01ALG:Kapitola5
\nothing{ \begin{document} }
\xxx{Algebra}
%\xxxx{Algebra}
\define Nechť $n\in\Nz$. \begin{enumerate} \item Pak \defined[operace!algebraická]{$n$-ární algebraickou operací} na $M\neq\emptyset$ rozumíme libovolnou
$(n+1)$-ární relaci $\omega$ na $M$, která splňuje podmínku jednoznačnosti:
$$\bigl(\AA x_1\cldc x_n, y, z\in M\bigr) \Bigl(\bigl( (x_1\cldc x_n, y)\in\omega \;\Land\; (x_1\cldc x_n, z)\in\omega \bigr)\Limpl y=z\Bigr).$$ \item Číslo $n$ nazýváme \defined[arita]{arita} nebo \defined[czetnost@četnost]{četnost} operace $\omega$. \item Poznámka: $\omega\sse M^{n+1}$. Podmínka jednoznačnosti vyjadřuje, že $\omega$ je zobrazení $M^n\rightarrow M$. \item Pro $n=0$ říkáme, že $\omega$ je \defined[operace!algebraická!nulární]{nulární}
a $\omega$ je jednoprvková množina.
\item Pro $n=1$ říkáme, že $\omega$ je \defined[operace!algebraická!unární]{unární}. \item Pro $n=2$ říkáme, že $\omega$ je \defined[operace!algebraická!binární]{binární}
a značíme $\omega(x_1, x_2)=:x_1\omega x_2$.
\item Pro $n=3$ říkáme, že $\omega$ je \defined[operace!algebraická!ternární]{ternární}. \end{enumerate}
\define \begin{enumerate} \item \defined[algebra]{Algebra} je uspořádaná dvojice $\calA=(M, \Omega)$,
kde $M\neq\emptyset$ je \defined[nosič]{nosič} algebry $\calA$
a $\Omega$ je neprázdná množina algebraických operací.
\item Pro nosič používáme značku $M=:\calA^\bullet$, ale často také jen $M=:\calA$. \item Je-li $\Omega$ konečná, $\Omega=\{\omega_1\cldc\omega_k\}$, značíme $\calA=(M, \omega_1\cldc\omega_k)$. \item Je-li $M$ konečná, pak počet prvků $M$ značíme $\abs M$ a nazýváme jej
\defined[algebra!rzad@řád]{řád} algebry $\calA$.
\end{enumerate}
\xxx{Teorie grup}
\xxxx{Grupoid. Pologrupa}
\define Algebru $G=(M, \omega)$ s~binární operací $\omega$ nazýváme \defined[grupoid]{grupoid}. Operaci $\omega$ obvykle značíme $\cdot$, a říkáme \defined[grupoid!multiplikativní]{multiplikativní grupoid}, nebo $+$, a říkáme \defined[grupoid!aditivní]{aditivní grupoid}.
\define Grupoid $G=(M, \cdot)$ je \defined[pologrupa]{pologrupa}, platí-li \defined[zákon!asociativní]{asociativní zákon}: $(\AA a,b,c\in M)((ab)c=a(bc))$.
\def\aldotsa#1#2{a_{#1}\ldots a_{#2}} \define Definujeme \defined[součin!standardní]{standardní součin}: $(a_1)=a_1$; $(a_1 a_2)=a_1\cdot a_2$; $(\aldotsa 1n\,a_{n+1})=(\aldotsa 1n)a_{n+1}$.
\lemma Platí-li asociativní zákon, pak platí i \defined[zákon!asociativní!zobecněný]{zobecněný asociativní zákon}: $$\bigl(\AA m,n\in\N\bigr)\bigl(\AA a_i\in M\bigr) \bigl((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})=(\aldotsa1{m+n})\bigr).$$
\proof Důkaz provedeme matematickou indukcí podle $n$. \begin{description} \item[($n=1$)] Plyne z~definice standardního součinu. \item[($n\rightarrow n+1$)] $(\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n}\, a_{m+n+1}) =(\aldotsa 1m)((\aldotsa{m+1}{m+n}) a_{m+n+1}) =\\ ((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})) a_{m+n+1} =(\aldotsa 1{m+n}) a_{m+n+1} =(\aldotsa 1{m+n+1}) $. \end{description} \QED
\define Grupoid $G=(M, \cdot)$ je \defined[grupoid!komutativní]{komutativní grupoid},
platí-li \defined[zákon!komutativní]{komutativní zákon}:
$(\AA a,b\in M)(ab=ba)$.
\define $\pS n$ je množina všech permutací množiny $\widehat n$.
\lemma V komutativní pologrupě platí \defined[zákon!komutativní!zobecněný]{zobecněný komutativní zákon}: $$(\AA n\in\N)(\AA\pi\in\pS n)(\aldotsa 1n=\aldotsa{\pi(1)}{\pi(n)})$$
\proof Platí, že každé $\pi\in\pS n$ je konečným složením sousedních transpozicí. \QED
\define V~pologrupě definujeme pro $a\in M$ a $n\in\Nz$ \defined[mocnina!přirozená]{přirozenou mocninu}: $$a^n:=\underbrace{a\cdot a\cdot \cdots \cdot a}_{\text{$n$-krát}}.$$ V~multiplikativní pologrupě používáme označení $n\times a$.
