02GMF1:Kapitola1
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 1. 8. 2013, 21:12, kterou vytvořil Kyseljar (diskuse | příspěvky) (z description zpět na itemize)
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02GMF1
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02GMF1 | Kyseljar | 21. 3. 2013 | 21:31 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 13:50 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Kyseljar | 21. 3. 2013 | 21:12 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Diferencovatelné variety | Kyseljar | 10. 11. 2013 | 12:32 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Tečné vektory k varietě | Kyseljar | 27. 10. 2013 | 16:12 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Tečný bundle, vektorová pole, integrální křivky | Kyseljar | 27. 10. 2013 | 17:38 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Abstraktnější pohled na vektorová pole | Kyseljar | 21. 3. 2013 | 21:17 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Diferenciální formy | Kyseljar | 27. 10. 2013 | 19:30 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Operace s diferenciálními formami | Kyseljar | 30. 10. 2013 | 00:05 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Zobrazení indukovaná zobrazením variet, podvariety | Kyseljar | 31. 10. 2013 | 11:24 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Lieova derivace | Kyseljar | 10. 11. 2013 | 14:44 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Geometrická formulace Hamiltonovy mechaniky | Kyseljar | 10. 11. 2013 | 16:26 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Integrace forem | Kyseljar | 10. 11. 2013 | 17:15 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Integrace na varietách s hranicí, Stokesova věta | Kyseljar | 10. 11. 2013 | 20:00 | kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Variety s dodatečnou strukturou | Kyseljar | 21. 3. 2013 | 21:19 | kapitola12.tex | |
Kapitola13 | editovat | Literatura a poznámka na konec | Kyseljar | 30. 3. 2013 | 00:08 | literatura.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02GMF1} \chapter{Diferencovatelné variety} Geometrickými vlastnostmi matematických struktur se v principu zabývají dvě oblasti matematiky: \begin{itemize} \item \textbf{Algebraická geometrie} zkoumá útvary v daném prostoru ($\R^n, \mathbb{C}^n,\mathbb{CP}^n$, \ldots) zadané jako množina řešení (systémů) polynomiálních rovnic, tzv. algebraické variety (angl. variety), které mohou obsahovat různé typy singularit, viz např. $x\cdot y = 0$ v $\R^2[x,y]$. Jedná se o velice abstraktní oblast matematiky. \item \textbf{Diferenciální geometrie}, neboli globální analýza, zkoumá topologické prostory, které jsou lokálně ztotožnitelné s $\R^n$, ze kterého se na ně přenáší pojmy známé z analýzy. Podstatné jsou vnitřní vlastnosti a jejich popis v různých souřadnicích, nikoliv způsob vnoření do nějakého vektorového či afinního prostoru. Základním pojmem je tzv. diferencovatelná (neboli hladká) varieta (angl. manifold). \end{itemize} ~\\ %% Uvažujme topologický prostor $(M,\tau)$ s následujícími vlastnostmi: \begin{enumerate} \item $(M,\tau)$ je Hausdorffův, tj. $(\forall x,y \in M, x \neq y)( \exists U = U^\circ, x \in U)(\exists V = V^\circ, y \in V)( U \cap V = \emptyset)$ \item $(M,\tau)$ je parakompaktní, což znamená: \begin{defi} Nechť jsou $\pokryti \in \tau, \pokrytiA \in \tau$ dvě otevřená pokrytí $(M, \tau)$, tj. $\bigcup_{\alpha \in I} U_\alpha = M = \bigcup_{\beta \in J} V_\beta$, pak $\pokrytiA$ je \textbf{zjemněním} $\pokryti \Leftrightarrow (\forall \beta \in J) (\exists \alpha \in I)( V_\beta \subset U_\alpha)$. \end{defi} \begin{defi} Otevřené pokrytí $\pokryti$ topologického prostoru $(M, \tau)$ je \textbf{lokálně konečné} $\Leftrightarrow \ (\forall x \in M)(\exists J \subset I, \#\{ J\} < + \infty)(\forall \alpha \in I \setminus J)(\{x\} \cap U_\alpha = \emptyset)$ . \end{defi} \begin{defi} $(M,\tau)$ je \textbf{parakompaktní} $\Leftrightarrow$ pro každé pokrytí $\pokryti$ existuje lokálně konečné zjemnění. \end{defi} \end{enumerate} Místo parakompaktnosti se často žádá silnější podmínka, a to aby byl $(M,\tau)$ \textbf{lokálně kompaktní} (tj. každý bod $p$ má kompaktní okolí, tj. kompaktní množinu obsahující otevřenou množinu obsahující $p$) se \textbf{spočetnou bází topologie} (tj. ($\exists \pokryti: U_\alpha = U_\alpha^\circ, I$ je spočetná)$(\forall V \in \tau)(\exists J \subset I)(V = \bigcup_{\alpha \in J} U_\alpha))$. \begin{defi} Nechť $(M, \tau)$, $U = U^\circ \subset M$, $V = V^\circ \subset \R^n$. Pak homeomorfizmus $\varphi : U \rightarrow V$ nazýváme \textbf{mapa} či \textbf{lokální souřadnice} na $M$. $U$ nazýváme \textbf{souřadnicové okolí} v $M$. \end{defi} \begin{defi} Otevřené pokrytí $\pokryti$ topologického prostoru $(M, \tau)$ vybavené mapami $\varphi_\alpha: U_\alpha \rightarrow \varphi_\alpha(U_\alpha)$ nazýváme \textbf{atlas} na $M$ a $n$ nazýváme \textbf{dimenzí atlasu}. Atlas obvykle značíme $\atlas$. (Připomeňme, že $\varphi_\alpha(U_\alpha) = (\varphi_\alpha(U_\alpha))^\circ \subset \R^n$.) \end{defi} \begin{pozn} Klademe $\dim M = n$ ($n$ viz předchozí definice). \end{pozn} \begin{pozn} $C^\omega$ označuje analytické funkce (jejichž Taylorův rozvoj konverguje v každém bodě). \end{pozn} \begin{pozn} Standardně budeme uvažovat $C^\infty$, tj. funkce libovolněkrát diferencovatelné. \end{pozn} \begin{defi} Buď $k \in \mathbb{N}$, popř. $k \in \{ \infty, \omega \}$. Atlas $\atlas$ na $M$ je \textbf{třídy} {\boldmath$C^k$} $\Leftrightarrow$ $(\forall \alpha, \beta \in I: U_\alpha \cap U_\beta \neq \emptyset)$ je zobrazení \mbox{$\tau_{\alpha \beta} = \varphi_\beta \circ \varphi_\alpha^{-1}: \varphi_\alpha (U_\alpha \cap U_\beta) \subset \R^n \rightarrow \varphi_\beta(U_\alpha \cap U_\beta) \subset \R^n$} třídy $C^k$ a zároveň zobrazení inverzní je třídy $C^k$. \end{defi} \begin{defi} Zobrazení $\tau_{\alpha \beta}$ z předchozí definice nazýváme \textbf{přechodová funkce}. \end{defi} \begin{defi} Mapa $(U, \varphi)$ je {\boldmath$C^k$}\textbf{-kompatibilní} s atlasem $\atlas \Leftrightarrow (\forall \alpha \in I: U \cap U_\alpha \neq \emptyset)$ $(\varphi_\alpha \circ \varphi^{-1}: \varphi(U \cap U_\alpha) \rightarrow \varphi_\alpha (U \cap U_\alpha)$ je třídy $C^k$ a současně $\varphi \circ \varphi_\alpha^{-1}$ je třídy $C^k$, tj. $\varphi \circ \varphi_\alpha^{-1}$ je difeomorfizmus třídy $C^k)$ \end{defi} \begin{defi} Atlas $\atlas$ třídy $C^k$ na $M$ je \textbf{maximální} $\Leftrightarrow$ obsahuje všechny mapy s ním $C^k$-kompatibilní. Maximální atlas třídy $C^\infty$ na $M$ nazýváme \textbf{diferencovatelná} či \textbf{hladká struktura} na $M$. \end{defi} \begin{defi} Topologický