01FA2:Kapitola7
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 1. 8. 2010, 00:30, kterou vytvořil Admin (diskuse | příspěvky) (Založena nová stránka: %\wikiskriptum{01FA2} \section{Samosdružené rozšíření symetrických operátorů} \[\Theta(A)=\{x\in\Dom A^*|(x,A^*x)\in\R\}\] \begin{lemma} Nechť $A\subset A^*...)
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01FA2
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01FA2 | Gromadan | 30. 9. 2015 | 13:24 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Gromadan | 30. 9. 2015 | 13:40 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Gromadan | 30. 9. 2015 | 13:44 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Úvod | Kubuondr | 8. 6. 2018 | 08:43 | kapitola0.tex | |
Kapitola1 | editovat | Fundamentální věty funkcionální analýzy | Kubuondr | 1. 6. 2018 | 09:49 | kapitola1.tex | |
Kapitola10 | editovat | Holomorfní vektorové funkce | Kubuondr | 4. 6. 2018 | 19:19 | kapitola2.tex | |
Kapitola2 | editovat | Spektrum uzavřeného operátoru | Kubuondr | 2. 6. 2018 | 08:16 | kapitola3.tex | |
Kapitola3 | editovat | Spektrální rozklad pro samosdružené omezené operátory | Kubuondr | 8. 6. 2018 | 08:13 | kapitola4.tex | |
Kapitola8 | editovat | Kompaktní operátory | Gromadan | 30. 9. 2015 | 13:35 | kapitola5.tex | |
Kapitola9 | editovat | Hilbert--Schmidtovy operátory | Gromadan | 30. 9. 2015 | 13:33 | kapitola6.tex | |
Kapitola5 | editovat | Neomezené operátory | Kubuondr | 6. 2. 2019 | 09:05 | kapitola7.tex | |
Kapitola6 | editovat | Normální operátory | Admin | 1. 8. 2010 | 00:30 | kapitola8.tex | |
Kapitola7 | editovat | Samosdružené rozšíření symetrických operátorů | Kubuondr | 8. 2. 2019 | 10:08 | kapitola9.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01FA2} \section{Samosdružené rozšíření symetrických operátorů} \[\Theta(A)=\{x\in\Dom A^*|(x,A^*x)\in\R\}\] \begin{lemma} Nechť $A\subset A^*$ a $\Im\lambda\not=0$. Potom $A$ je uzavřený, právě když $\Ran(A-\lambda I)$ je uzavřený. \begin{proof} \begin{enumerate} \item Buď $\lambda=\alpha+\im\beta$, $\beta\not=0$. Protože $A\subset\A^*$, pro každé $x\in\Dom A$ je \[\norm{(A-\lambda)x}^2=\norm{(A-\alpha)x}^2+\abs{\beta}^2\norm{x}^2\] a $\norm{(A-\lambda)x}\ge\abs{\beta}\norm{x}$. Buď $y_n=(A-\lambda)x_n\in\Ran(A-\lambda)$, nechť $y_n\to y$. Potom \[\norm{y_n-y_m}=\norm{(A-\lambda)(x_n-x_m)}\ge\abs{\beta}\norm{x_n-x_m}\] a tedy $x_n$ je cauchyovská a $x_n\to x$. Z~uzavřenosti pak plyne $x\in\Dom A$ a $y=Ax$. \item Nechť $x_n\in\Dom(A-\lambda)=\Dom A$, $x_n\to x$, $y_n=(A-\lambda)x_n\to y$. Z~předpokladu plyne, že $y\in\Ran(A-\lambda)$ a tedy existuje $x'\in\Dom A$ tak, že $y=(A-\lambda)x'$. Dále je \[\norm{y-y_n}=\norm{(A-\lambda)(x'-x_n)}\ge\abs{\beta}\norm{x'-x_n'}\] a proto $x_n\to x'$, $x=x'\in\Dom A-\lambda$ a $(A-\lambda)x=(A-\lambda)x'=y$. $A-\lambda$ je proto uzavřený a $A$ také.