02VOAFskriptum:Kapitola9
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 16. 11. 2010, 16:10, kterou vytvořil Karel.brinda (diskuse | příspěvky)
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02VOAFskriptum
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02VOAFskriptum | Karel.brinda | 18. 11. 2010 | 01:51 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 13:48 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Admin | 12. 11. 2023 | 09:26 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Kmity soustav hmotných bodů | Karel.brinda | 17. 11. 2010 | 01:25 | kapitola01.tex | |
Kapitola2 | editovat | Postupné vlny | Johndavi | 25. 5. 2017 | 09:36 | kapitola02.tex | |
Kapitola3 | editovat | Vlny v disperzním prostřední | Karel.brinda | 17. 11. 2010 | 01:43 | kapitola03.tex | |
Kapitola4 | editovat | Energie vlnění | Karel.brinda | 16. 11. 2010 | 16:14 | kapitola04.tex | |
Kapitola5 | editovat | Odraz vln | Karel.brinda | 18. 11. 2010 | 01:44 | kapitola05.tex | |
Kapitola6 | editovat | Elektromagnetické vlny | Karel.brinda | 16. 11. 2010 | 16:16 | kapitola06.tex | |
Kapitola7 | editovat | Polarizace | Karel.brinda | 16. 11. 2010 | 16:19 | kapitola07.tex | |
Kapitola8 | editovat | Interference a ohyb | Karel.brinda | 17. 11. 2010 | 14:58 | kapitola08.tex | |
Kapitola9 | editovat | Geometrická optika | Karel.brinda | 17. 11. 2010 | 14:49 | kapitola09.tex |
Zdrojový kód
% \wikiskriptum{02VOAFskriptum} \chapter{Geometrická optika} \section{Přechod od optiky vlnové ke geometrické} \begin{quote} {\it Limitní přechod ke geometrické optice; vlna s hladkými vlnoplochami, rovnice eikonálu, pojem paprsku, analogie s klasickou mechanikou.} \end{quote} Rovinná vlna se vyznačuje tím, že směr jejího šíření je všude stejný a amplituda je konstantní na rovinách konstantní fáze. To je ovšem velká idealizace --- reálné elektromagnetické vlny ve skutečnosti takové vlastnosti vesměs nemají. Často se však elektromagnetické vlny v malých oblastech přibližně podobají rovinným vlnám. Přesněji to můžeme vyjádřit požadavkem, aby se jejich {\it amplituda a směr šíření velmi nepatrně měnily na vzdálenostech řádu \(\lambda\)}. Za těchto podmínek budou vlny mít {\it hladké vlnoplochy}\footnote{Vlnoplochy jsou množiny bodů, v nichž fáze vlny (v daném čase \(t\)) nabývá konstantní hodnoty.}. V dalším uvidíme, že u těchto velmi speciálních vln lze mluvit o lokálních směrech šíření, které jsou kolmé k vlnoplochám a posléze zavést pojem {\itshape {\bf paprsků}\/}\index{paprsek} --- křivek, jejichž tečna v každém bodě udává směr šíření vlny. {\itshape {\bf Geometrická optika}\/}\index{geometrická optika} studuje šíření elektromagnetických vln za uvedených předpo\-kla\-dů. Popisuje je jako šíření světla podél paprsků, přičemž úplně abstrahuje od vlnové podstaty světla. Šíření světla přesně podél paprsků je zajisté v rozporu s difrakční rozbíhavostí omezených svazků světla popsanou v oddíle 8.5 a charakterizovanou směry šíření v oblasti úhlů šířky \(\delta\approx\lambda/D\). Geometrická optika zcela zanedbává difrakční rozbíhavost. Odpovídá proto limitě \(\lambda\rightarrow 0\), jež je ve skutečných fyzikálních situacích tím lepší aproximací, čím je podíl \(\lambda/D\) menší. Základní rovnicí optiky je vlnová rovnice pro elektromagnetické pole; v homogenním izotropním prostředí ji zapíšeme ve tvaru \begin{equation} \label{0901I} \Delta f-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 f}{\partial t^2}=0, \end{equation} kde \(v=c/n\) a \(f\) je kterákoli ze složek vektorů \(\vc{E},\vc{B}\). Jak jsme naznačili, limitní přechod ke geometrické optice lze provést pro vlny \(f(\vc{r},t)\) s hladkými vlnoplochami. V komplexním zápisu to znamená \begin{equation} \label{0901II} f(\vc{r},t)=a(\vc{r},t)e^{i\psi(\vc{r},t)}, \end{equation} kde \(a(\vc{r},t)\) je pomalu se měnící amplituda. Fázová funkce \(\psi(\vc{r},t)\), H. Brunsem nazvaná {\itshape {\bf eikonál}\/}\index{eikonál}, se však mění velice rychle: na vzdálenosti \(\lambda\) ve směru šíření se změní o \(2\pi\) ! Soustava vlnoploch v čase \(t_0\) je určena rovnicemi \[\psi(\vc{r},t_0)=C, \qquad C\in<0,2pi).\] Zvolíme-li bod \(\vc{r}_0\) a konstantu \(C\), pak v okolí \((\vc{r}_0,t_0)\) můžeme eikonál rozvinout do 1. řádu: \begin{equation} \label{0901III} \psi(\vc{r}_0,t_0) \doteq \psi(\vc{r},t) + \sum_{j=1}^3 \frac{\partial\psi}{\partial x_j}(\vc{r}_0,t_0)(x_j-x_{0j}) + \frac{\partial\psi}{\partial t}(\vc{r}_0,t_0)(t-t_0). \end{equation} Tato aproximace odpovídá nahrazení hladké vlnoplochy v malém okolí \(\vc{r}_0,t_0\) tečnou rovinnou vlnoplochou s fází \begin{equation} \label{0901IV} \psi_{rov}(\vc{r},t)=\vc{k}.\vc{r}-\omega t+\alpha. \end{equation} Porovnáním výrazů (\ref{0901III}), (\ref{0901IV}) získáme v libovolném bodě \(\vc{r}_0\) a čase \(t_0\) vztahy pro lokální vlnový vektor \vc{k} a lokální úhlovou frekvenci \(\omega\, \): \begin{equation} \label{0901V} \framebox[0.20\textwidth]{ \begin{minipage}{0.18\textwidth} \begin{eqnarray*} \vc{k} & = & \mbox{grad} \, \psi,\\ \omega & = & -\frac{\partial\psi}{\partial t}. \end{eqnarray*} \end{minipage} } \end{equation} {\it Paprsky} jsou nyní definovány jako křivky, které jsou v každém bodě tečné k lokálním vektorům \vc{k} a tedy podle (\ref{0901V}) kolmé k vlnoplochám. Podle (\ref{0901II}) --- (\ref{0901V}) se přibližně rovinný lokální úsek vlnoplochy \(\psi(\vc{r},t)=C\) šíří podél paprsku s fázovou rychlostí \(v=\omega/k\). Základní rovnici geometrické optiky nyní odvodíme jako aproximaci vlnové rovnice (\ref{0901I}). Derivováním vlny (\ref{0901II}) dostaneme \begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial t} & = & \left(\frac{\partial a}{\partial t}+ia\frac{\partial\psi}{\partial t}\right)e^{i\psi},\\ \frac{\partial^2 f}{\partial t^2} & = & \left[\frac{\partial^2 a}{\partial t^2}+2i\frac{\partial a}{\partial t}\frac{\partial\psi}{\partial t}+ia\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2}-a\left(\frac{\partial\psi}{\partial t}\right)^2\right]e^{i\psi},\\ \Delta f & = & \sum_{j=1}^3\left[\frac{\partial^2 a}{\partial x_j^2}+2i\frac{\partial a}{\partial x_j}\frac{\partial\psi}{\partial x_j}+ia\frac{\partial^2\psi}{\partial x_j^2}-a\left(\frac{\partial\psi}{\partial x_j}\right)^2\right]e^{i\psi}. \end{eqnarray*} Ve výrazech \(\Delta f\) a \(\partial^2 f/\partial t^2\) převažují v limitě \(\lambda\rightarrow 0\) (neboli \(k\rightarrow\infty\), \(\omega\rightarrow\infty\)) zdaleka nejvíce poslední členy, jež jsou řádu \(k^2\) a \(\omega^2\). Ostatní členy jsou podle předpokladů o vlnách (\ref{0901II}) s hladkými vlnoplochami vesměs nižších řádů \(k^0\), \(k^1\) a \(\omega^0\), \(\omega^1\) a proto je zanedbáme. Výsledná {\itshape {\bf rovnice eikonálu}\/}\index{rovnice eikonálu} \begin{equation} \label{0901VI} \fbox{$\displaystyle \sum_{j=1}^3\left(\frac{\partial\psi}{\partial x_j}\right)^2-\frac{1}{v^2}\left(\frac{\partial\psi}{\partial t}\right)^2=0$} \end{equation} popisuje systém hladkých vlnoploch, jejichž ortogonálními trajektoriemi jsou paprsky geometrické optiky. Vztahy (\ref{0901V}) dosazeny do (\ref{0901VI}) dávají \(\vc{k}^2-(\omega^2/v^2)=0\) v souladu s disperzním vztahem \(\omega=v|\vc{k}|\), \(v=c/n\). V případě {\it monochromatického světla} je funkce \(\omega(\vc{r},t)=-\partial\psi/\partial t\) konstantou \(\omega_{0}\), takže integrací podle času \begin{equation} \label{0901VII} \psi(\vc{r},t)=-\omega_{0} t+\psi_{0}(\vc{r}), \end{equation} kde integrační konstanta \(\psi_0(\vc{r})\) obecně závisí na \vc{r}. Rovnici eikonálu (\ref{0901VI}) lze nyní psát \[\sum_{j=1}^3\left(\frac{\partial\psi_0}{\partial x_j}\right)^2=\frac{\omega_{0}^2}{c^2}n^2.\] Vlnoplochy jsou určeny rovnicemi \[\psi_0=C+\omega_{0} t\] a směr paprsků \(\vc{k}=\mbox{grad} \, \psi_0\). Rovnice eikonálu (\ref{0901VI}) v homogenním prostředí má matematicky přesně stejný tvar jako Hamiltonova--Jacobiho rovnice pro relativistickou částici s nulovou hmotností a ve vakuu jsou tyto rovnice přesně identické ! Z toho vychází pozoruhodná {\it analogie mezi geometrickou optikou a klasickou mechanikou} (\cite{ST}, kap. 5), kterou v r. 1825 objevil W. R. Hamilton. Tuto analogii podrobněji vyjadřuje tabulka odpovídajících si veličin a vztahů v geometrické optice a klasické mechanice relativistické částice s klidovou hmotností \(m_0\) (\cite{ST}, kap. 7). {\bf Poznámka}. Na tomto místě je třeba připomenout, že hluboký vztah obou teorií vedl v r. 1925 Louise de Broglie k formulaci základů {\itshape {\bf vlnové mechaniky}\/}\index{vlnová mechaniky} a Erwina Schr\"odingera k objevu {\itshape {\bf Schr\"odingerovy rovnice}\/}\index{Schr\"odingerova rovnice}; o tom více v kap. 11. \begin{quote} \begin{quote} {\it Tabulka 9.1 Analogie mezi geometrickou optikou a klasickou mechanikou relativistické částice.} \end{quote} \end{quote} \begin{tabular}[c]{|c|c|} \hline {\bf Geometrická optika} & {\bf Klasická mechanika} \\ \hline $\displaystyle \psi(\vc{r},t)=$eikonál & $\displaystyle S(\vc{r},t)=$hlavní funkce Hamiltonova \\ $\displaystyle \vc{k}=\mbox{grad} \, \psi$ & $\displaystyle \vc{p}=\mbox{grad} \, S=$hybnost \\ $\displaystyle \omega=-\frac{\partial\psi}{\partial t}$ & $\displaystyle E=-\frac{\partial S}{\partial t}=$ energie \\ \hline Pro monochromatické světlo: & Pro konservativní síly: \\ $\displaystyle \psi=-\omega_{0} t+\psi_0(\vc{r})$ & $\displaystyle S=-E_{0}t+S_{0}(\vc{r})$ \\ Disperzní vztah: & Vztah energie a hybnosti: \\ & $E=c\sqrt{\vc{p}^2+m_0^2c^2}$ \\ $\displaystyle \omega=\frac{c}{n}|\vc{k}|$ & $\displaystyle E=c|\vc{p}|$ pro $m_0=0$ \\ Rovnice eikonálu: & Hamiltonova-Jacobiho rovnice: \\ $\displaystyle \sum_{j=1}^3\left(\frac{\partial\psi_0}{\partial x_j}\right)^2=\frac{\omega^2}{c^2}n^2$ & $\displaystyle \sum_{j=1}^3\left (\frac{\partial S_{0}}{\partial x_j}\right)^2 =\frac{E_{0}^2}{c^2}$ \\ \hline \end{tabular} \section{Fermatův princip} \begin{quote} {\it Nehomogenní prostředí. Fermatův princip jako základní zákon geometrické optiky; analogie s variačním principem Jacobiho v klasické mechanice. 5 základních pravidel chodu paprsků.} \end{quote} V oddíle 9.1 stejně jako v předcházejích kapitolách jsme předpokládali, že se elektromagnetické vlny šíří v homogenním prostředí s konstantním indexem lomu \(n\doteq\sqrt{\varepsilon_r}\). Nyní ukážeme, že základní rovnice geometrické optiky (\ref{0901VI}) platí ve stejném tvaru i {\it v nehomogenním prostředí} \(n(\vc{r})\doteq\sqrt{\varepsilon_r(\vc{r})}\) {\it s prostorově proměnnou permitivitou} (v oblasti optického záření s dobrou přesností platí, jak víme, \(\mu\doteq\mu_0\)). Výchozí rovnice pro odvození (\ref{0901VI}) byla vlnová rovnice (\ref{0901I}). Vraťme se proto do oddílu 6.1, kde byla odvozena z Maxwellových rovnic. V prostředí s nehomogenní permitivitou \(\varepsilon=\varepsilon(\vc{r})\) a v nepřítomnosti nábojů již neplatí \(div\vc{E}=0\), nýbrž \[div\vc{D}=div(\varepsilon\vc{E})=\varepsilon div\vc{E}+\vc{E}.\mbox{grad}\ \varepsilon=0.\] Proto v odvození vlnové rovnice pro \vc{E} nevymizí člen \(\mbox{grad}\ \mbox{div}\vc{E}\), který nyní modifikuje výslednou vlnovou rovnici: \[\Delta \vc{E}-\varepsilon\mu \frac{\partial^2\vc{E}}{\partial t^2}=\mbox{grad}\left(\vc{E}.\frac{\mbox{grad}\ \varepsilon}{\varepsilon}\right).\] V prostředí s velmi pomalu proměnnou permitivitou se obvykle zanedbává. Rovněž při aproximaci vlnové rovnice podle oddílu 9.1 tento člen vede na výraz s nejvýše první derivací fáze \(\psi\), tj. řádu \(k^1\), který lze zanedbat vzhledem k převažujícím členům řádu \(k^2\). Rovnice eikonálu (\ref{0901VI}) i všechny následující vztahy zůstávají proto v platnosti pouze s tou změnou, že index lomu je prostorově proměnný \(n=n(\vc{r})\) a tedy disperzní vztah obsahuje závislost na \vc{r}: \begin{equation} \label{0902VIII} \omega=\omega(\vc{r})\equiv\frac{c}{n(\vc{r})}|\vc{k}|. \end{equation} Viděli jsme, že geometrická optika nepřihlíží k difrakčním jevům a pracuje s idealizovaným pojmem světelného paprsku. Pro určení chodu paprsků nejen v homogenním ale i v nehomogenním prostředí se můžeme obrátit k analogii s trajektoriemi částice v klasické mechanice a na základě tab. 9.1 pokusit se najít diferenciální rovnice paprsků. Použijeme-li formu Hamiltonových rovnic (\cite{ST}, kap. 5), pak za Hamiltonovu funkci (vyjadřující v mechanice energii soustavy jako funkci souřadnic a hybností) je třeba v optice vzít disperzní funkci (\ref{0902VIII}): \[\dot{x}_j=\frac{\partial\omega}{\partial k_j},\quad \dot{k}_j=-\frac{\partial\omega}{\partial x_j},\quad j=1,2,3.\] (Jeden příklad řešení těchto rovnic je uveden v \cite{ST}, př. 5.11). Lagrangeovy rovnice II. druhu bohužel nelze použít, neboť funkce analogická Lagrangeově funkci \(\displaystyle L=\sum_jp_j(\partial H/\partial q_j)-H\) je identicky rovna nule, \[\sum_{j=1}^3k_j\frac{\partial\omega}{\partial k_j}-\omega=\sum_jk_jv\frac{k_j}{|\vc{k}|}-v|\vc{k}|=0.