Součásti dokumentu 02LIAG
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02LIAG}
\section{Definice Lieovy grupy a Lieovy algebry}
\Def{
\emph{Lieova grupa} je diferencovatelná varieta $G$ vybavená navíc zobrazením $\cdot : G \times G \to G$ takovým, že $(G,\cdot )$ je grupa a zobrazení $\cdot$ a $(\cdot )^{(-1)}$ jsou hladká.
}
\Pzn{
Podle V. Hilbertova problěmu postačuje $\cdot$ a $(.)^{-1}$ spojité, $G$ topologický prostor lokálně homomorfní $\R^n$, z toho už plyne hladkost. Bez důkazu.
}
\Prl{
$G=GL(n,\R )=\{A \in \R^{n,n} | \det A \neq 0 \}$ je Lieova algebra ($\cdot$ je násobení matic ), dim GL(n,\R)=n^2.
}
Zobrazení $\det : \R^{n,n} \to \R$ je $\Cs^{\infty}(\R^{n,n} , \R )$, $G$ je tedy podmnožina $\R^{n,n}$ a varieta protože platí $G=\det^{(-1)}(\R \setminus \{0\})=GL(n,\R)^{\circ}$. Podmínka hladkosti na $\cdot$ a $()^{-1}$ plyne z~$\T{(AB)}{^i_j}=\T{A}{^i_k}\T{B}{^k_j}$ a $A^{-1}=\frac{1}{\det A} A^{\mathrm{adj}}$.
\Pzn{
GL(n,\C)\subset \C^{n,n}=\C^{n\cdot n}=\R^{2n\cdot n}, dim GL(n,\C)=2n^2
}
\Def{
\emph{Maticové Lieovy grupy} jsou podgrupy $GL(n,\R)$ nebo $GL(n,\C)$.\footnote{
S~grupami, které nejsou maticové se v~LIAG přímo nesetkáme, ale že tento pojem není prázdný ukazuje existence Lieovy grupy, která není maticová (viz \texttt{http://en.wikipedia.org/wiki/Metaplectic\_group}).
}
}
\Prl{
$SL(n,\R)=\{A \in GL(n,\R) | \det A=1 \}$ je maticová Lieova grupa.
}
Splnění podmínky pro varietu je přímo vidět z~rovnice $\sum_{\pi \in S_n}\mrm{sgn} \pi \prod_{i=1}^n A_{i, \pi (i)}=1$ ($A_{ij}$ značí prvky matice $A$). Pro $n=2$ lze změnou báze převést podmínku dokonce na kvadriku $x_1^2+x_2^2-x_3^2-x_4^2-1=0$ v~$\R^4$. Že se jedná o podgrupu je zřejmé z~$\det (AB^{-1})=\frac{\det A}{\det B}=1$, tj. $AB^{-1}\in SL(n,\R )$.
\Pzn{
Význačné difeomorfismy na $G$ jsou pro $g\in G$ $L_g , R_g : G \to G$ definované $L_g h=gh$, $R_gh=hg$, $\forall h \in G$. Nazývají se \emph{levé} a \emph{pravé translace}.
}
\Def{
\emph{Levoinvariantní} a \emph{pravoinvariatní vektorová pole} $X \in \Xs (G)$ jsou vektorová pole splňující $X=L_{g*}X$, $X=R_{g*}X$.
}
\Pzn{
Bodově předchozí definice znamená $X|_{gh}=L_{g*}(X|_h)$, resp. $X|_{hg}=R_{g*}(X|_h)$, $\forall g,h \in G$.
}
Připomenutí, kotečné zobrazení působí na funkce $(\phi^*f)(p)=(f \circ \phi ) (p)$. Lze tak ekvivalentně definovat tečné zobrazení $(\phi_* X)(f)=X(\phi^*f)$. Pomocí kotečného zobrazení je $\forall h \in G$
\begin{align*}
(L_{g*}X|_h) f&=X|_h(L_g^* f) \,, \\
(L_{g*}X|_h) f&=X|_{gh}f=L_g^*(X|_h f)\,.
\end{align*}
\Pzn{
Levoinvariantní vektorové pole je jednoznačne určeno tečnými vektory v libovolném pevně zvoleném bodě $g\in G$ (obvykle se volí $e$), tj. $\zuz{X}{g}=L_{g*}(\zuz{X}{e} )$ protože $L_g\cdot L_h=L_{gh}$, $L_{g*}\cdot L_{h*}=L_{gh*}$.
