Aktuální verze z 18. 1. 2017, 20:27

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01FA1}
\chapter {Opakování pojmů z topologie}
V téhle kapitole připomene pojmy z topologie, které by měly být známé z MAA3. Je možné, že některé pojmy
budou nové, jiné jinak zavedeny, proto doporučuji tuhle kapitolu nevynechávat.
\section{Základní pojmy}
\begin{define}
Buď $X$ množina. Množinu $\Pc(X) :=\{ A \vert A \subset X \}$ nazýváme {\bf potenční množinou množiny $X$}.
\end{define}
 
\begin{remark}
Někdy se stkáme se značením $\Pc(X) = 2^X$. Toto značení vychází z algebry, kde je definován objekt $Y^X := \{ f: X \rightarrow Y \}$, tj. množina všech zobrazení z X do Y.
Ztotožníme-li dvouprvkovou množinu $\{0,\ 1 \}$ s označením 2, pak máme  $\{0,\ 1 \}^X = 2^X$. Pokud nyní máme $M\in \Pc (X)$, pak charakteristická funkce množiny 
$\chi_M \in 2^X$ je bijekcí. Odtud můžeme pochopit, odkud se vzala tahle na první pohled nezvyká notace. 
\end{remark}
 
\begin{remark}
$\Pc(\emptyset) = \{\emptyset \}$
\end{remark}
 
\begin{define}
Buď $X$ množina, $\tau \subset \Pc(X)$. Pak $\tau$ nazýváme {\bf topologií na $X$} $\Leftrightarrow$
\begin{enumerate}
\item $\emptyset$, $X \in \tau$;
\item $\forall \G \subset \tau$ systém podmonžin, $\displaystyle \bigcup _{G\in\G} G \in \tau$;
\item $\forall \G \subset \tau$ konečný systém podmonžin, $\displaystyle \bigcap _{G\in\G} G \in \tau$.
\end{enumerate}
Prvky $\tau$ nazývme {\bf otevřené množiny} a jejich doplňky {\bf uzavřené množiny}, tj. $A \subset X$ je uzavřená $\Leftrightarrow X \backslash A \in \tau$
\end{define}
 
\begin{remark}
Je-li $A$ konečná, pak označme $\vert A \vert$ počet prvků množiny $A$. 
 
Vlastnost 3 stačí ověřit pro $\vert \G \vert = 2$ a dále matematickou indukcí.
\end{remark}
 
\begin{theorem}[o~uzavřených množinách]
Buď $X$ množina. Pak platí:
\begin{enumerate}
\item $\emptyset, \ X$ jsou uzvařené;
\item průnik libovolného systému uzavřených množin je uzavřená množina;
\item konečné sjednocení uzavřených množin je uzavřená množina. 
\end{enumerate}
\begin{proof}
Trivální pomocí de-Morganových pravidel a z definice topologie a uzavřené množiny, vizte MAA3. 
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
Pojmy \uv{nejmenší}, \uv{největší} pro množiny budeme uvažovat ve smyslu inkluze. 
\end{remark}
 
\begin{define}
Buď $M \subset X$. 
\begin{enumerate}
\item Nejmenší uzavřenou množinu $A\subset X$ takovou, že $M\subset A$, nazýváme {\bf uzávěrem množiny $M$}. Označujeme $\overline{M} = A$
\item Největší otevřenou množinu $G\subset X$ takovou, že $G\subset M$, nazýváme {\bf vnitřkem množiny $M$}. Označujeme $M^o = G$
\end{enumerate}
\end{define}
 
S touto znalostí pak můžeme snadno přeformulovat definici uzavřenosti a otevřenosti množin.
\begin{remark}
Množina $M$ je uzavřená, právě když $M = \overline{M}$ a je otevřená, právě když $M = M^o$. 
\end{remark}
 
\begin{theorem}[o~uzávěru a~vnitřku]
Buď $\left(X,\ \tau \right)$ topologický prostor, $M\subset X$ libovolná. Pak v $X$ existuje uzávěr a vnitřek $M$. 
\befin{proof}
\begin{enumerate}
\item {\it Uzávěr}: Víme, že X je uzavřená množina. Pak uvažujme všechny uzavřené množiny, které obsahují $M$. Jejich průnikem je uzavřená množina, která obsahuje $M$ a~je s~touto vlastností nejmenší možná.
\item {\it Vnitřek}: Víme, že $\emptyset$ je otevřená množina. Uvažujme tentokrát všechny otevřené podmnožiny $M$. Jejich sjednocením je otevřená množina, která je obsažena v $M$ a~je největší možná s~touto vlastností. 
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{define}
Buď $\left(X,\ \tau \right)$ topologický prostor, $x\in X$. Řekneme, že $U \subset X$ je {\bf okolím} bodu $x$, právě když $x \in U^o$. $U$ je {\bf otevřené okolí}, jestliže $x \in U \in \tau$.
\end{define}
 
