02KVANCV:Kapitola8
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 18. 12. 2017, 10:47, kterou vytvořil Kubuondr (diskuse | příspěvky) (vektor fí 3 ve cvičení 40 nemá být dělen odmocninou ze 2, už má normu jedna. (Chyba odhalena na cvičení))
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02KVANCV
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02KVANCV | Steffy | 29. 8. 2013 | 13:57 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 13:50 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Steffy | 29. 8. 2013 | 14:15 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Klasická mechanika a statistická fyzika | Steffy | 11. 9. 2017 | 11:14 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | de Broglieova vlna | Steffy | 8. 9. 2015 | 14:42 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Volná částice | Steffy | 13. 9. 2017 | 14:07 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Pravoúhlá potenciálová jáma | Steffy | 11. 9. 2017 | 11:22 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Harmonický oscilátor | Steffy | 8. 9. 2017 | 09:17 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Moment hybnosti | Stefamar | 11. 9. 2019 | 08:30 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Posunovací operátory | Stefamar | 11. 9. 2019 | 08:15 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Výsledky měření | Stefamar | 11. 9. 2019 | 08:42 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Časový vývoj | Stefamar | 11. 9. 2019 | 08:51 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Spin | Stefamar | 11. 9. 2019 | 08:52 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Poruchová teorie | Steffy | 11. 9. 2017 | 12:51 | kapitola11.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02KVANCV} \chapter{Výsledky měření} \begin{cvi} Elektron v atomu vodíku je v základním stavu. Jaké jsou střední hodnoty složek polohy a hybnosti elektronu? Jaká je jeho střední vzdálenost od jádra? \end{cvi} \navod Vlnová funkce základního stavu elektronu je $$ \psi(x,y,z) = C e^{-\frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{a_0}} . $$ Snadno zjistíme, že všechny střední hodnoty složek polohy a hybnosti jsou nulové, jak lze ostatně očekávat ze symetrie vlnové funkce. Pokud jde o střední vzdálenost elektronu od jádra, musíme nejprve najít příslušnou hustotu pravděpodobnosti. Funkci $\psi(x,y,z)$ je třeba převést do sférických souřadnic, vzít absolutní hodnotu na druhou, vynásobit jakobiánem a vyintegrovat přes prostorové úhly. Hustota pravděpodobnosti nalezení elektronu ve vzdálenosti $r$ od jádra je pak rovna $$ w(r) = \frac{4}{a_0^3}r^2 e^{-\frac{2r}{a_0}} . $$ Střední vzdálenost elektronu od jádra je $$ \langle r\rangle_\psi = \int\limits_0^{\infty} r w(r) dr = \frac{3}{2}a_0 . $$ \begin{cvi} \label{line:x:p} Částice na přímce je ve stavu popsaném vlnovou funkcí $$ \psi(x) = C e^{-\frac{(x-x_0)^2}{4\sigma^2}+\frac{i}{\hbar}p_0 x}. $$ Určete střední hodnoty a střední kvadratické odchylky polohy a hybnosti. \end{cvi} \vysl $$ \langle\hat Q\rangle_\psi = x_0,\quad \Delta_\psi \hat Q = \sigma, \quad \langle\hat P\rangle_\psi = p_0,\quad \Delta_\psi \hat P = \frac{\hbar}{2\sigma} $$ Stav tedy mimimalizuje relace