Součásti dokumentu 02LIAG
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02LIAG}
\section{Symetrie v QM}
V klasické mechanice vede symetrie (invariance teorie vůči transformacím) na integrály pohybu (Teorém Noethorové).
V QM symetriím odpovídají infinitezimální generátory jako integŕaly pohybu, ve smyslu operátorů na Hilbertově prostoru $\mathscr{H} \rimpl$Lieova algebra integrálů pohybu, tj operátorů komutujících s Hamiltoniánem$\rimpl$operátory reprezentující naši abstraktní Lieovu algebru jsou pozorovatelné reprezentované na $\mathscr{H}$. Pokud daná Lieova algebra je kompaktní, pak reprezentace na $\mathscr{H}$ je direktním součtem konečněrozměrných ireducibilních reprezentací$\rimpl$ v nich máme báze tvořené váhovými vektory. Cartanova podalgebra je tvořena operátory komutujícími s Hamiltonánem. Pokud je jich dostatečně mnoho, máme ÚMP, jejich hodnoty označíme vektory. Váhové vektory jsou pak vektory spřesně určenými hodnotami ÚMP tvořené Cartanovou podalgebrou a Hamiltoniánem.
\subsection{Izospin}
Proton a neutron se vzhledem k silné interakci chovají stejně. Hypotéza: $p$ a $n$ jsou 2 stavy nukleonu$\rimpl$existuje néjaký vnitřní stupeň volnosti nukleonu, můžeme jej popsat $\C^2 \rimpl \ket{p}=\left(\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \end{smallmatrix}\right)$ a $\ket{n}=\left(\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \end{smallmatrix}\right)$. Teorie jaderné interakce je invariantní vůči jejich míchání$\rimpl$může to být $SO(2)\sim U(1)$ nebo libovolná $SU(2)$. Zkusíme tedy $SU(2)$, $2$-rozměrnou reprezentaci $\mfrk{su}(2) = \mfrk{so}(3) \rimpl$dvojznačná reprezentace $SO(3)\rimpl$spin jen ve vnitřním Hilbertově prostoru (nesouvisející s prostoročasem, momentem hybnosti), izotropický spin $\equiv$ izospin, $I^2,I_3$:
\begin{align*}
&I^2\ket{p} = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{2} + 1 \right) \ket{p} && I_3\ket{p} = \frac{1}{2}\ket{p} &&\text{náboj: }Q = I_3 + \frac{1}{2} \\
&I^2\ket{n} = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{2} + 1 \right) \ket{n} && I_3\ket{n} = -\frac{1}{2}\ket{n}
\end{align*}
Postupně se objevily další částice: antinukleony, piony$\rimpl$barionové číslo $B$ (počet nukleonů). Pionům se přiřadila vektorová repreezntace izospinové grupy $SO(3)$, tj. $l=1,\ m=-1,0,1$.
\begin{align*}
&Q = I_3 +\frac{1}{2}B \left\{
\begin{array}{ll}
\text{nukleony: } &B=1,\ Q \in \{0,1\}\\
\text{piony: } &B=0,\ \sigma{I_3}= \{-1,0,1\} \rimpl Q \in \{-1,0,1\}\\
\text{antinukleony: } &B=-1,\ \sigma(I_3) = \left\{ \pm\frac{1}{2} \right\} \rimpl Q \in \{ 0,-1 \}
\end{array}\right. \\
&I_3\text{ je prvek Cartanovy podalgebry }\mfrk{so}(3)_\C \\
&B\text{ je dán zvolenou reprezentací}
\end{align*}
Pak se objevily Kaony, rozpadající se na známe částice, ale né silně$\quad\to\quad$ nová zachovávající se veličina, podivnost $S\rimpl$Gellmann-Nishijimův vzorec:
\begin{align*}
Q=I_3+\frac{1}{2}Y,\qquad Y = S + B\ \dots\ \text{hypernáboj}
\end{align*}
$\Rightarrow\quad$motivace pokusu spojit $I_3$ a $Y$ do jedné algebry infinitezimálních symetrií, tj hledáme algebru s $2$-dim. Cartanovou podalgebrou (chceme komutující $I_3,Y$). To nefungovalo, dokud se nezkusil předpoklad nukleonů složených z komponent - kvarků, jako vhodná algebra se ukázala $\g = \mfrk{su}(3)$, budeme se jí tedy zabývat.