Uveďme nyní některé příklady topologií na neprázdné množině $X$. Jako nejjednodušší se jeví zvolit do systému oněch množin jen prázdnou množinu a množinu $X$, tedy $\tau_1 = \{ \emptyset, \ X \}$. Tuhle topologii nazýváme {\it nejslabší (nejhrubší) topologií na X}. Další možností je zvolit za topologii potenční množinu, tj. $\tau_2 = \Pc(X)$. Tuhle topologii označujeme jako {\it diskrétní}.
 
\begin{theorem}[o~doplňku uzávěru a~vnitřku]
Buď $\left(X,\ \tau \right)$ topologický prostor, $M \subset X$. Pak platí:
\begin{enumerate}
\item $X \backslash M^o = \overline{X \backslash M}$;
\item $X \backslash \overline{M} = \left(X \backslash M \right)^o$.
\end{enumerate}
\begin{proof}
cvičení
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{define}
Mějme $\left(X,\ \tau \right)$ topologický prostor. Řekneme, že systém množin $\G \subset \tau$ je {\bf bází topologie $\tau$}, jestliže 
$$ \left(\forall U\in\tau\right) \left(\exists\G' \subset\G \right) (U = \bigcup _{G\in\G'} G).$$
\end{define}
 
Následující věta nám ukáže, co musí splňovat systém množin, aby jej bylo možné považovat za bázi topologie.
 
\begin{theorem}
Buďte $X$ množina, $\G \subset \Pc(X) \backslash \{\emptyset \}$. Pak $\G$ je bází topologie $\tau$, právě když 
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle \bigcup _{G\in\G} G = X$;
\item $(\forall G_1,G_2 \in \G) (\forall x \in G_1 \cap G_2) (\exists G_3 \in \G) (x \in G_3 \subset G_1 \cap G_2)$. 
\end{enumerate}
V kladném případě je topologie $\tau = \tau(\G)$ určena jednoznačně a nazývá se {\bf topologie generovaná systémem $\G$}. 
\begin{proof}
{\it Jednoznačnost}: $U \in \tau(\G) \Letfrightarrow (\exists \G' \subset \G) (U = \displaystyle \bigcup_{G \in \G'}G)$
Tímto jsme ukázali, že každý prvek z~topologie generované systémem je jednoznačně vyjádřitelný pomocí báze. 
 
{\it Nutná podmínka $(\Rightarrow)$ }: Nyní předpokládáme, že $\G$ je bází nějaké topologie. Pak z toho plyne, 
že sjednocením všech těchto prvků musí být největší otevřená množina v $X$, což je $X$ samotná. Víme dále, že průnikem 
otevřených množin je otevřená množina, tj. pokud vezmu libovolný bod z~průniku, leží v~průniku i~nějaké jeho otevřené 
okolí, což je otevřená množina a~pro tu musí existovat nějaké sjednocení množin z~$\G$ pokrývající tento průnik. Tím 
je dokázána druhá část tvrzení.
 
{\it Postačující podmínky $(\Leftarrow)$}: Předpokládáme nyní platnost podmínek~1~a~2 a~topologii zavedeme tak, jak byla definovaná v~části o~jednoznačnosti. 
Pak nám stačí ověřit, jestli tyhle podmínky stačí k~tomu, aby byly splněny tři axiomy topologie. První z~nich je jasný. 
Nyní ukážeme, že libovolné sjednocení (přes libovolnou indexovou množinu $A$) lze zapsat jako jediné sjednocení, čímž ukážeme, 
že je sjednocení otevřené a~tedy leží v~topologii:
$$ \displaystyle \bigcup_{\alpha \in A} \left( \displaystyle \bigcup_{G\in \G_{\alpha}} G \right) = \dispalystyle \bigcup_{G \in \bigcup_{\alpha \in A} \G_{\alpha}} G. $$
Poslední axiom, tj. požadavek na otevřenost libovolného konečného průniku, stačí ukázat pro 2~prvky topologie (dle poznámky pod definicí topologie to stačí):
$$\left( \displaystyle \bigcup_{G\in \G'} G \right) \cap \left( \displaystyle \bigcup_{G\in \G'{}'}\right) = \displaystyle \bigcup_{G' \in \G', \ G'{}' \in \G'{}'} G' \cap G'{}'$$
Tímto je tvrzení dokázáno, protože dle 2. předpokladu je $G' \cap G'{}' \in \tau (\G)$ a~dle předešlého je tedy průnik těchto množin prvkem $\tau (\G)$ a~tedy je dokázáno, že 
$\tau (\G)$ je topologií na množině X. 
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}[o~bázi topologie]
Buďte $\left(X,\ \tau \right)$ topologický prostor, $\G \subset \tau$. Pak $\G$ je bází topologie~$\tau$, právě když 
$$ \left( \forall U\in \tau \right) \left( \forall x \in U \right)  \left( \exists G \in \G \right) \left( x \in G \subset U \right) . $$
 
