Součásti dokumentu 02LIAG
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02LIAG}
\section{Lieovy algebry}
Předpokládáme konečnou dimenzi.
\Def{
Nechť $\mathfrak{a},\mathfrak{b}\subset \g$, $[\mathfrak{a},\mathfrak{b}]:=\mathrm{span}\{[x,y]|x\in \mathfrak{a}, y \in \mathfrak{b} \}$.
}
\Def{
$\h$ podprostor $\g$. Pokud $[\h ,\h] \subset \h$, tak $\h$ nazvu \emph{podalgebra}.
}
\Prl{
V~Lorentzově algebře generátory boostů komutují na rotace, tedy netvoří podalgebru. Rotace podalgebru tvoří.
}
\Def{
$\h$ podprostor $\g$. Pokud $[\h ,\g] \subset \h$, tak $\h$ nazvu \emph{ideál}.
}
\Prl{
V~Lorentzově algebře $[M^{\mu\nu},P^\alpha] \sim P^\xi$, tedy translace tvoří ideál.
}
\Def{
\emph{Faktoralgebra} podle $\h$ ideálu je $\g /\h=\{g+\h |g \in \g \}$, $[g_1+\h ,g_2 +\h]:=[g_1 , g_2]+\h$.
}
\Def{
$\g$ je
\begin{itemize}
\item \emph{Abelovská} $\Leftrightarrow$ $[\g,\g]=0$,
\item \emph{prostá} $\Leftrightarrow$ $\dim \g >1$ a jediné ideály v~$\g$ jsou $0$ a $\g$,
\item \emph{poloprostá} $\Leftrightarrow$ jediný Abelovský ideál v~$\g$ je $0$.
\end{itemize}
}
\Def{
Pro ideály $\h_1$ a $\h_2$ řekneme, že $\g$ je přímým součtem ($\g=\h_1 \oplus \h_2$), právě když $\g=\h_1 \dotplus \h_2$ (algebraický přímý součet) a $[\h_1 ,\h_2] \subset \h_1 \cap \h_2 =\{0\}$.
}
\Prl{
$\gl(n)=\mfrk{sl}(n)\oplus \mfrk{a}_1$, $\mfrk{u}(n)=\mfrk{su}(n)+\mfrk{u}(1)$, ($\mfrk{a}=\mfrk{u}(1)=\mrm{span}\{e \}$).
}
\Def{
$\g$ nazvu \emph{rozložitelná}, právě když $\exists \h_1 , \h_2 \neq 0$, $\g=\h_1 \oplus \h_2$. Jinak $\g$ \emph{nerozložitelná}.
}
\newpage
\subsubsection*{Charakteristické série ideálů v~$\g$}
\Def{
\emph{Centrum} $\g$ je maximální ideál $\zeta^1$ s~vlastností $[\g ,\zeta^1]=0$, tj. $\zeta^1=\{x\in \g |[x,\g]=0 \}$, značíme $\Zs (\g)=\zeta(\g)=\zeta^1 (\g) =\zeta^1$.
}
\Def{
Charakteristické série ideálů v~$\g$
\begin{itemize}
\item \emph{derivovaná posloupnost}: $\g^{(0)}=\g$, $\g^{(i)}=[\g^{(i-1)},\g^{(i-1)}]$,
\item \emph{dolní centrální série}: $\g^{1}=\g$, $\g^{i}=[\g^{i-1},\g]$,
\item \emph{horní centrální série}: $\zeta^1=\Zs(\g)$, $\zeta^i=\{x\in \g | [x,\g]\subset \zeta^{i-1} \}$ ($\zeta^i \supset \zeta^{i-1}$).
\end{itemize}
Pokud $\exists k \in \Z_+$, $\g^{(k)}\neq 0$ a $\g^{(k+1)}=0$, tak $\g$ nazvu \emph{řešitelná}, pokud $\exists \tilde{k} \in \N$, $\g^{\tilde{k}}\neq 0$ a $\g^{\tilde{k}+1}=0$, tak $\g$ nazvu \emph{nilpotentní}.
}
\Pzn{
$\g^2=\g^{(1)}$, $\g^{i}\supset \g^{(i-1)}$, tj. každá nilpotentní $\g$ je řešitelná.
}
\Vet{
$\g$ je nilpotentní $\Leftrightarrow$ $\lim_{i \to +\infty} \zeta^i = \g$.
}
\Prl{
Heisenbergova algebra $\h (d)=\{X_i,P_i,1| [X_i,P_j]=\delta_{ij}1, i \in \hat{d} \}$ je nilpotentní.
