01ALG:Kapitola7
\nothing{ \begin{document} }
\xxx{Moduly a lineární algebry}
\xxxx{Moduly}
\define Mějme aditivní grupu $G=(M,+)$ a množinu \defined[skalár]{skalárů} $S\neq\emptyset$. Pro každé $\alpha\in S$ definujeme endomorfismus značený stejně $\map\alpha GG$. Pak systém $G_S:=(G,S)$ nazýváme \defined[grupa!s operátory]{grupa s~operátory}.
\define \defined[podgrupa!přípustná]{Přípustnou podgrupou} grupy s~operátory nazveme takové $H\sg G$,
že $(\AA\alpha\in S)(\AA a\in H\supdot)(\alpha a\in H\supdot)$.
\example \begin{enumerate} \item
Mějme libovolnou grupu $G$ a množinu celých čísel $\Z$ jako skaláry. Definujme pro $k\in\Z$ a $x\in G\supdot$ hodnotu $kx:=k\times x$. Pak $G_\Z$ je grupa s~operátory.
\item
Nechť $G$ je Abelova grupa.
Označme $\EM G$ množinu všech endomofrismů a definujme pro $h,g\in\EM G$ operace $(h\oplus g)(x):=h(x)+g(x)$
a $(h\odot g)(x):=h(g(x))$.
Pak $(\EM G, \oplus, \odot)$ tvoří okruh nazývaný \defined[okruh!endomordismů]{okruh endomorfismů}.
Pak přípustnou podgrupou grupy s~operátory $G_{\EM G}$ je taková podgrupa,
která je uzavřená vůči všem endomorfismům.
Přípustné podgrupy $G_{\EM G}$ se nazývají \defined[podgrupa!přípustná!úplně charakteristická]{úplně charakteristické}.
\item
Přípustné podgrupy $G_{\AM G}$ se nazývají \defined[podgrupa!přípustná!charakteristická]{charakteristické}.
\item
Přípustné podgrupy $G_{\IM G}$ se nazývají normální.
(Narozdíl od $\EM G$ nejsou $\AM G$ ani $\IM G$ okruhy, přesto mohou jejich prvky být skaláry.)
\end{enumerate}
\define \defined[modul]{Modulem} rozumíme grupu s~operátory $G_R$, kde $R$ je asociativní okruh s~jednotkou
a $(\AA \alpha,\beta\in R\supdot)(\AA a\in G\supdot)\bigl((\alpha+\beta)a=\alpha a+\beta a \Land \alpha(\beta a)=\beta(\alpha a)\bigr)$.
Modul $G_R$ nazveme \defined[modul!unitární]{unitární}, pokud $1\cdot a=a$.
\define Unitární modul $G_R$ nazveme \defined[prostor!vektorový]{vektorovým prostorem}, pokud $R$ je tělesem.
\example Vezměme $G=R\subplus$ a $R=R$. Pak $(R\subplus,R)$ je modulem.
\xxxx{Lineární algebry}
\define Mějme okruh $R$ a množinu skalárů $S\neq\emptyset$. Pak $(R,S)$ je \defined[okruh!s~operátory]{okruh s~operátory}, pokud $(R\subplus,S)$ je grupa s~operátory
a platí $(\AA\alpha\in S)(\AA a,b\in R\supdot)\bigl(\alpha(ab)=(\alpha a)b=a(\alpha b)\bigr)$.
\define \defined[algebra!lineární]{Lineární algebra} je dvojice $(R,S)$, kde $R$ je okruh, $S$ je těleso a platí: \begin{enumerate} \item
$(R\subplus,S)$ je unitární modul;
\item
$(R,S)$ je okruh s~operátory.
\end{enumerate}
\remark Pokud zapomeneme násobení skaláry, je lineární algebra okruhem. Pokud zapomeneme okruhové násobení, je vektorovým prostorem.
\example \begin{enumerate} \item
$(\C^{n,n},+,\cdot)$ je lineární algebra nad $\C$.
\item
$(\C^{n,n},+,\cdot)$ je lineární algebra nad $\R$.
\item
$C_R$ je lineární algebra $C$ nad $\R$.
\item
$R_R$ je lineární algebra $R$ nad $\R$.
\end{enumerate}
\define Algebry definované nad tělesem reálných čísel nazýváme \defined[algebra!lineární!reálná]{reálné}.