\begin{remark}
Tahle věta a podmínka v~ní vyjadřuje jen ten fakt, že libovolnou otevřenou množinu~$U$~lze zapsat jako sjednocení podsystémů množin $G \in \G $. 
\end{remark}
\begin{proof}
Zřejmý, s využitím předešlé věty a poznámky výše. 
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
Buď $x\in X$, $\B \subset \tau$, pak $\B$ je {\it bází okolí} (též {\it lokální báze}) v~bodě $x$, právě když 
$\left( \forall U_x \right)   \left( \exists B \in \B \right) \left( x \in B \subset U \right)$. 
\end{remark}
 
\begin{define}
Topologický prostor $\left(X,\ \tau \right)$ splňuje {\bf II. axiom spočetnosti}, jestliže má topologie~$\tau$ spočetnou bázi. 
Řekneme, že je {\bf separabilní}, jestliže $\exists S \subset X$, taková, že $S$ je spočetná a $\overline{S} = X$, tj. $S$ je hustá v $X$. 
\end{define}
 
\noindent Pro účely následující věty bude vhodné připomenout jednu alternativní definici husté množiny. O~tom, že je tato definice korektní, se přesvědčíme v následujícím lemmatu:
 
\begin{lemma}
$$ \overline{S} = X \Leftrightarrow \left( \forall G \in \tau \backslash \{ \emptyset \} \right) \left( S \cap G \neq \emptyset \right) $$
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item[$\Leftarrow )$] Nechť platí pravá strana. Kdyby pak $X \backslash \overline{S} \neq \emptyset$, tak by odtud plynulo, že 
$G = X \backslash \overline{S} $ je otevřená množina a zároveň $S \cap G = \emptyset$, což je spor. 
\item[$\Rightarrow )$] Nechť $X = \overline{S}$, $\emptyset \neq G \in \tau$. Pak $X \backslash G \neq X$ je uzavřená množina, která nemůže obsahovat S. 
Kdyby jej obsahovala, tak $S \subset G \Rightarrow \overline{S} \subset X \backslash G \neq X$, což je spor s předpokladem. Proto tedy $S \cap G \neq \emptyset$. 
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{lemma}
 
\noindent Cítíme, že vlastnost II. axiomu spočetnosti je silnější než vlastnost separability. Následující věta tento vztah dokazuje. 
 
\begin{theorem}[o~separabiltě]
Jestliže topologický prostor $\left(X,\ \tau \right)$ splňuje II. axiom spočetnosti, pak je separabilní. 
\begin{proof}
Ze druhého axiomu spočetnosti plyne existence spočetné báze $\G = \{ G_k \vert k\in \mathbb{N}\}$, přičemž pro všechna $k \in \mathbb{N}$ platí $G_k \neq \emptyset$.
Zvolme $s_k \in G_k$ pro všechna $k\in \mathbb{N}$. Položme $S = \{ s_k \vert k \in \mathbb{N}$. Nyní už víme, že S je díky konstrukci hustá~v~X, protože má neprázdný průnik 
s~každou neprázdnou otevřenou množinou, tj. $\forall B \in \tau \backslash \{ \emptyset \}$ a~$B \cap S \neq \emptyset$.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{define}
Buďte  $\left(X,\ \tau \right)$ topologický prostor, $S\subset X$, $x\in X$. Řekneme, že $x$ je {\bf hromadným bodem S}, právě když pro každé okolí~$U$ bodu~$x$
průnik $S \cap U$ obsahuje bod různý od~$x$.
\end{define}
 