\subsection{$\mfrk{su}(3)$}
$\mfrk{su}(3)_\C$:
\begin{align*}
I_3 = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}
1 \\
& -1 \\
&& 0
\end{pmatrix} && Y = \frac{1}{3} \begin{pmatrix}
1 \\
& 1 \\
&& -2
\end{pmatrix} && \g_0 = \mrm{span}\{ I_3,Y \}
\end{align*}
\begin{align*}
K(I_3,Y) = 0 && K(I_3,I_3) = c\frac{1}{2} && K(Y,Y) = c\frac{2}{3}
\end{align*}
\begin{align*}
I_+ = E_{12} = E_\alpha = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
& 0 & 0 \\
&& 0 \\
\end{pmatrix} &&
U_+ = E_{23} = E_\beta = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
& 0 & 1 \\
&& 0 \\
\end{pmatrix}
\end{align*}
\begin{align*}
V_+ = [I_+,U_+] = E_{13} = E_{\alpha+\beta} && I_- = (I_+)^T && U_- = (U_+)^T && V_- = (V_+)^T
\end{align*}
\begin{align*}
&[I_+,V_+] = 0 && [U_+,V_+] = 0 && [I_3,Y] = 0 \\
&[I_3,I_\pm] = \pm I_\pm && [I_3,U_\pm] = \mp\frac{1}{2}U_\pm && [I_3,V_\pm] = \pm\frac{1}{2}V_\pm \\
&[Y,I_\pm] = 0 && [Y,U_\pm] = \pm U_\pm && [Y,V_\pm] = \pm V_\pm \\
&[I_+,I_-] = 2I_3 && [U_+,U_-] = \begin{pmatrix}
0 \\
& 1 \\
&& -1
\end{pmatrix} = -I_3 + \frac{3}{2}Y && [V_+,V_-] = I_3 + \frac{3}{2}Y
\end{align*}
Kořenový diagram:
\begin{figure}[!h]
\centering
\includegraphics[pdf]{su3_1.pdf}
\end{figure}
\begin{align*}
I_3\ket{\lambda,\mu} = \lambda\ket{\lambda,\mu} && Y\ket{\lambda,\mu} = \mu\ket{\lambda,\mu}
\end{align*}
Definující vektorová reprezentace $\mfrk{su}(3)$ (značí se $3$), je to fundamentální reprezentace $\mfrk{su}(3)_\C = \mfrk{sl}(3)$:
\begin{align*}
\ket{u} = \ket{\frac{1}{2},\frac{1}{3}} && \ket{d} = \ket{-\frac{1}{2},\frac{1}{3}} && \ket{s} = \ket{0,-\frac{2}{3}}
\end{align*}
Částice se nazývají kvarky. Váhový diagram:
\begin{figure}[!h]
\centering
\includegraphics[pdf]{su3_2.pdf}
\end{figure}
\newpage
Druhá fundamentální (antifundamentální) reprezentace $\mfrk{su}(3)_\C$ se získá mínus transpozicí:
\begin{figure}[!h]
\centering
\includegraphics[pdf]{su3_3.pdf}
\end{figure}
Značí se $\overline{3}$ a její částice se nazývájí $antikvarky$.
Vázané stavy kvark-antikvark, $3\otimes\overline{3} = 8 \oplus 1$:
\begin{figure}[!h]
\centering
\includegraphics[pdf]{su3_4.pdf}
\end{figure}
\begin{align*}
\pi^0 = \frac{\ket{u\overline{u}} - \ket{d\overline{d}}}{\sqrt{2}} &&
\eta = \frac{\ket{u\overline{u}}+\ket{d\overline{d}}-2\ket{s\overline{s}}}{\sqrt{6}} &&
1 = \mrm{span}\Bigg\{ \underbrace{\frac{\ket{u\overline{u}}+\ket{d\overline{d}}+\ket{s\overline{s}}}{\sqrt{3}}}_{\eta'} \Bigg\}
\end{align*}
\newpage
Reprezentace vedoucí na celočíselné náboje (trojice kvarků), $3\otimes3\otimes3=10\oplus8\oplus8\oplus1$:
\begin{figure}[!h]
\centering
\includegraphics[pdf]{su3_5.pdf}
\end{figure}
$8$:
\begin{figure}[!h]
\centering
\includegraphics[pdf]{su3_6.pdf}
\end{figure}
V době kdy Gellmann vytvořil reorii $\Omega^-$ nebyla známa, později byla potvrzena.
\Pzn{
Dnes už je tato teorie zastaralá, protože kvarků, tesp. částic je víc, takže současný standardní model je uspořádan jinak. Je to dobré přiblížení pro některé energie.
}
\Pzn{
Pozorované Částice odpovídají rozkladům obsahujícím singlet, tj. pozorujeme pouze bezbarvé částice.
}