}
\Pzn{
Pro řešitelné (nilpotentní) ideály $\h_1$, $\h_2$ je $\h_1 \cap \h_2$ a $\h_1 \oplus \h_2$ řešitelný (nilpotentní) ideál.
}
\Def{
Maximální řešitelný ideál v~$\g$ nazvu \emph{radikál} a maximální nilpotentní ideál nazvu \emph{nilradikál}.
}
\Vet{
Každou $\g$ lze rozložit na (polopřímý) součet poloprosté algebry $\mathfrak{s}$ a radikálu $\mathfrak{r}$
\begin{align*}
\g=\s \splus \rr \, &&\text{,tj.} && \g=\s \dotplus \rr ,\; [\s,\s]\subset \s ,\; [\s,\rr]\subset \rr ,\; [\rr,\rr]\subset \rr \,.
\end{align*}
(Může nastat $\rr=0$ nebo $\s=0$.)
}
\textbf{Vlastnosti ideálů ze cvik}
\Vet{
Buďte $\mfrk{h}, \mfrk{l}$ ideály v~$\g$. Potom $\mfrk{h}+\mfrk{l}$ je ideál.
}
\Vet{
Buďte $\mfrk{h}, \mfrk{l}$ řešitelné ideály v~$\g$. Potom $\mfrk{h}+\mfrk{l}$ je řešitelný ideál. \\
(Platí $(\mfrk{h}+\mfrk{l})/ \mfrk{h}=\mfrk{l} /(\mfrk{h}\cap \mfrk{l})$).
}
\Vet{
Buď $\mfrk{h}$ ideál v~$\g$. Potom $\mfrk{h}^k$ a $\mfrk{h}^{(k)}$ jsou ideály.
}
\Vet{
Buďte $\mfrk{h}, \mfrk{l}$ nilpotentní ideály v~$\g$. Potom $\mfrk{h}+\mfrk{l}$ je nilpotentní ideál.
}
\newpage
\subsubsection*{Derivace $\g$}
\Def{
Derivace Lieovy algebry $\g$ je lineární $D:\g \to \g$ splňující $D([x,y])=[Dx,y]+[x,Dy]$, $\forall x,y \in \g$.
}
\Def{
$G$ Lieova grupa a $\g$ její algebra.
\begin{itemize}
\item \emph{Adjugovaná akce} $G$ na $G$ je $\phi$, $\phi (g,h)=\phi_g(h)=ghg^{-1}$, ($\phi_g=L_g \circ R_{g^{-1}}$, $\phi_{g_1}\circ \phi_{g_2}=\phi_{g_1g_2}$),
\item \emph{adjugovaná reprezentace} $G$ na $\g$ je $\Ad: G \to GL(\g)$, $\Ad (g)=(\phi_g)_*|_e=L_{g*} \circ R_{g^{-1}*}$,
\item \emph{adjugovaná reprezentace} $\g$ na $\g$ je $\ad :\g \to \gl (\g)$, $\ad = \Ad_*$. \\ ($\ad_X Y=\left.\td{}{t}\right\rvert_{t=0}\Ad (\e^{tX})Y=\Ad_*(X)Y$.)
\end{itemize}
}
Adjugovanou reprezentaci lze ekvivalentně zavést požadavkem $g \e^X g^{-1}=\e^{\Ad (g)X}$. Pro maticové grupy lze vypočítat jednoduše $\Ad (g)X$ vztahem
\begin{align}
\Ad(g)X=gXg^{-1}\,,&& \forall g\in G, \forall X \in \g \,.
\end{align}
Podobně se zjednoduší výpočet $\ad$.
\Vet{
$\ad_X Y=[X,Y]$.
}
Pomocí tohoto vztahu sestavíme matice zobrazení $\ad_{e_j}$ v~bázi $\Es$ a z~linearity pro $X=\alpha^i X_i$
\begin{align}
(\tensor[^\Es]{\ad}{_{e_j}})_{kl}=\T{c}{^k_{jl}} \,, && (\tensor[^\Es]{\ad}{_X})_{kl}=\alpha^j \T{c}{^k_{jl}} \,.
\end{align}
\Dsl{
$\ad_X$ je derivace.
}
\Def{
Derivace $D$ je \emph{vnitřní}, právě když $(\exists Z \in \g )(D=\ad_Z)$. Ostatní se nazývají \emph{vnější}.
}
\subsubsection*{Vztah reálných a komplexních $\g$}
\Def{
Pro $\g$ reálnou definujeme komplexifikaci $\g_\C=\g +\cu \g=\C \g$.\\ (Komplexifikace je určena jednoznačně a platí $[x+\cu y ,z+ \cu v]=[x,y]-[y,v]+\cu ([y,z]+[x,v])$.)
