nechť $\jac g(t)\not=0$ (tj. $g$ má regulární derivaci). Pak řekneme, že $g$ je {\bf regulární}. \end{define} \begin{remark} Regulární zobrazení splňuje předpoklady \ref{VInvZob}, takže je {\bf lokálně prosté}, tj. $(\forall t)(\exists\H_t)$ takové, že $g$ je na něm prosté. \end{remark} \begin{define} Zobrazení $g:E\mapsto E$ se nazývá {\bf difeomorfismus}, resp. {\bf $q$-difeomorfismus} platí-li \begin{enumerate}[(I)] \item $g$ je prosté \item $g$ i $g^{-1}$ jsou třídy $\c{1}$ resp. $\c{q}$. \end{enumerate} \end{define} \begin{remark} Regulární zobrazení je {\bf lokálně difeomorfní}. \end{remark} \begin{define} Zobrazení $g$ se nazývá {\bf otevřené}, platí-li \[(A\subset \df g\wedge A=\vn{A})\implies g(A)=\vn{g(A)}.\] \end{define} \begin{theorem} Je-li $g$ regulární, je otevřené. \begin{proof} $x_0\in g(A)$, tedy $(\exists t_0\in A)(g(t_0)=x_0)$. Na $g|_A$ aplikujeme větu \ref{VInvZob} \\ $(\exists\H_{x_0}\subset A)(g(H_{x_0})=\U,\ x_0\in\U\subset g(A))$ a tedy $g(A)$ je otevřená. \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} Zobrazení regulární a prosté je difeomorfní. \end{remark}