\] Nezajímá-li nás v mechanice časový průběh pohybu podél trajektorie, ale pouze tvar trajektorie, můžeme se obrátit na {\it Jacobiho variační princip} (\cite{ST}, kap. 4). Platí pro soustavy, u nichž se zachovává energie (\(E=konst.\)). Potřebujeme ho ve speciální formě pro částice pohybující se v konservativním silovém poli \[\delta\int_1^2p\ dl=0,\] kde \(p\) je velikost hybnosti nerelativistické či relativistické částice a \(dl\) je element délky křivky spojující dané body \(1\), \(2\). Křivka, po níž se nerelativistická částice pohybuje z bodu \(1\) do bodu \(2\) je podle Jacobiho principu extremálou funkcionálu \begin{equation} \label{0902IX} \int_1^2p\ dl=\int_1^2\sqrt{2m(E-U)}\sqrt{(dx)^2+(dy)^2+(dz)^2}, \end{equation} jenž závisí na křivce, podél níž se integruje od bodu \(1\) do bodu \(2\). Odpovídajícím variačním principem je v geometrické optice {\itshape {\bf Fermatův princip}\/}\index{Fermatův princip} \[\delta\int_1^2k\ dl=0.\] Určuje {\it tvar paprsku} spojujícího dané body \(1\), \(2\). Platí {\it pro monochromatické světlo} s danou úhlovou frekvencí \(\omega\). V nehomogenním prostředí, kde \(k=n(\vc{r})\omega/c\), lze Fermatův princip zapsat ve tvaru \begin{equation} \label{0902X} \fbox{$\displaystyle \delta\int_1^2n\ dl=0.$} \end{equation} Paprsek spojující body \(1\), \(2\) v prostředí s indexem lomu \(n(\vc{r})\) je podle Fermatova principu extremálou funkcionálu \(\displaystyle\int_1^2n\ dl\) představujícího {\bf optickou dráhu paprsku.} \begin{quote} {\bf Světlo se z \(1\) do \(2\) šíří podél takového paprsku, pro který optická dráha nabývá extremální hodnoty.} \end{quote} Optická dráha dělená \(c\) \[\frac{1}{c}\int_1^2n\ dl=\int_1^2\frac{dl}{v}=t_{12}\] udává čas \(t_{12}\), za který se světlo po dané křivce šíří fázovou rychlostí \(v\) z bodu \(1\) do bodu \(2\). Optická dráha je proto rovna vzdálenosti, kterou proběhne světlo ve vakuu za stejnou dobu, kterou potřebuje k proběhnutí skutečné geometrické dráhy v látce. Fermatův princip je tedy též {\itshape {\bf principem extremálního času}\/}\index{princip extremálního času} \(t_{12}\). Fermatem byl původně vysloven jako princip nejkratšího času. Fermatův princip extremální optické dráhy (\ref{0902X}) lze považovat za základní zákon geometrické optiky. Pro obvyklé optické soustavy sestávající z optických elementů, v nichž je index lomu konstantní, z něho plyne {\itshape {\bf 5 základních pravidel chodu paprsků}\/}\index{základní pravidla chodu paprsků}: \begin{enumerate} \item Zákon přímočarého šíření světla v homogenním prostředí. \item Zákon nezávislosti paprsků. \item Zákon záměnnosti chodu paprsků. \item Zákon odrazu. \item Snelliův zákon lomu. \end{enumerate} Pravidlo 1. se dostane z (\ref{0902X}) okamžitě, když uvážíme, že pro konstantní index lomu křivkový integrál \(\displaystyle\int_1^2dl\) představuje délku křivky spojující body \(1\), \(2\). Křivkou s extremální (minimální) délkou je úsečka. V homogenním prostředí se tedy světlo šíří přímočaře. Pravidlo 2. říká, že když je dán paprsek pro dvojici bodů \(1\), \(2\), pak tvar paprsku pro každou jinou dvojici bodů \(3\), \(4\) nezávisí na paprsku \(12\). To je jasné z toho, že tvar každého paprsku je podle (\ref{0902X}) určen jeho koncovými body a průběhem indexu lomu, nikoliv však tvarem jiného paprsku. Podle pravidla 3. se světlo šíří z bodu \(1\) do bodu \(2\) po stejné křivce jako z bodu \(2\) do bodu \(1\). Křivkový integrál \(\displaystyle\int_1^2n\ dl\) má totiž v obou případech stejnou kladnou hodnotu. (Uvažte, že \(\displaystyle dl=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2+(dz)^2}>0\).) Pravidlo 4. --- zákon odrazu na zrcadle --- plyne z jednoduché geometrické úvahy. \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[height=0.4\textheight]{ob9c1}\\ \caption{K odvození zákona odrazu z Fermatova principu.} \label{obr:9.1} \end{center} \end{figure} % {\it Obr. 9.1 K odvození zákona odrazu z Fermatova principu.} Podle obr. \ref{obr:9.1} hledáme křivku spojující body \(1\), \(2\), která prochází některým bodem zrcadla. V homogenním prostředí bude paprsek tvořen dvěma úsečkami. Konstrukce na obr. \ref{obr:9.1} ukazuje, že délky spojnic \(142\), \(142'\) jsou stejné a nejkratší mezi nimi je přímá spojnice \(132'\). Pro nejkratší paprsek \(132\) se pak úhel odrazu \(\vartheta_1\) rovná úhlu dopadu \(\vartheta_0\). Pravidlo 5. --- {\bf Snelliův zákon lomu} --- stanoví, jak se lomí paprsek, který přechází z prostředí s indexem lomu \(n_1\) do prostředí s jiným indexem lomu \(n_2\). Hledáme tedy tvar paprsku, který spojuje bod \(1\) v prvním prostředí s bodem \(2\) v druhém prostředí. V homogenním prostředí je paprsek \(142\) na obr. \ref{obr:9.2} tvořen dvěma úsečkami. Určíme paprsek \(132\), podél něhož optická dráha \(n_1l_1+n_2l_2\) je extremální. \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[height=0.4\textheight]{ob9c2}\\ \caption{K odvození Snelliova zákona lomu z Fermatova principu.} \label{obr:9.2} \end{center} \end{figure} % {\it Obr. 9.2 K odvození Snelliova zákona lomu z Fermatova principu.} Optická dráha závisí na souřadnici \(x\) průsečíku \(3\) paprsku s rozhraním, je tedy funkcí \[f(x)=n_1l_1+n_2l_2=n_1\sqrt{x^2+h_1^2}+n_2\sqrt{(a-x)^2+h_2^2},\quad x\in\vc{R}.\] Bod \(x\), pro který \(f(x)\) nabývá extremální (minimální) hodnoty, se určí z rovnice \[f'(x)=n_1\frac{x}{\sqrt{x^2+h_1^2}}-n_2\frac{a-x}{\sqrt{(a-x)^2+h_2^2}}=0.\] Protože zlomky v této rovnici představují \(\sin{\vartheta_1}\) a \(\sin{\vartheta_2}\), odvodili jsme Snelliův zákon lomu \[\fbox{$\displaystyle n_1\sin{\vartheta_1}=n_2\sin{\vartheta_2}$}.