\remark Mějme $U$ těleso a $T\sg U$ jeho podtěleso. Pak $U$ je lineární algebra nad $T$ a $U\subplus$ je vektorový prostor nad $T$.
\xxxx{Algebra kvaternionů}
Vymyslel ji Hamilton v~Dublinu 16.~října 1843.
Vezměme algebru $\C^{2,2}$ nad $\R$ a uvažujme podmnožinu $$K:=\set{\matrixtwo ab{-\bar b}{\bar a}}{a,b\in\C}.$$ Ukážeme, že $K$ je podalgebra $\C^{2,2}$. Uzavřenost vůči sčítání matic je zjevná, stejně tak vůči násobení reálným číslem. Zbývá nám uzavřenost vůči součinu: $$\matrixtwo ab{-\bar b}{\bar a}\matrixtwo cd{-\bar d}{\bar c}= \matrixtwo{ac-b\bar d}{ad+b\bar c}{-\bar bc-\bar a\bar d\;}{\;-\bar bd+\bar ac}.$$ Tedy $K$ nad $\R$ je algebrou, kterou nazýváme \defined[algebra!kvaternionová]{kvaternionová algebra}
a její prvky \defined[kvaternion]{kvaterniony}.
Je asociativní, není komutativní, má jednotku $\matrixtwo1001$ a je algebrou s~dělením
(tedy $K$ jako okruh je tělesem) --- ukážeme.
Pro dané $a,b$ hledáme $c,d$, aby $ac-b\bar d=1$ a $\bar bc+\bar a\bar d=0$. Zbylé dvě rovnice jsou lineárně závislé na těchto dvou. Matice soustavy s~neznámými $c,\bar d$ je $\matrixtwo a{-b}{\bar b}{\bar a}$
a její determinant je $D=\abs a^2+\abs b^2$.
Tedy podle Cramerova pravidla je $c=\frac{\bar a}D$ a $\bar d=\frac{-\bar b}D$, tedy $d=\frac{-b}D$.
Zapišme $a=\alpha_1+\alpha_2i$ a $b=\beta_1+\beta_2i$, kde $\alpha_{1,2},\beta_{1,2}\in\R$. Pak $$\matrixtwo ab{-\bar b}{\bar a}
=\matrixtwo{\alpha_1+\alpha_2i}{\beta_1+\beta_2i}{-\beta_1+\beta_2i}{\alpha_1-\alpha_2i}
=\alpha_1\,\,\underbrace{\!\!\matrixtwo1001\!\!}_e\,\,+\alpha_2\underbrace{\matrixtwo i00{-i}}_i+\beta_1\underbrace{\matrixtwo01{-1}0}_j+\beta_2\underbrace{\matrixtwo0ii0}_k.$$
Tedy $\mathfunction{dim} K=4$ a $(e,i,j,k)$ tvoří bázi $K$. Prvky báze se násobí podle následující tabulky (první činitel vlevo, druhý nahoře):
$$\te{array}{{c||c|c|c|c|} \cdot&1&i&j&k\\\hline\hline 1&1&i&j&k\\\hline i&i&-1&k&-j\\\hline j&j&-k&-1&i\\\hline k&k&j&-i&-1\\\hline }$$
Označme $Q_8:=\{1,-1,i,-i,j,-j,k,-k\}$. Pak $Q_8$ s~násobením podle tabulky je grupa nazývaná \defined[grupa!kvaternionová]{kvaternionová grupa}. V~úvahu přicházejí čtyř- a dvouprvkové podgrupy. Jsou tři 4prvkové podgrupy, např. $\{1,-1,i,-i\}$, a jedna 2prvková $\{1,-1\}$. První 3 mají index 2 a jsou tudíž normální, taktéž 2prvková je normální. Tedy $Q_8$ je příklad neabelovské grupy, která má všechny podgrupy normální. Takové grupy se nazývají \defined[grupa!hamiltonovská]{hamiltonovské}.
\theorem (Frobenius) Buď $A$ reálná asociativní konečnědimenzionální lineární algebra bez dělitelů nuly. Je-li $A$ komutativní, potom je izomorfní s~algebrou $C_R$ nebo $R_R$. Není-li $A$ komutativní, pak je izomorfní s algebrou kvaternionů.
