01DIFRcviceni:Kapitola4: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Řádka 7: | Řádka 7: | ||
\begin{displaymath} | \begin{displaymath} | ||
− | 9 y \cdot y | + | 9 y \cdot y^\prime - 18 x y + 4x^3 = 0 |
\end{displaymath} | \end{displaymath} | ||
− | K cíli vede tato substituce: $y = u^2$, $y | + | K cíli vede tato substituce: $y = u^2$, $y^\prime = 2u \cdot u^\prime$. Rovnice potom vypadá: |
\begin{displaymath} | \begin{displaymath} | ||
− | 18 u^3 \cdot u | + | 18 u^3 \cdot u^\prime - 18 x u^2 + 4 x^3 = 0 |
\end{displaymath} | \end{displaymath} | ||
Řádka 22: | Řádka 22: | ||
Nyní ale k řešení zobecněných diferenciálních rovnic. Homogenní diferenciální rovnice jsme řešili substitucí | Nyní ale k řešení zobecněných diferenciálních rovnic. Homogenní diferenciální rovnice jsme řešili substitucí | ||
$y = x \cdot u$, zobecněné budou řešit substituce $y = x^k \cdot u$, kde k je obecné reálné číslo. Při řešení budeme | $y = x \cdot u$, zobecněné budou řešit substituce $y = x^k \cdot u$, kde k je obecné reálné číslo. Při řešení budeme | ||
− | z každého členu v podstatě sčítat exponenty s tím, že místo $y$ budeme počítat $k$ a místo $y | + | z každého členu v podstatě sčítat exponenty s tím, že místo $y$ budeme počítat $k$ a místo $y^\prime$ budeme počítat $k-1$. |
Předvedeme si to na následujícím příkladě: | Předvedeme si to na následujícím příkladě: | ||
Řádka 31: | Řádka 31: | ||
\begin{displaymath} | \begin{displaymath} | ||
− | \underbrace{ \frac{2}{x^2} }_{-2} \underbrace{ - y^2 }_{2k} + \underbrace{ y | + | \underbrace{ \frac{2}{x^2} }_{-2} \underbrace{ - y^2 }_{2k} + \underbrace{ y^\prime }_{k-1} = 0; \ldots y = x^k \cdot u |
\end{displaymath} | \end{displaymath} | ||
Řádka 40: | Řádka 40: | ||
\begin{center} | \begin{center} | ||
\begin{math} | \begin{math} | ||
− | y | + | y^\prime = - \frac{u}{x^2} + \frac{u^\prime}{x} |
\end{math} | \end{math} | ||
\begin{math} | \begin{math} | ||
− | \frac{2}{x^2} - \frac{u^2}{x^2} - \frac{u}{x^2} + \frac{1}{x} \cdot u | + | \frac{2}{x^2} - \frac{u^2}{x^2} - \frac{u}{x^2} + \frac{1}{x} \cdot u^\prime = 0 |
\end{math} | \end{math} | ||
\end{center} | \end{center} | ||
Řádka 52: | Řádka 52: | ||
\begin{center} | \begin{center} | ||
\begin{math} | \begin{math} | ||
− | 2 - u^2 - u + x \cdot y | + | 2 - u^2 - u + x \cdot y^\prime = 0 \ldots |
\end{math} | \end{math} | ||
rovnice separovatelná | rovnice separovatelná | ||
\begin{math} | \begin{math} | ||
− | x \cdot u | + | x \cdot u^\prime = u^2 + u - 2 |
\end{math} | \end{math} | ||
\end{center} | \end{center} | ||
\begin{displaymath} | \begin{displaymath} | ||
− | \frac{u | + | \frac{u^\prime}{u^2 + u -2} = \frac{1}{x} |
\end{displaymath} | \end{displaymath} | ||
Řádka 76: | Řádka 76: | ||
\begin{displaymath} | \begin{displaymath} | ||
− | 9 y \cdot y | + | 9 y \cdot y^\prime - 18 x y + 4x^3 = 0 |
\end{displaymath} | \end{displaymath} | ||
A ono ejhle co se objeví. Provedeme-li stejnou analýzu jako u předchozího případu, dostáváme dvě rovnosti: | A ono ejhle co se objeví. Provedeme-li stejnou analýzu jako u předchozího případu, dostáváme dvě rovnosti: | ||
