Diskuse:01MAA3

NĚKOLIK PRAVIDEL PRO DISKUZI ZDE A OPRAVY

1. Dodržujte odsazování pomocí dvojteček, za svůj příspěvek vložte 4 vlnky - doplní se místo nich datum a čas příspěvků. Diskuze je jinak nepřehledná.
2. Po editaci přeložte znovu kapitolu i celá skripta, ušetříte tím ostatních občas spoustu času při hledání drobné chyby po Vaší editaci (když se kvůli nim např. nemůže dokument přeložit).
3. Uvádějte Vaše změny ve shrnutí editace. Pokud jenom opravujete překlep, zaškrtněte malá editace. Usnadňuje to orientaci v Posledních změnách.

Poznámky

• Jen drobná poznámka - při výstupu z překladače jsem se snažil ho aspoň trochu zpřehlednit parsováním chyb, bohužel i tak je to občas nepřehledné. Pokud by se komukoliv podařilo vymyslet lepší skript pro parsování výstupu z texu (log) pomocí php, tak se to dá změnit. Nic není dokonalé. AdminMédia:slug.jpg 16. 1. 2010, 20:10 (UTC)

Hlasování

Ahoj všem. Mám takový návrh, ale nejsem schopen odhadnout, do jaké míry s ním budete souhlasit. Mně osobně by přišlo velice šikovné, pokud by kapitola začínala vždy na nové stránce. Zaprvé by to bylo přehlednější, zadruhé by se vyřešil následující problém. Průvodce si tisknu po kapitolách, aby v případě, kdy se kompletně jedna kapitola změní, jsem ji mohl akorát přetisknout. A teď to musím dělat tak, že si nechám vygenerovat PDF pro kapitolu. Nicméně tam je úplně rozhozené číslování a nefungují odkazy do jiných kapitol. Takhle bych si vytiskl akorát strany z rozsahu dané kapitoly celého průvodce. Můžete prosím zde vyjádřit svůj názor, jestli jste pro, nebo proti tomu, aby kapitoly začínaly na nové stránce? Karel.brinda 3. 2. 2010, 11:06 (UTC)

mě by to nevadilo, případně to můžeš udělat i s dalším dílem. Tomas 3. 2. 2010, 18:01 (UTC)

Věci k doplnění/opravení

• Derivace vyšších řádů - opravit podle Vránových skript (http://su.fjfi.cvut.cz/studium/materialy/materialy.php?material=18)
• V kapitolách o topologii doplnit chybějící věty a důkazy a přidat tam více poznámek.
• Trošku jsem ještě doplnil a poopravil zápis ve větě "o přírůstku" 11.8.... + Obecná poznámka! Dobrý je si po svojí úpravě ještě přeložit, protože jinej člověk pak hledá, v kterým souboru je chyba, když ji tam někdo jinej nechá... Takhle to podle mne vypadá docela dobře.... Jirka Slabý Slabyji2 12. 1. 2010, 13:48 (UTC)

• Dovolil jsem si udělat v průvodci malý vtip. Kdo na něj přijde, ten ho neničí! Díky! Slabyji2 12. 1. 2010, 22:58 (UTC)

Vyřešeno

Poznámka u definice 4.5

Není pravda, že koule musí být konvexní (určitě to platí akorát u metriky indukované normou). Krbálek se nad tím zamýšlel a vymyslel následující metriku pro lineární prostor (kvůli konvexnosti): <math>\sum_i(horniCelaCast(|x_i-y_i|))</math>, kde <math>x_i</math> a <math>y_i</math> jsou složky vektorů. Můžete někdo ještě nezávisle na mě ověřit, že to splňuje axiomy metriky a že taková koule (např. v <math>\R^2</math>) může být nekonvexní? Abych tam nenapsal nějakou blbost. Karel.brinda 16. 1. 2010, 08:25 (UTC)

Koule generovaná metrikou nemusí být konvexní, pouze pokud je generovaná normou. Ale ten tvůj příklad metriky generuje konvexní kouli v tvaru pásu. Ale příklad nějaké metriky které generuje nekonvexní koule mě nenapadl. Možná <math>(\sum\sqrt(x_i-y_i))^2</math> Tomas 16. 1. 2010, 09:26 (UTC)

