01DIFRcviceni:Kapitola5: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Založena nová stránka: \section{Rovnice tvaru $ y` = f \Big( \frac{ ax +by +c }{ \alpha x + \beta y + \gamma } \Big) $ } \subsection*{Zamyslete se:} Jaké okrajové typy těchto rovnic známe? …) |
m |
||
(Není zobrazeno 5 mezilehlých verzí od 3 dalších uživatelů.) | |||
Řádka 1: | Řádka 1: | ||
− | \section{Rovnice tvaru $ y | + | %\wikiskriptum{01DIFRcviceni} |
+ | \section{Rovnice tvaru $ y^\prime = f \Big( \frac{ ax +by +c }{ \alpha x + \beta y + \gamma } \Big) $ } | ||
\subsection*{Zamyslete se:} | \subsection*{Zamyslete se:} | ||
Řádka 12: | Řádka 13: | ||
\begin{displaymath} | \begin{displaymath} | ||
− | 2x - 4y +6 + \big( x+y-3 \big) \cdot y | + | 2x - 4y +6 + \big( x+y-3 \big) \cdot y^\prime =0 |
\end{displaymath} | \end{displaymath} | ||
Řádka 45: | Řádka 46: | ||
\begin{center} | \begin{center} | ||
\begin{math} | \begin{math} | ||
− | 2 + 2t -8 - 4u + 6 + \big( 1 + t + 2 + u - 3 \big) \cdot u | + | 2 + 2t -8 - 4u + 6 + \big( 1 + t + 2 + u - 3 \big) \cdot u^\prime = 0 |
\end{math} | \end{math} | ||
\begin{math} | \begin{math} | ||
− | 2t - 4u + \big( t + u \big) \cdot u | + | 2t - 4u + \big( t + u \big) \cdot u^\prime = 0 |
\end{math} | \end{math} | ||
\begin{math} | \begin{math} | ||
− | u | + | u^\prime = \frac{ 4u -2t }{ t + u } |
\end{math} | \end{math} | ||
\end{center} | \end{center} | ||
Řádka 69: | Řádka 70: | ||
\begin{displaymath} | \begin{displaymath} | ||
− | x + y + 1 + \big( 2x +2y -1 \big) \cdot y | + | x + y + 1 + \big( 2x +2y -1 \big) \cdot y^\prime = 0 |
\end{displaymath} | \end{displaymath} | ||
Při prvním pohledu na problém zjišťujeme, že determinant $a \cdot \beta - b \cdot \alpha = 0$. Použijeme tedy nám | Při prvním pohledu na problém zjišťujeme, že determinant $a \cdot \beta - b \cdot \alpha = 0$. Použijeme tedy nám | ||
− | známou substituci ( z přednášky ): $ u = \big( x + y \big) $ a její derivaci: $u | + | známou substituci (z přednášky): $ u = \big( x + y \big) $ a její derivaci: $u^\prime = 1 + y^\prime$. A opětovně dosadím: |
\begin{center} | \begin{center} | ||
\begin{math} | \begin{math} | ||
− | u + 1 + \big( 2u - 1 \big) \big( u | + | u + 1 + \big( 2u - 1 \big) \big( u^\prime - 1 \big) = 0 |
\end{math} | \end{math} | ||
\begin{math} | \begin{math} | ||
− | u + 1 + 2u \cdot u | + | u + 1 + 2u \cdot u^\prime - u^\prime - 2u + 1 = 0 |
\end{math} | \end{math} | ||
\begin{math} | \begin{math} | ||
− | 2u \cdot u | + | 2u \cdot u^\prime - u^\prime = u-2 |
\end{math} | \end{math} | ||
\end{center} | \end{center} | ||
Řádka 102: | Řádka 103: | ||
\begin{displaymath} | \begin{displaymath} | ||
− | y | + | y^\prime = \frac{y +2}{x+1} + \tan \frac{y -2x}{x+1} |
\end{displaymath} | \end{displaymath} | ||
Řádka 120: | Řádka 121: | ||
\begin{displaymath} | \begin{displaymath} | ||
− | u | + | u^\prime = \frac{u}{t} + \tan \frac{u-2t}{t} |
+ | \end{displaymath} | ||
+ | |||
+ | což je rovnice homogenní. Řeší ji další substituce: $u = t \cdot v$, doporučuji Vám si ji dopočítat, řešení vyjde | ||
