01NM:Kapitola3

\section{Částečný problém vlastních čísel} Máme nalézt jedno, popřípadě několik zpravidla v absolutní hodnotě největších vlastních čísel a případně i odpovídající vlastní vektory. \subsection{Mocninná metoda} Zvolíme $\vec x^{(0)}$ tak, aby $e_1^T \vec x^{(0)}\ne 0$. Konstruujeme posloupnosti \begin{equation} \label{poslmoc} \rho_k=\vec e_1^T A \vk x\, \vec x^{(k+1)}=\frac{1}{\rho_k} A\vk x. \end{equation} Zřejmě platí \begin{equation} \label{momerok} \vec x^{(k+1)}=\frac{1}{\rho_k \rho_{k-1}} A^2 \vec x^{(k-1)}=\hdots=\frac{1}{\rho_k \rho_{k-1}\hdots\rho_0} A^{k+1} \vec x^{(0)}. \end{equation} Dále, dosadíme-li první výraz v (\ref{poslmoc}) do druhého výrazu tamtéž, obdržíme \begin{equation} \label{momeiks} \vec x^{(k+1)}=\frac{1}{e_1^T A\vk x}A\vk x. \end{equation} Vynásobíme-li tuto rovnici zleva vektorem $e_1^T$, dostaneme \begin{equation} \label{mocmet} (\forall k\in\N)(e_1^T \vk x=1). \end{equation}

1. Nechť $A$ má v absolutní hodnotě největší jediné vlastní číslo $\lambda_1$ s algebraickou i geometrickou násobností rovnou 1. Potom podle Jordanovy věty existuje regulární matice $T$ tak, že platí \[ A=T^{-1} \left ( \begin{matrix} \lambda_1\\ & J_2\\ & & \ddots \end{matrix} \right ) T. \] Odtud s využitím (\ref{mocmet}) a (\ref{momerok}) plyne \[ \rho_k=e_1^TA\vk x=\frac{e_1^TA\vk x}{e_1^T\vk x}=\frac{\rho_{k-1}\hdots\rho_0}{\rho_{k-1}\hdots\rho_0}\cdot\frac{e_1^TA^{k+1}\vec x^{(0)}}{e_1^TA^k\vec x^{(0)}}= \] \[ =\frac{e_1^TT^{-1}\left( \begin{matrix} \lambda_1^{k+1}\\ & J_2^{k+1}\\ & & \ddots \end{matrix} \right)T\vec x^{(0)}}{e_1^TT^{-1}\left( \begin{matrix} \lambda_1^k\\ & J_2^k\\ & & \ddots \end{matrix} \right)T\vec x^{(0)}}=\lambda_1\frac{e_1^TT^{-1}\left( \begin{matrix} 1\\ & (\frac{1}{\lambda_1}J_2)^{k+1}\\ & & \ddots \end{matrix} \right)T\vec x^{(0)}}{e_1^TT^{-1}\left( \begin{matrix} 1\\ & (\frac{1}{\lambda_1}J_2)^k\\ & & \ddots \end{matrix} \right)T\vec x^{(0)}}. \] Podle věty \ref{nppkgpm} konvergují diagonální bloky k nulové matici, a tak \[ \rho_k\stackrel{k\rightarrow\infty}{\longrightarrow}\lambda_1\frac{e_1^TT^{-1}\left( \begin{matrix} 1\\ & O \end{matrix} \right)T\vec x^{(0)}}{e_1^TT^{-1}\left( \begin{matrix} 1\\ & O \end{matrix} \right)T\vec x^{(0)}}=\lambda_1 \] za předpokladu, že $e_1^TT\vec x^{(0)}\ne 0$. Jednak je ale nalezení takového vektoru $\vec x^{(0)}$, že $e_1^TT\vec x^{(0)}=0$, dosti obtížné, jednak vše spraví chyby vzniklé zaokrouhlováním. Dále podle (\ref{momeiks}) a (\ref{momerok}) platí \[ \vk x=\frac{A\vec x^{(k-1)}}{e_1^TA\vec x^{(k-1)}}=\frac{\rho_{k-2}\hdots\rho_0}{\rho_{k-2}\hdots\rho_0}\cdot\frac{A^k\vec x^{(0)}}{e_1^TA^k\vec x^{(0)}}= \] \[ =\frac{T^{-1}\left( \begin{matrix} \lambda_1^k\\ & J_2^k\\ & & \ddots \end{matrix} \right)T\vec x^{(0)}}{e_1^TT^{-1}\left( \begin{matrix} \lambda_1^k\\ & J_2^k\\ & & \ddots \end{matrix} \right)T\vec x^{(0)}}=\frac{T^{-1}\left( \begin{matrix} 1\\ & (\frac{1}{\lambda_1}J_2)^k\\ & & \ddots \end{matrix} \right)T\vec x^{(0)}}{e_1^TT^{-1}\left( \begin{matrix} 1\\ & (\frac{1}{\lambda_1}J_2)^k\\ & & \ddots \end{matrix} \right)T\vec x^{(0)}}. \] Analogicky jako výše dostaneme \[ \vk x\stackrel{k\rightarrow\infty}{\longrightarrow}\frac{T^{-1}\left( \begin{matrix} 1\\ & O \end{matrix} \right)T\vec x^{(0)}}{e_1^TT^{-1}\left( \begin{matrix} 1\\ & O \end{matrix} \right)T\vec x^{(0)}}\stackrel{\text{ozn.}}{=}\vec y. \] Zjistili jsme tedy, že posloupnost $(\vk x)$ konverguje. Snadno se přesvědčíme, že její limitní vektor $\vec y$ je vlastním vektorem matice $A$ příslušejícím k vlastnímu číslu $\lambda_1$: Z (\ref{poslmoc}) totiž vyplývá vztah $\rho_k \vec x^{(k+1)}=A\vk x$ a jeho zlimicením dostáváme $\lambda_1 \vec y=A\vec y$.

