01ALG:Kapitola2

PDF	[ znovu generovat,	výstup z překladu ]	Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly	[ znovu generovat,	výstup z překladu ]	Přeložení pouze této kaptioly.
ZIP			Kompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01ALG

součást	akce		poslední editace			soubor
Hlavní dokument	editovat	Hlavní stránka dokumentu 01ALG	Karel.brinda	24. 8. 2010	14:49
Řídící stránka	editovat	Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků	Admin	7. 9. 2015	13:48
Header	editovat	Hlavičkový soubor	Karel.brinda	24. 10. 2010	19:54	header.tex
Kapitola0	editovat	Úvodní poznámky	Karel.brinda	26. 8. 2010	15:03	alg_note.tex
Kapitola1	editovat	Teorie množín	Snilard	6. 1. 2011	00:37	alg_set.tex
Kapitola2	editovat	Relace	Karel.brinda	25. 1. 2011	22:52	alg_rel.tex
Kapitola3	editovat	Uspořádané množiny	Sedlam18	24. 1. 2012	13:18	alg_set2.tex
Kapitola4	editovat	Algebra	Snilard	6. 1. 2011	00:59	alg_alg.tex
Kapitola5	editovat	Teorie grup	Pitrazby	17. 2. 2012	02:51	alg_group.tex
Kapitola6	editovat	Okruhy	Pitrazby	17. 2. 2012	03:00	alg_ring.tex
Kapitola7	editovat	Moduly a lineární algebry	Kosarvac	11. 11. 2011	15:50	alg_module.tex
Kapitola8	editovat	Teorie svazů	Pitrazby	17. 2. 2012	14:19	alg_lattice.tex
Kapitola9	editovat	Polynomy nad komutativními tělesy	Pitrazby	17. 2. 2012	14:21	alg_polynoms.tex
Kapitola10	editovat	Konečná tělesa	Pitrazby	17. 2. 2012	14:24	alg_finite.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01ALG}
\xxx{Relace}
 
\define Nechť $M_1\cldc M_n$ jsou libovolné množiny
Potom libovolné $\rho\sse M_1\times\cdots\times M_n$ nazveme \defined[relace]{$n$-ární relací
 na $M_1\times\cdots\times M_n$} a číslo $n$ \defined[arita]{aritou} relace $\rho$.
 
\define
\begin{enumerate}%XX
\item Každé $R\sse M^2$ nazýváme \defined[relace!binární]{binární relace} na $M^2$.
\item $R^\1:=\set{\anglevector{a,b}}{\anglevector{b,a}\in R}$ je \defined[relace!inverzní]{inverzní relace} k~$R$.
\item $R\circ S=RS:=\set{\anglevector{a,c}}{\EE b\in M (\anglevector{a,b}\in R \Land \anglevector{b,c}\in S)}$
 je \defined[součin!relací]{součin relací}.
\item $D_M=\set{\anglevector{a,a}}{a\in M}$ je \defined[diagonála]{diagonála}.
\end{enumerate}%XX
 
\define
\def\rEl#1#2#3#4{\anglevector{#1,#2}#3#4}
\def\rR#1#2{\rEl {#1}{#2}\in R}
Definujeme obecné vlastnosti, předpokládáme platnost výroků pro všechna $a,b,c\in M$.
Relace je:
\begin{enumerate}%XX
\item \defined[relace!reflexivní]{reflexivní} $\equivs \rR aa \equivs D_M\sse R$;
\item \defined[relace!transitivní]{transitivní} $\equivs \rR ab \Land \rR bc \Limpl \rR ac \equivs RR\sse R$;
\item \defined[relace!symetrická]{symetrická} $\equivs \rR ab \Lequiv \rR ba \equivs R^\1=R$;
\item \defined[relace!antisymetrická]{slabě antisymetrická}
 $\equivs \rR ab \Land \rR ba \Limpl a=b \equivs R^\1\cap R\sse D_M$;
\item \defined[relace!antisymetrická]{silně antisymetrická}
 $\equivs \rR ab \Limpl \rEl bc\notin R \equivs R^\1\cap R=\emptyset$;
\item \defined[relace!trichotonická]{trichotonická}
 $\equivs \rEl ab\notin R \Limpl (\rR ba \Lor a=b) \equivs R^\1\cup R\cup D_M=M^2$;
\end{enumerate}%XX
 
\define
Rozlišujeme následující typy relací:
\begin{enumerate}%XX
\item
 \defined[ekvivalence (teorie množin)]{ekvivalence} (zn. $\equiv$) je reflexivní, transitivní a symetrická.
 Ekvivalence rozděluje množinu na \defined{třídy ekvivalence}.
 Množina $M_{/{\equiv}}$ všech tříd ekvivalence se nazývá \defined{faktorová množina}
 nebo též \defined{faktor-množina} $M$ podle $\equiv$.
\item
 \defined[uspořádání]{uspořádání} (zn. $\leq$) je relace reflexivní, transitivní a slabě antisymetrická.
\item
 \defined[uspořádání!ostré]{ostré uspořádání} (zn. $<$) je relace transitivní a silně antisymetrická.
 Platí: $$a\leq b \Lequiv a=b \Lor a<b,$$ $$a<b \Lequiv a\neq b \Land a\leq b.$$
\item
 \defined[uspořádání!úplné]{úplné uspořádání} (\defined[uspořádání!lineární]{lineární uspořádání})
 je relace trichotonická (každé dva prvky jsou \defined[prvek (teorie množin)!srovnatelnost]{srovnatelné}),
 slabě antisymetrická, transitivní a reflexivní.
\end{enumerate}%XX