+ | zase špatně \ldots | ||
+ | |||
+ | \begin{displaymath} | ||
+ | \sin \frac{y-2x}{x+1} = k \cdot \big( x+1 \big) | ||
+ | \end{displaymath} | ||
+ | ásledující: | ||
+ | |||
+ | \begin{center} | ||
+ | \begin{math} | ||
+ | 2 + 2t -8 - 4u + 6 + \big( 1 + t + 2 + u - 3 \big) \cdot u^\prime = 0 | ||
+ | \end{math} | ||
+ | |||
+ | \begin{math} | ||
+ | 2t - 4u + \big( t + u \big) \cdot u^\prime = 0 | ||
+ | \end{math} | ||
+ | |||
+ | \begin{math} | ||
+ | u^\prime = \frac{ 4u -2t }{ t + u } | ||
+ | \end{math} | ||
+ | \end{center} | ||
+ | |||
+ | čímž jsme se dostali na úroveň homogenní diferenciální rovnice. Postupoval bych opět analogicky, proto nechám tento | ||
+ | krok na samostatné práci. Jen upozorním, že řešení vyjde implicitně. Nějak takto: | ||
+ | |||
+ | \begin{displaymath} | ||
+ | \big( y - 2x \big) ^3 = C \cdot \big( -x + y - 1 \big) ^2 | ||
+ | \end{displaymath} | ||
+ | |||
+ | \subsection*{Příklad č.2} | ||
+ | |||
+ | Řešte: | ||
+ | |||
+ | \begin{displaymath} | ||
+ | x + y + 1 + \big( 2x +2y -1 \big) \cdot y^\prime = 0 | ||
+ | \end{displaymath} | ||
+ | |||
+ | Při prvním pohledu na problém zjišťujeme, že determinant $a \cdot \beta - b \cdot \alpha = 0$. Použijeme tedy nám | ||
+ | známou substituci ( z přednášky ): $ u = \big( x + y \big) $ a její derivaci: $u^\prime = 1 + y^\prime$. A opětovně dosadím: | ||
+ | |||
+ | \begin{center} | ||
+ | \begin{math} | ||
+ | u + 1 + \big( 2u - 1 \big) \big( u^\prime - 1 \big) = 0 | ||
+ | \end{math} | ||
+ | |||
+ | \begin{math} | ||
+ | u + 1 + 2u \cdot u^\prime - u^\prime - 2u + 1 = 0 | ||
+ | \end{math} | ||
+ | |||
+ | \begin{math} | ||
+ | 2u \cdot u^\prime - u^\prime = u-2 | ||
+ | \end{math} | ||
+ | \end{center} | ||
+ | |||
+ | s čímž už víme co činit. Rovnice separovatelná. Přidám jen řešení: | ||
+ | |||
+ | \begin{displaymath} | ||
+ | -x + 2u + \ln |x+y-2|^3 = C | ||
+ | \end{displaymath} | ||
+ | |||
+ | takže opět implicitní. | ||
+ | |||
+ | \subsection*{Příklad č.3} | ||
+ | |||
+ | Uhodnete, která substituce vede k cíli? | ||
+ | |||
+ | \begin{displaymath} | ||
+ | y^\prime = \frac{y +2}{x+1} + \tan \frac{y -2x}{x+1} | ||
+ | \end{displaymath} | ||
+ | |||
+ | Tento příklad sem ne zcela patří, ale dělal se na cvičení, takže \ldots K cíli vede substituce: | ||
+ | |||
+ | \begin{center} | ||
+ | \begin{math} | ||
+ | y+2 = u | ||
+ | \end{math} | ||
+ | |||
+ | \begin{math} | ||
+ | x+1 = t | ||
+ | \end{math} | ||
+ | \end{center} | ||
+ | |||
+ | neboť se tímto krokem převede daná rovnice na tvar: | ||
+ | |||
+ | \begin{displaymath} | ||
+ | u^\prime = \frac{u}{t} + \tan \frac{u-2t}{t} | ||
\end{displaymath} | \end{displaymath} | ||
Aktuální verze z 16. 4. 2017, 10:39
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01DIFRcviceni
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01DIFRcviceni | Admin | 13. 2. 2011 | 20:47 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:45 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Admin | 1. 8. 2010 | 02:34 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:33 | kapitola1.tex | ||
