02GMF1:Kapitola2
%\chapter{Tečné vektory k varietě}
Chceme zavést na varietě obdobu derivace ve směru vektoru v $\R^n$. Máme dvě možnosti: pomocí křivek a pomocí zobrazení.
\section*{Zavedení tečného vektoru pomocí křivek}
\begin{defi} Hladké zobrazení $\gamma: (a,b) \rightarrow M$, kde $a < 0 < b$, nazýváme \textbf{(hladká) křivka} ve varietě $M$ vycházející z bodu $p_0 = \gamma(0)$. \end{defi}
\begin{pozn} {\boldmath $\Cnek$} $\coloneq \{ f: M \rightarrow \R$ třídy $C^\infty\}$ \end{pozn}
\begin{pozn} Zavádíme ekvivalenci mezi křivkami vycházejícími z $p_0 \in M$ ($f \circ \gamma: (a,b) \subset \R \rightarrow \R$, tj. $\restr{\der}{t=0}$ má smysl): \[ \gamma \sim \tilde{\gamma} \Leftrightarrow ( \forall f \in \Cnek) \left( \restr{\der (f \circ \gamma)}{t=0} = \restr{ \der (f \circ \tilde{\gamma})}{t=0} \right). \] \end{pozn}
\begin{defi} \textbf{Tečný vektor $X$} k varietě $M$ v bodě $p_0 \in M$ je libovolná třída ekvivalence křivek $[\gamma]$ vycházejících z bodu $p_0$. \end{defi}
\begin{defi} \textbf{Derivace fukce {\boldmath $f$} ve směru tečného vektoru {\boldmath $X$}}, $f \in \Cnek$, je dána vztahem $X f = \restr{\der (f \circ \gamma)}{t=0}$ pro libovolnou $\gamma \in [\gamma]$. \end{defi}
V libovolných lokálních souřadnicích $x^i = \varphi^i (p), \ p \in U = U^\circ, \ p_0 \in U, \ x_0 = \varphi(p_0)$ můžeme tečný vektor ztotožnit se směrovou derivací $X = \sum_{i=1}^n X^i \restr{\pder{x^i}}{x_0}$, kde $X^i = X \varphi^i = \restr{\der (\varphi^i \circ \gamma)}{t=0} \in \R$ (všimněme si, že $\varphi^i \circ \gamma$ je $i$-tá složka křivky $\gamma$ v souřadnicovém vyjádření $\varphi$), neboť dle vztahu pro derivaci složené funkce máme ($x_0 = \varphi(\gamma(0))$): \[ \sum_{i=1}^n X^i \restr{\pder{x^i}}{x_0} F = \sum_{i=1}^n \restr{\der (\varphi^i \circ \gamma)}{t=0} \restr{\pder{x^i}(f \circ \varphi^{-1})}{x_0} = \restr{\der (f \circ \varphi^{-1} \circ \varphi \circ \gamma)}{t=0}= \restr{\der (f \circ \gamma)}{t=0} . \] Tedy $Xf = \sum_{i=1}^n X^i \restr{\pder{x^i}}{x_0} F$. Reálnou funkci $F$, kde $F = f \circ \varphi^{-1}: \varphi(U) = \varphi(U)^\circ \subset \R^n \rightarrow \R$, nazýváme \textbf{vyjádření funkce {\boldmath $f$} v lokálních souřadnicích $(x^i)$}. Většinou ji značíme stejně jako samotnou fuknci $f$ a použité souřadnice vyplývají z kontextu.
Podobně většinou píšeme $\restr{\pder{x^i}}{p_0}$ místo $\restr{\pder{x^i}}{\varphi(p_0)}$, tj. ztotožňujeme bod a jeho souřadnicové vyjádření v souřadnicích použitých v daném výrazu. Souřadnice až na výjimky píšeme s horními indexy.
Nadále budeme využívat sumační konvenci -- index vyskytující se jednou nahoře a jednou dole se sčítá od 1 do dimenze variety.
\begin{pozn} Nechť $X^i \in \R$. Pak operátor $X$ definovaný jako $X= X^i \restr{\pder{x^i}}{p_0}$ je působením tečného vektoru $[\gamma]$, kde $\gamma$ je v souřadnicích $(x^i)$ definována způsobem $\gamma^i (t) = x^i (p_0) + t \, X^i$. \end{pozn}
Při změně souřadnic $(x^i) \rightarrow (\tilde{x}^i)$ se souřadnicové vyjádření tečného vektoru mění podle vztahu pro derivaci složené funkce: $X^i = \restr{\der x^i (\gamma(t))}{t=0}$ a $\tilde{X}^i = \restr{\der \tilde{x}^i (\gamma (t))}{t=0} = \restr{\pderA{\tilde{x}^i}{x^j}}{p} \restr{\der x^j (\gamma(t))}{t=0} = \restr{\pderA{\tilde{x}^i}{x^j}}{p} X^j$, z~čehož plyne vztah \[ X = \tilde{X}^i \restr{\pder{\tilde{x}^i}}{p} = X^j \restr{\pderA{\tilde{x}^i}{x^j}}{p} \restr{\pder{\tilde{x}^i}}{p} = X^j \restr{\pder{x^j}}{p}. \]
\section*{Zavedení tečného vektoru pomocí zobrazení}
\begin{defi} \textbf{Tečný vektor $X$} k varietě $M$ v bodě $p \in M$ je zobrazení $X: \Cnek \rightarrow \R$ vyhovující následujícím podmínkám: \begin{enumerate} \item $(\forall f,g \in \Cnek)(\forall a \in \R)(X(a f + g)=a X f + X g)$, tj. linearita \item $(\forall f, g \in \Cnek)(X(f g) = f(p) (X g) + (X f) g(p))$, tj. Leibnizovo pravidlo \item $(\forall f, g \in \Cnek)((\exists U = U^\circ, p \in U)(\forall r\in U)(f(r) = g(r)) \Rightarrow X f = X g)$ \label{tretiPodm} \end{enumerate} \end{defi}
\begin{veta} Uvedené dvě definice tečného vektoru jsou ekvivalentní. \end{veta} \begin{dukaz} $X = [\gamma] \rightarrow X = X^i \pder{x^i}, X^i = \restr{\der(\varphi^i \circ \gamma)}{t=0}$ splňuje linearitu, Leibnizovo pravidlo i rovnost na funkcích splývajících na okolí.