\begin{define}
Nechť $\left(X,\ \tau \right)$ je topologický prostor, $M\subset X$. Pak $\tau_M :=\{ G \cap M \vert G\in \tau$ je topologie na M. Říkáme, že $\left(M,\ \tau_m \right)$
je {\bf toplogický podprostor} a $\left(X,\ \tau \right)$. 
\end{define}
 
\begin{remark}
To, že $\tau_M$ je skutečně topologií, je jasné, ale je nutné to ověřit.
\end{remark}
 
\begin{remark}
Uvažujme nyní $A \subset M \subset X$. Pak je důležité rozlišovat, vzhledem ke které z topologií 
provádíme topologické operace a zkoumáme topologické vlastnosti, neboť ty nejsou vždy shodné. 
\end{remark}
Abychom tuhle vlastnost ilustrovali, uvažujme $X=\left[0,1\right]$ s~běžnou topologií, $M=\left(0,1\right)$. Zkoumejme nyní uzávěr množiny $A=M$ vzhledem k různým topologiím. 
$\overline{A} = \left[0,1\right] $ v $X$, ale $\overline{A} = \left(0,1\right)$ v $M$. 
 
\section{Spojitost}
\begin{define}
Buďte $\left(X_1,\ \tau_1 \right)$, $\left(X_2,\ \tau_2 \right)$ topologické prostory a~$f:X_1\longrightarrow X_2$. Řekneme, že $f$ je {\bf spojité zobrazení $X_1$ do $X_2$}, právě když 
$\left( \forall G \in \tau_2 \right) \left( f^{-1}(G) \in \tau_1 \right). \\
Je-li $x\in X_1$, řekneme, že zobrazení $f$ je {\bf spojité v bodě $x$}, právě když pro $y= f(x)$ platí:
$$ \left( \forall V \in \tau_2 ,\ y \in V \right) \left( \exists U \in \tau_1 , \ x\in U \right) \left( f(U) \subset V \right). $$
\end{define}
 
\begin{remark}
Definice je ekvivalentní s~touto: $ \left( \forall V \in \tau_2 ,\ y \in V \right) \left( \exists U \in \tau_1 , \ x\in U \right) \left( U \subset f^{-1}(V) \right) $
\end{remark}
 
\begin{theorem}
Buďte $\left(X_1,\ \tau_1 \right)$, $\left(X_2,\ \tau_2 \right)$ topologické prostory. Pak $f:X_1\longrightarrow X_2$ je spojité, právě když $f$ je spojité v každém bodě $x\in X_1$. 
\begin{proof}
cvičení
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Buď $f:X\longrightarrow Y$ bijekce, $f,\ f^{-1}$ spojitá. Pak $f$ nazýváme {\it homeomerfismem}.
\item Buďte  $f:X\longrightarrow Y$,  $g:Y\longrightarrow Z$  spojitá zobrazení. Pak $h = g \circ f : X\longrightarrow Z$ je spojité zobrazení. 
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\section{Axiomy oddělování}
\begin{define}
Buď $\left(X,\tau \right)$ topologický prostor. Řekneme, že $\left(X,\tau \right)$ je 
\begin{enumerate}
\item {\bf $T_1$ prostor}, právě když 
$$\left(\forall x,y \in X,\ x \neq y \right) \left(\exists U \in \tau \ \land \ y \notin U \right);$$
\item {\bf $T_2$ prostor (Hausdorffův)}, právě když  
$$\left(\forall x,y \in X,\ x \neq y \right) \left(\exists U \in \tau \right) \left(\exists V \in \tau \right) \left(x\in U \ \land \ y\in V \ \land \ U\cap V = \emptyset \right);$$
\item {\bf $T_3$ prostor (regulární)}, právě když je $T_1$ a když
$$\left(\forall x \in X \right)  \left( \forall A \subset  X,\ X\backslash A \in \tau, \ x\notin A \right) \left( \exists U, V \in \tau \right) \left(x \in U \ \land \ A\subset V \ \land \ U\cap V = \emptyset \right) ;$$
\item {\bf $T_4$ prostor (normální)}, právě když je $T_1$ a když
$$\left( \forall A,B\subset X,\ A\cap B = \emptyset, \ X\backslash A \in \tau, \ X\backslash B \in \tau \right) \left( \exists U, V \in \tau \right) \left( A \subset U \ \land \ B\subset U \ \land \ U\cap V = \emptyset \right).$$
\end{define}
 
