Součásti dokumentu 02LIAG
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02LIAG}
\section{Reprezentace Lieových grup a algeber}
\Def{
\emph{Reprezentace $G$} na vekt. prostoru $V$ je (hladký) homomorfismus $\phi : G \to GL(V)$.
}
\Pzn{
V~případě $\dim G= +\infty$ je vhodné uvažovat $\mathscr{H}$ a $\phi : G \to \mathscr{B}(\mathscr{H})$.
}
\Def{
\emph{Reprezentace $\g$} na vekt. prostoru $V$ je homomorfismus $\phi : \g \to \gl (V)$. (Tedy $\phi$ je lineární a platí $[\phi (X),\phi (Y)]=\phi([X,Y])$.
}
\Prl{ \label{Pr_reprezentace_so(3)}
Reprezentace $\mathfrak{so}(3)$ na $\mathcal{C}^{\infty}(\R^3)$: $\phi(X_i)=\varepsilon_{ijk}x_k\partial_{j}$ (sumace podle dolních indexů).
}
\Def{
Reprezentace $G$ (resp. $\g$) je \emph{věrná}, právě když $\phi$ je monomorfismus (tj. prosté).
}
\Pzn{
Na základě věrné reprezentace jsem jsem schopen zrekonstruovat $G$ (resp. $\g$), proto nazýváme věrné reprezentace \emph{realizací} dané $G$ (resp. $\g$), např. $\mathfrak{so}(3)$ jako matice nebo vektorová pole z~př. \ref{Pr_reprezentace_so(3)}.
}
\Def{
Buď $\Sigma \subset \gl (V)$. $\Sigma$ je
\begin{itemize}
\item \emph{ireducibilní} $\Leftrightarrow$ $(\forall W \subset\subset V, W \neq V)((\Sigma W \subset W)\Rightarrow W=\{0\})$,
\item \emph{reducibilní} $\Leftrightarrow$ $(\exists W \subset\subset V, W \notin \{ V,\{0\} \})(\Sigma W \subset W)$,
\item \emph{úplně reducibilní} $\Leftrightarrow$ $(\forall W \subset\subset V, \Sigma W \subset W)(\exists \tilde{W} \subset\subset V, \Sigma \tilde{W}\subset \tilde{W}) (V=W \oplus \tilde{W})$.
\end{itemize}
Reprezentace $G$ (resp. $\g$) je ireducibilní (reducibilní, úplně reducibilní) právě tehdy když $\phi (G)$ (resp. $\phi (\g)$) je ireducibilní (reducibilní, úplně reducibilní).
}
\Prl{
Reprezentace $\phi: G \to \mathcal{U}(\mathscr{H})$ (\emph{unitární reprezentace}) jsou úplně reducibilní.
}
Z~unitarity platí $\phi(G) W \subset W$ $\Rightarrow$ $\phi(G) W^\perp \subset W^\perp$. Navíc na úrovni algeber platí $\phi_* : \g \to \mathfrak{u}(\mathscr{H})$ a pomocí exponenciely lze ukázat %(PODÍVAT SE JAK)
$(\phi_*(X))^+=-\phi_*(X)$, tj. $\phi_*(X)$ jsou antihermitovské matice.
Ve fyzice se obvykle používají unitární matice, proto se definují \emph{fyzikální veličiny}
\begin{align}
A \mapsto A_{\mrm{F}}=-\cu A \,.
\end{align}
$A_{\mrm{F}}$ již splňují $A_{\mrm{F}}^+=A_{\mrm{F}}$.
\vspace{1cm}
\textbf{Shurovo lemma}
\Vet{
$V$ komplexní vektorový prostor $\dim V < +\infty$, $\Sigma \subset \gl(V)$ ireducibilní. Potom $\forall A \in \gl (V): ([A,\Sigma ]=0 \Rightarrow (\exists \alpha \in \C)(A=\alpha \vec{1}))$.
}
\Vet{
$V$ nad $\C$, $\Sigma \subset \gl (V)$ úplně reducibilní. Pokud platí $(\forall A \in \gl (V) )([A,\Sigma ]=0 \Leftarrow A=\lambda \vec{1})$, potom $\Sigma$ je ireducibilní.
}