Součásti dokumentu 01MAA3
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA3}
\section{Metrika}
Touto kapitolou dle Vrány začíná \uv{látka z druhého ročníku}. Na úvod si připomeneme základní definici z lineární algebry. Z té se samozřejmě nezkouší, ale je vhodné ji porovnat s~následujícími definicemi.
\index{skalární součin}
\index{unitární prostor}
\begin{define}
\label{defunit}
Buď $V$ vektorový prostor nad $\C$, buď definováno zobrazení
$\la\cdot,\cdot\ra: V \times V \to \C$ takové, že platí:
\begin{enumerate}[(I)]
\setlength{\itemsep}{2pt}
\item pozitivní definitnost: $\forall\vec x\in V \; \la \vec x,\vec x\ra \ge 0$, přičemž $\la \vec x, \vec x \ra = 0 \Leftrightarrow \vec x = \vec 0$,
\item hermitovskost: $\forall\vec x,\vec y\in V \; \la \vec x,\vec y\ra=\uz{\la \vec y,\vec x \ra}$,
\item levá linearita: $\forall\vec x,\vec y\in V, \forall\lambda\in\C \; \la \lambda \vec x+\vec y,\vec z\ra =\lambda\la \vec x,\vec z\ra + \la \vec y,\vec z\ra$,
\end{enumerate}
pak zobrazení $\la \cdot,\cdot \ra$ nazveme {\bf skalární součin} a dvojici $(V,\la\cdot,\cdot\ra)$ nazveme {\bf pre-Hilbertův prostor}.
\end{define}
\index{norma}
\index{normovaný prostor}
\begin{define}
\label{defnorm}
Buď $V$ vektorový prostor nad $T$, buď definováno zobrazení
$\norm{\cdot}:V\to \Rop$ takové, že platí:
\begin{enumerate}[(I)]
\setlength{\itemsep}{2pt}
\item pozitivní definitnost: $\forall\vec x\in V \; \norm{\vec x}=0\iff \vec x=\vec 0$,
\item pozitivní homogenita: $\forall\vec x\in V, \forall\lambda\in T \; \norm{\lambda\vec x}=\abs{\lambda}\, \norm{\vec x}$,
\item trojúhelníková nerovnost: $\forall\vec x,\vec y\in V \; \norm{\vec x+\vec y}\le\norm{\vec x}+\norm{\vec y}$,
\end{enumerate}
pak zobrazení $\norm{\cdot}$ nazveme {\bf normou} na prostoru $V$ a dvojici $(V,\norm{\cdot})$ nazveme {\bf normovaný lineární prostor}. Není-li splněn axiom (I), zobrazení nazýváme {\bf seminormou}.
\end{define}
\begin{remark}Příklady norem:
\begin{enumerate}
\setlength{\itemsep}{3pt}
\item Norma indukovaná skalárním součinem: $\norm {\vec x}=\sqrt{\la\vec x,\vec x\ra}$.
\item Norma indukovaná lineárním funkcionálem $\phi$: $\norm {\vec x}=\abs{\phi(\vec x)}$
\index{maximová norma}
\item Maximová norma: $\displaystyle\norm{\vec x}_\infty=\max_{i}\{\abs{x_i}\}$
\index{supremová norma}
\item Supremová norma: $\displaystyle\norm{f}_\infty=\sup_{x}\{\abs{f(x)}\}$
\index{$p$--norma}
\item $p$--norma: $\displaystyle \norm{\vec x}_p=\left(\sum_{i=1}^{\dim V} \abs{x_i}^p\right)^{1/p} \quad \forall p\ge1$ --- pro $p\in(0,1)$ není splněn axiom (III).
\index{taxicab norma}
\item Položíme-li v definici $p$--normy $p=1$, získáme součtovou normu. \footnote{V anglické literatuře se nazývá též {\it taxicab} norma, resp. manhattanská norma. Jméno je odvozené z toho, jakou vzdálenost musí ujet taxikář v manhattanské obdélníkové síti ulic.}
\index{Eukleidovská norma}
\item Položíme-li v definici $p$--normy $p=2$, získáme eukleidovskou normu (normu indukovanou standardním skalárním součinem).