neurčitosti. \begin{cvi} Ukažte, že v jednorozměrném případě podmínka $$ [\hat A - <\hat A>_{\psi} - i\alpha(\hat B -<\hat B>_{\psi})]\psi=0,\quad \alpha\in\mathrm{R} $$ pro operátory $\hat A = \hat Q,\hat B =\hat P$ je integrodiferenciální rovnicí, jejímiž jedinými řešeními jsou funkce \[ \psi( x)=C\exp[-Ax^2+B x],\quad A>0 \] \end{cvi} \navod Prozatím si označte $\langle \hat Q \rangle_{\psi}=x_0, \, \langle \hat P \rangle_{\psi}=p_0$ a najděte řešení patřičné diferenciální rovnice $$x \psi - x_0 \psi - i \alpha ( - i \hbar \frac{\partial}{\partial x} \psi - p_0 \psi)=0 .$$ Na závěr určete vztah mezi $\alpha$, integrační konstantou a $x_0,p_0$ nalezením středních hodnot $\langle \hat Q \rangle_{\psi}$, $\langle \hat P \rangle_{\psi}$ a jejich porovnáním s $x_0,p_0$ (využijte výsledky cvičení \ref{line:x:p}). \begin{cvi} \label{ex:free:p} Určete pravděpodobnostní rozdělení hybností volné částice popsané vlnovou \fc í (\ref{free:x}). Jaká je střední hodnota a střední kvadratická odchylka hybnosti částice? Specifikujte výsledky pro případ $A>0$. Jak v tomto přípapě závisí na čase součin středních kvadratických odchylek polohy a hybnosti? \end{cvi} \vysl Rozdělení hybností částice ve stavu $\psi$ je dáno vztahem $$ w_\psi(\vec{p}) = |(\psi_{\vec{p}},\psi)|^2 = |\tilde\psi(\vec{p})|^2, $$ kde $\psi_{\vec{p}}$ jsou zobecněné vlastní funkce operátoru hybnosti normované k $\delta$-funkci. Skalární součin je vlastně Fourierovou transformací funkce $\psi(\vec{x})$. Tu jsme počítali v příkladě (\ref{ex:vlnbal}), viz. vztah \ref{free:p}, takže máme $$ \tilde\psi(\vec{p},t) \approx e^{-\frac{i}{\hbar}\frac{p^2}{2M}(t-t_0)} e^{\frac{(\vec{B}-\frac{i}{\hbar}\vec{p})^2}{4A}} . $$ Rozdělení hybností pak dostaneme stejným postupem jako v příkladě (\ref{vlnbal:pr}). Výsledkem je Gaussovo normální rozdělení $$ w_\psi(\vec{p}) \approx e^{-\frac{(\vec{p}-\vec{p}_0)^2}{2(\Delta p)^2}}, $$ kde střední hodnota $\vec{p}_0$ a variance $(\Delta p)^2$ hybnosti mají tvar $$ \vec{p}_0 = \hbar\left({\rm Im}\vec{B}-\frac{{\rm Im A}}{{\rm Re A}}\ {\rm Re \vec{B}}\right),\quad (\Delta p)^2 = \frac{\hbar^2|A|^2}{{\rm Re A}}. $$ Ani jeden z výsledků nezávisí na čase, jak lze očekávat z faktu, že pro volnou částici je hybnost integrálem pohybu. Neurčitost hybnosti je stejná ve všech směrech, tj. $(\Delta p_j) = (\Delta p)$. V případě $A>0$ se vztahy zjednodušší na $$ \vec{p}_0 = \hbar{\rm Im}\vec{B},\quad (\Delta p) = \hbar \sqrt{A}. $$ Neurčitost polohy jsme počítali v příkladě \ref{vlnbal:pr}, součin v čase $t$ je roven $$ \left(\Delta x(t)\right)\left(\Delta p\right) = \frac{\hbar}{2}\sqrt{1+\frac{4A^2\hbar^2}{M^2}t^2} = \frac{\hbar}{2} |\chi(t)|^2. $$ Pro $A>0$ tedy stav minimalizuje relace neurčitosti v čase $t=0$. \begin{cvi} Lineární oscilátor s vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$ je ve stavu popsaném vlnovou \fc í $$ \psi(x) = C x^2 e^{-\frac{x^2}{2}} $$ S jakou pravděpodobností naměříme hodnoty energie rovné $\half\hbar\omega$, resp. $\hbar\omega$, $\frac{3}{2}\hbar\omega$, $\frac{5}{2}\hbar\omega$? Jaká je střední hodnota energie oscilátoru? Čemu je rovna střední hodnota hybnosti? \end{cvi} \navod Snadno zjistíme, že stav je superpozicí vlastních