Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01FA1}
\chapter {Opakování pojmů z topologie}
V téhle kapitole připomene pojmy z topologie, které by měly být známé z MAA3. Je možné, že některé pojmy
budou nové, jiné jinak zavedeny, proto doporučuji tuhle kapitolu nevynechávat.
\section{Základní pojmy}
\begin{define}
Buď $X$ množina. Množinu $\Pc(X) :=\{ A \vert A \subset X \}$ nazýváme {\bf potenční množinou množiny $X$}.
\end{define}
\begin{remark}
Někdy se stkáme se značením $\Pc(X) = 2^X$. Toto značení vychází z algebry, kde je definován objekt $Y^X := \{ f: X \rightarrow Y \}$, tj. množina všech zobrazení z X do Y.
Ztotožníme-li dvouprvkovou množinu $\{0,\ 1 \}$ s označením 2, pak máme $\{0,\ 1 \}^X = 2^X$. Pokud nyní máme $M\in \Pc (X)$, pak charakteristická funkce množiny
$\chi_M \in 2^X$ je bijekcí. Odtud můžeme pochopit, odkud se vzala tahle na první pohled nezvyká notace.
\end{remark}
\begin{remark}
$\Pc(\emptyset) = \{\emptyset \}$
\end{remark}
\begin{define}
Buď $X$ množina, $\tau \subset \Pc(X)$. Pak $\tau$ nazýváme {\bf topologií na $X$} $\Leftrightarrow$
\begin{enumerate}
\item $\emptyset$, $X \in \tau$;
\item $\forall \G \subset \tau$ systém podmonžin, $\displaystyle \bigcup _{G\in\G} G \in \tau$;
\item $\forall \G \subset \tau$ konečný systém podmonžin, $\displaystyle \bigcap _{G\in\G} G \in \tau$.
\end{enumerate}
Prvky $\tau$ nazývme {\bf otevřené množiny} a jejich doplňky {\bf uzavřené množiny}, tj. $A \subset X$ je uzavřená $\Leftrightarrow X \backslash A \in \tau$
\end{define}
\begin{remark}
Je-li $A$ konečná, pak označme $\vert A \vert$ počet prvků množiny $A$.
Vlastnost 3 stačí ověřit pro $\vert \G \vert = 2$ a dále matematickou indukcí.
\end{remark}
\begin{theorem}[o~uzavřených množinách]
Buď $X$ množina. Pak platí:
\begin{enumerate}
\item $\emptyset, \ X$ jsou uzvařené;
\item průnik libovolného systému uzavřených množin je uzavřená množina;
\item konečné sjednocení uzavřených množin je uzavřená množina.
\end{enumerate}
\begin{proof}
Trivální pomocí de-Morganových pravidel a z definice topologie a uzavřené množiny, vizte MAA3.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Pojmy \uv{nejmenší}, \uv{největší} pro množiny budeme uvažovat ve smyslu inkluze.
\end{remark}
\begin{define}
Buď $M \subset X$.
\begin{enumerate}
\item Nejmenší uzavřenou množinu $A\subset X$ takovou, že $M\subset A$, nazýváme {\bf uzávěrem množiny $M$}. Označujeme $\overline{M} = A$
\item Největší otevřenou množinu $G\subset X$ takovou, že $G\subset M$, nazýváme {\bf vnitřkem množiny $M$}. Označujeme $M^o = G$
\end{enumerate}
\end{define}
S touto znalostí pak můžeme snadno přeformulovat definici uzavřenosti a otevřenosti množin.
\begin{remark}
Množina $M$ je uzavřená, právě když $M = \overline{M}$ a je otevřená, právě když $M = M^o$.
\end{remark}
\begin{theorem}[o~uzávěru a~vnitřku]
Buď $\left(X,\ \tau \right)$ topologický prostor, $M\subset X$ libovolná. Pak v $X$ existuje uzávěr a vnitřek $M$.