\example \begin{enumerate} \item \defined[pologrupy!číselné]{Číselné pologrupy}: nosičem je vždy podmnožina $\C$, operace jsou
přirozené operace na číslech, tj. $(+)$ nebo $(\cdot)$.
\begin{enumerate}
\item $(\Z, +)$ je komutativní pologrupa nazývaná
\defined[pologrupa!aditivní celých čísel]{aditivní pologrupa celých čísel}.
\item $(\Z, \cdot)$ je komutativní pologrupa nazývaná
\defined[pologrupa!multiplikativní celých čísel]{multiplikativní pologrupa celých čísel}.
\item $(\N, \cdot)$ je komutativní pologrupa.
\end{enumerate}
\item $(\Z, -)$ je grupoid. \item Nechť $A\neq\emptyset$ a $M=\{\map fAA\}$ a $\omega=\circ$ je operace složení zorazení.
Pak $(M, \circ)$ je pologrupa (nekomutativní) a nazývá se
\defined[pologrupa!symetrická]{symetrická pologrupa} na $A$.
\item $(\C^{n,n}, \cdot)$ je pologrupa (nekomutativní). \end{enumerate}
\define \defined[prvek (algebra)!neutrální]{Neutrálním prvkem} grupoidu $G=(M, \cdot)$ rozumíme libovolný prvek
$e\in M$ takový, že
$(\AA a\in M)(ea=ea=a)$. Obyčejně značíme v~multiplikativním grupoidu $e=:1$ a nazýváme \defined[jednotka (grupoidy)]{jednotka}
a v~aditivním $e=:0$ a nazýváme \defined[nula (grupoidy)]{nula}.
\lemma Grupoid má nejvýše jeden neutrální prvek.
\proof Nechť $e_1$, $e_2$ jsou neutrální prvky. Pak $e_1=e_1e_2=e_2$. \QED
\define Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupoid s~jednotkou. \defined[prvek (algebra)!inverzní]{Inverzním prvkem} k~$a\in M$ je prvek $a^\1$ takový, že $a^\1a=aa^\1=1$.
\lemma V~pologrupě s~jednotkou má každý prvek nejvýše jeden inverzní.
\proof Nechť $a_1$ a $a_2$ jsou inverzní k~$a$. Pak $a_1=a_11=a_1(aa_2)=(a_1a)a_2=a_2$. \QED
\define Prvky, ke kterým existuje inverzní prvek, se nazývají \defined[prvek (algebra)!invertibilní]{invertibilní}
nebo \defined[prvek (algebra)!regulární]{regulární}.
V multiplikativním grupoidu používáme název \defined[prvek (algebra)!opačný]{opačný prvek} a značku $-a$.
\define Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s dělením]{lze dělit}, platí-li, že $$(\AA a,b\in M)(\EE x,y\in M)(ax=b\;\Land\;ya=b).$$
\define Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s krácením]{lze krátit}, platí-li, že $$(\AA a,b,c\in M)\bigl((ac=bc \Lor ca=cb)\Limpl a=b\bigr).$$
\example V~pologrupě $(\N,+)$ lze krátit, neboť $a+c=b+c\Limpl a=b$,
ale nelze dělit, neboť $a+x=b$ nemá vždy řešení.
Má tedy smysl pojmy zavádět nezávisle, neboť krácení a dělení ze sebe nevyplývají.
\xxxx{Grupa}
\define Pologrupa $G$, ve které lze dělit, se nazývá \defined[grupa]{grupa}. Je-li navíc $G$ komutativní, nazývá se \defined[grupa!Abelova]{Abelova grupa}.
\theorem V~libovolné grupě existuje jednotka a každý prvek má inverzní.
\proof \begin{description}
\item[(existence jednotky)] Víme, že $(\AA a,b)(\EE x,y)(ax=b\;\Land\;ya=b)$. Tedy pro konkrétní $a$ existuje $e$ tak, že $ae=a$. Ukážeme, že $e$ je jednotka. Mějme libovolné $b\in M$. Pak $(\EE y)(ya=b)$ a $be=(ya)e=y(ae)=ya=b$. Tedy $e$ je univerzální pravá jednotka. Symetricky ukážeme existenci univerzální levé jednotky $e'$. Platí $e'=e'e=e=:1$, tedy existuje jen jedna jednotka a je pravá i levá.
\item[(invertibilita)] Označme $a_P$ řešení $ax=1$ a $a_L$ řešení $ya=1$. Pak $a_L=a_L1=a_L(aa_P)=(a_La)a_P=1a_P=a_P$. Tedy existuje inverzní a je jeden.
\end{description} \QED
\theorem Nechť $G$ je pologrupa, ve které existuje pravá jednotka $e$ a libovolný prvek $a$ má zprava inverzní prvek $a^\1$
vzhledem k~$e$.
Pak $G$ je grupa (tj. lze v~$G$ dělit).
\proof $$ea=eae=eaa^\1(a^\1)^\1=ee(a^\1)^\1=e(a^\1)^\1=aa^\1(a^\1)^\1=ae=a,$$ tedy $e$ je i levou jednotkou. \QED
\define V grupě definujeme pro $a\in G^\bullet$ a pro $n\in\Z$ \defined[mocnina!celá]{celou mocninu}: \begin{enumerate} \item $a^n$ definované dříve; \item $a^0:=1$; \item $a^{-n}:=(a^\1)^n=(a^n)^\1$. \end{enumerate}
V~aditivní grupě $G=(G^\bullet, +)$ používáme pro $n\geq1$ zápis $n\times a:=\underbrace{a+\cdots+a}_{\text{$n$-krát}}$.