\] Tím jsme dokázali všech 5 pravidel chodu paprsků. Fermatův princip je však daleko obecnější: dovoluje určit chod paprsků nehomogenním prostředím, např. v zemské atmosféře. Principiálně nový pohled na geometrickou optiku přinesl R.P. Feynman \cite{F}. Paprsky geometrické optiky podle něho představují místa, kde dochází k nejsilnější konstruktivní interferenci. Vychází-li monochromatické světlo z bodového zdroje \(1\) na obr. \ref{obr:9.2}, pak paprsek \(132\) je výsledkem konstruktivní interference vln vyslaných z bodu \(1\), které pozorujeme v bodě \(2\). Interferenční jev bude tím silnější, čím více optických drah bude přispívat. Proto k maximální interferenci dojde v okolí paprsku, na němž přírůstek fáze nabývá extremální hodnoty (k interferenčnímu maximu přispívají pouze zcela blízké paprsky, pokud jejich fázové rozdíly jsou velmi malé vzhledem k \(2\pi\)). Přírůstek fáze je dán součtem příspěvků \(\displaystyle\int_1^2k\ dl\) podél křivky spojující body \(1\), \(2\). Pokud integrál spočteme podél paprsku, pak platí \(\vc{k}=\mbox{grad}\,\psi_0\) a vidíme, že \[\int_1^2k\ dl=\int_{\vc{r}_1}^{\vc{r}_2}\vc{k}. d\vc{r}=\int_{\vc{r}_1}^{\vc{r}_2} \mbox{grad} \,\psi_0 . d\vc{r}=\psi_0 (\vc{r}_2)-\psi_0 (\vc{r}_1),\] tj. extremální přírůstek fáze je roven změně eikonálu. Dospěli jsme tak jinou cestou k Fermatovu principu, který určuje paprsek mezi křivkami spojujícími body \(1\), \(2\) jako extremálu funkcionálu \[\int_1^2k\ dl=\frac{\omega}{c}\int_1^2n\ dl.\] \section{Zrcadla, čočky} \begin{quote} {\it Zrcadlo elipsoidální, parabolické, sférické; tenký klín a tenká čočka. Par\-axi\-ální paprsky; zrcadlová a čočková rovnice. Čočkařská rovnice, tlustá čočka.} \end{quote} Pro doplnění výkladu geometrické optiky podáme v tomto výkladu teorii paraxiálního zobrazení sférickými zrcadly a tenkými čočkami. V oddíle 9.4 bude pak vyložena obecná teorie lineárních zobrazovacích soustav včetně maticové metody výpočtu zobrazení. Nejčastějšími prvky optických zobrazovacích soustav jsou čočky a zrcadla. Víme, že zobrazení rovinným zrcadlem je určeno zákonem odrazu. Úvaha o konstruktivní interferenci uvedená na konci oddílu 9.2 dovoluje určit chod paprsku i v jiných geometriích. Uvažujme například {\itshape {\bf elipsoidální zrcadlo}\/}\index{elipsoidální zrcadlo} tvořené rotačním elipsoidem se zrcadlovým vnitřním povrchem, obr. \ref{obr:9.3}. \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[height=0.3\textheight]{ob9c3}\\ \caption{Elipsoidální zrcadlo s ohnisky \(F\), \(F'\).} \label{obr:9.3} \end{center} \end{figure} %{\it Obr. 9.3 Elipsoidální zrcadlo s ohnisky \(F\), \(F'\).} Umístíme--li bodový zdroj světla do ohniska \(F\), pak podle definice elipsy délka \(FAF'\) je stejná pro všechny body \(A\) ležící na elipse a v každém bodě \(A\) je pro \(FAF'\) splněn zákon odrazu. V ohnisku \(F'\) proto dochází ke konstruktivní interferenci světla z \(F\). Říkáme, že bod \(F'\) je {\itshape {\bf skutečným obrazem bodu}\/}\index{skutečný obraz} \(F\).\footnote{Obraz \(F'\) má ve skutečnosti tvar koule, uvnitř které se fáze liší nejvýše zhruba o \(\pi/2\) od fáze v \(F'\), tj. má poloměr \(\approx\lambda/4\).} Vzdálíme--li nyní obrazové ohnisko \(F'\) do nekonečna při konstantní vzdálenosti \(f=\left|FV\right|\), dostaneme rotační paraboloid, obr. \ref{obr:9.4}. \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[height=0.36\textheight]{ob9c4}\\ \caption{Parabolické zrcadlo s kruhovou aperturou průměru \(D\). Oskulační kružnice paraboly ve vrcholu \(V\) má střed \(S\) a poloměr \(R=2f\).} \label{obr:9.4} \end{center} \end{figure} % {\it Obr. 9.4 Parabolické zrcadlo s kruhovou aperturou % průměru \(D\). Oskulační kružnice paraboly ve vrcholu \(V\) má střed % \(S\) a poloměr \(R=2f\).} Paprsky vycházející z ohniska \(F\) pak utvoří rovnoběžný svazek ve směru osy paraboloidu. Má-li {\itshape {\bf parabolické zrcadlo}\/}\index{parabolické zrcadlo} kruhovou {\itshape {\bf aperturu}\/}\index{apertura} (vstupní otvor) o průměru \(D\), pak ovšem podle oddílu 8.5 ze zrcadla bude vycházet prostorově omezený svazek s difrakční rozbíhavostí \(\delta\approx 1,22\lambda/D\). Naopak dopadající rovnoběžný svazek (rovinná vlna) se takovým způsobem zobrazí do okolí ohniska \(f\) o rozměru \(\approx f\delta = 1,22f\lambda/D\). Požadavek věrnosti zobrazení složitějších předmětů optickými soustavami s reálnými optickými elementy lze uspokojivě splnit s použitím {\itshape {\bf paraxiálních paprsků}\/}\index{paraxiální paprsky}, tj. když se světlo šíří podél paprsků jen v těsné blízkosti osy soustavy.\footnote{Paraxiálními nazýváme paprsky, které s osou svírají tak malé úhly, že lze jejich siny a tangenty nahradit úhly. Prakticky jde o úhly menší než $2^{\circ}$.} V této situaci můžeme malý vrchlík paraboly přibližně nahradit {\itshape {\bf kulovým zrcadlem}\/}\index{kolové zrcadlo} o stejném poloměru křivosti \(R\) jako má rotační paraboloid ve vrcholu \(V\).\footnote{ Kulové zrcadlo je vrchlíkem oskulační sféry paraboloidu ve vrcholu \(V\). {\itshape {\bf oskulační kružnice}\/}\index{oskulační kružnice} v rovině nákresu na obr. 9.4 je kružnicí s dotykem 2. řádu k parabole. Její poloměr \(R\) se nazývá {\itshape {\bf poloměr křivosti}\/}\index{poloměr křivosti} paraboly a v bodě \(V\) je roven \(2f\).} {\bf Cvičení 1}. Pomocí Taylorova rozvoje v okolí \(V\) do 2. řádu odvoďte vztah \(R=2f\) pro poloměr oskulační kružnice paraboly v jejím vrcholu \(V\). Jsou-li paraxiální paprsky omezeny aperturou s velmi malým průměrem \(D\ll 2R\), pak kulové zrcadlo bude velmi přesnou náhradou parabolického a paraxiální paprsky z ohniska \(F\) vytvoří téměř rovnoběžný svazek. Při větších aperturách je odchylka sféry od paraboloidu větší, což vede ke {\itshape {\bf sférické aberaci}\/}\index{sférická aberace} (kulové vadě) zobrazení kulovým zrcadlem. \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[height=0.4\textheight]{ob9c5}\\ \caption{K odvození zrcadlové rovnice pro paraxiální zobrazení bodu \(P\) kulovým zrcadlem \(ZZ'\) se středem \(S\). Úhly \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) mají být velmi malé, ale jsou zvětšeny, aby nákres byl zřetelnější.} \label{obr:9.5} \end{center} \end{figure} % {\it Obr. 9.5 K odvození zrcadlové rovnice pro paraxiální % zobrazení bodu \(P\) kulovým zrcadlem \(ZZ'\) se středem % \(S\). Úhly \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) mají být % velmi malé, ale jsou zvětšeny, aby nákres byl zřetelnější.} {\itshape {\bf Zrcadlová rovnice}\/}\index{Zrcadlová rovnice}. Obr. \ref{obr:9.5} nám nyní pomůže odvodit zrcadlovou rovnici, která popisuje paraxiální zobrazení {\itshape {\bf vypuklým kulovým zrcadlem}\/}\index{ kulové zrcadlo vypuklé} \(ZZ'\) se středem křivosti \(S\) a poloměrem \(R\). {\itshape {\bf Předmět}\/}\index{Předmět} \(P\) ve vzdálenosti \(a\) od zrcadla zde vytvoří {\itshape {\bf zdánlivý obraz}\/}\index{zdánlivý obraz} \(P'\) ve vzdálenosti \(a'\). Pro všechny vzdálenosti budeme zde i v dalším používat znaménkovou konvenci jenské školy, jež bude podrobně popsána v oddíle 9.6: pro vypuklé zrcadlo např. platí \(a<0\), \(a'>0\), \(R>0\), \(f=-R/2\). V paraxiální aproximaci lze úhly vyjádřit vztahy \[\alpha\doteq\frac{\left|ZZ'\right|}{|a|}, \beta\doteq\frac{\left|ZZ'\right|}{a'}, \gamma=\frac{\left|ZZ'\right|}{R}.