\end{enumerate}
Pro $p$--normy dále platí
\begin{enumerate}[(i)]
\item $\lim_{p\to +\infty}\norm{\cdot}_p=\norm{\cdot}_\infty$
\item $(\forall p<q)(\forall\vec x\in V)(\norm{\vec x}_p\geq \norm{\vec x}_q)$
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{remark}
Norma na prostoru funkcí indukovaná skalárním součinem z poznámky \ref{deffour}.\ref{onbaze} nesplňuje axiom (I), je to tedy seminorma. Abychom získali normu, stačí pouze namísto Riemannova integrálu mínit integrál Lebesgueův. Korektní zavedení této normy na prostoru funkcí je náplní MAA4.
\end{remark}
\index{metrika}
\index{metrický prostor}
\begin{define}
Buď $X$ neprázdná množina, na níž je definováno zobrazení
$\rho: X \times X \to \Rop$ takové, že platí:
\begin{enumerate}[(I)]
\setlength{\itemsep}{2pt}
\item totožnost: $\rho(x,y)=0 \iff x=y \quad\forall x,y\in X$,
\item symetrie: $\rho(x,y)=\rho(y,x) \quad\forall x,y\in X$,
\item trojúhelníková nerovnost: $\rho(x,z)\le\rho(x,y)+\rho(y,z) \quad\forall x,y,z\in X$,
\end{enumerate}
pak zobrazení $\rho$ nazveme {\bf metrikou} na množině $X$ a dvojici $(X,\rho)$ nazveme {\bf metrický prostor}.
Prvky nosné množiny se nazývají {\bf body} a $\rho(x,y)$ nazýváme {\bf
vzdálenost bodů} $x,y$. \index{vzdálenost bodů}
\end{define}
\index{diskrétní metrika}
\index{diskrétní prostor}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Na množině $X$ není definován součet prvků, stačí nám definovat jejich vzdálenost pomocí metriky.
\item Na každé množině lze zavést metriku --- přinejmenším tzv. diskrétní metrika, která poskytuje pouze rozlišovací schopnost:
\[\d(x,y)=
\begin{cases}
0 & x=y \\
1 & x\not=y \\
\end{cases}
\]
\index{metrika indukovaná normou}
\item Norma automaticky indukuje metriku $\rho(x,y)=\norm{\vec x - \vec y}$. Tímto způsobem získáme metriku maximovou, eukleidovskou, součtovou, atd.
\item Metrický prostor už nemusí mít strukturu vektorového prostoru. Pro zdůraznění linearity užíváme pojmu \textit{lineární} prostor namísto vektorového a zapisujeme $\VEC X$ místo $X$. Navíc se tímto odliší lineární prostor od afinního \ref{affine}.
\item Každý pre-Hilbertův prostor je normovaný a každý normovaný prostor je metrický.
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{define}
Buď $(X,\rho)$ metrický prostor. Potom definujeme:
\begin{enumerate}[(i)]
\setlength{\itemsep}{2pt}
\index{průměr množiny}
\item $\forall A\subset X: \text{diam}(A)=\sup\limits_{x,y\in A}\rho(x,y)$ --- {\bf
průměr množiny}
\index{vzdálenost množiny}
\item $\forall A,B\subset X: \text{dist}(A,B)=\inf\limits_{x\in A,y\in
B}\rho(x,y)$ --- {\bf vzdálenost množin}
\end{enumerate}
\index{omezená množina}
Říkáme, že množina $A\subset X$ je omezená, právě když $\text{diam}(A)<+\infty$.
\end{define}
\begin{remark}
Jelikož $\sup\emptyset = -\infty$, definujeme průměr prázdné množiny explicitně jako $\text{diam}(\emptyset) = 0$.
Zobrazení $\text{diam}$ je tedy nezáporné na potenční množině $\P(X)$, tj. $\forall A \subset X \; 0 \le \text{diam}(A) \le +\infty$.
S definicí vzdálenosti množin podobný problém nemáme, neboť $\inf\emptyset = +\infty$.
\end{remark}
\begin{define}
Buď $(X,\rho)$ metrický prostor, $A \subset X$. Vzdálenost bodu $x \in X$ od množiny $A$ definujeme jako $\text{dist}(x,A) = \text{dist}(\{x\},A)$.