\lemma V~libovolné grupě platí $\left(a^n\right)^l=a^{nl}$, v~Abelově grupě navíc $(ab)^n=a^nb^n$.
\example \begin{enumerate} \item $Z=(\Z; +)$ je \defined[grupa!aditivní celých čísel]{aditivní grupa celých čísel} a je Abelova. \item $(\Q\sm\{0\},\cdot)$ je \defined[grupa!multiplikativní nenulových racionálních čísel]{%
multiplikativní grupa nenulových racionálních čísel} a je Abelova.
\item Odbobně pro $\R\sm\{0\}$ a $\C\sm\{0\}$. \item
Nechť $A\neq\emptyset$, $M=\{\maptype fA{bij}A\}$.
Pak $(M, \circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa} na $A$.
Jednotkou je identické zobrazení a inverzním prvkem k $f$ je $f^\1$.
\item Symetrickou grupu na $\hatn n$ značíme $\pS n$. \item $E=(\{1\}, \cdot)$ je nejmenší možná grupa nazývaná \defined[grupa!triviální]{triviální grupa}. \item Pro $n\in\N$ a pro $k\in\hatn n$ definujeme $a_k=\cos\frac{2k\pi}n+i\sin\frac{2k\pi}n$ a nazýváme je\break
\defined[komplexní $n$-té odmocniny z~1]{komplexní $n$-té odmocniny z~1}.
Platí $a_ka_l=a_{k+l}$ (nebo $a_ka_l=a_{k+l-n}$ pokud $k+l>n$).
Jednotka je $1=a_n$ a $a_k^\1=a_{n-k}$.
Označme $\sqrt[n]1=\set{a_k}{k\in\hatn n}$.
Pak $(\sqrt[n]1, \cdot)$ je Abelova grupa.
\item
Nechť $V$ je vektorový prostor. Pak $(V, +)$ je Abelova grupa.
\end{enumerate}
\define Pologrupa s~jednotkou se nazývá \defined[monoid]{monoid}.
\example Monoid slov. Nechť $\bbA\neq\emptyset$ je abeceda. Pak $\alpha=a_1\ldots a_n$ je slovo. Označme $\bbA^+$ množinu všech neprázdných slov, $\varepsilon$ prázdné slovo
a $\bbA^*=\bbA^+\cup\{\varepsilon\}$ množinu všech slov.
Definujme operaci zřetězení $\circ$ tak, že $\alpha\circ\beta=a_1\ldots a_n\,b_1\ldots b_m$. Pak $(\bbA^+, \circ)$ je pologrupa a $(\bbA^*, \circ)$ je monoid.
\xxxx{Podgrupa}
\define Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupa. Řekneme, že množina $N\sse M$, $N\neq\emptyset$ je \defined[uzavřenost!v grupě]{uzavřená} v~$G$, platí-li: $$(\AA a,b\in N)(ab^\1\in N).$$
\lemma Je-li $N$ uzavřená v~$G=(M, \cdot)$, pak je $H=(N, \cdot)$ grupa.
\proof Ukážeme, že $H$ splňuje základní vlastnosti grupy:
\begin{description} \item[(existence jednotky)] Vezmu libovolné pevné $a\in N$ a položím $b:=a$. Pak vím, že $aa^\1=1\in N$.
\item[(invertibilita)] K~libovolnému $b\in N$ položím $a:=1$. Pak vím, že $1b^\1=b^\1\in N$.
\item[(uzavřenost vůči operaci)] K~libovolným $a,c\in N$ položím $b:=c^\1$. Pak vím, že $ab^\1=ab\in N$. \end{description} \QED
\define $H$ definované v~předchozím lemmatu nazýváme \defined[podgrupa]{podgrupa} grupy $G$ a značíme $H\sg G$.
\lemma $G\sg G$, $E\sg G$.
\define \defined[podgrupa!netriviální]{Netriviální podgrupa} je taková $H\sg G$, že platí $H\neq G$ a $H\neq E$.
\theorem Buď $G=(M,\cdot)$ grupa a pro $i\in I$ buď $H_i=(N_i,\cdot)$ systém jejích podgrup. Potom $H:=\bigcap\limits_{i\in I}H_i=\Bigl(\bigcap\limits_{i\in I}N_i, \cdot\Bigr)\sg G$.
\proof Nezbytně $1\in H_i$ tedy $H\neq\emptyset$. $(\AA a,b\in H)(\AA i\in I)(a,b\in H_i)\Limpl (\AA a,b\in H)(ab^\1\in H_i)\Limpl ab^\1\in H$. \QED
\define Mějme $G=(M, \cdot)$ a $a\in M$.
Pak označujeme $\anglevector a$ nejmenší podgrupu (ve smyslu inkluze) grupy $G$ obsahující $a$,
tj. $\anglevector a=\bigcap\limits_{{H\sg G}\atop{\;a\in H,}} H$.
\lemma $\anglevector a=\set{a^k}{k\in\Z}.$
\proof Je uzavřená vůči testovací podmínce, je podgrupou a je zjevně nejmenší. \QED
\define
Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupa, $N\sse M$ libovolná její podmnožina.
Pak definujeme \defined[podgrupa!generovaná množinou]{podgrupu generovanou $N$} jako
$\anglevector N=\bigcap\set{H\sg G}{N\sse H\supdot}$.
