Verze z 5. 10. 2016, 00:39

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01FA1}
\chapter {Opakování pojmů z topologie}
V téhle kapitole připomene pojmy z topologie, které by měly být známé z MAA3. Je možné, že některé pojmy
budou nové, jiné jinak zavedeny, proto doporučuji tuhle kapitolu nevynechávat.
 
\begin{define}
Buď $X$ množina. Množinu $\Pc(X) :=\{ A \vert A \subset X \}$ nazýváme {\bf potenční množinou množiny $X$}.
\end{define}
 
\begin{remark}
Někdy se stkáme se značením $\Pc(X) = 2^X$. Toto značení vychází z algebry, kde je definován objekt $Y^X := \{ f: X \rightarrow Y \}$, tj. množina všech zobrazení z X do Y.
Ztotožníme-li dvouprvkovou množinu $\{0,\ 1 \}$ s označením 2, pak máme  $\{0,\ 1 \}^X = 2^X$. Pokud nyní máme $M\in \Pc (X)$, pak charakteristická funkce množiny 
$\chi_M \in 2^X$ je bijekcí. Odtud můžeme pochopit, odkud se vzala tahle na první pohled nezvyká notace. 
\end{remark}
 
\begin{remark}
$\Pc(\emptyset) = \{\emptyset \}$
\end{remark}
 
\begin{define}
Buď $X$ množina, $\tau \subset \Pc(X)$. Pak $\tau$ nazýváme {\bf topologií na $X$} $\Leftrightarrow$
\begin{enumerate}
\item $\emptyset$, $X \in \tau$;
\item $\forall \G \subset \tau$ systém podmonžin, $\displaystyle \bigcup _{G\in\G} G \in \tau$;
\item $\forall \G \subset \tau$ konečný systém podmonžin, $\displaystyle \bigcap _{G\in\G} G \in \tau$.
\end{enumerate}
Prvky $\tau$ nazývme {\bf otevřené množiny} a jejich doplňky {\bf uzavřené množiny}, tj. $A \subset X$ je uzavřená $\Leftrightarrow X \backslash A \in \tau$
\end{define}
 
\begin{remark}
Je-li $A$ konečná, pak označme $\vert A \vert$ počet prvků množiny $A$. 
 
Vlastnost 3 stačí ověřit pro $\vert \G \vert = 2$ a dále matematickou indukcí.
\end{remark}
 
\begin{theorem}[o~uzavřených množinách]
Buď $X$ množina. Pak platí:
\begin{enumerate}
\item $\emptyset, \ X$ jsou uzvařené;
\item průnik libovolného systému uzavřených množin je uzavřená množina;
\item konečné sjednocení uzavřených množin je uzavřená množina. 
\end{enumerate}
\begin{proof}
Trivální pomocí de-Morganových pravidel a z definice topologie a uzavřené množiny, vizte MAA3. 
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
Pojmy \uv{nejmenší}, \uv{největší} pro množiny budeme uvažovat ve smyslu inkluze. 
\end{remark}
 
\begin{define}
Buď $M \subset X$. 
\begin{enumerate}
\item Nejmenší uzavřenou množinu $A\subset X$ takovou, že $M\subset A$, nazýváme {\bf uzávěrem množiny $M$}. Označujeme $\overline{M} = A$
\item Největší otevřenou množinu $G\subset X$ takovou, že $G\subset M$, nazýváme {\bf vnitřkem množiny $M$}. Označujeme $M^o = G$
\end{enumerate}
\end{define}
 
S touto znalostí pak můžeme snadno přeformulovat definici uzavřenosti a otevřenosti množin.
\begin{remark}
Množina $M$ je uzavřená, právě když $M = \overline{M}$ a je otevřená, právě když $M = M^o$. 
\end{remark}
 
\begin{theorem}[o~uzávěru a~vnitřku]
Buď $\left(X,\ \tau \right)$ topologický prostor, $M\subset X$ libovolná. Pak v $X$ existuje uzávěr a vnitřek $M$. 
\befin{proof}
\begin{enumerate}
\item {\it Uzávěr}: Víme, že X je uzavřená množina. Pak uvažujme všechny uzavřené množiny, které obsahují $M$. Jejich průnikem je uzavřená množina, která obsahuje $M$ a~je s~touto vlastností nejmenší možná.
\item {\it Vnitřek}: Víme, že $\emptyset$ je otevřená množina. Uvažujme tentokrát všechny otevřené podmnožiny $M$. Jejich sjednocením je otevřená množina, která je obsažena v $M$ a~je největší možná s~touto vlastností. 
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{define}
Buď $\left(X,\ \tau \right)$ topologický prostor, $x\in X$. Řekneme, že $U \subset X$ je {\bf okolím} bodu $x$, právě když $x \in U^o$. $U$ je {\bf otevřené okolí}, jestliže $x \in U \in \tau$.
\end{define}
 
Uveďme nyní některé příklady topologií na neprázdné množině $X$. Jako nejjednodušší se jeví zvolit do systému oněch množin jen prázdnou množinu a množinu $X$, tedy $\tau_1 = \{ \emptyset, \ X \}$. Tuhle topologii nazýváme {\it nejslabší (nejhrubší) topologií na X}. Další možností je zvolit za topologii potenční množinu, tj. $\tau_2 = \Pc(X)$. Tuhle topologii označujeme jako {\it diskrétní}.
 
\begin{theorem}[o~doplňku uzávěru a~vnitřku]
Buď $\left(X,\ \tau \right)$ topologický prostor, $M \subset X$. Pak platí:
\begin{enumerate}
\item $X \backslash M^o = \overline{X \backslash M}$;
\item $X \backslash \overline{M} = \left(X \backslash M \right)^o$.
\end{enumerate}
\begin{proof}
cvičení
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{define}
Mějme $\left(X,\ \tau \right)$ topologický prostor. Řekneme, že systém množin $\G \subset \tau$ je {\bf bází topologie $\tau$}, jestliže 
$$ \left(\forall U\in\tau\right) \left(\exists\G' \subset\G \right) (U = \bigcup _{G\in\G'} G).$$
\end{define}
 
Následující věta nám ukáže, co musí splňovat systém množin, aby jej bylo možné považovat za bázi topologie.
 
\begin{theorem}
Buďte $X$ množina, $\G \subset \Pc(X) \backslash \{\emptyset \}$. Pak $\G$ je bází topologie $\tau$, právě když 
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle \bigcup _{G\in\G} G = X$;
\item $(\forall G_1,G_2 \in \G) (\forall x \in G_1 \cap G_2) (\exists G_3 \in \G) (x \in G_3 \subset G_1 \cap G_2)$. 
\end{enumerate}
V kladném případě je topologie $\tau = \tau(\G)$ určena jednoznačně a nazývá se {\bf topologie generovaná systémem $\G$}. 
\begin{proof}
\end{proof}
\end{theorem}