2. Nechť $A$ má v absolutní hodnotě největší jediné vlastní číslo $\lambda_1$ s algebraickou i geometrickou násobností rovnou $p$. Potom podle Jordanovy věty existuje regulární matice $T$ tak, že platí \[ A=T^{-1} \left ( \begin{matrix} \underbrace{\begin{matrix} \lambda_1\\ & \ddots\\ & & \lambda_1 \end{matrix}}_{p\text{-krát}}\\ & J_2\\ & & \ddots \end{matrix} \right ) T \] a chování posloupností $(\rho_k)\, (\vk x)$ bude podobné jako v předchozím případě, pouze s následující záměnou matic: \[ \left ( \begin{matrix} 1\\ & 0\\ & & \ddots \end{matrix} \right ) \longrightarrow \left ( \begin{matrix} \underbrace{\begin{matrix} 1\\ & \ddots\\ & & 1 \end{matrix}}_{p\text{-krát}}\\ & 0\\ & & \ddots \end{matrix} \right), \] tj. tam, kde v bodě 1 vystupovala první matice, bude nyní vystupovat druhá.

3. Nechť $A$ má v absolutní hodnotě největší dvě vlastní čísla $\lambda_1\, -\lambda_1$ s algebraickou i geometrickou násobností rovnou 1. Potom podle Jordanovy věty existuje regulární matice $T$ tak, že platí \begin{equation} \label{tretipr} A=T^{-1} \left ( \begin{matrix} \lambda_1\\ & -\lambda_1\\ & & J_2\\ & & & \ddots \end{matrix} \right ) T. \end{equation} Podobnou cestou jako v případě 1 dostaneme \[ \rho_k=\frac{e_1^TT^{-1}\left( \begin{matrix} \lambda_1^{k+1}\\ & (-\lambda_1)^{k+1}\\ & & J_2^{k+1}\\ & & & \ddots \end{matrix} \right)T\vec x^{(0)}}{e_1^TT^{-1}\left( \begin{matrix} \lambda_1^k\\ & (-\lambda_1)^k\\ & & J_2^k\\ & & & \ddots \end{matrix} \right)T\vec x^{(0)}}= \] \[ =\lambda_1\frac{e_1^TT^{-1}\left( \begin{matrix} 1\\ & (-1)^{k+1}\\ & & (\frac{1}{\lambda_1}J_2)^{k+1}\\ & & & \ddots \end{matrix} \right)T\vec x^{(0)}}{e_1^TT^{-1}\left( \begin{matrix} 1\\ & (-1)^k\\ & & (\frac{1}{\lambda_1}J_2)^k\\ & & & \ddots \end{matrix} \right)T\vec x^{(0)}}. \] Tato posloupnost obecně diverguje, vybrané posloupnosti $\rho_{2i}\, \rho_{2i+1}$ však konvergují: \[ \rho_{2i}\stackrel{i\rightarrow\infty}{\longrightarrow}\lambda_1\frac{e_1^TT^{-1}\left( \begin{matrix} 1\\ & -1\\ & & O \end{matrix} \right)T\vec x^{(0)}}{e_1^TT^{-1}\left( \begin{matrix} 1\\ & 1\\ & & O \end{matrix} \right)T\vec x^{(0)}}\, \rho_{2i+1}\stackrel{i\rightarrow\infty}{\longrightarrow}\lambda_1\frac{e_1^TT^{-1}\left( \begin{matrix} 1\\ & 1\\ & & O \end{matrix} \right)T\vec x^{(0)}}{e_1^TT^{-1}\left( \begin{matrix} 1\\ & -1\\ & & O \end{matrix} \right)T\vec x^{(0)}} \] a platí $\rho_{2i} \rho_{2i+1}\rightarrow \lambda_1^2$.