}
\Vet{
Vektorový prostor levoinvariantních vektorových polí $\g \subset\subset \Xs(G)$ je izomorfní $T_eG$, tj. $\g\simeq T_eG$.
}
\begin{proof}
Mějme $\tilde{X}\in T_eG$, pak $X:G\to TG$, $X(g)=L_{g*}(\tilde{X})$, tj. $X_g\in T_gG$. Použitím
\begin{align*}
\gamma:(a,b)\subset\R\to G, a<0<b,\dot{\gamma}(0)=\tilde{X} \Rightarrow \varphi(g,t)=g\cdot\gamma(t)=L_g(\gamma(t))\in \Cs^{\infty}
\end{align*}
je díky hladkosti $\varphi$ vidět, že $X(g)=\zuz{\td{}{t}}{t=0}\varphi(g,t)\in T_gG$ závisí na $g$ hladce:
\begin{align*}
\zuz{\td{}{t}}{t=0}\varphi(g,t)=\zuz{\td{}{t}}{t=0}L_g(\gamma(t))=L_{g*}\zuz{\td{}{t}}{t=0}\gamma(t)=L_{g*}(\tilde{X})
\end{align*}
Při výpočtech tak mohou vzniknout nejasnosti ve značení, kdy symbolem $X \in \g$ můžeme značit vektorové pole na $G$ nebo pouze vektor z~$T_eG$. V~příkladech, kde budeme tyto pojmy ilustrovat v~praxi, budeme tyto pojmy rozlišovat. (Obvykle $X$ vektorové pole, $X|_g$ vektor v~bodě $g$, $X(g)$ jeho složky). Jinak budeme za prvky $\g$ považovat vektory z~$T_eG$, protože je s~nimi jednodušší práce než s~vektorovými poli (v~případě maticových grup se výpočty zjednoduší na počítání s maticemi).
\Vet{
Levoinvariantní pole splňuje $L_g^* \circ X = X \circ L_g^*$.
}
\begin{proof}
Pro $\psi:M\to N$, $p\in M$, $X\in T_pM$, $f\in C^{\infty}(N)$ platí:
\begin{align*}
\psi_*(X)f=X(f\circ\psi)=X(\psi^*(f))=(X\circ\psi^*)f.
\end{align*}
Tudíž pro $L_{g*}$, $X\in\g$ platí:
\begin{align*}
L_{g*}(\zuz{X}{h})f=(\zuz{X}{h}\circ L_g^*)f=\left((X\circ L_g^*)f\right)(h)=\zuz{X}{gh}f=(Xf)(gh)=(Xf)(L_gh)=\\
=\left(L_g^*(X(f))\right)(h)=\left((L_g^*\circ X)f\right)(h)\qquad \Leftrightarrow \qquad X\circ L_g^*=L_g^*\circ X.
\end{align*}
\end{proof}
\Dsl{
$L_g^*\circ [X,Y]=[X,Y] \circ L_g^*$.
}
\begin{proof}
$L_g^*\circ [X,Y] = L_g^*\circ X\circ Y - L_g^*\circ Y\circ X = X\circ L_g^*\circ Y - Y\circ L_g^*\circ X = X\circ Y\circ L_g^* - Y\circ X\circ L_g^* = [X,Y]\circ L_g^*$
\end{proof}
\Def{
$\g=\{X\in \Xs (G) | X=L_{g*}X \}$ a $\g$ nazýváme Lieova algebra Lieovy grupy $G$.
}
\Def{
\emph{Lieova algebra} $(A,\oplus,\odot, [\cdot , \cdot])$ je vektorový prostor $(A,\oplus,\odot)$ vybavený bilineárním zobrazením $[\cdot , \cdot] :A \times A \to A$ splňujícím:
\begin{enumerate}
\item $[X,Y]=-[Y,X]$, $\forall X,Y\in A$,
\item $\left[[X,Y],Z\right]+\left[[Y,Z],X\right]+\left[[Z,X],Y\right]=0$, $\forall X,Y,Z \in A$ (Jacobiho identita).
\end{enumerate}
$[\cdot , \cdot]$ se nazývá \emph{Lieova závorka}.
}
Uvažujme bázi $(X_i)$ prostoru $A$, $[\cdot , \cdot ]$ je určena působením na bazické vektory, $[X_i , X_j]=\T{c}{_{ij}^k}X_k$. $\T{c}{_{ij}^k}$ se nazývají \emph{strukturní konstanty}, splňují
\begin{align}
\T{c}{_{ij}^k}=-\T{c}{_{ji}^k} \,, &&
\T{c}{_{il}^m}\T{c}{_{jk}^l}+\T{c}{_{jl}^m}\T{c}{_{ki}^l}+\T{c}{_{kl}^m}\T{c}{_{ij}^l}=0 \,.