\] Představme si nyní, že v bodě \(Z\) je paprsek odrážen malým tečným rovinným zrcátkem. Když toto zrcátko otočíme kolem středu \(S\) do bodu \(Z'\) o úhel \(\gamma\), odražený paprsek se odrazí o dvojnásobný úhel \(2\gamma\), takže \[\beta=\alpha+2\gamma, \quad \mbox{neboli} \quad \frac{1}{a'}=\frac{1}{\left|a\right|}+\frac{2}{R}.\] Poněvadž v jenské konvenci \(f=-R/2<0\), dostáváme {\itshape {\bf zrcadlovou rovnici}\/}\index{zrcadlová rovnice} ve tvaru \begin{equation} \label{0903XI} \fbox{$\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{a'}+\frac{1}{f}=0.$} \end{equation} {\bf Cvičení 2}. Ukažte, že rovnice (\ref{0903XI}) platí i pro {\itshape {\bf duté kulové zrcadlo} \/}\index{kulové zrcadlo duté}, když zvolíme znaménka \(a<0\), \(a'<0\), \(R<0\), \(f=-R/2>0\). Podívejme se dále na paraxiální zobrazení čočkami. Uvažujme {\itshape {\bf tenkou spojnou čočku}\/}\index{tenká spojná čočka} podle obr. 9.6 z homogenního materiálu s indexem lomu \(n\), ohraničenou kulovými plochami o poloměrech \(R_1>0\), \(R_2<0\). Lom paraxiálního paprsku přicházejícího zleva rovnoběžně s osou definuje {\itshape {\bf obrazové ohnisko}\/}\index{obrazové ohnisko} \(F'\). O tenké čočce mluvíme, když vzdálenost \(h\) se při průchodu paprsku čočkou prakticky nemění a tloušťka čočky \(d\) je malá vzhledem k ohniskové vzdálenosti \(f\). Pro paraxiální paprsky požadujeme \(h\ll R_1,\left|R_2\right|\). \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[height=0.4\textheight]{ob9c6}\\ \caption{Tenká spojná čočka.} \label{obr:9.6} \end{center} \end{figure} % {\it Obr. 9.6 Tenká spojná čočka.} Odchylku \(\delta\) lomeného paprsku vypočteme pomocí náhrady kulových ploch \(R_1\), \(R_2\) ve vzdálenosti \(h\) rovinnými povrchy klínů s malými vrcholovými úhly \(\alpha_1\), \(\alpha_2\). \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[height=0.4\textheight]{ob9c7}\\ \caption{Náhrada lámavých ploch tenké čočky ve vzdálenosti \(h\) tenkými klíny. Jejich vrcholové uhly jsou \(\alpha_1=h/R_1\), \(\alpha_2=h/\left|R_2\right|\).} \label{obr:9.7} \end{center} \end{figure} % {\it Obr. 9.7 Náhrada lámavých ploch tenké čočky ve % vzdálenosti \(h\) tenkými klíny. Jejich vrcholové uhly jsou % \(\alpha_1=h/R_1\), \(\alpha_2=h/\left|R_2\right|\).} Podle obr. \ref{obr:9.7} platí \(\alpha_1=h/R_1\), \(\alpha_2=h/\left|R_2\right|\). Dopadá--li paprsek téměř kolmo na klín s velmi malým vrcholovým úhlem \(\alpha\), pak podle obr. 9.8 lze odchylku \(\delta\) snadno určit z šíření rovinné vlny: vlnoplocha u základny klínu projde vzdálenost \(l\) rychlostí \(c/n\); u vrcholu je rychlost $c$, takže táž vlnoplocha urazí vzdálenost \(nl\). \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[height=0.3\textheight]{ob9c8}\\ \caption{Lom rovinné vlny tenkým klínem. Odchylka \(\delta=(n-1)l/L=(n-1)\alpha\).} \label{obr:9.8} \end{center} \end{figure} % {\it Obr. 9.8 Lom rovinné vlny tenkým klínem. Odchylka % \(\delta=(n-1)l/L=(n-1)\alpha\).} Protože rozdíl drah mezi vrcholem a základnou je \((n-1)l\), dostáváme odchylku \[\fbox{$\displaystyle \delta= \frac{(n-1)l}{L}\doteq (n-1)\alpha .$}\] Vidíme, že nezávisí na úhlu dopadu, pokud je velmi malý. Odchylka \(\delta\) paprsku procházejícího tenkou čočkou ve vzdálenosti \(h\) od osy je pak podle obr. 9.6 a 9.7 rovna součtu \[\delta=(n-1)(\alpha_1+\alpha_2)= (n-1)(\frac{h}{R_1}+\frac{h}{\left|R_2\right|}).\] Protože současně platí \(\delta=h/f\), dostáváme {\itshape {\bf čočkařskou rovnici}\/}\index{čočkařská rovnice} \begin{equation} \label{0903XII} \fbox{$\displaystyle D=\frac{1}{f}=(n-1)(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}).$} \end{equation} Veličina \(D\) je {\itshape {\bf optická mohutnost}\/}\index{optická mohutnost} čočky v dioptriích \([m^{-1}]\). Všimněte si, že pro paraxiální paprsky optická mohutnost nezávisí na \(h\). Pro úplnost uvádíme čočkařskou rovnici pro tlustou čočku s tloušťkou \(d>0\) mezi vrcholy (\cite{TK}, př. 8.5): \[D=\frac{1}{f}=(n-1)(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2})+\frac{(n-1)^2d}{nR_1R_2}.\] {\itshape {\bf Čočková rovnice}\/}\index{čočková rovnice}. Připomeňme, že stejně jako u klínu, tak též u tenké čočky odchylka \(\delta\) nezávisí na úhlu dopadu, je-li velmi malý. Proto se rovnoběžné paraxiální paprsky svírající úhel \(u\) s osou zobrazí do bodu ležícího v ohniskové rovině \(\varphi'\) (rovině kolmé k ose a procházející ohniskem \(F'\)) ve vzdálenosti \(fu\) od osy, obr. 9.9. \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[height=0.4\textheight]{ob9c9}\\ \caption{Zobrazení rovnoběžného svazku tenkou spojnou čočkou do bodu v ohniskové rovině \(\varphi'\).} \label{obr:9.9} \end{center} \end{figure} % {\it Obr. 9.9 Zobrazení rovnoběžného svazku tenkou spojnou % čočkou do bodu v ohniskové rovině \(\varphi'\).} Pro odvození zobrazovací rovnice stačí proto sledovat paraxiální zobrazení {\itshape {\bf předmětového bodu}\/}\index{předmětový bod} \(P\) do {\itshape {\bf obrazového bodu}\/}\index{obrazový bod} \(P'\), jež oba leží na ose. Pro tenkou spojnou čočku na obr. 9.10 máme \(a<0\), \(a'>0\), \(f>0\). Poněvadž součet úhlů \(u\), \(u'\), \(\pi-\delta\) v trojúhelníku \(PQP'\) je roven \(u+u'+(\pi-\delta)=\pi\), tj. \(u+u'=\delta\) a platí \(u\doteq h/\left|a\right|\), \(u'\doteq h/a'\), \(\delta\doteq h/f\), dostáváme {\itshape {\bf čočkovou rovnici}\/}\index{čočková rovnice} \begin{equation} \label{0903XIII} \fbox{$\displaystyle \frac{1}{a}-\frac{1}{a'}+ \frac{1}{f}=0.$} \end{equation} \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[height=0.4\textheight]{ob9d10}\\ \caption{K odvození čočkové rovnice a bočního zvětšení.} \label{obr:9.10} \end{center} \end{figure} % {\it Obr. 9.10 K odvození čočkové rovnice a bočního zvětšení.