01DIFRcviceni:Kapitola1

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01DIFRcviceni

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01DIFRcviceniAdmin 13. 2. 201119:47
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:45
Header editovatHlavičkový souborAdmin 1. 8. 201001:34 header.tex
Kapitola1 editovatAdmin 13. 2. 201119:33 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatAdmin 13. 2. 201119:35 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatAdmin 13. 2. 201119:37 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatAdmin 13. 2. 201119:37 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatKubuondr 16. 4. 201709:39 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatKubuondr 16. 4. 201709:31 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatAdmin 13. 2. 201119:39 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatKubuondr 16. 4. 201709:16 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatAdmin 13. 2. 201119:45 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatAdmin 13. 2. 201119:43 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatAdmin 13. 2. 201119:41 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatAdmin 13. 2. 201119:41 kapitola12.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01DIFRcviceni}
 
\section{Rovnice se separovanými proměnnými}
 
\subsection*{Zamyslete se:}
 
Jaký je tvar rovnice se separovanými proměnnými? \\
Do jaké podoby se převádí řešení rovnice se separovanými proměnnými? \\
Co musí splňovat P(x), Q(y)?\\
Kdy jedním bodem prochází právě jedna integrální křivka?
 
\begin{displaymath}
tvar: P \left( x \right) + Q \left( y \right) \cdot y^\prime = 0
\end{displaymath}
 
\subsection*{Příklad č.1}
 
Řešte:
 
\begin{displaymath}
\underbrace{x}_{ P \big( x \big) } + \underbrace{ \big( y+1 \big) }_{ Q \big( y \big) } \cdot y^\prime = 0
\end{displaymath}
 
Řešení provedeme přímo podle návodu:
 
 
\begin{displaymath}
x + (y+1) \cdot y^\prime = 0 \Longleftrightarrow \int x dx + \int \left( y + 1 \right) dy = C 
\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}
\frac{x^2}{2} + \frac{ \left( y + 1 \right)^2 }{2} = C \ldots C \ge 0
\end{displaymath}
 
Řešením jsou tedy kružnice se středem v bodě $ [0;-1] $ bez bodů průniku kružnic s přímkou danou rovnicí
$y = -1$, protože v těchto bodech nemá Q(y) derivaci. Navíc ještě je třeba dodat, že aby mělo řešení smysl,
musí být $ C \ge 0 $ . 
 
\subsection*{Příklad č.2}
 
Řešte:
 
\begin{displaymath}
y^\prime = \frac{ | x \cdot y | }{ x \cdot y }
\end{displaymath}
 
Řešení je potřeba provést pro všechny čtyři kvadranty jednotlivě, proto provedu řešení pouze pro 
I. a II. kvadrant. Další můžete provést jako cvičení.
 
\subsubsection*{I.kvadrant}
 
Pokud si uvědomíme: $ x > 0; y > 0$, pak diferenciální rovnice pro první kvadrant vypadá:
 
\begin{displaymath}
y^\prime=1
\end{displaymath}
 
Takže rovnou mohu psát řešení: $ y = x + C $, kde $ C>0, x>0 \ldots x \in \left( 0, + \infty \right)$ a nebo
$ C<0 \ldots x \in \left( C, + \infty \right) $
 
\subsubsection*{II.kvadrant}
 
$ x < 0; y > 0$, diferenciální rovnice má tvar:
 
\begin{displaymath}
y^\prime= - 1
\end{displaymath}
 
Rovnou napíšu:
 
\begin{displaymath}
y= - x + C
\end{displaymath}
 
a řešení je: $ C >0 \ldots x \in \left( - \infty , 0 \right)$, $ C<0 \ldots x \in \left( - \infty , C \right) $.
Další příklady uvedu pouze v zadání, neboť by se u nich postupovalo naprosto analogicky.
 
\subsection*{Příklad č.3}
 
Řešte:
 
\begin{displaymath}
y^\prime = \frac{ x - y }{ | x - y | }
\end{displaymath}
 
Pozn: Řešení se rozpadá na dva případy, které od sebe dělí osa I. a III. kvadrantu.
 
\subsection*{Příklad č.4}
 
Řešte \uv{nad osou x}:
 
\begin{displaymath}
y^\prime = - \frac{ x + |x| }{ y + |y| }
\end{displaymath}