\befin{proof}
\begin{enumerate}
\item {\it Uzávěr}: Víme, že X je uzavřená množina. Pak uvažujme všechny uzavřené množiny, které obsahují $M$. Jejich průnikem je uzavřená množina, která obsahuje $M$ a~je s~touto vlastností nejmenší možná.
\item {\it Vnitřek}: Víme, že $\emptyset$ je otevřená množina. Uvažujme tentokrát všechny otevřené podmnožiny $M$. Jejich sjednocením je otevřená množina, která je obsažena v $M$ a~je největší možná s~touto vlastností.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{define}
Buď $\left(X,\ \tau \right)$ topologický prostor, $x\in X$. Řekneme, že $U \subset X$ je {\bf okolím} bodu $x$, právě když $x \in U^o$. $U$ je {\bf otevřené okolí}, jestliže $x \in U \in \tau$.
\end{define}
Uveďme nyní některé příklady topologií na neprázdné množině $X$. Jako nejjednodušší se jeví zvolit do systému oněch množin jen prázdnou množinu a množinu $X$, tedy $\tau_1 = \{ \emptyset, \ X \}$. Tuhle topologii nazýváme {\it nejslabší (nejhrubší) topologií na X}. Další možností je zvolit za topologii potenční množinu, tj. $\tau_2 = \Pc(X)$. Tuhle topologii označujeme jako {\it diskrétní}.
\begin{theorem}[o~doplňku uzávěru a~vnitřku]
Buď $\left(X,\ \tau \right)$ topologický prostor, $M \subset X$. Pak platí:
\begin{enumerate}
\item $X \backslash M^o = \overline{X \backslash M}$;
\item $X \backslash \overline{M} = \left(X \backslash M \right)^o$.
\end{enumerate}
\begin{proof}
cvičení
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{define}
Mějme $\left(X,\ \tau \right)$ topologický prostor. Řekneme, že systém množin $\G \subset \tau$ je {\bf bází topologie $\tau$}, jestliže
$$ \left(\forall U\in\tau\right) \left(\exists\G' \subset\G \right) (U = \bigcup _{G\in\G'} G).$$
\end{define}
Následující věta nám ukáže, co musí splňovat systém množin, aby jej bylo možné považovat za bázi topologie.
\begin{theorem}
Buďte $X$ množina, $\G \subset \Pc(X) \backslash \{\emptyset \}$. Pak $\G$ je bází topologie $\tau$, právě když
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle \bigcup _{G\in\G} G = X$;
\item $(\forall G_1,G_2 \in \G) (\forall x \in G_1 \cap G_2) (\exists G_3 \in \G) (x \in G_3 \subset G_1 \cap G_2)$.
\end{enumerate}
V kladném případě je topologie $\tau = \tau(\G)$ určena jednoznačně a nazývá se {\bf topologie generovaná systémem $\G$}.
\begin{proof}
{\it Jednoznačnost}: $U \in \tau(\G) \Letfrightarrow (\exists \G' \subset \G) (U = \displaystyle \bigcup_{G \in \G'}G)$
Tímto jsme ukázali, že každý prvek z~topologie generované systémem je jednoznačně vyjádřitelný pomocí báze.
{\it Nutná podmínka $(\Rightarrow)$ }: Nyní předpokládáme, že $\G$ je bází nějaké topologie. Pak z toho plyne,
že sjednocením všech těchto prvků musí být největší otevřená množina v $X$, což je $X$ samotná. Víme dále, že průnikem
otevřených množin je otevřená množina, tj. pokud vezmu libovolný bod z~průniku, leží v~průniku i~nějaké jeho otevřené
okolí, což je otevřená množina a~pro tu musí existovat nějaké sjednocení množin z~$\G$ pokrývající tento průnik. Tím
je dokázána druhá část tvrzení.
{\it Postačující podmínky $(\Leftarrow)$}: Předpokládáme nyní platnost podmínek~1~a~2 a~topologii zavedeme tak, jak byla definovaná v~části o~jednoznačnosti.