\end{align}
\Pzn{
Pro maticové Lieovy grupy jsou Lieovy algebry vektorové prostory matic odpovídající dimenze a Lieova závorka je komutátor matic.
}
Tečné vektory z~$\gl$ jsou v~souřadnicovém zápisu $X_i^j \partial^i_j|_e$ (standardní báze v~$GL$). U maticových grup tak máme navíc operaci skládání prvků z~$\gl$ a dokonce můžeme i \emph{násobit} prvky z $\gl$ a $GL$, ukáže se, že v~praktických výpočtech si tím usnadníme dost práce oproti obecným Lieovým grupám a algebrám, kde takové operaco vůbec k~dispozici nemáme.
\Prl{ \label{grupa Af(1)}
Afinní transformace $Af(1)$ na $\R$. $Af(1)=(\R^+ \times \R, (x,y)(\tilde{x},\tilde{y})=(x\tilde{x},x\tilde{y}+y) )$. Tato struktura lze zapsat maticově (operace násobení matic)
$ Af(1)= \left\lbrace
\left(\begin{smallmatrix} x & y \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right), x \in \R_+ ,y \in \R \right\rbrace
$.
}
Lieova algebra se určí z~požadavku na levoinvariantnost obecného vektorového pole v~$e=(1,0)$, tj. uvažujeme pole ve tvaru $X|_e=\alpha \partial_x|_e +\beta \partial_y|_e$.
Aplikováním tohoto požadavku
\begin{align*}
\zuz{X}{(a,b)}f=L_{(a,b)*}\zuz{X}{(1,0)}f=\left(\alpha\pd{}{x}+\beta\pd{}{y}\right)\zuz{f(ax,ay+b)}{(x,y)=(1,0)}=a\left(\alpha\pd{}{x}\zuz{f(x,y)}{(a,b)}+\beta\pd{}{y}\zuz{f(x,y)}{(a,b)}\right)
\end{align*},
zjistíme, že $X=\alpha x \partial_x+\beta x \partial_y$. Tedy Lieova algebra je $\mathfrak{af}(1)=\mathrm{span}\{ X_1,X_2 \}$, $X_1=x\partial_x$, $X_2=x\partial_y$, protože $[X_1,X_2]=X_2$ je $\mathfrak{af}(1)$ uzavřená a tedy je to skutečně algebra.
V~případ matic máme $\mathfrak{af}(1)=T_eAf(1) \ni
\left( \begin{smallmatrix}
\alpha & \beta \\ 0 &0
\end{smallmatrix} \right)$, takže $X_1=\left( \begin{smallmatrix}
1 & 0 \\ 0 &0
\end{smallmatrix} \right)$ a $X_2=\left( \begin{smallmatrix}
0 & 1 \\ 0 &0
\end{smallmatrix} \right)$.
\Prl{ \label{Maticove grupy}
Maticové grupy.
}
Uvažme maticovou grupu $G \ni g$ (za souřadnice považujeme složky matice $g^i_j$). Podobně jako v~minulém příkladě najdeme jak vypadá obecné levoinvariantní vektorové pole $X$, které je určeno hodnotou v~$e$, tj. $X|_e= \alpha^i_j \partial^j_i|_e$. V~obecném bodě $X|_g=X^i_j(g)\partial^j_i|_g$. Buď $f\in \Cs^{\infty}(G)$, $f=f(x^i_j)$. Podmínka levoinvariance:
\begin{multline}
X^i_j(g)\partial^j_i|_g f =
X|_g f =(L_{g*}X|_e)|_g f=
X|_e(f \circ L_g)=
\alpha^m_l \partial^l_m f(g^i_k x^k_j)=
\alpha^m_l \left.\pd{f}{x^o_p}\right|_g \pd{(g^o_k x^k_p)}{x^m_l} = \\ =
\alpha^m_l g^o_k \left.\pd{f}{x^o_p}\right|_g \delta^k_m \delta^l_p =
\alpha^k_j g^i_k \left.\pd{f}{x^i_j}\right|_g =
g^i_k \alpha^k_j \partial^j_i|_g f \,.
\end{multline}
Takže $X^i_j(g)=g^i_k \alpha^k_j$.
