Verze z 4. 10. 2016, 23:32

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01FA1}
\chapter {Opakování pojmů z topologie}
V téhle kapitole připomene pojmy z topologie, které by měly být známé z MAA3. Je možné, že některé pojmy
budou nové, jiné jinak zavedeny, proto doporučuji tuhle kapitolu nevynechávat.
 
\begin{define}
Buď $X$ množina. Množinu $\Pc(X) :=\{ A \vert A \subset X \} nazýváme {\bf potenční množinou množiny $X$}.
\end{define}
 
\begin{remark}
Někdy se stkáme se značením $\Pc(X) = 2^X$. Toto značení vychází z algebry, kde je definován objekt $Y^X := \{ f: X \rightarrow Y \}$, tj. množina všech zobrazení z X do Y.
Ztotožníme-li dvouprvkovou množinu $\{0,\ 1 \}$ s označením 2, pak máme  $\{0,\ 1 \}^X = 2^X$. Pokud nyní máme $M\in \Pc (X)$, pak charakteristická funkce množiny 
$\chi_M \in 2^X$ je bijekcí. Odtud můžeme pochopit, odkud se vzala tahle na první pohled nezvyká notace. 
\end{remark}
 
\begin{remark}
$\Pc(\emptyset) = \{\emptyset \}$
\end{remark}
 
\begin{define}
Buď $X$ množina, $\tau \subset \Pc(X)$. Pak $\tau$ nazýváme {\bf topologií na $X$} $\Leftrightarrow$
\begin{enumerate}
\item $\emptyset$, $X \in \tau$;
\item $\forall \G \subset \tau$ systém podmonžin, $\displaystyle \bigcup _{G\in\G} G \in \tau$;
\item $\forall \G \subset \tau$ konečný systém podmonžin, $\displaystyle \bigcap _{G\in\G} G \in \tau$.
\end{enumerate}
Prvky $\tau$ nazývme {\bf otevřené množiny} a jejich doplňky {\bf uzavřené množiny}, tj. $A \subset X$ je uzavřená $\Leftrightarrow X \backslash A \in \tau$
\end{define}
 
\begin{remark}
Je-li $A$ konečná, pak označme $\vert A \vert$ počet prvků množiny $A$. 
 
Vlastnost 3 stačí ověřit pro $$
\end{remark}