− | $2k - 1 = k+1 = 3$, takže $k=2$. Zvolená substituce tedy bude: $y=x^2 \cdot u$ a k ní: $y | + | $2k - 1 = k+1 = 3$, takže $k=2$. Zvolená substituce tedy bude: $y=x^2 \cdot u$ a k ní: $y^\prime = 2xu + x^2 \cdot u^\prime$. |
Dále tedy pokračuju: | Dále tedy pokračuju: | ||
Řádka 86: | Řádka 86: | ||
\begin{center} | \begin{center} | ||
\begin{math} | \begin{math} | ||
− | 9x^2 \cdot u \cdot \big( 2x u + x^2 \cdot u | + | 9x^2 \cdot u \cdot \big( 2x u + x^2 \cdot u^\prime \big) - 18 x^3 \cdot u + 4 x^3 = 0 |
\end{math} | \end{math} | ||
\begin{math} | \begin{math} | ||
− | 18u^2 + 9 x u \cdot u | + | 18u^2 + 9 x u \cdot u^\prime - 18 u + 4 = 0 |
\end{math} | \end{math} | ||
\begin{math} | \begin{math} | ||
− | 9xu \cdot u | + | 9xu \cdot u^\prime = 18 u - 18 u^2 - 4 |
\end{math} | \end{math} | ||
\end{center} | \end{center} | ||
Řádka 101: | Řádka 101: | ||
\begin{displaymath} | \begin{displaymath} | ||
− | \frac{9 u \cdot u | + | \frac{9 u \cdot u^\prime }{18u - 18 u^2 - 4} = \frac{1}{x} |
\end{displaymath} | \end{displaymath} | ||
Řádka 109: | Řádka 109: | ||
\begin{displaymath} | \begin{displaymath} | ||
− | \big( y^4 - 3x^2 \big) \cdot y | + | \big( y^4 - 3x^2 \big) \cdot y^\prime + xy = 0 |
\end{displaymath} | \end{displaymath} | ||
Aktuální verze z 13. 2. 2011, 20:37
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01DIFRcviceni
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01DIFRcviceni | Admin | 13. 2. 2011 | 20:47 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:45 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Admin | 1. 8. 2010 | 02:34 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:33 | kapitola1.tex | ||
Kapitola2 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:35 | kapitola2.tex | ||
Kapitola3 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:37 | kapitola3.tex | ||
Kapitola4 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:37 | kapitola4.tex | ||
Kapitola5 | editovat | Kubuondr | 16. 4. 2017 | 10:39 | kapitola5.tex | ||
Kapitola6 | editovat | Kubuondr | 16. 4. 2017 | 10:31 | kapitola6.tex | ||
Kapitola7 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:39 | kapitola7.tex | ||
Kapitola8 | editovat | Kubuondr | 16. 4. 2017 | 10:16 | kapitola8.tex | ||
Kapitola9 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:45 | kapitola9.tex | ||
Kapitola10 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:43 | kapitola10.tex | ||
Kapitola11 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:41 | kapitola11.tex | ||
Kapitola12 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:41 | kapitola12.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01DIFRcviceni} \section{Zobecněné (kvazihomogenní) diferenciální rovnice } \subsection*{Příklad č.1} Dokázali by jste uhodnout jaká substituce vede k cíli při řešení této diferenciální rovnice? \begin{displaymath} 9 y \cdot y^\prime - 18 x y + 4x^3 = 0 \end{displaymath} K cíli vede tato substituce: $y = u^2$, $y^\prime = 2u \cdot u^\prime$. Rovnice potom vypadá: \begin{displaymath} 18 u^3 \cdot u^\prime - 18 x u^2 + 4 x^3 = 