Pak nám stačí ověřit, jestli tyhle podmínky stačí k~tomu, aby byly splněny tři axiomy topologie. První z~nich je jasný.
Nyní ukážeme, že libovolné sjednocení (přes libovolnou indexovou množinu $A$) lze zapsat jako jediné sjednocení, čímž ukážeme,
že je sjednocení otevřené a~tedy leží v~topologii:
$$ \displaystyle \bigcup_{\alpha \in A} \left( \displaystyle \bigcup_{G\in \G_{\alpha}} G \right) = \dispalystyle \bigcup_{G \in \bigcup_{\alpha \in A} \G_{\alpha}} G. $$
Poslední axiom, tj. požadavek na otevřenost libovolného konečného průniku, stačí ukázat pro 2~prvky topologie (dle poznámky pod definicí topologie to stačí):
$$\left( \displaystyle \bigcup_{G\in \G'} G \right) \cap \left( \displaystyle \bigcup_{G\in \G'{}'}\right) = \displaystyle \bigcup_{G' \in \G', \ G'{}' \in \G'{}'} G' \cap G'{}'$$
Tímto je tvrzení dokázáno, protože dle 2. předpokladu je $G' \cap G'{}' \in \tau (\G)$ a~dle předešlého je tedy průnik těchto množin prvkem $\tau (\G)$ a~tedy je dokázáno, že
$\tau (\G)$ je topologií na množině X.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}[o~bázi topologie]
Buďte $\left(X,\ \tau \right)$ topologický prostor, $\G \subset \tau$. Pak $\G$ je bází topologie~$\tau$, právě když
$$ \left( \forall U\in \tau \right) \left( \forall x \in U \right) \left( \exists G \in \G \right) \left( x \in G \subset U \right) . $$
\begin{remark}
Tahle věta a podmínka v~ní vyjadřuje jen ten fakt, že libovolnou otevřenou množinu~$U$~lze zapsat jako sjednocení podsystémů množin $G \in \G $.
\end{remark}
\begin{proof}
Zřejmý, s využitím předešlé věty a poznámky výše.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Buď $x\in X$, $\B \subset \tau$, pak $\B$ je {\it bází okolí} (též {\it lokální báze}) v~bodě $x$, právě když
$\left( \forall U_x \right) \left( \exists B \in \B \right) \left( x \in B \subset U \right)$.
\end{remark}
\begin{define}
Topologický prostor $\left(X,\ \tau \right)$ splňuje {\bf II. axiom spočetnosti}, jestliže má topologie~$\tau$ spočetnou bázi.
Řekneme, že je {\bf separabilní}, jestliže $\exists S \subset X$, taková, že $S$ je spočetná a $\overline{S} = X$, tj. $S$ je hustá v $X$.
\end{define}
\noindent Pro účely následující věty bude vhodné připomenout jednu alternativní definici husté množiny. O~tom, že je tato definice korektní, se přesvědčíme v následujícím lemmatu:
\begin{lemma}
$$ \overline{S} = X \Leftrightarrow \left( \forall G \in \tau \backslash \{ \emptyset \} \right) \left( S \cap G \neq \emptyset \right) $$
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item[$\Leftarrow )$] Nechť platí pravá strana. Kdyby pak $X \backslash \overline{S} \neq \emptyset$, tak by odtud plynulo, že
$G = X \backslash \overline{S} $ je otevřená množina a zároveň $S \cap G = \emptyset$, což je spor.
\item[$\Rightarrow )$] Nechť $X = \overline{S}$, $\emptyset \neq G \in \tau$. Pak $X \backslash G \neq X$ je uzavřená množina, která nemůže obsahovat S.