Hausdorffův parakompaktní prostor $(M, \tau)$ vybavený diferencovatelnou strukturou nazýváme \textbf{diferencovatelná varieta} (neboli \textbf{hladká varieta}). \end{defi} \begin{pozn} Díky lokálnímu ztotožnění topologického prostoru $M$ s prostorem $\R^n$ pomocí atlasu jsme najednou schopni na $M$ např. derivovat, zkoumat hladkost atd. \end{pozn} \begin{pozn} Většinou se setkáme s varietami pokrytými nejvýše spočetným systémem map. Pak lze topologii $\tau$ převést pomocí $\varphi_\alpha^{-1}$ z $\R^n$ a nemusí být zadána předem. Maximalita atlasu se vyžaduje za účelem jednoznačnosti pojmu varieta. Při praktickém počítání použijeme spíše atlas s minimálním počtem map. \end{pozn} \begin{defi} Spojité zobrazení $\phi$ dvou diferencovatelných variet $M$ a $N$ ($\phi: M \rightarrow N$) je \textbf{hladké} (tj. třídy $C^\infty$) $\Leftrightarrow$ pro každou mapu $(U_\alpha,\varphi_\alpha)$ z atlasu $M$ a pro každou mapu $(V_\beta, \psi_\beta)$ z atlasu $N$, kde $\ \phi(U_\alpha) \cap V_\beta \neq \emptyset$, je zobrazení $\psi_\beta \circ \phi \circ \varphi_\alpha^{-1}: \varphi_\alpha(U_\alpha \cap \phi^{(-1)}(V_\beta)) \subset \R^m \rightarrow \psi_\beta (\phi(U_\alpha) \cap V_\beta) \subset \R^n$ hladké, kde $m = \dim M$ a $n = \dim N$. \end{defi} \begin{defi} Hladkou bijekci $\phi: M \rightarrow N$ takovou, že $\phi^{-1}$ je též hladké, nazýváme \textbf{difeomorfizmus} variet M a N. \end{defi} \begin{pozn} Difeomorfní variety považujeme za ekvivalentní a pro praktické účely je ztotožňujeme, např. $S^2 \simeq \mathbb{CP}^1$. \end{pozn} Často diferencovatelné variety zadáváme pomocí vazeb, tj. jako vzor $F^{(-1)}(y_0)$ nějakého vybraného bodu $y_0 \in \R^r$ při zobrazení $F: \R^{n+r} \rightarrow \R^r$. Topologii na $F^{(-1)}(y_0)$ uvažujeme indukovanou z $\R^{n+r}$ (indukuje se tak lokální kompaktnost, spočetná báze a to, že prostor je Hausdorffův), mapy přenášíme pomocí věty o implicitní funkci. Její aplikací dostáváme následující větu. \begin{veta} Buď $F: \R^{r+n} \rightarrow \R^r$ třídy $C^\infty$, $y_0 \in \R^r$, $F^{(-1)}(y_0) = \{ x \in \R^{r+n} | F(x) = y_0\}$ a nechť $\forall x \in F^{(-1)}(y_0)$ platí $\rank{} \, \de{F(x)} = \dim \R^r = r$. Pak $F^{(-1)}(y_0)$ je diferencovatelnou varietou dimenze $n$ s mapami vytvořenými s využitím věty o implicitní funkci. \end{veta} \begin{pozn} Pokud $\varphi_\alpha: U_\alpha \rightarrow \R^{2n} \cong \mathbb{C}^n$, tak může nastat situace, kdy jsou všechny přechodové funkce $\tau_{\alpha \beta}: \mathbb{C}^n \rightarrow \mathbb{C}^n$ na svém definičním oboru holomorfní. Tím pádem máme holomorfní atlas definující tzv. $n$-rozměrnou \textbf{komplexní varietu}. Každá $n$-rozměrná komplexní varieta je $2n$-rozměrnou reálnou varietou, opačná implikace obecně neplatí. \end{pozn} \begin{pozn} Máme-li $(M, \tau, \atlas)$, $(N, \sigma, \{(V_\beta, \psi_\beta)\}_{\beta \in J})$, $\dim M = m, \dim N = n$, dvě variety, pak lze na $M \times N$ přirozeně zavést \textbf{součinovou topologii} $\tau \times \sigma$ (otevřené množiny jsou konečné průniky a libovolná sjednocení kartézských součinů otevřených množin). S mapami $\chi_{\alpha \beta}: U_\alpha \times V_\beta \rightarrow \R^m \times \R^n$, $\chi_{\alpha \beta}(u,v) = (\varphi_\alpha(u), \psi_\beta(v))$, je pak taková množina $M \times N$ $(m+n)$-rozměrnou diferencovatelnou varietou. \end{pozn}