\begin{remark}
Axiomy výše se nazývají axiomy oddělitelnosti, neboť vyjadřují fakt, že je možné v prostoru
\begin{enumerate}
\item[$T_1$] oddělit jeden bod od druhého otevřenou množinou;
\item[$T_2$] oddělit dva body od sebe dvěma otevřenými množinami;
\item[$T_3$] oddělit bod od uzavřené množiny dvěma otevřenými množinami;
\item[$T_4$] oddělit dvě uzavřené množiny dvěma otevřenými množinami. 
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{remark}
$T_4 \Rightarrow T_3 \Rightarrow T_2 \Rightarrow T_1$ a tyhle implikace nelze obecně obrátit. Většinou budeme pracovat s minimálně Hausdorffovým prostorem. 
\end{remark}
 
\begin{theorem}
Toplogický prostor $X$ je $T_1$ prostor, právě když každá jednoprvková množina je v $X$ uzavřená.  
\begin{proof}
Cvičení
\end{proof}
\end{theorem}
 
\section{Kompaktnost}
\begin{define}
Topologický prostor $\left(X, \tau \right)$ je {\bf kompaktní}, právě když z každého otevřeného pokrytí prostoru $X$ lze vybrat konečné podpokrytí. 
\end{define}
 
\begin{remark}
Matematicky korektně formulováno nám to říká, že prosotr je kompaktní pokud pro pokrytí $\G \subset \tau $, $\displaystyle \bigcup _{G\in \G}G = X$ existuje $\G' \subset \G$ konečná taková, že $\displaystyle \bigcup_{G\in \G'}G = X$. 
\end{remark}
\begin{remark}
Buď  $\left(X, \tau \right)$ topologický prostor, $K\subset X$. Řekneme, že {\it $K$ je kompaktní v $X$ }, právě když je $K$ kompaktní v relativní topologii,
což znamená, že je-li $\G \subset \tau$, $K\subset \displaystyle \bigcup _{G\in \G}G $, pak existuje $\G'\subset \G$ konečná taková, že $K \subset \displaystyle \bigcup _{G\in \G'}G. $
\end{remark}
 
\begin{theorem}
\label{hnus}
Toplogický prostor $X$ je kompaktní, právě když každý systém uzavřených množin $\{A_{\alpha}\}_{\alpha \in \mathscr{A}}$, 
který splňuje $\forall \B \subset \mathscr{A}$ konečné $\displaystyle \bigcap_{\alpha  \in \B} A_{\alpha} \neq \emptyset $, má neprázdný průnik. 
\begin{proof}
Abychom dokázali toto tvrzení, bude potřeba dokázat dvě implikace. Místo nic ale dokážeme obměněné implikace, takže budeme dokazovat obměněné tvrzení: 
 
\noindent $X$ není kompaktní $\Leftrightarrow$ Existuje systém uzavřených množin  $\{A_{\alpha} \}_{\alpha \in \mathscr{A}}$ takový, že libovolný podsystém 
$\{A_{\alpha} \}_{\alpha \in \B}$, kde $\B \subset \mathscr{A}$ je končená množina má neprázdný průnik a zároveň systém $\{A_{\alpha} \}_{\alpha \in \mathscr{A}}$ má prázdný průnik. 
 
\noindent Tyto dvě vlastnosti nám říkají, že $\displaystyle \bigcap_{\alpha  \in \B} A_{\alpha} \neq \emptyset $, což znamená, že  $X \backslash \displaystyle \bigcap_{\alpha  \in \B} A_{\alpha} \neq X$. 
 
\noindent Toto ale jen říká, že $X\neq \displaystyle \bigcup_{\alpha  \in \B} \underbrace{\left(X \backslash A_{\alpha} \right)}_{\mbox{\scriptsize otevřená množina}}$. Toto ale říká, že není možné zapsat $X$ jako sjednocení konečného počtu otevřených množin. 
 