Množinu $N$ nazýváme \defined[podgrupa!generátor]{generátor} $\anglevector N$.
\lemma $\anglevector N\supdot=\set{a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}}{n\in\Nz, a_i\in N, k_i\in\Z}=:K$.
\proof Zjevně nemůže být $\anglevector N\supdot$ menší, stačí tedy ukázat, že $K$ je podgrupou: Nechť $a=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\in K$ a $b=b_1^{\ell_1}\cdots b_m^{\ell_m}\in K$ a potom
$ab^\1=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\,b_m^{-\ell_m}\cdots b_1^{-\ell_1}$.
\QED
\define \begin{enumerate} \item
Nechť $H, K\sg G$.
Pak definujeme \defined[součin!podgrup]{součin podgrup} $H\cdot K=\anglevector{H\supdot\cup K\supdot}$.
\item
Nechť pro všechna $i\in I$ je $H_i\sg G$.
Pak definujeme $\prod\limits_{i\in I}H_i=\Bigl\langle\bigcup\limits_{i\in I}H_i\supdot\Bigr\rangle$.
\end{enumerate}
\example \begin{enumerate} \item
Nechť $S$ je množina sudých celých čísel. Pak $(S,+)\sg(\Z, +)$ je netriviální podgrupa. Ověříme uzavřenost: $(\AA a,b\in S)(a-b\in S)$, což ale zjevně platí.
\item
$\pS n$ je grupa permutací $\hatn n$, nechť $\AM n$ je množina všech sudých permutací (přesná definice dále).
Pak všechna $\pi,\sigma\in\AM n$ jsou složením sudého počtu transpozicí
a inverze vznikne přečtením transpozic pozpátku.
Tedy $(\AM n, \circ)\sg(\pS n, \circ)$, kterou nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující grupa}.
$\abs{\pS n}=n!$; pro $n\geq 2$ je $\abs{\pA n}=n!/2$.
\item
$(\sqrt[n]1, \cdot)\sg(\C, \cdot)$.
\end{enumerate}
\xxxx{Řád prvku grupy}
\define Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $a\in M$. \begin{enumerate} \item
$a$ má \defined[prvek (algebra)!řád!nekonečný]{nekonečný řád}, pokud $(\AA k,\ell\in\Z, k\neq\ell)(a^k\neq a^\ell)$.
\item
Nemá-li $a$ nekonečný řád, pak má \defined[prvek (algebra)!řád!konečný]{konečný řád}
a \defined[prvek (algebra)!řád]{řádem prvku} $a$ rozumíme $\min\set{r\in\N}{a^r=1}$.
\end{enumerate}
\lemma Nechť $a\in G$ má řád $r$ a pro nějaké $k\in\Z$ je $a^k=1$. Pak $r\mid k$.
\proof V~celých číslech platí princip dělení se zbytkem (důkladně probereme níže): $$(\AA k, r\in\Z, r\neq 0)(\EE \ell, R\in\Z, 0\leq R<r)(k=r\ell+R).$$ Platí $a^R=a^k(a^r)^{-\ell}=1$, tedy $R\in\N$ a $R<r$, což je spor s~tím, že $r$ je řád $a$. Tedy $R=0$ a $r\mid k$. \QED
\define Buď $G=(M,\cdot)$ grupa. Řekneme, že $G$ je \begin{enumerate} \item \defined[grupa!periodická]{periodická}/\defined[grupa!torzní]{torzní}, má-li libovolný její prvek konečný řád. \item \defined[grupa!bez torze]{bez torze}, pokud má každý prvek různý od $1$ nekonečný řád. \item \defined[grupa!smíšená]{smíšená} v~ostatních případech. \end{enumerate}
\lemma Libovolná konečná grupa je periodická.
\example Ukážeme, že nekonečné grupy mohou být periodické, bez torze i smíšené. \begin{enumerate} \item Označme $G_n=(\sqrt[n]1,\cdot)$ a $M=\bigcup\limits_{n\in\N}G_n=\set{\cos2q\pi+i\sin2q\pi}{q\in\Q}$. Pak $M$ je uzavřená v~$(\C,\cdot)$: $a,b\in M$, $a\in G_k$, $b\in G_\ell$. $(ab^\1)^{kl}=(a^k)^\ell(b^\ell)^{-k}=1\cdot1=1$, tedy $ab^\1\in G_{k\ell}$. Zjevně $(M, \cdot)$ je nekonečná grupa a řád prvku $a\in G_k$ je nejvýše roven $k$. Tedy $(M, \cdot)$ je nekonečná a periodická. \item $(\Z,+)$ je zjevně bez torze, neboť pro $z\in\Z$ je $k\times n=0 \Lequiv z=0$. \item $(\C,\cdot)$ je smíšená, neboť $(M,\cdot)\sg(\C,\cdot)$ je periodická a např. číslo $2\in\C$ má nekonečný řád. \end{enumerate}
\theorem (algoritmus dělení, o dělení se zbytkem) $$(\AA k, \ell\in\Z, \ell\neq0)(\EE_1 q,r\in\Z)(k=q\ell+r \;\Land\; 0\leq r<\abs\ell).$$
\proof \begin{description}
\ditem{existence} Položme $q':=\intpart{\frac k{\abs\ell}}$, tedy $q'\leq\frac k{\abs\ell}<q'+1$. Pak $q'\abs\ell\leq k<q'\abs\ell+\abs\ell$, tedy pro $r:=k-q'\abs\ell$ platí $0\leq r<\abs\ell$. Položme $q:=q'\sgn\ell$, pak platí $q\ell+r=q'\ell\sgn\ell+r=q'\abs\ell+k-q'\abs\ell=k$.