Kapitola2 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:35 | kapitola2.tex | ||
Kapitola3 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:37 | kapitola3.tex | ||
Kapitola4 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:37 | kapitola4.tex | ||
Kapitola5 | editovat | Kubuondr | 16. 4. 2017 | 10:39 | kapitola5.tex | ||
Kapitola6 | editovat | Kubuondr | 16. 4. 2017 | 10:31 | kapitola6.tex | ||
Kapitola7 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:39 | kapitola7.tex | ||
Kapitola8 | editovat | Kubuondr | 16. 4. 2017 | 10:16 | kapitola8.tex | ||
Kapitola9 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:45 | kapitola9.tex | ||
Kapitola10 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:43 | kapitola10.tex | ||
Kapitola11 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:41 | kapitola11.tex | ||
Kapitola12 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:41 | kapitola12.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01DIFRcviceni} \section{Rovnice tvaru $ y^\prime = f \Big( \frac{ ax +by +c }{ \alpha x + \beta y + \gamma } \Big) $ } \subsection*{Zamyslete se:} Jaké okrajové typy těchto rovnic známe? \\ Jaké jsou jejich typické řešení? \\ Jak je to s otázkou jednoznačnosti? \subsection*{Příklad č.1} Řešte: \begin{displaymath} 2x - 4y +6 + \big( x+y-3 \big) \cdot y^\prime =0 \end{displaymath} Jedná se o nejobecnější případ, tedy i determinant $a \cdot \beta - b \cdot \alpha \neq 0$. Musíme tedy posunout souřadný systém. Sestavíme dvě rovnice: \begin{center} \begin{math} 2x - 4y + 6 = 0 \end{math} \begin{math} x + y -3 = 0 \end{math} \end{center} a kdo se dostal až sem, určitě umí od Pytlíčka vyřešit tuto soustavu. :-) Jejím řešením je: $x = 1, y = 2$. Tedy musím zvolit substituci: \begin{center} \begin{math} x = 1 + t \end{math} \begin{math} y= 2 + u \end{math} \end{center} Tímto dostávám zpátky dosazením do první rovnice následující: \begin{center} \begin{math} 2 + 2t -8 - 4u + 6 + \big( 1 + t + 2 + u - 3 \big) \cdot u^\prime = 0 \end{math} \begin{math} 2t - 4u + \big( t + u \big) \cdot u^\prime = 0 \end{math} \begin{math} u^\prime = \frac{ 4u -2t }{ t + u } \end{math} \end{center} čímž jsme se dostali na úroveň homogenní diferenciální rovnice. Postupoval bych opět analogicky, proto nechám tento krok na samostatné práci. Jen upozorním, že řešení vyjde implicitně. Nějak takto: \begin{displaymath} \big( y - 2x \big) ^3 = C \cdot \big( -x + y - 1 \big) ^2 \end{displaymath} \subsection*{Příklad č.2} Řešte: \begin{displaymath} x + y + 1 + \big( 2x +2y -1 \big) \cdot y^\prime = 0 \end{displaymath} Při prvním pohledu na problém zjišťujeme, že determinant $a \cdot \beta - b \cdot \alpha = 0$. Použijeme tedy nám známou substituci (z přednášky): $ u = \big( x + y \big) $ a její derivaci: $u^\prime = 1 + y^\prime$. A opětovně dosadím: \begin{center} \begin{math} u + 1 + \big( 2u - 1 \big) \big( u^\prime - 1 \big) = 0 \end{math} \begin{math} u + 1 + 2u \cdot u^\prime - u^\prime - 2u + 1 = 0 \end{math} \begin{math} 2u \cdot u^\prime - u^\prime = u-2 \end{math} \end{center} s čímž už víme co činit. Rovnice separovatelná. Přidám jen řešení: \begin{displaymath} -x + 2u + \ln |x+y-2|^3 = C \end{displaymath} takže opět implicitní. \subsection*{Příklad č.3} Uhodnete, která substituce vede k cíli? \begin{displaymath} y^\prime = \frac{y +2}{x+1} + \tan \frac{y -2x}{x+1} \end{displaymath} Tento příklad sem ne zcela patří, ale dělal se na cvičení, takže \ldots K cíli vede substituce: \begin{center} \begin{math} y+2 = u \end{math} \begin{math} x+1 = t \end{math} \end{center} neboť se tímto krokem převede daná rovnice na tvar: \begin{displaymath} u^\prime = \frac{u}{t} + \tan \frac{u-2t}{t} \end{displaymath} což je rovnice homogenní. Řeší ji další substituce: $u = t \cdot v$, doporučuji Vám si ji dopočítat, řešení vyjde zase špatně \ldots \begin{displaymath} \sin \frac{y-2x}{x+1} = k \cdot \big( x+1 \big) \end{displaymath} ásledující: \begin{center} \begin{math} 2 + 2t -8 - 4u + 6 + \big( 1 + t + 2 + u - 3 \big) \cdot u^\prime = 0 \end{math} \begin{math} 2t - 4u + \big( t + u \big) \cdot u^\prime = 0 \end{math} \begin{math} u^\prime = \frac{ 4u -2t }{ t + u } \end{math} \end{center} čímž jsme se dostali na úroveň homogenní diferenciální rovnice. Postupoval bych opět analogicky, proto nechám tento krok na samostatné práci. Jen upozorním, že řešení vyjde implicitně. Nějak takto: \begin{displaymath} \big( y - 2x \big) ^3 = C \cdot \big( -x + y - 1 \big) ^2 \end{displaymath} \subsection*{Příklad č.2} Řešte: \begin{displaymath} x + y + 1 + \big( 2x +2y -1 \big) \cdot y^\prime = 0 \end{displaymath} Při prvním pohledu na problém zjišťujeme, že determinant $a \cdot \beta - b \cdot \alpha = 0$. Použijeme tedy nám známou substituci ( z přednášky ): $ u = \big( x + y \big) $ a její derivaci: $u^\prime = 1 + y^\prime$. A opětovně dosadím: \begin{center} \begin{math} u + 1 + \big( 2u - 1 \big) \big( u^\prime - 1 \big) = 0 \end{math} \begin{math} u + 1 + 2u \cdot u^\prime - u^\prime - 2u + 1 = 0 \end{math} \begin{math} 2u \cdot u^\prime - u^\prime = u-2 \end{math} \end{center} s čímž už víme co činit. Rovnice separovatelná. Přidám jen řešení: \begin{displaymath} -x + 2u + \ln |x+y-2|^3 = C \end{displaymath} takže opět implicitní. \subsection*{Příklad č.3} Uhodnete, která substituce vede k cíli? \begin{displaymath} y^\prime = \frac{y +2}{x+1} + \tan \frac{y -2x}{x+1} \end{displaymath} Tento příklad sem ne zcela patří, ale dělal se na cvičení, takže \ldots K cíli vede substituce: \begin{center} \begin{math} y+2 = u \end{math} \begin{math} x+1 = t \end{math} \end{center} neboť se tímto krokem převede daná rovnice na tvar: \begin{displaymath} u^\prime = \frac{u}{t} + \tan \frac{u-2t}{t} \end{displaymath} což je rovnice homogenní. Řeší ji další substituce: $u = t \cdot v$, doporučuji Vám si ji dopočítat, řešení vyjde zase špatně \ldots \begin{displaymath} \sin \frac{y-2x}{x+1} = k \cdot \big( x+1 \big) \end{displaymath}