Součásti dokumentu 01NUM1
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01NUM1}
\section{Opakování a doplnění znalostí z lineární algebry}
\setcounter{define}{21}
\begin{theorem}
\label{SoucinTrojuhelniku}
Nechť jsou \( \matice A \) a \( \matice B \in \mathbbm C^{n, n} \) dolní (resp. horní) trojúhelníkové matice. Pak matice \( \matice C = \matice A \matice B \) je dolní (resp. horní) trojúhelníková. Dále pak platí:
\[ \forall i \in \hat n, \matice C_{ii} = \matice A_{ii} \matice B_{ii} \]
\begin{proof}
Protože jsou matice \( \matice A \) a \( \matice B \) dolní trojúhelníkové, platí \( \matice A_{ik} = 0 \; \; \forall i < k$ a $\matice B_{kj} = 0 \; \; \forall k < j \). Tudíž:
\[ \matice C_{ij} = \sum_{k = 1}^n \matice A_{ik} \matice B_{kj} = \sum_{k = 1}^i \matice A_{ik} \matice B_{kj} = \sum_{k = j}^i \matice A_{ik} \matice B_{kj} \]
což je rovno 0 pro \( i < j \) a \( \matice A_{ii} \matice B_{ii}$ pro $i = j \). Důkaz pro horní trojúhelníkové matice je obdobný.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}
\label{InverzeTrojuhelniku}
Nechť je \( \matice A \in \mathbbm C^{n, n} \) regulární dolní (resp. horní) trojúhelníková matice. Pak matice \( \matice A^{-1} \) je dolní (resp. horní) trojúhelníková. Dále pak platí:
\[ \forall i \in \hat n, (\matice A^{-1})_{ii} = \frac{1}{\matice A_{ii} } \]
\begin{proof}
TODO
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}
\label{LDR}
Každou regulární matici \( \matice A \in \mathbbm C^{n, n} \) lze jednoznačně vyjádřit ve tvaru součinu:
\[ \matice A = \matice L \matice D \matice R \]
kde:
\begin{itemize}
\item \( \matice L \) je dolní trojúhelníková matice s jedničkami na diagonále
\item \( \matice D \) je diagonální matice
\item \( \matice R \) je horní trojúhelníková matice s jedničkami na diagonále
\end{itemize}
\begin{proof}
~ \\
\begin{enumerate}[(1)]
\item existence
indukcí podle \( n \)
\begin{itemize}
\item \( n=1 \)
\\ \( \matice A \in \mathbbm C^{1, 1} \Rightarrow \matice A = ( \matice A_{11} ) = \matice 1 (\matice A_{11} ) 1 \)
kde \( \matice L = 1 \) a \( \matice R = 1 \)
\item \( n \rightarrow n + 1 \)
\\ \( \matice A \in \mathbbm C^{n+1, n+1} \matice A =
\begin{pmatrix}
\matice A' & \vec v \\
\vec u^T & \alpha \\
\end{pmatrix}
\Rightarrow \matice A' \in \mathbbm C^{n, n} \Rightarrow \matice A' = \matice {L' D' R'}
\\* \matice A = \matice {LDR} \) a hledám \( \vec l \), \( \vec r \) a \( d_{n+1} \) tak, aby platil rozklad:
\\*
\\* \( \begin{pmatrix}
\matice L' & \vec 0 \\
\vec l^T & 1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\matice D' & \vec 0 \\
\vec 0^T & d_{n+1} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\matice R' & \vec r \\
\vec 0^T & 1 \\
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
\matice {L' D'} & \vec 0 \\
\vec l^T \matice D' & d_{n+1} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\matice R' & \vec r \\
\vec 0^T & 1 \\
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
\matice {L' D' R'} & \matice {L' D'} \vec r \\
\vec l^T \matice {D' R'} & \vec r \vec l^T \matice D' + d_{n+1} \\
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
\matice A' & \vec v \\
\vec u^T & \alpha \\
\end{pmatrix}
\\*
\\* \matice {L' D'} \vec r = \vec v \Rightarrow \vec r = (\matice {L' D'})^{-1} \vec v
\\* \vec l^T \matice {D' R'} = \vec u^T \Rightarrow \vec u = (\matice {D' R'})^T = \vec l \Rightarrow \vec l = ((\matice {D' R'})^T)^{-1} \vec u
\\* d_{n+1} = \alpha - \vec r \vec l^T \matice D'
\)
\end{itemize}
\item jednoznačnost
\\* \( \matice A =\matice L_1 \matice D_1 \matice R_1 = \matice L_2 \matice D_2 \matice R_2
\\* \matice D_1 \matice R_1 = (\matice L_1)^{-1} \matice L_2 \matice D_2 \matice R_2
\\* \matice D_1 \matice R_1 (\matice R_2)^{-1} = (\matice L_1)^{-1} \matice L_2 \matice D_2 \)
kde \( \matice D_1 \matice R_1 (\matice R_2)^{-1} \) je horní trojúhelníková matice a \( (\matice L_1)^{-1} \matice L_2 \matice D_2 \) je dolní trojúhelníková matice
\\* \( \Rightarrow (\matice L_1)^{-1} \matice L_2 \) je diagonální a má jedničky na diagonále, tzn. \( (\matice L_1)^{-1} \matice L_2 = \matice I
\\* \Rightarrow (\matice L_1)^{-1} \matice L_2 = \matice I \Rightarrow \matice L_1 = \matice L_2
\\* \matice R_1 (\matice R_2)^{-1} = \matice I \Rightarrow \matice R_1 = \matice R_2
\\* \matice D_1 = \matice D_2 \)
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Čísla na diagonále matice \( \matice D \) z \ref{LDR} \textbf{nejsou} vlastními čísly matice \( \matice A \)
\end{remark}