\ditem{jednoznačnost} Mějme druhou dvojici $\tilde q, \tilde r$ splňující tvrzení věty a pro spor nejprve předpokládejme,
že $q\neq\tilde q$.
Potom $\abs{\tilde r-r}=\abs{(k-\tilde q\ell)-(k-q\ell)}=\abs{q\ell-\tilde q\ell}=
\abs\ell\abs{q-\tilde q}\geq\abs\ell\cdot1$.
Ale $(\AA q_1,q_2\in\Z, 0\leq q_{1,2}\leq\abs\ell-1)(\abs{q_1-q_2}\leq\abs\ell-1)$, což je spor. Tedy $q=\tilde q$ a $r=k-q\ell=k-\tilde q\ell=\tilde r$.
\end{description} \QED
\define \defined[největší společný dělitel]{Největší společný dělitel} $k,\ell\in\Z$ je takové $d\in\Z$, že: \begin{enumerate} \item $d\mid k$, $d\mid\ell$; \item $d'\mid k \Land d'\mid\ell \Limpl d'\mid d$. \end{enumerate}
\remark Je-li číslo $d$ největší společný dělitel, pak i číslo $-d$ je největší společný dělitel.
\theorem K libovolným číslům $k,\ell\in\Z$ existuje největší společný dělitel $d$ a existují $u,v\in\Z$ takové, že $$d=uk+v\ell.$$
\proof Nechť $k,\ell\neq0$. Označme $D:=\set{uk+v\ell}{u,v\in\Z}\sse\Z$. Množina $D$ je uzavřená na součty a $\Z$-násobky. Definujme $d:=\min\set{x\in D}{x>0}$ a ukážeme, že je největší společný dělitel.
$k=dq+r$, kde $q\in\Z$ a $0\leq r<d$. $r=k-dq$, kde $k\in D$ a $dq\in D$, tedy $r\in D$ a $r<d$, tedy musí $r=0$, jinak by $r>0\Land r<d$. Tedy $d\mid k$ a sjeným postupem $d\mid\ell$.
Nechť $d'\mid k$ a $d'\mid\ell$. Z~toho vyplývá, že $d'$ dělí všechna čísla v~$D$, tedy i $d'\mid d$. \QED
\define Nezáporný největší společný dělitel $k$ a $\ell$ budeme značit $\gcd(k,\ell)$. Řekneme, že $k$ a $\ell$ jsou \defined[nesoudělnost]{nesoudělná}, když $\delta(k,\ell)=1$.
\define \defined[násobek!nejmenší společný]{Nejmenší společný násobek} čísel $k$ a $\ell$ označujeme $\lcm(k,\ell)$
a je to nejmenší takové $m\in\N$, že $k\divides m$ a $\ell\divides m$.
\xxxx{Cyklické grupy}
\define Řekneme, že grupa $G$ je \defined[grupa!cyklická]{cyklická}, je-li rovna některé ze svých cyklických podgrup, tedy $(\EE a\in G)(G=\anglevector a=\set{a^n}{n\in\Z})$. Prvek $a$ nazýváme \defined[grupa!cyklická!generátor]{generátor} grupy $G$.
\lemma \begin{enumerate} \item Každá cyklická grupa je Abelova. \item Každá cyklická grupa je nejvýše spočetná. \end{enumerate}
\example \begin{enumerate} \item $Z=(\Z,+)$ je nekonečná cyklická grupa generovaná prvkem $1$ nebo $-1$:
$$Z=(\Z,+)=\anglevector 1=\anglevector\1.$$
\item Pro každé $n\in\N$ je $\sqrt[n]1$ konečná cyklická grupa s~řádem $n$,
generátorem je např. $a_1=\cos\frac{2\pi}n+i\sin\frac{2\pi}n$.
\end{enumerate}
\theorem Libovolná podgrupa cyklické grupy je cyklická.
\proof $G=\anglevector a$, $H\sg G$. Pro $H=E$ je generátorem jednotka. Označme $p=\min\set{i\in\N}{a^i\in H}$. Ukážeme, že $\anglevector {a^p}=H$. \begin{description} \item[($\sse$)]
Zřejmé.
\item[($\supseteq$)]
Vezměmě libovolné $x\in H$.
Pak $(\EE q\in\Z)(x=a^q)$.
Označme $d=\delta(p,q)=up+vq$.
Potom $a^d=a^{up+vq}=\left(a^p\right)^u\cdot\left(a^q\right)^v\in H$.
$p$ je nejmenší, tedy $d\geq p$, ale $d\mid p$, tedy $d\leq p$, což dohromady dává $p=d$.
Současně $d\mid q$, tedy $q=pr$ a $a^q=\left(a^p\right)^r\in\anglevector{a^p}$.
\end{description} \QED
\lemma Nekonečná cyklická grupa $\anglevector a$ má právě 2 generátory, a to $a$ a $a^\1$.
\theorem Buď $G=\anglevector a$ cyklická grupa řádu $n$, a nechť $1\leq k\leq n$. Potom $a^k$ generuje $G$ právě tehdy, když jsou $k$ a $n$ nesoudělná.