Posloupnosti $A\vk x+\lambda_1\vk x$, resp. $A\vk x-\lambda_1\vk x$ aproximují vlastní vektory příslušné k vlastním číslům $\lambda_1$, resp. $-\lambda_1$, i když nekonvergují. Dokážeme například, že posloupnost $A\vec x^{(2i)}+\lambda_1\vec x^{(2i)}$ konverguje k vlastnímu vektoru přísl. k vlastnímu číslu $\lambda_1$:

Podle (\ref{poslmoc}) je \[ A\vec x^{(2i)}+\lambda_1\vec x^{(2i)}=\frac{A^2\vec x^{(2i-1)}+\lambda_1A\vec x^{(2i-1)}}{e_1^TA\vec x^{(2i-1)}}=\frac{A^{2i+1}\vec x^{(0)}+\lambda_1A^{2i}\vec x^{(0)}}{e_1^TA^{2i}\vec x^{(0)}}= \] \[ =\frac{T^{-1}\left[\left( \begin{matrix} \lambda_1^{2i+1}\\ & (-\lambda_1)^{2i+1}\\ & & J_2^{2i+1}\\ & & & \ddots \end{matrix} \right)+\lambda_1\left( \begin{matrix} \lambda_1^{2i}\\ & (-\lambda_1)^{2i}\\ & & J_2^{2i}\\ & & & \ddots \end{matrix} \right)\right]T\vec x^{(0)}}{e_1^TT^{-1}\left( \begin{matrix} \lambda_1^{2i}\\ & (-\lambda_1)^{2i}\\ & & J_2^{2i}\\ & & & \ddots \end{matrix} \right)T\vec x^{(0)}}= \] \[ =\lambda_1\frac{T^{-1}\left( \begin{matrix} 2\\ & 0\\ & & (\frac{1}{\lambda_1}J_2)^{2i+1}+(\frac{1}{\lambda_1}J_2)^{2i}\\ & & & \ddots \end{matrix} \right)T\vec x^{(0)}}{e_1^TT^{-1}\left( \begin{matrix} 1\\ & 1\\ & & (\frac{1}{\lambda_1}J_2)^{2i}\\ & & & \ddots \end{matrix} \right)T\vec x^{(0)}}\stackrel{i\rightarrow\infty}{\longrightarrow}\frac{\lambda_1}{\alpha}T^{-1}\left( \begin{matrix} 2\\ & O \end{matrix} \right)T\vec x^{(0)} \] a tento limitní vektor je vlastním vektorem matice $A$ příslušejícím k vlastnímu číslu $\lambda_1$. S využitím (\ref{tretipr}) totiž dostaneme \[ A\left[\frac{\lambda_1}{\alpha}T^{-1}\left( \begin{matrix} 2\\ & O \end{matrix} \right)T\vec x^{(0)}\right]=\frac{\lambda_1}{\alpha}T^{-1}\left( \begin{matrix} 2\lambda_1\\ & O \end{matrix} \right)T\vec x^{(0)}=\lambda_1\frac{\lambda_1}{\alpha}T^{-1}\left( \begin{matrix} 2\\ & O \end{matrix} \right)T\vec x^{(0)}. \]