Koule generovaná mou (spíše tedy Krbálkovou) metrikou by neměla být vždy konvexní. Vezměme rovinu, střed v (0,0), poloměr 1,5 - dostaneš takový kříž, do kterého budou patřit např. body (1,0), (0,1). Body na jejich spojnici tam ale nebudou. Karel.brinda 16. 1. 2010, 10:52 (UTC)

Vrána na přednášce říkal "v lineárním prostoru". Slabyji2 18. 1. 2010, 15:39 (UTC)

Ono to právě nemusí fungovat ani v lineárním prostoru, pokud je tam definována např. právě schodová metrika (viz. výše).

Axiomy oddělitelnosti (kapitola 5)

Podle mě je špatně formulován axiom T0 (takhle by to bylo to samé co T1). Mrkněte třeba na http://en.wikipedia.org/wiki/T0_space. Správně by to mělo být: <math>(\forall x,y\in X)(x \neq y)(\exists okoli H)( (x\in H \and y \not\in H) \or (y\in H \and x \not\in H))</math> Karel.brinda 13. 1. 2010, 11:23 (UTC)

Jo tak nějak by to mohlo být, s tím, že já to tu mám formulované x není y, existuje buď okolí x tak že y v něm neleží nebo existuje okolí y tak že x v tom okolí neleží. Slabyji2 13. 1. 2010, 14:43 (UTC)

Rovnou by se tam mohly dopsat ty zbylé 2 axiomy.Tomas 13. 1. 2010, 16:26 (UTC)

No ono těch zbylých je ještě spousta (http://en.wikipedia.org/wiki/Separation_axiom) - např. <math>T_{2\frac{1}{2}} </math> :-). Jak jsme to dělali s Vránou na přednáškách, si přesně nepamatuji (jestli zmiňoval jenom tyhle 3, nebo přidával i další). Na cvičeních s p. Fučíkem jsme dělali ještě T4 a T5 (alespoň myslím, že to byly právě tyhle 2, do poznámek ze cvičení se budu moct podívat až večer a pak to tam tedy rovnou opravím). Karel.brinda 13. 1. 2010, 16:40 (UTC)

Tak tam jsou. Mohl bys to, prosím, ještě zkontrolovat, jestli to je v pořádku? Minimálně v jednom axiomu, jak jsem si ho zapsal na cvičeních, jsem měl chybu (alespoň co jsem to konfrontoval s Wikipedií), ten jsem si opravil. A vůbec jsem se nezamýšlel, jestli ty axiomy jsou správně s ohledem na Vránovu definici okolí, protože na cvičeních jsme měli okolí otevřená. Karel.brinda 14. 1. 2010, 00:13 (UTC)

Myslím že je to špatně, v T_3 a T_4 má být tvrzením toho axiomu, že existují disjunktní okolí. To je také důvod proč se to nazývá axiomy oddělitelnosti. Ještě T_3 prostor se nazývá regulární a T_4 normální. Také platí věta že metrický prostor je normální, důkaz si čtenář snadno dokáže sám :-).

Samozřejmě tam mělo být, že průnik je prázdná množiny. To byl důsledek té půl druhé ráno :-). Karel.brinda 14. 1. 2010, 08:57 (UTC)

To je přesně ten problém Vrána vs. zbytek světa. Vnějšek množiny <math>\{\smile\bullet\smile\} \cup Studenti_{\smile\bullet\smile}</math> (abych se vyjádřil správně topologicky) definuje okolí pouze otevřené. Vrána definuje okolí obecněji. Takže třeba na wikipedii uvádějí, že existuje U z topologie, kde je x XOR y, u Vrány by se muselo zmínit ještě, že se to musí být dokonce z vnitřku (pokud bychom udržet ten wikipeďácký styl). Karel.brinda 13. 1. 2010, 23:31 (UTC)