}
\Pzn{
Pro každou komplexní $\g$ můžeme jednoznačně zkonstruovat $\g_\R$, zkonstruovanou z~$\g$ pomocí libovolné báze $\{ x_j \}_{j=1}^n$ a doplněním na $\mathrm{span}_\R \{x_j ,\cu x_j \}_{j=1}^n$. \\
(Strukturní konstanty jsou pak $\Re$ a $\Im$ části původních.)
}
\Pzn{
Pro $\g$ z~předchozích definic platí $\dim_\C \g_\C = \dim_\R \g$ a $\dim \g_\R=2\dim \g$.
}
\Def{
\emph{Reálná forma} komplexní $\g$ je libovolná reálná $\tilde{\g}$ splňující $\g=\tilde{\g}_\C$.
}
\newpage
\subsubsection*{Zobrazení $\g$ a $\h$ nad stejným tělesem}
\Def{ Lineární $\phi : \g \to \h$
\begin{itemize}
\item $\phi $ je \emph{homomorfismus} $\Leftrightarrow$ $[\phi (x),\phi (y)]=\phi ([x,y])$, $\forall x,y \in \g$,
\item homomorfismus $\phi$ je \emph{endomorfismus} $\Leftrightarrow$ $\h=\g$, $\forall x,y \in \g$,
\item homomorfismus $\phi$ je \emph{izomorfismus} $\Leftrightarrow$ $\ker \phi = \{0\}$, $\phi (\g) =\h$,
\item izomorfismus $\phi$ je \emph{automorfismus} $\Leftrightarrow$ $\h=\g$.
\end{itemize}
}
\subsubsection*{Killingova forma}
\Def{Symetrická bilineární forma $\omega$ na $\g$ je \emph{invariantní vůči automorfismům} $\g$ \\ $\Leftrightarrow$ $\omega (\phi (X) ,\phi (Y))=\omega (X,Y)$, $\forall \phi \in \Aut (\g )$.
}
\Def{Symetrická bilineární forma $\omega$ na $\g$ je \emph{$\ad$-invariantní (invariantní)} \\ $\Leftrightarrow$
$\omega ([X,Y],Z)=\omega(Y,[X,Z])$ $\forall X,Y,Z \in \g$.
}
\Pzn{Invariantní vůči automorfismům $\Rightarrow$ $\ad$-invariance (naopak neplatí).
}
\Def{\emph{Killingova forma} je $K: \g \times \g \to T$, $K(X,Y)=\Tr(\ad_X \circ \ad_Y)$. ($T$ je těleso.)
}
\Def{\label{OG_Kill}
\emph{Ortogonální doplněk vzhledem ke Killingově formě ideálu $\ii$} je \\
$\ii^\perp=\{X \in \g | K(X,Y)=0, \forall Y \in \ii \}$.
}
\Pzn{
$\mathfrak{i}\subset \g$ ideál, pak $K_{\mathfrak{i}}= K_\g |_{\mathfrak{i} \times \mathfrak{i}}$.
}
\Vet{
$\ii$ ideál, potom $\ii^\perp$ ideál.
}
Obecně ale (asi) $\ii \cap \ii^\perp \neq \{0\}$.
\Pzn{
$\g$ je prostá $\Leftrightarrow$ $\ad_{\g}$ ireducibilní.
}
\subsubsection*{Nilpotentní a řešitelné algebry}
\Vet{
Buď $\g$ řešitelná (nilpotentní), $\phi: \g \to \h$ homomorfismus. Potom $\phi (\g)$ je řešitelná (nilpotentní).
}
\Vet{
$[\ii ,\g]\subset \g$ a $\ii ,\, \g /\ii$ řešitelné. Potom $\g$ řešitelná.
}
\Vet{
$\ii \subset \zeta(\g)$ ideál, $\g /\ii$ nilpotentní. Potom $\g$ nilpotentní.
}
\Vet{ $\ad_\g = \{\ad_X | X \in \g \}$
\begin{itemize}
\item $\g$ řešitelná $\Leftrightarrow$ $\ad_\g$ řešitelná.
\item $\g$ nilpotentní $\Leftrightarrow$ $\ad_\g$ nilpotentní.
\end{itemize}
}
\newpage
\subsubsection*{Terminologie konečněrozměrných operátorů v~LIAG}
\Def{
$A \in \gl (V)$ je \emph{diagonalizovatelný (poloprostý)} právě, když $\exists$ báze $V$ tvořená vl. vektory $A$.\\
$\{ A_\alpha \}_{\alpha \in \Is}$ je současně diagonalizovatelný právě, když $\exists$ $\{e_i \}_{i=1}^{\dim V}$ báze, $A_\alpha e_i = \lambda_i^{(\alpha )}e_i$.