\qed \end{enumerate} \noqed \end{proof} \end{lemma} \begin{lemma} Nechť $\uz A=A\subset A^*$ a $\Im\lambda\not=0$. Potom $\H=\Ran(A-\lambda)\oplus\Ker(A^*-\overline\lambda)$. \begin{proof} Obecně platí $\H=\uz{\Ran B}\oplus\Ker B^*$. Když položíme $B=A-\lambda$, z~předchozí věty vyplývá $\uz{\Ran(A-\lambda)}=\Ran(A-\lambda)$ a z~toho plyne tvrzení věty. \end{proof} \end{lemma} \begin{lemma} Nechť $\uz A=A\subset A^*$. Potom \[\Dom A^*=\Dom A\dotp\Ker(A^*-\im)\dotp\Ker(A^*+\im).\] \begin{proof} \begin{enumerate} \item Buď $x\in\Dom A^*\supset\Dom A$. Protože podle předchozí věty je $\H=\Ran(A-\im)\oplus\Ker(A^*+\im)$, lze psát \[A^*x-\im x=Ay-\im y+z,\] kde $y\in\Dom A$ a $z\in\Ker(A^*+\im)\iff z\in\Dom A^*\wedge A^*z=-\im z$. Protože $\im A^*z=z$, je $z=\frac12z+\frac{\im}{2}A^*z$. Dále $A\subset A^*$, takže $A^*y=Ay$. Potom \[A^*x-\im x=A^*y-\im y+\frac12z+\frac{\im}{2}A^*z,\] po úpravě \[A^*\left(x-y-\frac{\im}2z\right)=\im x-\im y+\frac12z= \im\left(x-y-\frac{\im}2z\right).\] Z~toho plyne, že $v_+=x-y-\frac{\im}2z\in\Ker(A^*-\im)$, přímo z~předpokladu $v_-=\frac{\im}2z\in\Ker(A^*+\im)$, takže hledaný rozklad je \[x=y+ v_+ + v_-.\] \item Důkaz direktnosti: Nechť $x=y+v_++v_-=y'+v_+'+v_-'$. Potom ($A^*y=Ay$) \[(A^*-\im)x=(A-\im)y-2\im v_-=(A-\im)y'-2\im v_-'\] a \[\Ran(A-\im)\oplus\Ker(A^*+\im)\ni\underbrace{(A-\im)(y-y')}_0+ \underbrace{(-2\im v_-+2\im v_-')}_0=0.\] Proto $v_-=v_-'$. Podobně se ukáže $v_+=v_+'$ a dohromady z~toho pak plyne $y=y'$.\qed \end{enumerate} \noqed \end{proof} \end{lemma} \begin{dusl} Nechť $\uz A=A\subset A^*$. Potom $A=A^*\iff\Ker(A^*-\im)=\Ker(A^*+\im)=\{0\}$. \end{dusl} \begin{define} $A\subset A^*$ je v~{\bf podstatě samosdružený}, právě když $\uz A={\uz A}^*$. \end{define} \begin{remark} $A\subset A^*$ je v~podstatě samosdružený, právě když $A=A^*\iff\Ker(A^*-\im)=\Ker(A^*+\im)=\{0\}$. \begin{proof} Protože $A^*=(\uz A)^*$, stačí v~předchozím důsledku položit $A=\uz A$. \end{proof} \end{remark} \begin{define} Buď $A\subset A^*$, pak $\Ker(A^*-\im)$, $\Ker(A^*+\im)$ nazýváme {\bf defektní podprostory}, $m_{\pm}=\dim\Ker(A^*\mp\im)\in\Z_+\cup\{\infty\}$ nazýváme {\bf indexy defektu}. \end{define} \begin{lemma} Nechť $\uz A=A\subset A^*$. Potom \[\Theta(A)=\{y+v_+ + v_-\in\Dom A\dotp\Ker(A^*-\im)\dotp\Ker(A^*+\im)| \norm{v_+}=\norm{v_-}\}.\] \begin{proof} Buď $x\in y+v_++v_-\in\Dom A^*$. Pak \[\begin{split} (x,A^*x)&=(y+ v_+ +v_-,Ay+\im v_+ - \im v_-)=\\ &=(y,Ay)+\underbrace{(v_+ + v_-,Ay)}_{(A^*(v_++v_-),y)}+ \im(y+v_++v_-,v_+-v_-)=\\ &=(y,Ay)-\im(v_+ - v_-,y)+\im(y,v_+-v_-)+ \im(v_+ + v_-,v_+ - v_-)=\\ &=\underbrace{(y,Ay)}_{\in\R}- \underbrace{\im((v_+ - v_-,y)-(y,v_+-v_-))}_{\in\R}+\\ &\quad+\underbrace{\im((v_-,v_+)-(v_+,v_-))}_{\in\R}+ \underbrace{\im\left(\norm{v_+}^2-\norm{v_-}^2\right)}_{\in\im\R}. \end{split}\] Proto $(x,A^*x)\in\R\iff\norm{v_+}=\norm{v_-}$. \end{proof} \end{lemma} \begin{theorem} Nechť $\uz A\subset A\subset A^*$. Potom pro všechna symetrická rozšíření $B$ operátoru $A$ \begin{enumerate} \item existuje $V\subset\Ker(A^*-\im)$ a izometrie $U:V\mapsto U(V)\subset\Ker(A^*+\im)$, \item $\Dom B=\Dom A+(I+U)V$, \item $B(y+v+Uv)=Ay+\im v-\im Uv$, kde $y\in\Dom A$, $v\in V$. \end{enumerate} \begin{proof} \begin{enumerate} \item Ukážeme, že tímto předpisem je zadáno symetrické rozšíření $A$. Zřejmě je $\Dom A\subset\Dom B$ (stačí položit $v=0$). Dále je-li $x\in\Dom B$, lze jej zapsat jako $x=y+v+Uv$ a protože $v\in\Ker (A^*-\im)$, $Uv\in\Ker(A^*+\im)$ a $U$ je izometrie ($\norm{Uv}=\norm{v}$), je $x\in\Theta(A)$. Konečně \[A^*x=Ay+A^*v+A^*(Uv)=Ay+\im v-\im Uv=Bx,\] takže $B\subset A^*$. Protože $\Dom B\subset\Theta(A)$, je $B\subset B^*$. Z~toho celkem plyne, že $B$ je symetrické rozšíření $A$. \item Nechť $A\subset B\subset B^*\subset A^*$. Pak \[\Dom B\subset\Dom A^*=\{y+v_++v_-|y\in\Dom A,v_{\pm}\in\Ker(A^*\mp \im)\}.\] Je-li $v_++v_-\in\Dom B$, potom $v_-$ je jednoznačně určeno $v_+$: Buď $v_++v_-'\in\Dom B$. Pak $0+(v_- - v_-')\in\Dom B\subset\Theta(A)\implies 0=\norm{v_--v_-'}$, tj. $v_-'=v_-$. Položme \[V=\{v_+\in\Ker (A^*-\im)|\exists v_-\in\Ker(A^*+\im),\ v_++v_-\in\Dom B\},\] $U:V\mapsto\Ker(A^*+\im)$, $v_+\mapsto v_-$ tak, že $v_++v_-\in\Dom B$. Z~předchozího lemmatu plyne $\norm{v_-}=\norm{v_+}$, tj. $U$ je izometrie. Dále $\Dom B=\{y+v_++Uv_+|y\in\Dom A,\ v_+\in V\}$ a \[B(y+v_++Uv_+)=A^*(y+v_++Uv_+)=Ay+\im v_+-\im Uv_+.\qed\] \end{enumerate} \noqed \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} Operátor $B$ z~předchozí věty je uzavřený, právě když $V=\uz V$. \begin{proof} Buď $y\in\Dom B$, $y=x+v+Uv$. Potom $(B+\im)y=(A+\im)x+2\im v$ a $\Ran(B+\im)=\Ran(A+\im)\oplus V$ (protože $V\subset\Ker(A^*-\im)$, je to OG součet). Jelikož $A=\uz A$, je $\Ran(A+\im)$ uzavřený a tedy $\Ran(B+\im)$ je uzavřený, právě když $V=\uz V$. \end{proof} \end{remark} \begin{remark} $\Ran(B+\im)=\Ran(A+\im)\oplus V$. Předpokládejme $B=\uz B$, \[\H=\Ran(B+\im)\oplus\Ker(B^*-\im)= \Ran(A+\im)\oplus V\oplus\Ker(B^*-\im)\] \[\H=\Ran(A+\im)\oplus\Ker(A^*-\im)\] $\Ker(A^*-\im)=\Ker(B^*-\im)\oplus V$, obdobně $\Ker(A^*+\im)=\Ker(B^*+\im)\oplus U(V)$. \end{remark} \begin{dusl} Je-li $B=\uz B$ a $A=\uz A\subset B\subset B^*\subset A^*$ popsaný v~předchozí větě, potom $\Ker(A^*-\im)=\Ker(B^*-\im)\oplus V$, $\Ker(A^*+\im)=\Ker(B^*+\im)\oplus U(V)$. \end{dusl} \begin{dusl} \begin{enumerate} \item $A=\uz A\subset A^*$ má netriviální symetrické rozšíření, právě když $m_+(A)>0$, $m_-(A)>0$. \begin{proof} $\dim V=\dim U(V)\le\min\{m_+(A),m_-(A)\}$. \end{proof} \item $A$ má samosdružené rozšíření, právě když $m_+(A)=m_-(A)$. Všechna samosdružená rozšíření jsou v~jednoznačném vztahu s~unitárními zobrazeními $U:\Ker(A^*-\im)\mapsto\Ker(A^*+\im)$. \end{enumerate} \end{dusl}