Věta 7.4

Je na <math>\R^n</math> definován interval? Nemělo by zde být pouze <math>\R</math>? Pokud tedy na <math>\R^n</math> definován je (pravděpodobně přes koule), tak by se ta definice měla někam sem přidat. Karel.brinda 14. 1. 2010, 12:33 (UTC)

interval v <math>\R^n</math> bude definován asi jako kartézský součin klasických intervalů...když někdo najdete přesnou definici, tak ji tam přidejte... Slabyji2 15. 1. 2010, 13:46 (UTC)

Asi budeš mít pravdu - viz třeba http://en.wikipedia.org/wiki/Interval_(mathematics)#Multi-dimensional_intervals. Jdu to tam tedy přidat. Karel.brinda 15. 1. 2010, 18:54 (UTC)

Definici budete mít příští semestr - viz 01MAA4:kapitola21. Uživatel:Admin Média:slug.jpg 16. 1. 2010, 20:17 (UTC)

Věta 8.6

Dotaz k větě 9.6 - nemohlo by být její znění ještě obecnější? - "Spojitá reálná funkce na souvislé množině nabývá infima, suprema a všeho mezi tím."

Domnívám se, že ta věta je špatně.

Správně je dle mého

"Spojitá reálná funkce nabývá na souvislé množině mezi každými dvěma svými hodnotami, také všechny hodnoty mezi nimi." (mám dojem, že tuhle větu spáchal Weierstrass)

Protože původní věta neplatí aspoň dle mého například na (0,1), pro 1/x. (0,1) je souvislá množina, a 1/x je spojitá. Ale rozhodně nenabývá suprema.

Máš pravdu. S tím supremem a infimem to vlastně platí na kompaktech. To, co říkáš, jsem někde našel jako Darbouxovu vlastnost. Tak to tam asi rovnou oprav.

a nemělo by to být prostě na kompaktní souvislé množině? Potom ta věta taky platí.

A je tam pak k něčemu ten předpoklad souvislosti? Karel.brinda 11. 1. 2010, 20:04 (UTC)

Samozřejmě třeba funkce f(x) = x na množině <math><0,1> \cup <2,3></math> sice nabývá suprema a infima, ale ne hodnot mezi 1 a 2. Tomas 11. 1. 2010, 20:19 (UTC)

Věta 8.7, poznámka 2

Druhou poznámku lze snadno vyvrátit: Nechť A = (0,1) a (1,2) , komponenty souvislosti B_1 = (0,1), B_2 = (1,2), obě otevřené v R. Myslím, že autor míní výrok: "Komponenta A je uzavřená v A." Dokázal bych si představit i případy, kdy budou komponenty nutně obojetné, ale nevím, jestli to platí obecně.

"Komponenta A je uzavřená v A."? to je dost divné, není jakákoli množina uzavřená sama v sobě? Tomas 18. 1. 2010, 09:15 (UTC)

"Komponenta A je uzavřená v A." je blbost, to je prostě vždy pravda. Na druhou stranu nechápu ten protipříklad. Přeci komponenta souvislosti náleží k nějakýmu bodu, nelze si jenom tak říct, že to bude nějaká množina. Měním to zpátky na původní tvar, vyřčený vránou na přednášce (pokud mám dobře poznamenáno). Slabyji2 18. 1. 2010, 15:14 (UTC)

Pánové, díky za opravu, bylo to myšleno přesně tak, jak to je v opravené verzi. Vše vyvstalo z mé velmi netypické formulace, písmenko A jsem přiřadil celému prostoru - podprostoru R. Dále, "Komponenta A je uzavřená v A" jsem měl formulovat jako "Komponenta prostoru A je uzavřená v A". V mém protipříkladu jsem to myslel následovně: Máme (pod)prostor X = (0,1) a (1,2), ten je nesouvislý. Jednotlivé komponenty jsou zřejmě otevřené v R, ale jsou uzavřené v X. Prostě, bez toho, abychom dodali, kde jsou komponenty uzavřené, mohla poznámka 2 být zavádějící. Nicméně, ještě jednou díky za spolupráci. P.S.: Používám spojení komponenta prostoru, nevím jak by to řekla Vrána, dle kapitolky "Conectedness - Souvislost" v knize "Theory and problems of general topology - Lipschutz, Seymour" (mimochodem výborná kniha, je tam mnoho obrázků a příkladů) přiřazuji pojem komponenta pojmu prostoru, nikoli samotnému bodu.