} Posuneme-li předmět \(P\) v předmětové rovině kolmé k ose o malou vzdálenost \(\Delta y\), pak z obr. 9.10 vidíme, že úhel \(u\) se zmenší o \(\Delta u\doteq\Delta y/a<0\). Protože odchylka \(\delta\) zůstává stejná, úhel \(\left|u'\right|\) se zvětší o \(\left|\Delta u\right|\). Obraz \(P'\) se tedy v obrazové rovině posune o \[\Delta y'=a'\Delta u=a'\frac{\Delta y}{a}.\] Koeficient úměrnosti mezi \(\Delta y'\) a \(\Delta y\) se nazývá {\itshape {\bf boční zvětšení}\/}\index{boční zvětšení} \[\fbox{$\displaystyle Z_{boční}= \frac{\Delta y'}{\Delta y}=\frac{a'}{a}<0.$}\] Posun obrazu \(P'\) v důsledku posunu předmětu \(P\) podél osy \(x\) lze odvodit z čočkové rovnice (\ref{0903XIII}). Posuneme-li \(P\) o \(da\), \(P'\) se posune v témže směru o \(da'\). Derivováním čočkové rovnice podle \(a\) najdeme podíl \(da'/da\), který definuje {\itshape {\bf podélné zvětšení}\/}\index{podélné zvětšení}: \[-\frac{1}{a^2}-\frac{1}{a'^2}\frac{da'}{da}=0 \Rightarrow \fbox{$\displaystyle Z_{podélné}=\frac{da'}{da}=\frac{a'^2}{a^2}=Z_{boční}^2.$}\] {\bf Cvičení 3}. Na základě čočkové rovnice (\ref{0903XIII}) pro tenkou spojnou čočku (\(a<0\), \(f>0\)) diskutujte případy \(a<-f\Rightarrow a'>0\) (skutečný obraz), \(0>a>-f\Rightarrow a'<0\) (zdánlivý obraz), \(a\longrightarrow -f\mp 0 \Rightarrow a'\longrightarrow\pm\infty\). {\bf Cvičení 4}. Diskutujte podobně jako v cvičení 3. zobrazení tenkou rozptylkou (\(a<0\), \(f<0\)). \section{Lineární zobrazovací soustavy} \begin{quote} {\it Principy výpočtu lineárních zobrazovacích soustav: projektivní transformace v trojrozměrném prostoru, kardinální elementy, výpočet pomocí matice přenosu.} \end{quote} Optické zobrazovací soustavy sestávají z optických elementů --- čoček, zrcadel --- a jistým způsobem každý vstupujicí paprsek transformují v paprsek vystupující. V tomto oddíle vyložíme teorii {\itshape {\bf lineárních zobrazovacích soustav}\/}\index{lineární zobrazovací soustavy}, která je matematickým vyjádřením ideálního paraxiálního zobrazení z oddílu 9.3. Ideální optické zobrazení zde bude geometricky popsáno transformací vstupních paprsků --- přímek v předmětovém prostoru \(R^3\) ve výstupní paprsky --- přímky v obrazovém prostoru \(R^{3'}\). Matematické řešení požadavku věrnosti zobrazení představuje {\itshape {\bf projektivní transformace}\/}\index{projektivní transformace} ({\itshape {\bf kolineace}\/}\index{kolineace}), jež jsou základem projektivní geometrie v trojrozměrném prostoru. Jsou definovány jako nejobecnější vzájemně jednoznačná zobrazení, která převádějí lineární útvary v lineární útvary téže dimenze (tj. bod na bod, přímku na přímku a rovinu na rovinu).\footnote{Projektivní transformace zachovávají relace incidence mezi lineárními útvary, např. průsečík dvou přímek převádějí v průsečík jejich obrazů.} Projektivní transformace sestávají z translací, rotací a změn měřítka. Lze je zkonstruovat z {\it regulárních} lineárních transformací \(R^4\longrightarrow R^{4'}\) \[\left( \begin{array}{c} X'\\ Y'\\ Z'\\ W' \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cccc} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 & d_3 \\ a & b & c & c \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} X \\ Y \\ Z \\ W \end{array} \right) \] zavedením {\itshape {\bf homogenních souřadnic}\/}\index{homogenní souřadnice} \[x'=\frac{X'}{W'},y'=\frac{Y'}{W'},z'=\frac{Z'}{W'};x=\frac{X}{W},y=\frac{Y}{W},z=\frac{Z}{W}.\] Transformační vztahy pro homogennní souřadnice jsou hledané projektivnítransformace: \begin{equation} \label{094XIV} \left( \begin{array}{c} x' \\ y' \\ y' \\ 1 \end{array} \right)=\frac{1}{W'/W}\left( \begin{array}{cccc} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 & d_3 \\ a & b & c & d \end{array} \right), \end{equation} kde \[\frac{W'}{W}=\frac{aX+bY+cZ+dW}{W}=ax+by+cz+d.\] Analogický tvar lineární lomenné transformace má i příslušná inverzní transformace, kterou budeme zapisovat s čárkovanými koeficienty. Ze vztahu (\ref{094XIV}) plyne, že pro každou projektivní transformaci existuje v \(R^3\) rovina \(ax+by+cz+d=0\), jejímž obrazem v \(R^{3'}\) je "rovina v nekonečnu". Projektivní prostor \(P^{3'}\) je \(R^{3'}\) rozšířený v tuto jedinou {\itshape {\bf nevlastní (úběžnou) rovinu}\/}\index{nevlastní (úběžná) rovina} obsahující nevlastní přímky a nevlastní body. Inverzní transformace podobně definují \(P^3\). Pro účely optického zobrazení budeme projektivní transformaci (\ref{094XIV}) chápat jako zobrazení \({\cal T}:P^3\longrightarrow P^{3'}\) předmětového prostoru \(P^3\) na obrazový prostor \(P^{3'}\). Každá lineární optická zobrazovací soustava je tedy určena jistou projektivní transformací. Předpokládáme, že vztahy (\ref{094XIV}) je dána taková transformace \({\cal T}\). Pro účely optiky ji budeme blíže specifikovat ohniskovými rovinami, hlavními osami a dalšími praktickými požadavky, kterými se vztahy (\ref{094XIV}) podstatně zjednoduší. \begin{enumerate} \item {\it Předmětová ohnisková rovina} \(\varphi\subset P^3\) se transformací \({\cal T}\) zobrazuje na nevlastní rovinu v \(P^{3'}\). Je určena rovnicí \[ax+by+cz+d=0.\] \item {\it Obrazová ohnisková rovina} \(\varphi'\subset P^{3'}\) je obrazem nevlastní roviny v \(P^3\). Je určena rovnicí \[a'x'+b'y'+c'z'+d'=0.\] \item {\it Předmětová hlavní osa} je kolmá k \(\varphi\). Volíme ji jako osu \(x\) a pro její průsečík s \(\varphi\) --- {\itshape {\bf předmětové ohnisko}\/}\index{předmětové ohnisko} \(F\) --- volíme souřadnici \(x=0\). Rovnice roviny \(\varphi\) je pak \[ax=0.\] \item {\it Obrazová hlavní osa} je kolmá k \(\varphi'\). Volíme ji jako osu \(x'\) a pro její průsečík s \(\varphi'\) --- {\itshape {\bf obrazové ohnisko}\/}\index{obrazové ohnisko} \(F'\) --- volíme souřadnici \(x'=0\). Rovnice roviny \(\varphi'\) je pak \[a'x'=0.\] \item Požadavek, aby osa \(x'\) byla obrazem osy \(x\) znamená, že body s \(y=z=0\) se vztahy (\ref{094XIV}) transformují v body \(y'=z'=0\). Odtud \(a_2=d_2=a_3=d_3=0\). Pro inverzní transformaci platí analogicky \(a_2'=d_2'=a_3'=d_3'=0\). \item Z požadavku, aby roviny kolmé k ose \(x\) (rovnoběžné s \(\varphi\)) se zobrazovaly na roviny kolmé k \(x'\) (rovnoběžné s \(\varphi'\)), plyne,že \(x'\) je pouze funkcí \(x\), tj. \(b_1=c_1=0\). Pro inverzní transformaci \(b_1'=c_1'=0\). \item Důležité je omezení na {\itshape {\bf osově symetrické zobrazení}\/}\index{osově symetrické zobrazení}. Takové zobrazení stačí popsat transformacemi z roviny \(xy\) na rovinu \(x'y'\), odkud \(c_1=c_2=0\). Pro inverzní transformaci \(c_1'=c_2'=0\). \end{enumerate} Definice a požadavky 1. --- 7. vedou na zobrazení \[{\cal T}:\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)\longrightarrow\left( \begin{array}{c} x' \\ y' \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} \frac{a_1x+d_1}{ax} \\ \frac{b_2y}{ax} \end{array} \right)\] resp. \[{\cal T}^{-1}:\left( \begin{array}{c} x' \\ y' \end{array} \right)\longrightarrow\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} \frac{a_1'x'+d_1'}{a'x'} \\ \frac{b_2'y'}{a'x'} \end{array} \right).