\noindent Zároveň z faktu, že $\displaystyle \bigcap_{\alpha  \in \B} A_{\alpha} = \emptyset $ plyne, že 
$X = \displaystyle \bigcup_{\alpha  \in \mathscr{A}} (X \backslash A_\alpha ) $. Toto je ale otevřené pokrytí $X$, jehož žádná konečná podmmnožina nepokrývá $X$. Proto $X$ není kompaktní. Pokud bychom nyní šli odzadu, dostaneme implikaci zleva doprava. 
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
Uzavřená podmnožina $A$ kompaktního topologického prostoru $X$ je kompaktní.
\begin{proof}
Nechť $\G \in \tau $ tak, že $A \subset \displaystyle \bigcup_{G \in \G}G$. Pak ale $\left(\displaystyle \bigcup_{G \in \G}G \right)\cup\left(X\backslash A\right) $ je otevřené pokrytí $X$. 
Víme, že $X$ je kompakt, tedy existuje koneečné podpokrytí $\G' \subset \G$, tj. $\left(\displaystyle \bigcup_{G \in \G'}G \right)\cup\left(X\backslash A\right) = X = A \dot{\cup}\left(X\backslash A\right)  $. 
Tedy vidíme, že $A$ je pokryta  $\displaystyle \bigcup_{G \in \G'}G$. 
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
Množina $M\subset X$ je uzavřená, právě když veškeré její hromadné body leží v $M$. Speciálně množina bez hromadných bodů je uzavřená. 
\end{remark}
 
\begin{theorem}
V kompaktním prostoru $X$ má každá nekonečná množina hromadný bod. 
\begin{proof}
{\it Sporem:} Buď $S\subset X$ nekonečná množina nemající hromadný bod (pro spor). Položme $\{x_k | k \in \mathbb{N} \} \subset S$ spočetná (očíslovatelná) podmnožina. Položme dále  
$\forall n \in \mathbb{N}$ množinu $X_n  = \{x_k | k \in \mathbb{N} \ \land \ k \leq n \}$. Jedná se o posloupnost množin do sebe vnořených a žádná z množin $X_i$ nemá hromadný bod.
Dle poznámky je tedy každá uzavřená v $X$. Zároveň $\forall m \in \mathbb{N}$ platí, že $\displaystyle \bigcap^m_{n=1} X_n = X_m \neq \emptyset$. Všechny konečné průniky jsou tedy neprázdné
a $X$ je kompaktní, tedy dle věty $\ref{hnus}$ je $\displaystyle \bigcap^{+ \infty}_{n=1} X_n \neq \emptyset $. Zároveň je ale dle naší konstrukce posloupnosti  
$\displaystyle \bigcap^{+ \infty}_{n=1} X_n = \emptyset $ (vyplývá z toho, že $\forall n, k \in \mathbb{N}$ taková, že $n>k$, je $x_k \notin X_n$ ). Tímto jsme došli ke sporu. 
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
Každá kompaktní podmnožina Hausdorffova prostoru $X$ je uzavřena. 
\begin{proof}
Zvolme kompaktní podmnožinu $K\subset X$. 
Buď nyní $y\in x \backslash K$ libovolný a $\forall x\in K $ zvolme $U_x$ a $V_x$ otevřené množiny tak, že $x\in U_x$ a $y \in V_x$ a navíc $U_x \cap V_x = \emptyset$.
Toto je možné díky tomu, že se pohybujeme v Hausdorffově prostoru. Pak je ale $K\subset \displaystyle \bigcup_{x\in K} U_x$ otevřené pokrytí. Vzhledem ke kompaktnosti $K$
existuje $\{x_1, \ x_2, \ \dots ,\ x_n\} \subset K$. Pro jednoduchost značení nyní pišme $U_{x_j} = U_j$ a obdobně tak $V_j$. Označme $V= \displaystyle \bigcap^n_{j=1} V_j$. 
Je zřejmé, že $y\in V$ a $V$ je otevřené okolí $y$. Zároveň  $K\subset \displaystyle \bigcup^n_{j=1} U_j$. Z disjunktnosti $U_j$ a $V_j$ plyne, že $V\cap K = \emptyset$ a toto znamená, 
že $y \in V\subset (X\backslash K)$. Toto ale říká, že každý bod doplňku v něm leží i se svým okolím. Pak je ale $X \backslash K$ otevřená množina a tudíž je $K$ uzavřená množina v $X$.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
Spojitý obraz kompaktního prostoru $X$ je kompaktní. 
\begin{proof}
Buďte $X, Y$ topologické prostory, $X$ kompaktnní a $f:X\longrightarrow Y$ spojité zobrazení. 
Buď $\displaystyle \bigcup_{G\in\G} G\supset f(X)$ otevřené pokrytí v $Y$. Pak je ale díky spojitosti $\forall G\in \G$ množina 
$f^{-1}(G) \subset X$ otevřená. Navíc $\displaystyle \bigcup_{G\in\G} f^{-1}(G) = X$. Z kompaktnosti $X$ plyne existence konečného podpokyrtí $\G' \subset \G$. 
Pak již ale víme, že $f(X) \subset \displaystyle \bigcup_{G\in\G} G $ je konečné otevřené podpokrytí $f(X)$ a tedy $f(X)$ je kompaktní. 
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{define}
Topologický prostor nazýváme {\bf lokálně kompaktní}, právě když každý bod $x\in X$ má kompaktní okolí.
\end{define}
 