Definice 8.9

Dovolím si posunout promennou u fi_2 na fi_2(t+alpha2-beta1). Na přednášce jsem nebyl, definici poznačenou nemám, ale takto to dává smysl i pro případ, že ty intervaly proměnných na sebe nenavazují.

Definice 10.7

Můžete někdo poopravit definici souřadného systému pokud je to třeba? Zhruba takhle jsem ji měl poznamenanou z přednášky. Slabyji2 16. 1. 2010, 19:45 (UTC)

Kontroloval jsem to a tvoje definice je ekvivaletní té, kterou má Vrána ve skriptech. Jedině snad, že on tam používá košatější jazyk :)Hirscjan 19. 1. 2010, 14:15 (UTC)

Poznámka 3.6.6.

V poznámce 3.6.6 je užita nerovnost bez jakéhokoliv odkazu na její předchozí výskyt, nebo aspoň poznámky, že spadla z nebe.

Opravil jsem to, snad je to teď jasnější. Tomas 31. 1. 2010, 19:10 (UTC)

Věta 8.6

Důkaz tak, jak je napsán, podle mě funguje jenom pro reálné těleso (část b) 2)), ale nebylo by obtížné to opravit tak, aby to fungovalo i pro komplexní. Je někde ve wikiskriptu specifikováno, že se u lineárních prostorů předpokládají pouze reálná tělesa? Karel.brinda 14. 1. 2010, 13:09 (UTC)

Lemmátka 7.8 a 7.9

Pokusil jsem se napsat důkazy těchto lemmátek trošku pořádněji. Zkontrolujte někdo prosím, zda tam nemám chyby, překlepy, atd... Karel.brinda 19. 1. 2010, 18:41 (UTC)

Věta 10.9 (o přírůstku)

V posledním výrazu (po apklikaci Lagrange) má být tuším parciální derivace, derivace podle <math>x_i</math> mi přijde zavádějící, protože za <math>x_i</math> se pak bere níže definovaný vektor/bod. Opravuji. Pokud se mýlím, nechť jsem proklet a někdo to opravte zpět :) Ladislav.horky 19. 1. 2010, 20:16 (UTC)

Věta 11.14 o přírůstku zobrazení

Doplnit důkaz z přednášky. Slabyji2 19. 1. 2010, 21:31 (UTC)

Důkaz je ve původních Vránových skriptech, věta 8.3 Tomas 24. 1. 2010, 17:27 (UTC)

Věta 11.15

Nemá někdo v poznámkách tuhle větu? Nutnost konečné dimenze X by měla nejspíš plynout z věty 12.14, kterou jsme na přednášce dokazovali jen pro prostor s konečnou dimenzí. Mám ale pocit, že tu konečnou dimenzi by měl mít spíš prostor Y... Radek.Novak 24. 1. 2010, 16:36 (UTC)

Je to věta 8.4 ve Vránových skriptech (http://su.fjfi.cvut.cz/studium/materialy/materialy.php?material=18) Tomas 24. 1. 2010, 17:19 (UTC)

To jsem si samozřejmě našel. Podle všeho by tam ten předpoklad neměl být a já myslím, že je v Průvodci napsaný jen proto, že jsme předchozí větu dokazovali pro konečnou dimenzi. Otázka je, který prostor měl v důkazu předchozí věty na přednášce konečnou dimenzi. Pokud tam byla ta konečnost opravdu jen kvůli tomu, mělo by to asi zmizet z tvrzení věty a přesunout se jako poznámka do důkazu, případně zmizet úplně. Radek.Novak 24. 1. 2010, 17:34 (UTC)

Věta 11.17

Důkaz doplněn, prosím o kontrolu.Hirscjan 19. 1. 2010, 17:34 (UTC)

Bylo to dobře až na malou chybičku, kterou jsem opravil. Radek.Novak 25. 1. 2010, 09:12 (UTC)