4. Nechť $A$ má v absolutní hodnotě největší dvě vlastní čísla $\lambda_1\, \overline\lambda_1$ s algebraickou i geometrickou násobností rovnou 1. Potom podle Jordanovy věty existuje regulární matice $T$ tak, že platí \[ A=T^{-1} \left ( \begin{matrix} \lambda_1\\ & \overline\lambda_1\\ & & J_2\\ & & & \ddots \end{matrix} \right ) T. \] Podobně jako výše zjistíme, že posloupnosti (\ref{poslmoc}) v tomto případě nekonvergují, protože se $(\frac{\overline\lambda_1}{\lambda_1})^k$ a $(\frac{\lambda_i}{\lambda_1})^k\, i>1$ točí v jednotkové kružnici. \begin{tvrz} Buď $t^2+pt+q$ polynom, který má za kořeny $\lambda_1\, \overline\lambda_1$. Potom \[ A^2\vk x+pA\vk x+q\vk x\stackrel{k\rightarrow\infty}{\longrightarrow}\vec o, \] tj. pro vysoká $k$ je soubor vektorů $(A^2\vk x\, A\vk x, \vk x)$ téměř lineárně závislý. \begin{proof} Platí $A^2\vk x+pA\vk x+q\vk x=$ \[

\frac{1}{e_1^TA\vec x^{(k-1)}}[A^3+pA^2+qA]\vec x^{(k-1)}=\frac{[A^{k+2}+pA^{k+1}+qA^k]\vec x^{(0)}}{e_1^TA^k\vec x^{(0)}}

\] \[ =\frac{T^{-1}\left( \begin{matrix} \lambda_1^{k+2}+p\lambda_1^{k+1}+q\lambda_1^k\\ & \overline\lambda_1^{k+2}+p\overline\lambda_1^{k+1}+q\overline\lambda_1^k\\ & & J_2^{k+2}+pJ_2^{k+1}+qJ_2^k\\ & & & \ddots \end{matrix} \right)T\vec x^{(0)}}{e_1^TT^{-1}\left( \begin{matrix} \lambda_1^k\\ & \overline\lambda_1^k\\ & & J_2^k\\ & & & \ddots \end{matrix} \right)T\vec x^{(0)}}= \] \[ =\frac{T^{-1}\left( \begin{matrix} \lambda_1^2+p\lambda_1+q\\ & (\frac{\overline\lambda_1}{\lambda_1})^k(\overline\lambda_1^2+p\overline\lambda_1+q)\\ & & (\frac{1}{\lambda_1}J_2)^k(J_2^2+pJ_2+q)\\ & & & \ddots \end{matrix} \right)T\vec x^{(0)}}{e_1^TT^{-1}\left( \begin{matrix} 1\\ & (\frac{\overline\lambda_1}{\lambda_1})^k\\ & & (\frac{1}{\lambda_1}J_2)^k\\ & & & \ddots \end{matrix} \right)T\vec x^{(0)}}\stackrel{k\rightarrow\infty}{\longrightarrow}\vec o, \] neboť $\lambda_1^2+p\lambda_1+q=\overline\lambda_1^2+p\overline\lambda_1+q=0$ a stále předpokládáme $e_1^TT\vec x^{(0)}\ne 0$. \end{proof} \end{tvrz} Postup je tedy následující: Protože platí $A^2\vk x=\rho_{k+1}\rho_k\vec x^{(k+2)}\, A\vk x=\rho_k\vec x^{(k+1)}$, stačí sledovat lineární závistlost tří po sobě jdoucích členů posloupnosti $\vk x$ pro vysoké indexy $k$, z nich vypočítat koeficienty $p\, q$ a vlastní čísla $\lambda_1\, \overline\lambda_1$ nalézt jako kořeny polynomu $t^2+pt+q$.

Posloupnosti $A\vk x-\lambda_1\vk x$, resp. $A\vk x-\overline\lambda_1\vk x$ aproximují vlastní vektory příslušné k vlastním číslům $\overline\lambda_1$, resp. $\lambda_1$. Dokážeme první z těchto případů:

Platí $A^2\vk x+pA\vk x+q\vk x\approx\vec o$, přičemž $p=-(\lambda_1+\overline\lambda_1)$ a $q=\lambda_1\overline\lambda_1$. Po dosazení dostaneme $A^2\vk x-\lambda_1A\vk x\approx\overline\lambda_1A\vk x-\lambda_1\overline\lambda_1\vk x$, tj. $A(A\vk x-\lambda_1\vk x)\approx$\linebreak[4]$\approx\overline\lambda_1(A\vk x-\lambda_1\vk x)$.