\begin{define}
Posloupnost $\{x_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ v topologickém prostoru X konverguje k $x_0 \in X$, právě když 
každé okolí bodu $x_0$ obsahuje všechny členy posloupnosti $\{x_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ až na konečně mnoho. 
Zapisujeme $x_n \to x_0$ pro $n \to + \infty$. 
\end{define}
 
\begin{define}
Topologický prostor $X$ je {\bf sekvenciálně separabilní}, právě když z každé posloupnosti v $X$ lze vybrat podposloupnost konvergentní v $X$. 
\end{define}
 
\begin{remark}
V metrických prostorech tyto dva pojmy splývají. V obecných toplogických prostorech se ale jedná o dva zcela nezávislé pojmy.
\end{remark}
 
\begin{remark}
{\it Součinem topologií} je myšlen kartézský součin topologií, tj. mějme $\left( X, \tau_X \right), \left( Y, \tau_Y \right)$ topologické prostory. 
Položme $\B = \{U\times V \ | \ U\in \tau_X \ \land V \in \tau_Y \}$. Toto je báze jisté topologie $\tau_{X\times Y}$ na $X \times Y$. Že je tímto topologie určena (jednoznačně)
se dozvíte na cvičeních. Navíc platí, že pokud mám $\mathscr{F}, \G$ po řadě báze topologií $\tau_X$ a  $\tau_Y$, pak $\mathscr{H} = \{U \times V | U \in \mathscr{F} \ \land \ V \in \G \}$
je báze topologie $\tau_{X \times Y}$. To znamená, že množina $W \subset X\times Y$ je otevřená, právě když $\forall (x,y) \in W$ existují $U \in \mathscr{F}$ a $V \in \G $ takové, 
že $(x,y) \in U \times V \subset W $. 
 
Je zřejmé, že tuto definici lze rozšířit indukcí na konečné součiny. Dokonce je možné provést rozšíření na libovolné součiny, ale těmi se nebude zabývat a nebudeme je potřebovat.
\end{remark}
 
\begin{lemma}[o součinu toplogií]
Buďte $(X,\tau_X), (Y,\tau_Y)$ topologické prostory, $\B = \{U\times V \ | \ U\in \tau_X \ \land V \in \tau_Y \}$ báze $\tau_{X\times Y}$. Buďte navíc zobrazení
$$ p_x: X\times Y \longrightarrow X: (x,y)\longmapsto x; $$
$$ p_y: X\times Y \longrightarrow Y: (x,y)\longmapsto y. $$
Pak $\tau_{X\times Y}$ je nejhrubší (nejslabší) topologie na $X\times Y$ taková, že $p_x,p_y$ jsou spojité. 
\begin{proof}
Buď $U\in \tau_X$, $V\in \tau_Y$. Pak $p^{-1} _x (U) = U\times Y$ a $p^{-1} _y (V) = X\times V$. Aby zobrazení byla spojitá, musí být množiny $U\times Y$ a $X\times V$ otevřené. Jelikož ale 
$U\times V = (U\times Y)\cap (X\times V)$ je prvkem topologie a je tudíž otevřená množina, musí být rovněž množiny, k jejichž průniku dochází otevřené (v tomto případě). Tímto je vynucena spojitost projektorů $p_x$ a $p_y$. 
\end{proof}
\end{lemma}
 