Kdyby jej obsahovala, tak $S \subset G \Rightarrow \overline{S} \subset X \backslash G \neq X$, což je spor s předpokladem. Proto tedy $S \cap G \neq \emptyset$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{lemma}
\noindent Cítíme, že vlastnost II. axiomu spočetnosti je silnější než vlastnost separability. Následující věta tento vztah dokazuje.
\begin{theorem}[o~separabiltě]
Jestliže topologický prostor $\left(X,\ \tau \right)$ splňuje II. axiom spočetnosti, pak je separabilní.
\begin{proof}
Ze druhého axiomu spočetnosti plyne existence spočetné báze $\G = \{ G_k \vert k\in \mathbb{N}\}$, přičemž pro všechna $k \in \mathbb{N}$ platí $G_k \neq \emptyset$.
Zvolme $s_k \in G_k$ pro všechna $k\in \mathbb{N}$. Položme $S = \{ s_k \vert k \in \mathbb{N}$. Nyní už víme, že S je díky konstrukci hustá~v~X, protože má neprázdný průnik
s~každou neprázdnou otevřenou množinou, tj. $\forall B \in \tau \backslash \{ \emptyset \}$ a~$B \cap S \neq \emptyset$.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{define}
Buďte $\left(X,\ \tau \right)$ topologický prostor, $S\subset X$, $x\in X$. Řekneme, že $x$ je {\bf hromadným bodem S}, právě když pro každé okolí~$U$ bodu~$x$
průnik $S \cap U$ obsahuje bod různý od~$x$.
\end{define}
\begin{define}
Nechť $\left(X,\ \tau \right)$ je topologický prostor, $M\subset X$. Pak $\tau_M :=\{ G \cap M \vert G\in \tau$ je topologie na M. Říkáme, že $\left(M,\ \tau_m \right)$
je {\bf toplogický podprostor} a $\left(X,\ \tau \right)$.
\end{define}
\begin{remark}
To, že $\tau_M$ je skutečně topologií, je jasné, ale je nutné to ověřit.
\end{remark}
\begin{remark}
Uvažujme nyní $A \subset M \subset X$. Pak je důležité rozlišovat, vzhledem ke které z topologií
provádíme topologické operace a zkoumáme topologické vlastnosti, neboť ty nejsou vždy shodné.
\end{remark}
Abychom tuhle vlastnost ilustrovali, uvažujme $X=\left[0,1\right]$ s~běžnou topologií, $M=\left(0,1\right)$. Zkoumejme nyní uzávěr množiny $A=M$ vzhledem k různým topologiím.
$\overline{A} = \left[0,1\right] $ v $X$, ale $\overline{A} = \left(0,1\right)$ v $M$.
\section{Spojitost}
\begin{define}
Buďte $\left(X_1,\ \tau_1 \right)$, $\left(X_2,\ \tau_2 \right)$ topologické prostory a~$f:X_1\longrightarrow X_2$. Řekneme, že $f$ je {\bf spojité zobrazení $X_1$ do $X_2$}, právě když
$\left( \forall G \in \tau_2 \right) \left( f^{-1}(G) \in \tau_1 \right). \\
Je-li $x\in X_1$, řekneme, že zobrazení $f$ je {\bf spojité v bodě $x$}, právě když pro $y= f(x)$ platí:
$$ \left( \forall V \in \tau_2 ,\ y \in V \right) \left( \exists U \in \tau_1 , \ x\in U \right) \left( f(U) \subset V \right). $$
\end{define}
\begin{remark}
Definice je ekvivalentní s~touto: $ \left( \forall V \in \tau_2 ,\ y \in V \right) \left( \exists U \in \tau_1 , \ x\in U \right) \left( U \subset f^{-1}(V) \right) $
\end{remark}
\begin{theorem}
Buďte $\left(X_1,\ \tau_1 \right)$, $\left(X_2,\ \tau_2 \right)$ topologické prostory. Pak $f:X_1\longrightarrow X_2$ je spojité, právě když $f$ je spojité v každém bodě $x\in X_1$.
\begin{proof}
cvičení
\end{proof}
\end{theorem}