5. Nechť $A$ má v absolutní hodnotě největší jediné vlastní číslo $\lambda_1$ s algebraickou násobností rovnou 2 a geometrickou násobností rovnou 1. Potom podle Jordanovy věty existuje regulární matice $T$ tak, že platí \[ A=T^{-1} \left ( \begin{matrix} \lambda_1\\ 1 & \lambda_1\\ & & J_2\\ & & & \ddots \end{matrix} \right ) T. \] Tentokrát dostaneme \[ \rho_k=\frac{e_1^TT^{-1}\left( \begin{matrix} \lambda_1^{k+1}\\ (k+1)\lambda_1^k & \lambda_1^{k+1}\\ & & J_2^{k+1}\\ & & & \ddots \end{matrix} \right)T\vec x^{(0)}}{e_1^TT^{-1}\left( \begin{matrix} \lambda_1^k\\ k\lambda_1^{k-1} & \lambda_1^k\\ & & J_2^k\\ & & & \ddots \end{matrix} \right)T\vec x^{(0)}}= \] \[ =\frac{e_1^TT^{-1}\left( \begin{matrix} \lambda_1\\ k+1 & \lambda_1\\ & & (\frac{1}{\lambda_1}J_2)^k J_2\\ & & & \ddots \end{matrix} \right)T\vec x^{(0)}}{e_1^TT^{-1}\left( \begin{matrix} 1\\ \frac{k}{\lambda_1} & 1\\ & & (\frac{1}{\lambda_1}J_2)^k\\ & & & \ddots \end{matrix} \right)T\vec x^{(0)}}. \] Poslední výraz má pro $k\rightarrow\infty$ stejnou limitu jako výraz \[ \frac{e_1^TT^{-1}\left( \begin{matrix} \lambda_1\\ k+1 & \lambda_1\\ & & O\\ \end{matrix} \right)T\vec x^{(0)}}{e_1^TT^{-1}\left( \begin{matrix} 1\\ \frac{k}{\lambda_1} & 1\\ & & O\\ \end{matrix} \right)T\vec x^{(0)}}= \lambda_1\left[1+\frac{e_1^TT^{-1}\left( \begin{matrix} 0\\ \frac{1}{\lambda_1} & 0\\ & & O \end{matrix} \right)T\vec x^{(0)}}{e_1^TT^{-1}\left( \begin{matrix} 1\\ \frac{k}{\lambda_1} & 1\\ & & O \end{matrix} \right)T\vec x^{(0)}}\right]\stackrel{k\rightarrow\infty}{\longrightarrow}\lambda_1. \]

\begin{remark} Právě popsaný případ se od předchozích liší rychlostí konvergence. Ta v případech 1--4 závisela na rychlostech konvergencí $(\frac{\lambda_i}{\lambda_1})^k\rightarrow 0\, i>1$; v případě 5 je konvergence úměrná $1/k$, tedy výrazně pomalejší. Považujeme-li 5 za 4, získáme výsledek rychleji. \end{remark} \begin{remark} Členy posloupnosti $(\vk x)$ jsou pouhými násobky tzv. Krylovovy posloupnosti $(A^k\vec x^{(0)})$. Stačilo by tedy počítat členy této posloupnsoti. Přesto je i v tomto případě potřeba alespoň čas od času dělit vhodnou konstantou, aby nedošlo k přetečení nebo naopak zaokrouhlení na nulu. \end{remark} \subsection{Redukční metoda} Představte si, že znáte jedno vlastní číslo $\lambda$ matice $A$ a k němu příslušející vlastní vektor $\vec u=(u_1\, \hdots\, u_n)^T$. Jestliže vás zajímá ještě nějaké jiné vlastní číslo (a k němu příslušející vlastní vektor) této matice, potom redukční metoda je tím, co potřebujete.

