Součásti dokumentu 02LIAG
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02LIAG}
\Def{
Souvislá varieta $M$ je jednoduše souvislá právě tehdy, když
\begin{align*}
&(\forall \gamma \in \Cs^0(\langle 0,1 \rangle, M) ), \gamma (0)=\gamma (1) ) \\
&(\exists \phi \in \Cs^0(\langle 0,1 \rangle^{\times 2}, M)\text{, splňující }\phi (t,0)=\gamma (t)\; \& \; \phi (t,1)=\phi (0,s)=\phi(1,s)=\gamma (0) \,, \forall t,s \in \langle 0,1 \rangle ).
\end{align*}
}
To znamená, že libovolnou uzavřenou křivku $\gamma$ lze spojitě kontrahovat do bodu.
\Def{
Buďte $M$, $\overline{M}$ souvislé variety. $\overline{M}$ je \emph{nakrytí} $M$ právě, když $\exists$ $\pi : \overline{M} \to M$ splňující
\begin{itemize}
\item $\forall p \in M$, $\exists U(p)$, $\pi^{(-1)}(U(p))=\bigcup_{\alpha \in \mathcal{I}_p}U_\alpha$, $U_\alpha = U_{\alpha}^\circ \subset \overline{M}$, $U_\alpha \cap U_\beta = \emptyset$,
\item $\left. \pi \right\rvert_{U_\alpha}: U_\alpha \to U(p)$ je difeomorfismus.
\end{itemize}
}
Pojem nakrytí je podrobněji rozebrán ve Feckovi, kapitola 13.3.
\Def{
Nakrytí $\overline{M}$ variety $M$ je \emph{univerzální} právě, když $\overline{M}$ je jednoduše souvislá.
}
\Pzn{
Protože je nakrytí lokální difeomorfismus platí pro Lieovy grupy $G$ a nakrytí $\overline{G}$ vztah $\g \simeq \overline{\g}$.
}
Návod na vytvoření univerzálního nakrytí viz poznámky, pomocí definice tříd ekvivalence křivek lze toto nakrytí vždy zkonstruovat.\footnote{
(Velmi hrubě řečeno a možná i špatně... ): K~libovolnému bodu z~$M$ (mohu pro jednoduchost volit $e_G$ v~Lieově grupě, v~obecné varietě k~dispozici nemám) zkonstruuji třídu množinu všech křivek z~něj vycházejícího. Křivky $\gamma_1$, $\gamma_2$ nazvu ekvivalentní, pokud dráhu $\gamma_1 \dot{+} \gamma_2$ lze kontrahovat do bodu. Tímto postupem odliším křivky, které \emph{by šly po různých stranách kolem nějaké díry}. Dále je potřeba ověřit, že lze na vytvořené množině vytvořit strukturu hladké variety a následně Lieovy grupy homomorfní s~původní strukturou.
}
\Vet{
Ke každé konečněrozměrné $\g$ existuje právě jedna souvislá a jednoduše souvislá $G$ splňující $\g =T_{e_G}G$. Pro libovolnou $\tilde{G}$ s~$T_{e_{\tilde{G}}}\tilde{G}=\g$ platí $\tilde{G} \simeq G/D$, $D \unlhd G$, $\# D \le \# \N$.\\
(To znamená, že $\tilde{G}$ je nakrývána $G$.)
}
Z~podmínky normality a diskrétnosti máme pro pevně zvolený $d_0 \in D$, $G_{d_0}=\{gd_0 g^{-1}|G \in G \}$ zobrazení $\phi$, $\phi (g)=gd_0 g^{-1}$, je hladké. $G_{d_0}$ je proto souvislá a zároveň je podmnožinou diskrétní $D$, takže $G_{d_0}=\{d_0\}$, tj. $gd_0 g^{-1}=d_0$, $\forall g \in G$.
\Pzn{
$D$ nutně leží v~$\Zs (G)$.
}
Pomocí předchozích vět máme vyřešen problém všech souvislých $G$ se stejnou $\g$. Teoreticky můžu vždy nalézt univerzální nakrytí a následně ho faktorizovat podle možných $D$ a tím získám všechny $G$.
\Pzn{
??? Reprezentaci $\g$ lze vyintegrovat na reprezentaci $\rho_G$ jednoduše souvislé $G$. Pro $G/D$ může nastat
\begin{itemize}
\item $\rho_G (D) =(\vec{1})$ a máme tedy reprezentaci $G/D$,
\item nebo $\rho_G (D) \neq (\vec{1})$ a reprezentaci nemáme (víceznačná reprezentace).
\end{itemize}
}