\proof \begin{description} \item[($\Rightarrow$)]
$G=\anglevector{a^k}$. Tedy $a=\qlb{a^k}^u$. Z~toho vyplývá, že $a^{ku-1}=1$.
Každý generátor má řád $n$, tedy $a$ má řád $n$, tedy $ku-1=vn$, tedy $uk-vn=1$, tedy $\delta(k,n)=1$.
\item[($\Leftarrow$)]
Z~nesoudělnosti existují $u$, $v$ tak, že $uk+vn=1$.
Dále $a=a^1=a^{uk+vn}=\qlb{a^k}^u\qlb{a^n}^v=\qlb{a^k}^u1^v=\qlb{a^k}^u$.
Tedy pro libovolné $x\in G$ je $x=a^r=\qlb{a^{uk}}^r$.
\end{description} \QED
\define Definujeme \defined[funkce!Eulerova]{Eulerovu funkci} $\map\phi\N\N$, kde $\phi(n)$ je počet čísel
z~$\hatn n$ nesoudělných s $n$.
\lemma $n$ je prvočíslo právě tehdy, když $\phi(n)=n-1$.
\xxxx{Kongruence}
\define Mějme grupoid $G=(M,\cdot)$ a mějme ekvivalneci $\equiv$ na $M$. Pak pro libovolné $x\in M$ definujeme $T_x$ jako třídu ekvivalence podle $\equiv$, která obsahuje $x$,
tedy $x\in T_x\in M\factorset\equiv$ (korektnost je zajištěna disjunktností tříd ekvivalence).
\define Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ ekvivalence na $G$. Řekneme, že $\equiv$ je \defined[kongruence (grupy)]{kongruence} na $G$, platí-li, že $$\bigl(\AA a,b,c,d\in M\bigr)\bigl((a\equiv b\Land c\equiv d)\Limpl ac\equiv bd\bigr).$$
\define Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $G$. Pak definujeme součin tříd ekvivalence $M\factorset\equiv$ jako $T_a\cdot T_b=T_{ab}$. (Korektnost definice je zajišťena definující vlastností kongruence.)
\define Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$. Pak definujeme \defined[faktorgrupoid]{faktorgrupoid} $G$ jako $G\factorset\equiv:=(M\factorset\equiv, \cdot)$
\theorem Buďte $G=(M,\cdot)$ grupod a $\equiv$ kongruence na $M$. Pak $G\factorset\equiv$ je pologrupa, resp. je komutativní, resp. má jednotkou, resp. je grupa, má-li odpovídající vlastnost i $G$.
\proof Všechny body jsou obdobné, ukážeme asociativitu (pologupa). Nechť $T_a, T_b, T_c\in M\factorset\equiv$. Pak $(T_a T_b)T_c=T_{ab}T_c=T_{(ab)c}=T_{a(bc)}=T_aT_{bc}=T_a(T_bT_c)$. \QED
\define Mějme $Z=(\Z,+)$ a libovolné $m\in\Z$. Pak definujeme \defined[kongruence!modulo $m$]{kongruenci modulo $m$} (značíme $\equiv_m$) následovně: $$a\equiv_m b\iff(\EE s\in\Z)(a-b=sm).$$ Třídy $Z\factorset{\equiv_m}$ se nazývají \defined[třídy!zbytkové]{zbytkové třídy} po dělení $m$. Faktorgrupu $Z\factorset{\equiv_m}$ označujeme $Z_m$.
\lemma Relace $\equiv_m$ je kongruence na $Z$.
\proof Ukážeme, že $\equiv_m$ je ekvivalence a splňuje definiční podmínku kongruence. \begin{description} \ditem{reflexivita} Platí $a-a=0=0m$. \ditem{symetrie} Nechť $a-b=sm$. Pak $b-a=-sm=(-s)m$. \ditem{tranzitivita} Nechť $a-b=sm$ a $b-c=tm$. Pak $a-c=(a-b)+(b-c)=sm+tm=(s+t)m$. \ditem{konguence} Nechť $a-b=sm$ a $c-d=tm$. Pak $(a+c)-(b+d)=sm+tm=(s+t)m$. \end{description} \QED
\example \begin{description} \ditem{$m=0$} $a\equiv_0 b\Lequiv 0\mid a-b\Lequiv a=b$, tedy každý prvek má svou jednoprvkovou třídu. \ditem{$m=1$} $a\equiv_1 b\Lequiv 1\mid a-b$, tedy všechny prvky leží ve stejné třídě. \end{description}
\lemma Pro $m\geq 1$ platí, že dvě celá čísla jsou v~jedné třídě $\Z\factorset{\equiv_m}$ právě tehdy,
když dávají stejný zbytek po dělení $m$.
Tedy tříd ekvivalence podle $\equiv_m$ je $m$.
\proof \begin{description} \ditem{$\Rightarrow$}
$a_1, a_2\in\Z$, $a_1\EH m a_2$.
Pak $a_1=mq_1+r_1$, $a_2=mq_2+r_2$ a $a_1-a_2=sm$.
Odečtením prvních dvou máme $a_1-a_2=m(q_1-q_2)+(r_1-r_2)=sm$, $r_1-r_2=m(q_1-q_2-s)$, tedy $m\mid r_1-r_2$,
ale protože $0\leq r_{1,2}<m$, je nutně $r_1=r_2$.
