Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01RMF}
\chapter{Zobecněné funkce}
V~této kapitole korektně zavedeme zobecněné funkce a~uvidíme, že naše předešlá definice je jen velmi speciálním případem zobecněné funkce.
Zároveň budeme v~definici požadovat, aby náš nově definovaný objekt byl něco rozdílného od klasické funkce, ale zároveň se od ní příliš nelišil.
Rádi bychom totiž využívali některá tvrzení a~některé věty, které již máme z~předchozího studia matematické analýzy dokázány.
\section{Zavedení zobecněných funkcí}
\begin{define}
Nechť $f$ je lineární funkcionál nad $\D(G)$, tj, $f:\D \longrightarrow \mathbb{C}$ a~$f$ je lineární. Množinu všech lineárních a spojitých,
tj. konvergenci zachovávajících, funkcionálů nad $\D(G)$ nazveme {\bf prostorem zobecněných funkcí}, označujme ji $\D'(G)$.
Hodnotu funkcionálu $f$ na funkci $\phi$ označujme $\left( f, \ \phi \right)$ namísto $f(\phi)$.
\end{define}
Vidíme, že prostor zobecněných funkcí závisí na volbě konvergence v $\D$. Tímto pojmem bude $\D'$ značně ovlivněno
(kvůli identifikaci lineárních a~především spojitých funkcionálů nad $\D$). Z~toho důvodu nyní definujeme konvergenci
v~$\D$. Ještě předtím ale zavedeme pojem multiindex a~zavedeme notaci derivací pomocí multiindexu.
\begin{define}
{\bf Multiindexem} $\alpha$ v~n-dimenzionálním prostoru rozumíme uspořádanou n-tici čísel $\left(\alpha_1, \ \alpha_2, \ \dots, \ \alpha_n \right)$ ze
$\mathbb{Z}_+ ^n := \left(\mathbb{N}\cup\{0\}\right)^n$.
Označme $\vert \alpha \vert = \displaystyle \sum_{k=1} ^n \alpha_k $.
Definujme rovněž operátor
$D^{\alpha} : = \displaystyle\frac{\partial^{\vert \alpha \vert}}{\partial^{\alpha_1}x_1 \partial^{\alpha_2}x_2 \dots \partial^{\alpha_n}x_n}$.
\end{define}
\begin{define}
Nechť $\{ \phi_n \}_{n \in \mathbb{N}\}$ je posloupnost v $\D(G)$ a $\phi \in \D(G)$. Řekneme, že {\bf $\phi_n$ konverguje
k~$\phi$ v $\D$}, označme $\phi \stackrel{\D}{\longrightarrow} \phi$,
právě když
\begin{enumerate}
\item nosiče $\phi_n $ jsou stejně (stejnoměrně) omezené, tj. $\exists R>0 \ \forall n \in \mathbb{N} \ \nf \phi_n \subset B_R(0)$;
\item $\forall \aplha \in \mathbb{Z}_+ ^n$ platí, že $D^\alpha \phi_n$ konverguje stejnoměrně na množině $G$ k~$D^\alpha \phi$, tedy $D^\alpha \phi_n \sk{G} D^\alpha \phi$.
\end{enumerate}
\end{define}
\begin{remark}
Tato definice vyžaduje znalost limitní funkce $\phi$. Je ale možné definovat i~\uv{vlastnost konvergence}
a~to za pomoci Bolzano-Cauchyovy podmínky pro stejnoměrnou konvergenci,
která nám umožňuje nepsat ve druhé podmínce $D^\alpha \phi$. Pak můžeme tvrdit, že posloupnost funkcí
$\{ \phi_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ konverguje v~$\D$ a~tuto vlastnost zapisovat
jako $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} $.
\end{remark}
\begin{theorem}
Buď $\{ \phi_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \D(G)$ a nechť $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} $.
Pak existuje limitní funkce $\phi \in \D(G)$ taková, že $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} \phi$.
\begin{proof}
Důkaz nechť si čtenář provede sám jako cvičení. Při dokazování je vhodné najít kandidáta na funkci $\phi$ pomocí nulté derivace.
Dále je vhodné si uvědomit, že kandidát musí být třídy $\Ci$ a~že $\nf \phi$ má být kompakt.
\end{theorem}
\subsection{Příklady zobecněných funkcí}
{\bf Diracova $\delta$-funkce}
S~touto funkcí jsme se setkali hned na začátku tohoto textu. Nyní ji korektně zavedeme a~dokážeme, že se jedná o~zobecněnou funkci.
$$ \left(\forall \phi \in \D(R) \right) \ \mbox{definujeme } \left(\delta, \ \phi\right) := \phi(0) $$
Pro $\delta$ musíme tedy ověřit, že je to funkcionál nad~$\D$, že je lineární a~že je spojitý.
\begin{enumerate}
\item[{\it Funcionál:}] $\delta: \D \longrichtarrow \mathbb{C}$. Jelikož je $\phi(0) < + \infty$, víme, že se tedy jedná o~funkcionál,
neboť jeho definice dává dobrý smysl $\forall \phi \in \D$.
\item[{\it Linearita:}] Uvažujme $\phi, \psi \in \D$ a $\alpha \in \mathbb{C}$. Pak
$$( \delta, \underbrace{\phi + \alpha \psi}_{\eta \in \D} ) = \eta(0) = \left( \phi + \alpha \psi \right) (0)
= \phi (0) + \alpha \psi(0) = \left( \delta, \phi \right) + \alpha \left( \delta, \psi\right)$$
\item[{\it Spojitost:}] Abychom dokázali spojitost námi definovaného funkcionálu, uvažujme konvergentní posloupnost
$\{ \phi_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \D$, která konverguje $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} \phi$.
Chceme ukázat, že odtud plyne, že v $\mathbb{C}$ konverguje číselná posloupnost$\left(\delta, \phi_n\right) \longrightarrow \left(\delta, \phi\right)$.
Můžeme bez újmy na obecnosti uvažovat, že $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} 0$ \footnote{Pokud by $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} \phi$,
pak víme, že funkce~$\phi$ je opět testovací funkcí a~můžeme přejít od~$\phi_n$ k~$\phi_n - \phi$, která již konverguje~k~0. Funkce $\phi_n - \phi$
je totiž opět testovací, neboť její nosič je pouze sjednocení nosičů funkcí $\phi_n$ a~$\phi$ a~rozdílem dvou hladkých funkcí je opět funkce hladká. }.
Pak v toho, že posloupnost konverguje plyne, že
\begin{enumerate}
\item $\exists R>0 \ \forall n \in \mathbb{N} \ \nf \phi_n \subset B_R(0)$;
\item $\forall \aplha \in \mathbb{Z}_+ ^n$ platí, že $D^\alpha \phi_n \sk{\R^n} 0$.
\end{enumerate}
Druhá podmínka platí pro všechny multiindexy, tedy speciálně i~pro nulový. Pak tedy dostáváme $\phi_n \sk{\R^n} 0 \Rightarrow \phi_n(x) \stackrel{\R^n}{\rightarrow} 0$ pro všechna $x\in \R^n$.
Pokud nyní za $x$ volím 0, dostávám tvrzení, které jsem chtěl dokázat, neboť $\underbrace{\displaystyle\lim_{n\to\infty} \left(\delta, \phi_n \right)}_{\displaystyle\lim_{n\to\infty} \phi_n(0) = 0} = \left(\delta, 0 \right) = 0$, přičemž poslední rovnost plyne z linearity funkcionálu.
\noindent Tímto jsme tedy dokázali, že {\it Diracova $\delta$-funkce} je zobecněnou funkcí.