\] Transformační vztahy se ještě zjednoduší, uvážíme-li, že ohniska \(F\), \(F'\) leží na hlavních osách a požadujeme--li, aby ohnisko \(F'\) (\((F)\)) bylo při transformaci \({\cal T}\) (\({\cal T}^{-1}\)) obrazem nevlastního bodu \(\infty,0\) ležícího na ose \(x\) (\(x'\)): \[\lim_{x\to\infty} x'=\lim_{x\to\infty}\frac{a_1x+d_1}{ax}=\frac{a_1}{a}=0 \Rightarrow a_1=0,\] \[\lim_{x'\to\infty} x=\lim_{x'\to\infty}\frac{a_1'x'+d_1'}{a'x'}=\frac{a_1'}{a'} =0 \Rightarrow a_1'=0.\] Výsledkem jsou {\itshape {\bf zobrazovací rovnice v Newtonově (ohniskovém) tvaru}\/}\index{Newtonova zobrazovací rovnice} \[x'=\frac{d_1}{ax},y'=\frac{b_2y}{ax},a\neq 0.\] Zobrazení ovšem závisí pouze na dvou nezávislých konstantách, jimiž je plně určeno: \begin{equation} \label{094XV} \fbox{$\displaystyle x'x=C, \quad y'=\frac{By}{x}.$} \end{equation} Klasifikace optických zobrazovacích soustav podle znamení konstant \(B,\, C\) si ukážeme až na konci tohoto oddílu. Ve zbývající části se omezíme na {\itshape {\bf centrované soustavy}\/}\index{centrované optické soustavy}, u nichž optické elementy jsou rozloženy osově symetricky podél společné osy. Osy \(x,\, x'\) zde splývají s touto osou symetrie a osy \(y',z'\) volíme rovnoběžné s osami \(y,z\). Ohniska \(F,\, F'\) leží v počátcích obou soustav. Kladný směr os \(x,x'\) volíme souhlasně se směrem vstupu světla do optické soustavy. {\itshape {\bf Znaménková konvence jenské školy}\/}\index{znaménková konvence jenské školy} požaduje, aby délky měřené podél osy \(x\) \(x'\) měly znamení podle orientace vzhledem k těmto osám \cite{K}. {\itshape {\bf Maticová metoda v optice}\/}\index{maticová metoda}\cite{GB}. Centrovanými optickými soustavami lze (v monochromatickém světle) dosáhnout ideálně věrného zobrazení (\ref{094XV}), uskutečňuje--li se toto zobrazení paraxiálními paprsky. V {\itshape {\bf paraxiálním přiblížení}\/}\index{paraxiální přiblížení} je paprsek procházející bodem \(A=(x_A,y_A)\) určen vzdáleností \(y_A\) od osy \(x\) v místě \(x_A\) a úhlem \(u_A\), který svírá s osou \(x\) (obr. 9.11): \[\frac{dy}{dx}\biggr|_A=\tan{u_A}\doteq u_A.\] \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[height=0.4\textheight]{ob9d11}\\ \caption{Paprsek procházející bodem A je určen parametry \(x_A,y_A,u_A\).} \label{obr:9.11} \end{center} \end{figure} % {\it Obr. 9.11 Paprsek procházející bodem A je určen % parametry \(x_A,y_A,u_A\).} Ukážeme, že zobrazení (\ref{094XV}) lze ekvivalentně vyjádřit pomocí regulární lineární transformace \begin{equation} \label{094XVI} \left( \begin{array}{c} y' \\ u' \end{array} \right)=T\left( \begin{array}{c} y \\ u \end{array} \right),\qquad T=\left( \begin{array}{cc} T_{11} & T_{12} \\ T_{21} & T_{22} \end{array} \right), \end{equation} kde \(T\) se nazývá {\itshape {\bf matice přenosu soustavy}\/}\index{matice přenosu soustavy}. Matice přenosu má jednoduchý tvar pro {\itshape {\bf prázdný prostor délky s}\/}\index{prázdný prostor}, kde paprsek se šíří přímočaře, takže úhel \(u\) se nezmění a \(y\) se zvětší o \(us\): \begin{equation} \label{094XVII} \left( \begin{array}{c} y' \\ u' \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} y+us \\ u \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} 1 & s \\ 0 & 1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} y \\ u \end{array} \right),T=\left( \begin{array}{cc} 1 & s \\ 0 & 1 \end{array} \right). \end{equation} Při průchodu {\itshape {\bf tenkou čočkou}\/}\index{tenká čočka} se paprsek lomí podle obr. 9.10: \(y\) se nemění, ale úhel se změní o \(\delta=-y/f\), takže \begin{equation} \label{094XVIII} \left( \begin{array}{c} y' \\ u' \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} y \\ u-\frac{y}{f} \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -\frac{1}{f} & 1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} y \\ u \end{array} \right),T=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -\frac{1}{f} & 1 \end{array} \right). \end{equation} Jsou-li optické elementy (a prázdné prostory) řazeny za sebou podél osy \(x\) s maticemi přenosu \(T_1,\cdots,T_n\), výslednou matici přenosu lze snadno vypočítat jako součin matic (v opačném pořadí) \[T=T_n\cdots T_1.\] \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[height=0.5\textheight]{ob9d12}\\ \caption{Optická zobrazovací soustava: kardinální elementy, geometrická konstrukce zobrazení.} \label{obr:9.12} \end{center} \end{figure} % {\it Obr. 9.12 Optická zobrazovací soustava: kardinální % elementy, geometrická konstrukce zobrazení.} Abychom dospěli k významu konstant \(B,\, C\), budeme předpokládat, že daná složená optická soustava má matici přenosu \(T\) a odvodíme její ohniskové zobrazovací rovnice (\ref{XV}). Transformace (\ref{XVI}) popisuje transformaci vstupních paprsků na výstupní. Proto konvenčně volíme ohraničení soustavy {\it vstupní rovinou} \(\sigma\) a {\it výstupní rovinou} \(\sigma'\) (obr. 9.12). Transformaci paprsků ze vstupní roviny na výstupní budeme charakterizovat pomocí {\itshape {\bf kardinálních elementů}\/}\index{kardinální elementy}, které plně určují zobrazení: \begin{enumerate} \item {\itshape {\bf Ohniska}\/}\index{ohnisko} \(F\), \(F'\) jsou takové body na hlavní ose, že paprsek procházející \(F\) (\(F'\)) bude (byl) rovnoběžný s osou \(x\equiv x'\). Pro paprsky \(1,\, 1'\) a \(2, \, 2'\) platí \[\left( \begin{array}{c} 0 \\ u \end{array} \right)_{F'}=\left( \begin{array}{cc} 1 & -s' \\ 0 & 1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} T_{11} & T_{12} \\ T_{21} & T_{22} \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} y \\ 0 \end{array} \right)_S=\left( \begin{array}{c} (T_{11}-T_{21}s')y_S \\ T_{21}y_S \end{array} \right),\] \[\left( \begin{array}{c} y \\ 0 \end{array} \right)_{S'}=\left( \begin{array}{cc} T_{11} & T_{12} \\ T_{21} & T_{22} \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} 1 & s \\ 0 & 1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} 0 \\ u \end{array} \right)_F=\left( \begin{array}{c} (T_{11}s+T_{12}u_F) \\ (T_{21}s+T_{22}u_F) \end{array} \right).