\ditem{$\Leftarrow$}
Víme, že $r_1=r_2$, tedy $a_1-a_2=m(q_1-q_2)$, tedy $s=q_1-q_2$ a $a_1\equiv_m a_2$.
\ditem{$\abs{\Z\factorset{\equiv_m}}=m$}
Toto je zjevné z předchozího.
\end{description} \QED
\lemma Faktorgrupa $Z_m$ grupy $Z$ podle $\equiv_m$ je cyklická s generátorem $T_1$, tedy $Z_m=\anglevector{T_1}$.
\xxxx{Homomorfismus}
\define Buďte $G_1=(M_1, \cdot)$, $G_2=(M_2, \cdot)$ grupoidy. Řekneme, že $\map h{M_1}{M_2}$ je \defined[homomorfismus (grupoidy)]{homomorfismus} grupoidů, pokud platí: $$(\AA x,y\in M_1)\bigl(h(xy)=h(x)h(y)\bigr)$$ a budeme též značit $\map h{G_1}{G_2}$.
\define Homomorfismus $h$ se nazývá: \begin{enumerate} \item \defined[monomorfismus (grupoidy)]{monomorfismus}, je-li prostý (injekce); \item \defined[epimorfismus (grupoidy)]{epimorfismus}, je-li na (surjekce); \item \defined[izomorfismus (grupoidy)]{izomorfismus}, je-li prostý a na (bijekce); \item \defined[endomorfismus (grupoidy)]{endomorfismus}, je-li $G_1=G_2$. \item \defined[automorfismus (grupoidy)]{automorfismus}, je-li izomorfní endomorfismus (bijekce $G\rightarrow G$). \end{enumerate}
\define Existuje-li izomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$, nazýváme grupoidy \defined[grupoid!izomorfismus]{izomorfní}
a značíme $G_1\cong G_2$.
\example $G_1:=(\R^+, \cdot)$, $G_2:=(\R, +)$. Definujeme $\map h{G_1\supdot}{G_2\supdot}$ jako $h(x)=\ln x$. Zjevně $h(xy)=h(x)+h(y)$, tedy $h$ je morfismus a z analýzy víme, že je bijekcí. Tedy $G_1\cong G_2$.
\define Mějme $G=(M, \cdot)$ grupu a kongruenci $\equiv$ na $G$. Definujeme \defined[zobrazení!přirozené]{přirozené zobrazení}
(\defined[epimorfismus (grupoidy)!přirozený]{přirozený epimorfismus}) $\map{h\subnat}{G}{G\factorset\equiv}$
jako $h\subnat(x)=T_x$.
\lemma $h\subnat$ je epimorfismus.
\proof Platí $h\subnat(xy)=T_{xy}=T_xT_y=h\subnat(x)h\subnat(y)$, tedy $h$ je homomorfismus. Současně pro každou třídu $T_x$ platí $T_x=h\subnat(x)$, tedy je na. \QED
\theorem Libovolné 2 nekonečné cyklické grupy jsou izomorfní. Libovolné 2 cyklické grupy s~počtem prvků $n\in\N$ jsou izomorfní.
\proof Mějme libovolnou $G=\anglevector a$ nekonečnou. Ukážeme, že $G\cong Z=(\Z, +)$. Definujeme $\map hGZ$ jako $h(a^n)=n\times1=n$. Pak $h$ je prosté zobrazení ($m\neq n \Lequiv a^m\neq a^n$), a neboť je $G$ nekonečná, je na. Operace $\cong$ na grupách je ekvivalencí, tedy pro libovolné $G_1$, $G_2$
je $G_1\cong Z$ a $G_2\cong Z$, tedy $G_1\cong G_2$.
\QED
\define
Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupoid, $N\sse M$.
Pak $H=(N,\cdot)$ nazveme \defined[podgrupoid]{podgrupoid} grupoidu $G$, pokud
je $H$ grupoid, tedy $(\AA x,y\in H)(xy\in H)$.
Značíme $H\sg G$.
\lemma Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus. Pak $h(G_1)\sg G_2$.
\theorem (o homomorfismu) Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus. Pak existuje kongruence (označovaná $\equiv_h$) na $G_1$ taková, že $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}$, kde $h(G_1)$ značí obor hodnot $h$.
\proof Definujeme $\equiv_h$ jako $x\equiv_h y\Lequiv h(x)=h(y)$, tedy $\equiv_h$ je zjevně ekvivalence
(je definovaná pomocí rovnosti)
Nechť $a\equiv_hb$ a $c\equiv_hd$. Pak $h(ac)=h(a)h(c)=h(b)h(d)=h(bd)$, tedy $ac\equiv_h bd$ a $\equiv_h$ je kongruence.
Definujeme $\map g{{G_1}\factorset{\equiv_h}}{h(G_1)}$ jako $g(T_x)=h(x)$. Definice je korektní, neboť $T_x=T_y \Lequiv h(x)=h(y)$, z~tohotéž vyplývá, že $g$ je prosté. Z definice $g$ pomocí $h$ plyne, že pokryje celé $h(G_1)$, tedy je na. Je homomorfismus, neboť $g(T_xT_y)=g(T_{xy})=h(xy)=h(x)h(y)=g(T_x)g(T_y)$. \QED
\remark Všimněme si, jak souvisí korektnost definice s~prostotou. Pokud by bylo $T_x=T_y$ a zároveň $h(x)\neq h(y)$, pak definice není korektní. Pokud by bylo $h(x)=h(y)$ a zároveň $T_x\neq T_y$, pak zobrazení není prosté.