Naopak, mějme $X: \Cnek \rightarrow \R$ vyhovující vlastnostem. Definujme $X^i = X \varphi^i$, kde $(\varphi^i)$ jsou souřadnice na $U$ okolí $p$. Přísně vzato potřebujeme $\varphi$ jako funkci na celém $M$, k tomu si pomůžeme podmínkou \eqref{tretiPodm}. Nechť $U_1 \subset U_2$ jsou vzory otevřených do sebe vnořených koulí v $\R^n \cap \varphi(U)$ se středem v bodě $\varphi(p)$, tj. $U_1 \subset U_2 \subset U$, a definujeme: \begin{IEEEeqnarray*}{lCll} \tilde{\varphi}^i & = & \varphi^i & \text{na } U_1\\ \tilde{\varphi}^i & = & 0 & \text{na } M \setminus U_2 \\ \tilde{\varphi} & = & \text{hladká interpolace (viz funkcionální analýza)} \quad & \text{na $U_2 \setminus U_1$} \end{IEEEeqnarray*} Z této definice plyne $\tilde{\varphi}^i \in \Cnek$ a $X \varphi^i \equiv X^i = X \tilde{\varphi}^i$ nezávisí na volbě $U_1, U_2$ (díky podmínce \eqref{tretiPodm}). Definujme $\widetilde{X} = X^i \restr{\pder{x^i}}{p}$, což je tvar tečného vektoru podle první definice. Chceme ukázat, že $\forall f \in \Cnek$ platí $X f = \widetilde{X} f$. Funkce $f \in \CnekA{U_1}$ (viz rozšíření souřadnicových funkcí) má v lokálních souřadnicích tvar $f (x^1, \ldots, x^n)$. Bez újmy na obecnosti zvolíme $x^i (p) = 0$. Z Taylorova rozvoje pro funkci $f$ plyne: $f(\vec{x}) = f(\vec{0}) + x^i \restr{\pderA{f}{x^i}}{\vec{0}} + g(\vec{x})$, kde $g$ je nějaká hladká funkce na okolí $\vec{0}, \ g(\vec{0})=0, \ \restr{\pderA{g}{x^i}}{\vec{0}} = 0$ a tedy: \begin{align*}
f(\vec{x}) - f(\vec{0}) & =\int_0^1 \der f(\vec{x} t) \, \dt
\\& = - \int_0^1 \der (1-t) \ \der f(\vec{x} t) \, \dt = - [(1-t) \der f(\vec{x}t)]_0^1 + \int_0^1 (1-t) \frac{\textrm{d}^2}{\textrm{d} t^2} f(\vec{x}t) \, \dt \\& = x^i \restr{\pderA{f}{x^i}}{\vec{0}} + \int_0^1 (1-t) x^i x^j \frac{\partial^2}{\partial x^i \partial x^j} f(\vec{x}t) \, \dt \\& = x^i \restr{\pderA{f}{x^i}}{\vec{0}} + \underbrace{x^i x^j \int_0^1 (1-t) \frac{\partial^2}{\partial x^i \partial x^j} f(\vec{x}t) \, \dt}_{g(\vec{x}) = x^i x^j g_{ij}(\vec{x})}, \end{align*}
kde $g_{ij}(\vec{x}) = \int_0^1 (1-t) \frac{\partial^2}{\partial x^i \partial x^j} f(\vec{x}t) \, \dt$ jsou nějaké hladké funkce. Z linearity a Leibnizova pravidla plyne $X(konst.) = 0$ a tedy: $Xf = 0 \, + X^i \restr{\pderA{f}{x^i}}{\vec{0}} + X(x^i x^j g_{ij} (\vec{x}))$. Použitím Leibnizova pravidla navíc dostáváme $X(x^i x^j g_{ij} (\vec{x})) = 0$, neboť nám po jeho aplikaci zůstane v každém členu alespoň jedno $\restr{x^i}{0} = 0$. Celkem $X f = \widetilde{X} f$ a obě definice jsou tedy ekvivalentní. \end{dukaz}
\begin{pozn} Množina tečných vektorů k $M$ v $p \in M$ má přirozenou strukturu vektorového prostoru. \end{pozn}
\begin{dukaz} Vycházejme z druhé definice tečného vektoru. Uvažovaná zobrazení $\Cnek \rightarrow \R$ tvoří vektorový prostor, neboť součet a konstantní násobek zobrazení splňující 1., 2., 3. splňuje 1., 2., 3. \end{dukaz}
\begin{defi} \textbf{Tečný prostor {\boldmath $\tecn$}} k varietě $M$ v bodě $p \in M$ je vektorový prostor tvořený tečnými vektory k $M$ v $p$. $\dim \tecn = \dim M$. \end{defi}