\] Nuly nalevo dávají vztahy \(T_{11}-T_{21}s'=0, T_{21}s+T_{22=0}\), odkud při \(T_{21}\neq 0\) máme \[\fbox{$\displaystyle s=-\frac{T_{22}}{T_{21}},s'=\frac{T_{11}}{T_{21}}.$}\] \item {\itshape {\bf Hlavní roviny}\/}\index{hlavní rovina} \(\chi,\, \chi'\) jsou dvě sdružené roviny (body \(\chi'\) jsou obrazy bodů \(\chi\)), jejichž body se navzájem zobrazují s bočním zvětšením rovným jedné. Na obr. 9.12 tomu odpovídají čárkované úseky paprsků \(1,\, 2\), které se však ve složené soustavě mohou šířit komplikovaným způsobem. Podle definice hlavních rovin a ohniskových vzdáleností \(f,\, f'\) jsou určeny předchozími transformačními rovnicemi \[u_{F'}=T_{21}y_S,\quad y_{S'}=(T_{11}s+T_{12})u_F\] a podmínkami plynoucími z chodu paprsků na obr. 9.12 \[y_S=f'u_{F'},\quad y_{S'}=fu_F.\] Dostáváme z nich \[\fbox{$\displaystyle f'=\frac{1}{T_{21}}$}\] a pomocí již vypočítaného \(s\) \[f=T_{11}s+T_{12}=\frac{-T_{11}T_{22}+T_{12}T_{21}}{T_{21}},\] tedy \[\fbox{$\displaystyle f=-\frac{\left|T\right|}{T_{21}}.$}\] Obráceně lze matici přenosu \(T\) vyjádřit pomocí \(f,f',s,s'\): \begin{equation} \label{094XIX} T=\left( \begin{array}{cc} \frac{s'}{f'} & f-\frac{ss'}{f'} \\ \frac{1}{f'} & -\frac{s}{f'} \end{array} \right) \end{equation} Ověřte! \end{enumerate} Newtonovu první zobrazovací rovnici (\ref{094XV}) nyní odvodíme z podmínky, aby bod \(A'\) na hlavní ose byl obrazem bodu \(A\) paprsku s libovolnými úhly \(u_A\): \begin{eqnarray} \label{094XX} \left( \begin{array}{c} 0 \\ u \end{array} \right)_{A'} & = & \left( \begin{array}{cc} 1 & p' \\ 0 & 1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} T_{11} & T_{12} \\ T_{21} & T_{22} \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} 1 & p \\ 0 & 1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} 0 \\ u \end{array} \right)_{A} \\ \nonumber & = & \left( \begin{array}{cc} T_{11}+T_{21}p' & (T_{11}+T_{21}p')p+T_{12}+T_{22}p' \\ T_{21} & T_{21}p+T_{22} \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} 0 \\ u \end{array} \right)_{A}. \end{eqnarray} Nula na levé straně dává podmínku nulovosti prvku \(12\), \[0=pp'T_{21}+pT_{11}+p'T_{22}+T_{12}.\] Dosadíme-li sem prvky (\ref{094XIX}) matice \(T\) \[0=pp'+ps'-p's+ff'-ss'\] a podle obr. 9.12 zavedeme proměnné \(x,\, x'\) rovnicemi \[x=-p+s,\ x'=p'+s',\] obdržíme první zobrazovací rovnici \begin{equation} \label{094XXI} \fbox{$\displaystyle xx'=ff'.$} \end{equation} Druhá zobrazovací rovnice (\ref{094XV}) popisuje boční zvětšení \(y'/y\), když při vychýlení bodu \(A\) do \(P\) se obraz \(A'\) posune do \(P'\): \[\left( \begin{array}{c} y \\ u \end{array} \right)_{P'}=\left( \begin{array}{cc} T_{11}+T_{21}p' & 0 \\ T_{21} & T_{21}p+T_{22} \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} y \\ u \end{array} \right)_P.\] Protože prvek \(12\) matice v rovnici (\ref{094XX}) je podle předchozího odvození roven nule, je boční zvětšení dáno prvkem \(11\), \[Z_{bocni}=\frac{y_P'}{y_P}=T_{11}+T_{21}p'=\frac{s'+p'}{f'}=\frac{x'}{f'}\] a podle (\ref{094XXI}) \begin{equation} \label{094XXII} \fbox{$\displaystyle y'=\frac{f}{x}y.$} \end{equation} Poznamenejme, že prvek \(22\) určuje {\itshape {\bf úhlové zvětšení}\/}\index{úhlové zvětšení} \(k\) (konvergenční poměr) pro zobrazení bodu \(A\) na hlavní ose. Podle (\ref{094XX}) \[k=\frac{u_{A'}}{u_A}=T_{21}p+T_{22}=\frac{p-s}{f'}=-\frac{x}{f'}=-\frac{f}{x'}.\] {\itshape {\bf Uzlové body}\/}\index{uzlový bod} \(U,\, U'\) jsou definovány jako sdružené body na hlavní ose, které mají tu vlastnost, že prvky jimi procházející se zobrazují s úhlovým zvětšením rovným jedné: \[x_u=-f',\ x_{u'}'=-f.\] Vraťme se ke zobrazovacím rovnicím (\ref{094XXI}), (\ref{094XXII}). Vidíme, že konstanty \(C\), \(B\) v (\ref{094XV}) jsou rovny \begin{equation} \label{094XXIII} \fbox{$\displaystyle c=ff',\qquad B=f.$} \end{equation} Podle jejich znamének rozlišujeme 4 typy optických soustav\footnote{V literatuře se používají termíny: soustava dioptrická (typu čočky), katoptrická (typu zrcadla), dispansivní (rozptylná), kolektivní (spojná).} \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \bf C & \bf B & \bf\(f\) & \bf\(f'\) & \multicolumn{2}{c|}{\bf Soustava} \\ \hline - & - & - & + & typu čočky & rozptylná \\ \hline - & + & + & - & typu čočky & spojná \\ \hline + & - & - & - & typu zrcadla & rozptylná \\ \hline + & + & + & + & typu zrcadla & spojná \\ \hline \end{tabular} Jaká soustava je zobrazena na obr. 9.12 ? {\bf Cvičení 5.} Ukažte, že při znaménkách \(C<0\) resp. \(C>0\) platí: postupuje-li předmět po ose v kladném směru, postupuje jeho obraz týmž resp. opačným směrem, tj. jako u čočky resp. zrcadla. {\bf Cvičení 6.} Ukažte, že při znaménkách \(B<0\) resp. \(B>0\) platí: pro \(x<0\) mají \(y,y'\) stejná, resp. opačná znaménka. Příkladem je rozptylná resp. spojná čočka. {\itshape {\bf Zobrazovací rovnice vztažené k hlavním rovinám}\/}\index{zobrazovací rovnice vztažené k hlavním rovinám} \(\chi,\, \chi'\) obdržíme dosazením \[x=f+a,\ x'=f'+a'\] podle obr. 9.12 do (\ref{094XXI}), (\ref{094XXII}): \begin{equation} \label{094XXIV} \fbox{$\displaystyle \frac{f}{a}+\frac{f'}{a'}+1=0,\ y'=f\frac{y}{f+a}.$} \end{equation} Speciální případy jsme již odvodili v oddíle 9.3: jedná se o zrcadlovou rovnici (\ref{0903XI}) a čočkovou rovnici (\ref{0903XIII}), které odpovídají \(f=f'\) resp. \(f=-f'\). {\bf Cvičení 7.} Odvoďte matici přenosu pro zobrazení předmětu \(P\) tenkou čočkou. V obecné situaci obr. 9.12 zvolte \(p=p'=0\), tj. vstupní rovina prochází předmětem \(P\), výstupní obrazem \(P'\). Obě hlavní roviny splývají s rovinou čočky. Uvažte, že výsledná matice přenosu vznikne složením matice (\ref{094XVII}) pro prázdný prostor délky \(-a\), matice (\ref{094XVIII}) pro tenkou čočku a matice (\ref{094XVII}) pro prázdný prostor délky \(a'\), \[T=\left( \begin{array}{cc} 1-\frac{a'}{f} & -a+a'+\frac{aa'}{f} \\ -\frac{1}{f} & 1+\frac{a}{f} \end{array} \right).\] Vysvětlete, proč \(T_{12}=0\) je ekvivalentní čočkové rovnici (\ref{0903XIII}). Podrobný výklad dalších témat geometrické optiky včetně vad zobrazení najde čtenář v citované literatuře \cite{K}, \cite{TK}.