\end{define}
\begin{theorem}
Buď $(X,\rho)$ metrický prostor. Pak platí:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $\forall x,y \in X, \forall A \subset X \quad \text{dist}(x,A) \le \rho(x,y) + \text{dist}(y,A)$
\item $\forall x,y \in X, \forall A \subset X \quad \abs{\text{dist}(x,A) - \text{dist}(y,A)} \le \rho(x,y)$
\item $\forall x \in X, \forall A,B \subset X \quad \text{dist}(x,A \cup B) = \min(\text{dist}(x,A),\text{dist}(x,B))$
\item $\forall x \in X, \forall A \subset X \quad x \in A \Rightarrow \text{dist}(x,A) = 0$
\end{enumerate}
\begin{proof}
Plyne z vlastností infima a metriky $\rho$.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Zobrazení $\text{dist}(\cdot,\cdot)$ obecně není metrikou potenční množiny $\P(X)$.
Pokud totiž pro dvě různé množiny $A,B \subset X$ platí $A \cap B \not= \emptyset$, pak $\text{dist}(A,B) = 0$, ale množiny $A,B$ nejsou identické.
Obecně tedy metrika představuje vzdálenost, ale vzdálenost nemusí být metrikou.
\end{remark}
\index{otevřená koule}
\index{uzavřená koule}
\begin{define}
Buď $(X,\rho)$ metrický prostor, $x\in X$, $r\in\Rp$. Potom
\begin{enumerate}[(I)]
\item {\bf otevřenou koulí} rozumíme množinu $B(x,r)=\{y\in X~|~\rho(y,x)<r\}$,
\item {\bf uzavřenou koulí} rozumíme množinu $S(x,r)=\{y\in X~|~\rho(y,x)\leq r\}$.
\end{enumerate}
\end{define}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\setlength{\itemsep}{3pt}
\item Prostor je omezený, právě když se vejde do koule, tj. $(\exists r,x)(X\subset B(x,r))$.
\item Takto definovaná koule nemusí být kulatá, dokonce nemusí být ani konvexní. V případě metriky indukované normou konvexní bude.
\item V~diskrétní metrice: $B(x,1)=\{x\}$, ale $S(x,1) = X=B(x,r>1)$. V jazyce \ref{vnitrek} lze říci, že uzávěr otevřené koule je podmnožina uzavřené koule, tj. $\uz{B(x,r)}\subset S(x,r)$.
\item Diskrétní prostor $(\R,\mathrm{d})$ je omezený, ale prostor s absolutní hodnotou $(\R,\abs{\cdot})$ není omezený.
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{theorem}
Nechť $x,y\in X$, $x\not=y$. Pak existuje $r>0$ tak, že platí:
$B(x,r)\cap B(y,r)=\emptyset$.
\begin{proof}
Například $r=\frac12\rho(x,y)$.
\end{proof}
\end{theorem}
\index{otevřená množina}
\begin{define}
\label{metr_otevrena_mnozina}
Říkáme, že množina $A\subset X$ je {\bf otevřená}, právě když s
libovolným bodem obsahuje i nějakou kouli se středem v tomto bodu, tj.
$(\forall x\in A)(\exists B(x,r)\subset A)$.
\end{define}
\begin{remark}
Příklady otevřených množin:
\begin{enumerate}
\item Každý prostor je otevřená množina, prázdná množina je také otevřená.
\item Otevřená koule je otevřená množina.
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{theorem}
\label{metr_sjednoceni_pruniky}
\begin{enumerate}[(i)]
\item Buďte $A_1,\dots,A_n$ otevřené množiny v~$X$. Potom
$\bigcap\limits_{i=1}^n A_i$ je otevřená množina.
\item Jsou-li $A_\alpha$ otevřené množiny ($\alpha\in\I$ {\bf libovolná}
indexová množina), je $\bigcup\limits_{\alpha\in\I}A_\alpha$ je otevřená množina.
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}[(i)]
\item Pokud je průnik prázdný, je tvrzení triviální. Pro libovolný bod $x$
neprázdného průniku pak platí:
$(\forall i\in\n)(\exists r_i>0)(B(x,r_i)\subset A_i)$. Vzhledem k~tomu,
že množin je konečný počet, existuje $r=\min_{i\in\n}r_i$, tedy platí
\[B(x,r)\in\bigcap\limits_{i=1}^n A_i,\]\bigskip
což je tvrzení věty.
\item Libovolný bod $x$ ze sjednocení leží alespoň v~jedné množině
$A_\alpha$, tudíž podle předpokladu existuje koule
\[B(x, r)\subset A_\alpha\subset\bigcup\limits_{\alpha\in\I}A_\alpha.\]
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