\begin{theorem}
Kartézský součin konečného počtu kompaktních topologických prostorů je kompaktní.
\begin{proof}
K důkazu využijeme dvojice lemmat, která nejprve vyslovíme a dokážeme:
\begin{lemma}
Buďte $X,Y$ topologické prostory, $x_0\in X$. Pak zobrazení $f:Y\to X\times Y:y \longmapsto (x_0,y)$ je spojité
\begin{proof}
Buď $W \subset X\timesY$ otevřená množina a nechť $y\in f^{-1}(W)$ libovolný. Máme ukázat, že existuje $V\subset Y$ otevřená taková, že $y\in V\subset  f^{-1}(W)$, co že je ekvivalentní s tvrzením, že 
$y\in V \land \{x_0\} \times V \subset W$. Ale my bereme $y\in f^{-1}(W)$. Odtud plyne, že $(x_0,y) = f(y) \in W$, což implikuje, že $\exists U\subset X, V\subset Y (x_0,y)\in U\times V \subset W$. 
V tuto chvíli jsme využili definici součinové topolgie. Nakonec tedy dostáváme, že $y\in V \land \{x_0\} \times V \subset W$, což jsme chtělii ukázat. 
\end{proof}
\end{lemma}
\begin{lemma}
Buďte $X,Y$ topologické prostory, $K\subset Y$ kompaktní a $W\subset X\times Y$ otevřená. Jestliže $\exists x_0 \in X$ takový bod, že $\{x_0\}\times K \subset W$, pak existuje okolí $U$ bodu $x_0$ takové, že 
$U\times K \subset W$. 
\begin{proof}
Z předešlého lemmatu víme, že zobrazení $f:Y\to X\times Y:y \longmapsto (x_0,y)$ je spojité. Přitom navíc víme, že $\forall y \in K $ existuje otevřené okolí $U_y$ bodu $x_0$, tj $x_0 \in U_y \subset X$. 
Zároveň je $y\in V_y \subset Y$ takové okolí, že $U_y \times V_y \subset W$ (zde jsme využili opět zavedenou součinovou topologii). Odtud plyne, že jsme nalezli otevřené pokrytí $K$, neboť 
$K \subset \displaystyle \bigcup_{y\in K}V_y$. Z kompaktnosti $K$ plyne existence konečného podpokrytí, tj. $\exists n \in \mathbb{N}$ a $\{y_1,\ y_2,\ \dots ,\ y_n\}\subset K$ takový systém, že $K \subset \displaystyle \bigcup_{k=0}^n V_{y_k}$. 
Položme nyní $U:= \displaystyle \bigcap_{k=1}^{n} U__{y_k} $. tato množina je otevřená a $x_0 \in U \neq \emptyset$. Pak již ale $U \times K \subset W$, 
neboť pro libovolné $x\in U$ a $y\in K$ existuje $k \in \hat{n}$ tak, že $y\in V_{y_k}$ a zároveň $x\in U_{y_k}$ (protože $x\in U$ a to je průnik všech $U_{y_k}$). 
To ale znamená, že $(x,y)\in U_{y_k} \times V_{y_k} \subset W$. A tedy jsme ukázali, že s každým bodem leží ve W i jeho okolí, které je podmnožinou W. Tímto jsme dokázali toto lemma. 
\end{proof}
\end{lemma}
Nyní přistupme k samotnému důkazu věty:
 
Dokážeme ji pro dva prostory $X,Y$, což stačí. Předpokládejme tedy, že $X,Y$ jsou kompaktní. Buď dále $X \times Y = \bigcup_{\alpha \in \mathsrc{A}}W_{\alpha}$ otevřené pokrytí.  
Zvolme $x_0 \in X$ libovolně. Pak dle prvního lemmatu je $f:Y\to X\times Y:y \longmapsto (x_0,y)$ spojité a tedy $f(Y) = \{x_0\} \times Y \subset X\times Y $ je kompaktní. Toto plyne z kompaktnosti $Y$. 
Proto existuje $\mathscr{A}(x_0) \subset \mathscr{A}$ konečná indexová množina taková, že $\{ x_0 \} \times Y \subset \displaystyle \bigcup_{\alpha \in \mathsrc{A}(x_0)}W_{\alpha}$. 
Nyní ale podle druhého lemmatu existuje otevřené okolí takové, že $x_0 \in U_{x_0}\subset X$ tak, že $U_{x_0} \times Y \subset \displaystyle \bigcup_{\alpha \in \mathsrc{A}(x_0)}W_{\alpha}$. 
Z kompaktnosti $X$ plyne, že pokud $\displaystyle \bigcup_{x\in X}U_x = X$ je otevřené pokrytí, pak existuje $m\in \mathbb{N}$ takové, že $\{x_1,\ x_2,\ \dots ,\ x_m\}\subset X$ splňuje
$\displaystyle \bigcup_{k=1}^{m}U_{x_k} = X$. Pak ale $X\times Y = \displaystyle \bigcup_{j=1}^{m}(\underbrace{U_{x_j} \times Y}_{\mbox{\scriptsize má }\forall j \mbox{ končené podpokrytí}} $. 
Tedy $X\times Y$ má končené podpokrytí a je tudíž kompaktní.
\end{proof}
\end{theorem}