0 \end{displaymath} což je už pouze homogenní diferenciální rovnice. Zkuste si cvičně dopočítat. Jen upozorňuji, v řešení vychází téměř neřešitelný integrál, ponechejte řešení v tvaru s integrálem. I praxi se Vám nemusí vždy podařit vyřešit problém v \uv{jednoduchém tvaru}. Nyní ale k řešení zobecněných diferenciálních rovnic. Homogenní diferenciální rovnice jsme řešili substitucí $y = x \cdot u$, zobecněné budou řešit substituce $y = x^k \cdot u$, kde k je obecné reálné číslo. Při řešení budeme z každého členu v podstatě sčítat exponenty s tím, že místo $y$ budeme počítat $k$ a místo $y^\prime$ budeme počítat $k-1$. Předvedeme si to na následujícím příkladě: \subsection*{Příklad č.2} Řešte: \begin{displaymath} \underbrace{ \frac{2}{x^2} }_{-2} \underbrace{ - y^2 }_{2k} + \underbrace{ y^\prime }_{k-1} = 0; \ldots y = x^k \cdot u \end{displaymath} Dále musíme dát \uv{ součty z exponentů } do rovnosti: $ -2 = 2k = k-1 $, těmto podmínkám vyhovuje $k= -1$, substituce tedy bude následující: $ y = \frac{u}{x}$. Jen tak pro úplnost je to rovněž speciální Riccatiho rovnice, takže řešení by šlo nalézt i jinak. \begin{center} \begin{math} y^\prime = - \frac{u}{x^2} + \frac{u^\prime}{x} \end{math} \begin{math} \frac{2}{x^2} - \frac{u^2}{x^2} - \frac{u}{x^2} + \frac{1}{x} \cdot u^\prime = 0 \end{math} \end{center} \bigskip \begin{center} \begin{math} 2 - u^2 - u + x \cdot y^\prime = 0 \ldots \end{math} rovnice separovatelná \begin{math} x \cdot u^\prime = u^2 + u - 2 \end{math} \end{center} \begin{displaymath} \frac{u^\prime}{u^2 + u -2} = \frac{1}{x} \end{displaymath} kde vidíme, že řešením jsou např. $u_1 = 1, u_2 = -2$, takže v zpětné substituci: $y_1 = \frac{1}{x}, y_2 = - \frac{-2}{x}$. Pro ty kdo neví, tak to plyne z podmínek pro separovatelné diferenciální rovnice. Další řešení jsou už jen mechanickým dopočítáním snadno dosažitelná. \bigskip Nyní se můžeme podívat, jestli by náhodou touto metodou nešel spočíst i první příklad. Jaké bylo zadání? \begin{displaymath} 9 y \cdot y^\prime - 18 x y + 4x^3 = 0 \end{displaymath} A ono ejhle co se objeví. Provedeme-li stejnou analýzu jako u předchozího případu, dostáváme dvě rovnosti: $2k - 1 = k+1 = 3$, takže $k=2$. Zvolená substituce tedy bude: $y=x^2 \cdot u$ a k ní: $y^\prime = 2xu + x^2 \cdot u^\prime$. Dále tedy pokračuju: \begin{center} \begin{math} 9x^2 \cdot u \cdot \big( 2x u + x^2 \cdot u^\prime \big) - 18 x^3 \cdot u + 4 x^3 = 0 \end{math} \begin{math} 18u^2 + 9 x u \cdot u^\prime - 18 u + 4 = 0 \end{math} \begin{math} 9xu \cdot u^\prime = 18 u - 18 u^2 - 4 \end{math} \end{center} a dostávám tedy tvar, se kterým si už každý poradí a sice: \begin{displaymath} \frac{9 u \cdot u^\prime }{18u - 18 u^2 - 4} = \frac{1}{x} \end{displaymath} \subsection*{Příklad č.3} Řešte: \begin{displaymath} \big( y^4 - 3x^2 \big) \cdot y^\prime + xy = 0 \end{displaymath} Řešení bude naprosto obdobné jako v předchozích případech. Pouze v dalším počítání se objeví jedna rovnice, která nebude řešitelná. Řešení stačí ponechat ve tvaru: \begin{displaymath} 2 \int \frac{u^4 -u^3}{u-u^5} du = \ln |x| + C \end{displaymath}