Bez újmy na obecnosti buď $u_1\ne 0$. Označme \[ P=\left( \begin{matrix} u_1\\ u_2 & 1\\ \vdots & & \ddots\\ u_n & & & 1 \end{matrix} \right)=(\vec u\, \vec e^{(2)}\, \hdots\, \vec e^{(n)}). \] Potom \[ P^{-1}=\left( \begin{matrix} \frac{1}{u_1}\\ \frac{-u_2}{u_1} & 1\\ \vdots & & \ddots\\ \frac{-u_n}{u_1} & & & 1\\ \end{matrix} \right) \] a $AP=(A\vec u\, A\vec e^{(2)}\, \hdots\, A\vec e^{(n)})$, odkud \[ P^{-1}AP=\left( \begin{matrix} \frac{1}{u_1}\\ \frac{-u_2}{u_1} & 1\\ \vdots & & \ddots\\ \frac{-u_n}{u_1} & & & 1\\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} \lambda_1 u_1 & a_{12} & \hdots & a_{1n}\\ \lambda_1 u_2 & a_{22} & \hdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ \lambda_1 u_n & a_{n2} & \hdots & a_{nn}\\ \end{matrix} \right)= \] \[ =\left( \begin{matrix} \lambda_1 & \frac{a_{12}}{u_1} & \hdots & \frac{a_{1n}}{u_1}\\ 0 & a_{22}-\frac{u_2}{u_1}a_{12} & \hdots & a_{2n}-\frac{u_2}{u_1}a_{1n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0 & a_{n2}-\frac{u_n}{u_1}a_{12} & \hdots & a_{nn}-\frac{u_n}{u_1}a_{1n}\\ \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} \lambda_1 & \frac{a_{12}}{u_1} & \hdots & \frac{a_{1n}}{u_1}\\ \\ \vec o & & B\\ \\ \end{matrix} \right), \] přičemž $B$ jsme označili sumbatici, která vznikne z matice $P^{-1}AP$ vynecháním prvního řádku a sloupce. Matice $A$ je podobná matici $P^{-1}AP$, má proto stejný charakteristický polynom $\abs{A-\lambda I}=(\lambda_1-\lambda)\abs{B-\lambda I}$. Matice $B$ má tedy stejné spektrum jako matice $A$ až na to, že vlastní číslo $\lambda_1$ v něm má o jedničku menší algebraickou násobnost. Speciálně, je-li $\lambda_1$ jednoduché vlastní číslo matice $A$, potom to není vlastní číslo matice $B$.

Spočteme-li (např. mocninnou metodou) nějaké vlastní číslo $\lambda_2\ne\lambda_1$ matice $B$ a k němu příslušející vlastní vektor $\vec z=(z_2\, \hdots\, z_n)^T$, získáme vlastní vektor matice $A$ příslušející k vlastnímu číslu $\lambda_2$ takto: Hledejme $z_1\in\mathbbm C$ tak, aby $\kcislo{z_1}{\vec z}$ byl vlastní vektor matice $P^{-1}AP$. Musí platit \[ \left( \begin{matrix} \lambda_1 & \frac{a_{12}}{u_1} & \hdots & \frac{a_{1n}}{u_1}\\ \vec o & & B \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} z_1\\ \vec z \end{matrix} \right)=\lambda_2\kcislo{z_1}{\vec z}, \] \[ \left( \begin{matrix} \lambda_1z_1+\frac{1}{u_1}(a_{12}z_2+\hdots+a_{1n}z_n)\\ \lambda_2\vec z \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \lambda_2 z_1\\ \lambda_2\vec z \end{matrix} \right), \] \[ z_1=\frac{a_{12}z_2+\hdots+a_{1n}z_n}{(\lambda_2-\lambda_1)u_1}. \] Přechod od vlastního vektoru matice $P^{-1}AP$ k vlastnímu vektoru matice $A$ je již hračkou: Stačí vztah \[ P^{-1}AP\left( \begin{matrix} z_1\\ \vec z \end{matrix} \right)=\lambda_2\left( \begin{matrix} z_1\\ \vec z \end{matrix} \right) \] vynásobit zleva maticí $P$ a dozvíme se, že vlastním vektorem matice $A$ příslušejícím k vlastnímu číslu $\lambda_2$ je vektor \[ P\left( \begin{matrix} z_1\\ \vec z \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} u_1\\ u_2 & 1\\ \vdots & & \ddots\\ u_n & & & 1 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} z_1\\ z_2\\ \vdots\\ z_n \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} z_1u_1\\ z_1u_2+z_2\\ \vdots\\ z_1u_n+z_n \end{matrix} \right)=z_1\vec u+\kcislo{0}{\vec z}. \] \begin{remark} K řešení úplného problému vlastních čísel se redukční metoda nehodí, neboť v praxi by se každé další vlastní číslo počítalo se stále menší přesností. \end{remark}

% následující řádky upravují pouze zobrazení stránky na wiki na obsah dokumentu nemají vliv - prosím neměnit ! %\parentlatexfile{01NMskriptum} %\usewikiobsah{01NM:Obsah} %\parentlatexpreamble{01NM:Preamble} .................................. odkaz na hlavičkovou stránku dokumentu, jehož vložení umožní překlad částečného pdf, tj. pdf, které vznikne pouze z této stránky