vektorů hamiltoniánu $$ \psi = \frac{1}{\sqrt{3}}\psi_0 + \sqrt{\frac{2}{3}}\psi_2. $$ Lze tedy naměřit energie $\half\hbar\omega$ a $\frac{5}{2}\hbar\omega$ s pravděpodobnostmi $P_0 = \frac{1}{3}$ a $P_2 = \frac{2}{3}$. Energii $\hbar \omega$ nelze naměřit (není ve spektru). Střední hodnota energie je rovna $$ \langle\hat H\rangle_\psi = \frac{11}{6}\hbar\omega. $$ Střední hodnotu hybnosti můžeme buď počítat přímo integrací v $x$-reprezentaci, nebo využít zápis operátoru $\hat P$ pomocí posunovacích operátorů. Výsledek je nula. \begin{cvi} Lineární oscilátor s vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$ je v koherentním stavu s amplitudou $\alpha$. S jakou pravděpodobností naměříme hodnotu energie rovnu $(n+\frac{1}{2})\hbar\omega$? Jaká je střední hodnota energie oscilátoru? \label{koh:2} \end{cvi} \navod Pravděpodobnost naměření hodnoty $(n+\frac{1}{2})\hbar\omega$ je dána výrazem $P_n = |\langle n|\alpha\rangle|^2$. S použitím vztahu $|n\rangle = \frac{\hat a_+^n}{\sqrt{n!}}|0\rangle$ dostaneme pro amplitudu pravděpodobnosti $$\langle n|\alpha\rangle = \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}\langle 0|\alpha\rangle = \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}\frac{1}{\sqrt[4]{\pi}}C_\alpha\int_\mathds{R} e^{-\frac{x^2}{2}} e^{-\frac{\left(x - \sqrt{2}\alpha\right)^2}{2}} dx = \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}} e^{-\left({\rm Im}\alpha\right)^2} e^{i\varphi_\alpha} e^{-\frac{\alpha^2}{2}}$$ takže pravděpodobnost naměření energie $(n+\frac{1}{2})\hbar\omega$ je $$P_n = \frac{|\alpha|^{2n}}{n!} e^{-|\alpha|^2}.$$ Pravděpodobnost je tedy dána Poissonovým rozdělením s parametrem $\lambda = |\alpha|^2$. Odtud už snadno určíme střední hodnotu energie $$ \langle\hat H\rangle_\alpha = \hbar\omega(|\alpha|^2 + \frac{1}{2}). $$ Stejný výsledek lze získat i rozepsáním hamiltoniánu pomocí posunovacích operátorů. Zvolíme-li fázi koherentního stavu jako $$ \varphi_\alpha = {\rm Re}\alpha {\rm Im}\alpha, $$ zjednoduší se skalární součin $\langle n|\alpha\rangle$ do tvaru $$ \langle n|\alpha\rangle = \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}} e^{-\frac{|\alpha|^2}{2}}. $$ Koherentní stav pak můžeme rozložit do báze vlastních vektorů hamiltoniánu způsobem $$ |\alpha\rangle = e^{-\frac{|\alpha|^2}{2}}\sum_{n=0}^\infty \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle. $$ Pro tuto volbu fáze je normovací konstanta koherentního stavu rovna $$ C_\alpha = \frac{1}{\sqrt[4]{\pi}}e^{\frac{\alpha^2-|\alpha|^2}{2}}. $$ \begin{cvi} Isotropní oscilátor s vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$ je ve stavu popsaném vlnovou \fc í $$ \psi(x)=C e^{-\frac{\vec x^2}{2} + i \vec{p}\cdot\vec{x}} . $$ S jakou pravděpodobností naměříme hodnoty energie rovné $\frac{5}{2}\hbar\omega$? \end{cvi} \navod Nezapomeňte, že energie $\frac{5}{2}\hbar\omega$ třírozměrného harmonického oscilátoru je degenerovaná, musíte spočítat pravděpodobnosti přechodu do jednotlivých ortogonálních vlastních stavů příslušných k této energii a pak je sečíst. Výsledná pravděpodobnost: $\frac{p^2}{2}e^{-\frac{p^2}{2}}$. \begin{cvi} Nechť \cc e je popsána vlnovou \fc í $$ \psi(x,y,z) = (2x + y + z)\exp (-\alpha\sqrt{x^2+y^2+z^2}). $$ Jaké hodnoty kvadrátu momentu hybnosti můžeme naměřit? Jaké hodnoty $z$-ové složky momentu hybnosti můžeme naměřit a s jakou pravděpodobností? Jakou vlnovou funkcí popíšeme stav částice, pokud naměříme hodnotu $L_z=\hbar$? Návod: zapište $\psi$ pomocí kulových \fc í. \end{cvi} \navod Převeďte vlnovou funkci do sférických souřadnic. Funkce má tvar $f(r) \Psi(\theta,\varphi)$. Úhlová část vlnové funkce je lineární kombinací kulových funkcí s $l=1$ $$ \Psi = \frac{2+i}{2\sqrt{3}} Y_{1-1} + \frac{1}{\sqrt{6}} Y_{10} - \frac{2-i}{2\sqrt{3}} Y_{11}, $$ lze tedy naměřit jen $l=1$. Projekce momentu hybnosti do osy $z$ mohou nabývat hodnot $L_z = -\hbar,0,\hbar$, s pravděpodobnostmi $$ P_{-1} = \frac{5}{12},\quad P_0 = \frac{1}{6},\quad P_1 = \frac{5}{12}. $$ Po naměření hodnoty $L_z=\hbar$ stav částice popíšeme vlnovou funkcí $$ g(r,\theta,\varphi) = Y_{11}(\theta,\varphi)e^{-\alpha r}. $$ \begin{cvi} Nechť částice je ve stavu popsaném vlnovou \fc í $$ \psi=(4\pi)^{-1/2} (e^{i\varphi}\sin\theta+\cos\theta )g(r). $$ Jaké hodnoty $L_z$ můžeme naměřit a s jakou pravděpodobností? Jaká je střední hodnota $L_z$ v tomto stavu? Jaká je střední hodnota $x$-ové složky momentu hybnosti? \end{cvi} \navod Úhlová část vlnové funkce je superpozice kulových funkcí $Y_{11}$ a $Y_{10}$. Lze tedy naměřit $L_z=0$ a $L_z = \hbar $ s pravděpodobnostmi $P_0 = \frac{1}{3}$ a $P_1 = \frac{2}{3}$. Střední hodnota $L_z$ je $\frac{2}{3}\hbar $. Pro výpočet střední hodnoty $x$-ové složky momentu hybnosti je vhodné rozepsat $\hat{L}_x$ pomocí posunovacích operátorů $\hat{L}_{\pm}$ (viz. cvičení \ref{shift:L}). Výsledek je $\langle\hat{L}_x\rangle_\Psi = -\frac{2}{3}\hbar$. \begin{cvi} Uvažujte systém s Hilbertovým prostorem ${\mathcal H} = \mathds{C}^3$ a hamiltoniánem $\hat H$ daným maticí $$ H = \varepsilon \left( \begin{array}{ccc} 0 & i & 0 \\ -i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ \end{array} \right). $$ Systém je ve stavu popsaném vektorem $$ |\psi\rangle = \frac{1}{2} (1-i,i,1)^T . $$ Jaké hodnoty energie můžeme naměřit a s jakou pravděpodobností? Jaká je střední hodnota energie? \end{cvi} \navod Spektrum $\hat H$ tvoří vlastní čísla $E_1 = \varepsilon,\quad E_2 = E_3 = -\varepsilon$, příslušné vlastní vektory jsou $$ |\phi_1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \begin{array}{c} i \\ 1 \\ 0 \\ \end{array} \right),\quad |\phi_2\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \begin{array}{c} -i \\ 1 \\ 0 \\ \end{array} \right),\quad |\phi_3\rangle = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array} \right). $$ Můžeme tedy naměřit energii $\varepsilon$ nebo $-\varepsilon$ s pravděpodobnostmi \begin{eqnarray} \nonumber p(E=\varepsilon) & = & |\langle\phi_1|\psi\rangle|^2 = \frac{1}{8},\\ \nonumber p(E=-\varepsilon) & = & |\langle\phi_2|\psi\rangle|^2 + |\langle\phi_3|\psi\rangle|^2 = \frac{7}{8}. \end{eqnarray} Střední hodnotu energie můžeme spočítat dvěma způsoby $$ \langle \hat H \rangle_\psi = \langle\psi|\hat H|\psi\rangle, \quad {\rm resp.}\quad \langle \hat H \rangle_\psi = p(E=\varepsilon) \varepsilon + p(E=-\varepsilon) (-\varepsilon), $$ v obou případech je výsledek $-\frac{3}{4}\varepsilon$.