Součásti dokumentu 02KVANCV
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02KVANCV}
\chapter{Časový vývoj}
\begin{cvi}
Lineární harmonický oscilátor s hmotností $M = \hbar/\omega$ je v čase $t=0$ ve stavu popsaném vlnovou funkcí
$$
\psi(x,0) = C (1+\sqrt{2}x) e^{-\frac{x^2}{2}}.
$$
Určete, jaké hodnoty energie můžeme naměřit a s jakou pravděpodobností. V jakém stavu je oscilátor v čase $t>0$? Jak se mění střední hodnota polohy oscilátoru s časem?
\end{cvi}
\navod
Stav je superpozicí vlastních vektorů hamiltoniánu
$$
\psi(0) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\psi_0 + \psi_1).
$$
Můžeme tedy naměřit energie $E_0 = \frac{\hbar\omega}{2}$ a $E_1 = \frac{3}{2}\hbar\omega$ s pravděpodobnostmi $P_0 = P_1 = \frac{1}{2}$. Časový vývoj vlastních vektorů známe, stav oscilátoru v čase $t$ je potom
$$
\psi(t) = \frac{1}{\sqrt{2}}(e^{-i\frac{\omega}{2}t}\psi_0 + e^{-i\frac{3\omega}{2}t}\psi_1).
$$
Pro určení závislosti střední hodnoty polohy na čase je vhodné přepsat operátor polohy pomocí kreačního a anihilačního operátoru. Výsledek je
$$
\langle\hat{Q}\rangle(t) = \frac{1}{\sqrt{2}}\cos(\omega t).
$$
\begin{cvi} Nechť částice s hmotností $M$ v jednorozměrné nekonečně hluboké potenciálo-vé jámě šířky $2a$ je v čase $t=0$ popsána vlnovou \fc í,
\[ \psi(x,0)=0,\ {\rm pro}\ |x|>a,\ \ \psi(x,0)=\sin\left(\frac{\pi}{2a}(x-a)\right)+\sin\left(\frac{\pi}{a}(x-a)\right),\ {\rm pro} \ |x|<a.\]
Jaká je pravděpodobnost, že \cc e se v čase $t\geq 0$ bude nacházet v intervalu $(-a,0)$? V jakém čase je tato pravděpodobnost minimální, resp. maximální.
\end{cvi}
\navod $\psi(x,0)$ je superpozice stacionárních stavů, viz. příklad \ref{jama}
$$\psi(x,0) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\psi_1(x) + \psi_2(x)).$$
Snadno naleznete časový vývoj $\psi(x,t)$, pak stačí prointegrovat $|\psi(x,t)|^2$ přes $(-a,0)$ a normovat. Výsledek je
\begin{eqnarray}
\nonumber P_{(-a,0)}(t) & = & \frac{1}{2}-\frac{4}{3\pi}\cos\left(\frac{3}{8M}\frac{\pi^2\hbar t}{a^2}\right),\\
\nonumber t_{min} & = & 0 ,\ P_{min} = \frac{1}{2}-\frac{4}{3\pi},\qquad t_{max}=\frac{8Ma^2}{\pi\hbar} ,\ P_{max}=\frac{1}{2}+\frac{4}{3\pi}.
\end{eqnarray}
\begin{cvi}
Lineární oscilátor s vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$ je v čase $t=0$ v koherentním stavu s amplitudou $\alpha\in\mathds{R}$. V jakém stavu je v libovolném čase $t>0$?
\end{cvi}
\navod
Z výsledku příkladu (\ref{koh:2}) plyne
$$|\alpha\rangle = e^{-\frac{|\alpha|^2}{2}}\sum_{n=0}^\infty \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle.$$
Odtud snadno dostaneme výsledek
$$|\alpha(t)\rangle = e^{-\frac{i}{2}\omega t} |\alpha e^{-i\omega t}\rangle.$$
Stav tedy zůstává koherentní, s časem se pouze mění fáze jeho amplitudy $\alpha(t) = \alpha e^{-i \omega t}$.
\begin{cvi}
Určete časový vývoj střední hodnoty polohy a hybnosti lineárního oscilátoru s vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$. Oscilátor je v čase $t=0$ v koherentním stavu s amplitudou $\alpha\in\mathds{R}$.(Návod: rozepište $\hat{Q}$ a $\hat{P}$ pomocí kreačního a anihilačního operátoru)
\end{cvi}
\navod
Z předchozího příkladu víme že $|\alpha(t)\rangle = |\alpha e^{-i\omega t}\rangle$ (globální fáze je irelevantní).
$\hat{Q}$ a $\hat{P}$ zapsané pomocí kreačního a anihilačního operátoru:
$$\hat{Q} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\hat{a}_+ + \hat{a}_-\right),\quad \hat{P} = i\frac{\hbar}{\sqrt{2}}\left(\hat{a}_+ - \hat{a}_-\right)$$
Pro střední hodnotu $\hat{Q}$ dostaneme
$$\langle\hat{Q}\rangle_\alpha(t) = \sqrt{2}\alpha\cos{(\omega t)}.$$
Analogicky střední hodnota $\hat{P}$ je
$$\langle\widehat{P}\rangle_\alpha (t) = -\sqrt{2}\hbar\alpha\sin{(\omega t)}.$$
Střední hodnoty tedy sledují klasickou trajektorii, jak lze ostatně očekávat z Ehrenfestových teorémů.
\begin{cvi}
Jak se s časem mění operátor polohy pro \cc i v elektromagnetickém poli?
\end{cvi}
\navod
$\dot{\hat Q_j} = \frac{i}{\hbar} [\hat H, \hat Q_j] = \ldots$, výsledek odpovídá dle principu korespondence (nikoliv překvapivě) výsledku v klasické mechanice.