}
\Def{
$N \in \gl (V)$ je \emph{nilpotentní} právě, když $\exists$ $n \in \N$, $N^n=0$ (tj. $\sigma (N)=\{0\}$).
}
\Vet{
$V$ nad $\C$, $\dim V < +\infty$. Potom $\exists$ jednoznačně dané $S,N \in \gl (V)$ splňující
\begin{itemize}
\item $A=S+N$,
\item $S$ je poloprostý a $N$ nilpotentní,
\item $[S,N]=0$,
\item $\Xi = p_{\Xi}(A)$, $p_\Xi$ je polynom, $\Xi = S,N$.
\end{itemize}
}
\Def{
$A \in \gl (V)$, $\lambda \in \sigma (A)$, $V_\lambda =\lim_{n \to +\infty} \ker (A-\lambda )^n$ je \emph{zobecněný vlastní podprostor $A$ příslušející $\lambda$}.
}
\newpage
\subsubsection*{Věty Lieova a Engelova}
\Vet{
$\g$ podalgebra $\gl (V)$, $V$ nad $\C$. Potom je $\g$ řešitelná právě tehdy, když je možno $\forall g \in \g$ převést současně na horní trojúhelníkový tvar.
}
\Def{
$X \in \g$ je \emph{$\ad$-nilpotentní} právě, když $\exists n \in \N$, $(\ad_X )^n=0$.
}
\Vet{
$\g$ je nilpotentní právě, když $\forall X \in \g$ jsou $\ad$-nilpotentní.\\
Každá komplexní maticová nilpotentní algebra $\tilde{\g}$ je izomorfní podalgebře matic ve tvaru (prázdné prvky značí $0$)
\begin{align*}
\setcounter{MaxMatrixCols}{15}
\begin{pmatrix}
\lambda_1 & \xi^{(\lambda_1)}_{1,2} & \cdots & \xi^{(\lambda_1)}_{1,{m_1}} \\
& \ddots & \cdots & \vdots \\
&& \lambda_1 & \xi^{(\lambda_1)}_{(m_1-1),m_1} \\
&&& \lambda_1 \\
&&&& \lambda_2 & \xi^{(\lambda_2)}_{1,2} & \cdots & \xi^{(\lambda_2)}_{1,{m_2}} \\
&&&& & \ddots & \cdots & \vdots \\
&&&& && \lambda_2 & \xi^{(\lambda_2)}_{(m_2-1),m_2} \\
&&&& &&& \lambda_2 \\
&&&& &&&& \ddots \\
&&&&&&&&& \lambda_n & \xi^{(\lambda_n)}_{1,2} & \cdots & \xi^{(\lambda_n)}_{1,{m_n}} \\
&&&&&&&&& & \ddots & \cdots & \vdots \\
&&&&&&&&& && \lambda_n & \xi^{(\lambda_n)}_{(m_n-1),m_n} \\
&&&&&&&&& &&& \lambda_n
\end{pmatrix}\,.
\end{align*}
(to znamená, že libovolné $X \in \tilde{\g}$ je v~tomto tvaru, maticové prvky musí záviset na $X$ lineárně, tj. $\lambda_j,\xi^{(\lambda_j)}_{k_j,l_j} \in \tilde{\g}^*$).
}
\lemma{
Seznam lemmat pro důkaz předchozích vět.
\begin{enumerate}
\item $\forall X \in \gl (V)$ nilpotentní je $X$ $\ad$-nilpotentní.
\item $\ii$ ideál v~$\g \subset \gl (V)$, $W=\{v \in V | Xv=0, \forall X \in \ii \}$. Pak $\g W \subset W$.
\item $P$ podprostor $\gl (V)$ $\forall X \in P$ jsou nilpotentní. Pak $\exists 0 \neq v \in V$, $\forall X \in P$: $Xv=0$.
\item $\forall \g$ nilpotentních operátorů jsou nilpotentní. \\ (Tj. $\g$ je izomorfní podalgebře horních trojúhelníkových matic s~nulovou diagonálou.)
\item $V$ nad $\C$, $\g$ řešitelná podalgebra $\gl (V)$. Pak $\exists 0\neq v \in V$, $\forall X \in \g$, $\exists \lambda_X \in V^*$ : $Xv=\lambda_X v$.
\end{enumerate}
}
\Vet{
$\g$ řešitelná $\Leftrightarrow$ $\g^{(1)}$ nilpotentní.
}