02LIAG:Kapitola6

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02LIAG

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02LIAGHazalmat 3. 8. 201620:54
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůHazalmat 7. 7. 201606:04
Header editovatHlavičkový souborHazalmat 10. 7. 201621:12 header.tex
Kapitola0 editovatÚvodHazalmat 3. 8. 201621:12 LIAG_Kapitola0.tex
Kapitola1 editovatDefinice Lieovy grupy a Lieovy algebryHazalmat 5. 8. 201617:02 LIAG_Kapitola1.tex
Kapitola2 editovatVztah mezi Lieovou grupou a její algebrouHazalmat 5. 8. 201617:27 LIAG_Kapitola2.tex
Kapitola3 editovatNástin teorie integrabilních distribucíHazalmat 30. 7. 201614:10 LIAG_Kapitola3.tex
Kapitola4 editovatAkce grupy na varietěHazalmat 17. 7. 201619:23 LIAG_Kapitola4.tex
Kapitola5 editovatReprezentace Lieových grup a algeberHazalmat 4. 8. 201617:21 LIAG_Kapitola5.tex
Kapitola6 editovatSouvislost Lieových grup a algeberHazalmat 4. 8. 201618:51 LIAG_Kapitola6.tex
Kapitola7 editovatLieovy algebryHazalmat 5. 8. 201601:06 LIAG_Kapitola7.tex
Kapitola8 editovatCartanova kritériaHazalmat 5. 8. 201617:29 LIAG_Kapitola8.tex
Kapitola9 editovatKlasifikace pomocí kořenůHazalmat 5. 8. 201617:34 LIAG_Kapitola9.tex
Kapitola10 editovatKořenové diagramy, Cartanova marticeHazalmat 31. 7. 201615:32 LIAG_Kapitola10.tex
Kapitola11 editovatDynkinovy diagramyHazalmat 5. 8. 201617:39 LIAG_Kapitola11.tex
Kapitola12 editovatReálné formy komplexních poloprostých algeberHazalmat 31. 7. 201623:39 LIAG_Kapitola12.tex
Kapitola13 editovatVýznam kompaktních Lieových grupHazalmat 31. 7. 201623:45 LIAG_Kapitola13.tex
Kapitola14 editovatReprezentace poloprostých Lieových algeberHazalmat 1. 8. 201612:45 LIAG_Kapitola14.tex
Kapitola15 editovatSpinorové reprezentaceHazalmat 27. 7. 201620:38 LIAG_Kapitola15.tex
Kapitola16 editovatSymetrie v QMHazalmat 27. 7. 201621:21 LIAG_Kapitola16.tex
Kapitola17 editovatCvičeníHazalmat 6. 8. 201603:42 LIAG_Kapitola17.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:liag-1.pdf liag-1.pdf
Image:su3_1.pdf su3_1.pdf
Image:su3_2.pdf su3_2.pdf
Image:su3_3.pdf su3_3.pdf
Image:su3_4.pdf su3_4.pdf
Image:su3_5.pdf su3_5.pdf
Image:su3_6.pdf su3_6.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02LIAG}
 
\Def{
	Souvislá varieta $M$ je jednoduše souvislá právě tehdy, když 
	\begin{align*}
	&(\forall \gamma \in \Cs^0(\langle 0,1 \rangle, M) ), \gamma (0)=\gamma (1) ) \\
	&(\exists \phi \in \Cs^0(\langle 0,1 \rangle^{\times 2}, M)\text{, splňující }\phi (t,0)=\gamma (t)\; \& \; \phi (t,1)=\phi (0,s)=\phi(1,s)=\gamma (0) \,, \forall t,s \in \langle 0,1 \rangle ).
	\end{align*}
	}
	To znamená, že libovolnou uzavřenou křivku $\gamma$ lze spojitě kontrahovat do bodu.
\Def{
	Buďte $M$, $\overline{M}$ souvislé variety. $\overline{M}$ je \emph{nakrytí} $M$ právě, když $\exists$ $\pi : \overline{M} \to M$ splňující
	\begin{itemize}
		\item $\forall p \in M$, $\exists U(p)$, $\pi^{(-1)}(U(p))=\bigcup_{\alpha \in \mathcal{I}_p}U_\alpha$, $U_\alpha = U_{\alpha}^\circ \subset \overline{M}$, $U_\alpha \cap U_\beta = \emptyset$,
		\item $\left. \pi \right\rvert_{U_\alpha}: U_\alpha \to U(p)$ je difeomorfismus.
	\end{itemize}
	}
	Pojem nakrytí je podrobněji rozebrán ve Feckovi, kapitola 13.3.
\Def{
	Nakrytí $\overline{M}$ variety $M$ je \emph{univerzální} právě, když $\overline{M}$ je jednoduše souvislá.
	}
\Pzn{
	Protože je nakrytí lokální difeomorfismus platí pro Lieovy grupy $G$ a nakrytí $\overline{G}$ vztah $\g \simeq \overline{\g}$.
	}
	Návod na vytvoření univerzálního nakrytí viz poznámky, pomocí definice tříd ekvivalence křivek lze toto nakrytí vždy zkonstruovat.\footnote{
		(Velmi hrubě řečeno a možná i špatně... ): K~libovolnému bodu z~$M$ (mohu pro jednoduchost volit $e_G$ v~Lieově grupě, v~obecné varietě k~dispozici nemám) zkonstruuji třídu množinu všech křivek z~něj vycházejícího. Křivky $\gamma_1$, $\gamma_2$ nazvu ekvivalentní, pokud dráhu $\gamma_1 \dot{+} \gamma_2$ lze kontrahovat do bodu. Tímto postupem odliším křivky, které \emph{by šly po různých stranách kolem nějaké díry}. Dále je potřeba ověřit, že lze na vytvořené množině vytvořit strukturu hladké variety a následně Lieovy grupy homomorfní s~původní strukturou.
	}	
\Vet{
	Ke každé konečněrozměrné $\g$ existuje právě jedna souvislá a jednoduše souvislá $G$ splňující $\g =T_{e_G}G$. Pro libovolnou $\tilde{G}$ s~$T_{e_{\tilde{G}}}\tilde{G}=\g$ platí $\tilde{G} \simeq G/D$, $D \unlhd G$, $\# D \le \# \N$.\\
(To znamená, že $\tilde{G}$ je nakrývána $G$.)
	}
	Z~podmínky normality a diskrétnosti máme pro pevně zvolený $d_0 \in D$, $G_{d_0}=\{gd_0 g^{-1}|G \in G \}$ zobrazení $\phi$, $\phi (g)=gd_0 g^{-1}$, je hladké. $G_{d_0}$ je proto souvislá a zároveň je podmnožinou diskrétní $D$, takže $G_{d_0}=\{d_0\}$, tj. $gd_0 g^{-1}=d_0$, $\forall g \in G$. 	
\Pzn{
	$D$ nutně leží v~$\Zs (G)$.
	}	
	Pomocí předchozích vět máme vyřešen problém všech souvislých $G$ se stejnou $\g$. Teoreticky můžu vždy nalézt univerzální nakrytí a následně ho faktorizovat podle možných $D$ a tím získám všechny $G$.
\Pzn{
	??? Reprezentaci $\g$ lze vyintegrovat na reprezentaci $\rho_G$ jednoduše souvislé $G$. Pro $G/D$ může nastat
	\begin{itemize}
		\item $\rho_G (D) =(\vec{1})$ a máme tedy reprezentaci $G/D$,
		\item nebo $\rho_G (D) \neq (\vec{1})$ a reprezentaci nemáme (víceznačná reprezentace).
	\end{itemize}
	}