\theorem Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grupoidů a buď $g$ zobrazení definované v~důkazu předchozí věty. Pak $h\subnat=g^\1h$.
\theorem Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus. Je-li $G_1$ pologrupa, resp. je komutativní, resp. má jednotku, resp. je grupa,
má tutéž vlastnost i grupoid $h(G_1)$.
\proof Dukaz všech bodů je obdobný, ukážeme přenos jednotky. Nechť $1\in G_1$, pak $h(1)$ je jednotkou v~$h(G_1)$. Neboť pro libovolné $y\in h(G_1)$ existuje $x\in G_1$ takové, že $y=h(x)$. Potom $yh(1)=h(x)h(1)=h(x1)=h(x)=y$. Podobně zleva. \QED
\define Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sse M$. Pak definujeme \defined[součin!podmnožin]{součin podmnožin} $A\cdot B$ jako
$A\cdot B:=\set{ab}{a\in A, b\in B}$.
(vztah mezi součinem podmnožin a podgrup osvětlíme později). Je-li $B=\{b\}$, pak značíme $AB=Ab=\set{xb}{x\in A}$.
\define Buď $H\sg G$ podgrupa grupy, definujeme následující 2 relace: \begin{enumerate} \item $a\HE Hb\Lequiv b^\1a\in H$; \item $a\EH Hb\Lequiv ab^\1\in H$; \end{enumerate}
které nazýváme \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!levá]{levá},
resp. \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!pravá]{pravá ekvivalence} indukovaná podgrupou $H$.
\lemma Indukované relace jsou ekvivalence.
\proof \begin{description} \ditem{reflexivita}
$a\HE H a\Lequiv a^\1a\in H$, ale $a^\1a=1$.
\ditem{symetrie}
$a\HE Hb \Lequiv b^\1a\in H\supdot \Lequiv\qlb{b^\1a}^\1=a^\1b\in H\supdot
\Lequiv a\HE Hb$.
\ditem{tranzitivita}
$a\HE Hb \Land b\HE Hc \Lequiv b^\1a,c^\1b\in H\supdot \Limpl c^\1bb^\1a\in H\supdot \Limpl c^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hc$.
\end{description} Podobně lze ukázat totéž pro $\EH H$. \QED
\example Zvolme $b=1$. Pak $a\HE H1\Lequiv a\in H$ a současne $a\EH H1\Lequiv a\in H$,
tedy $H$ je jedna ze tříd ekvivalence podle obou indukovaných ekvivalencí.
\lemma Označme $T^L_a$ resp. $T^P_a$ třídu ekvivalence podle $\HE H$, resp. $\EH H$ obsahující $a\in G\supdot$. Potom $T^L_a=aH\supdot$ a $T^P_a=H\supdot a$.
\proof Opět lemma ukážeme pro levou ekvivalenci. $T^L_a$ je třída $\HE H$ obsahující $a$. Mějme libovolné $x\in G$. Pak $x\in T^L_a \Lequiv x\HE Ha \Lequiv a^\1x\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(a^\1x=h)
\Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ah) \Lequiv x\in aH\supdot$.
\QED
\theorem \begin{enumerate} \item Libovolné 2 třídy rozhladů dle $\HE H$ či $\EH H$ jsou (množinově) ekvivalentní.
(\uv{Každá třída má stejně prvků.})
\item Levý rozklad je (množinově) ekvivalentní s~pravým rozkladem.
(\uv{Levých a pravých tříd je stejný počet.})
\end{enumerate}
\proof \begin{enumerate}
\item
Libovolné 2 levé třídy $aH\supdot$ a $bH\supdot$.
Definujme $\map f{aH\supdot}{bH\supdot}$ jako $f(x)=ba^\1x$.
Nechť $x=ah$, pak $f(x)=bh\in bH\supdot$ tedy definice je korektní.
Mějme $y=bh$, pak $y=f(x) \Lequiv ba^\1x \Lequiv h=a^\1x \Lequiv x=ah\in aH\supdot$.
Podobně dokážeme, že všechny pravé jsou ekvivalentní.
Z~tranzitivity a z~toho, že $H\supdot$ je v~obou faktorizacích, vyplývá,
že všechny levé třídy jsou ekvivalentní se všemi pravými.
\item
Definujeme $\map g{M\factorset{\HE H}}{M\factorset{\EH H}}$ jako $g(aH\supdot)=H\supdot a^\1$.
Zjevně je na, neboť $a^\1$ projde celé $G$ právě tehdy, když $a$ projde celé $G$.
Platí:
$g(aH\supdot)=g(bH\supdot) \Lequiv H\supdot a^\1=H\supdot b^\1 \Lequiv a^\1\EH H b^\1
\Lequiv a^\1b\in H\supdot \Lequiv (a^\1b)^\1=b^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hb \Lequiv aH\supdot=bH\supdot$,
tedy $g$ je prosté (směr $\Rightarrow$) a definice je korektní (směr $\Leftarrow$).
\end{enumerate} \QED
\define Počtu rozkladových tříd podle indukovaných ekvivalencí se říká \defined[podgrupa!index]{index} podgrupy $H$.
\theorem (Lagrange) Součin řádu a indexu libovolné podgrupy $H$ konečné grupy $G$ je roven řádu $G$.
\proof Všechny třídy mají počet prvků, jako je řád $H$, a je jich tolik, jako je index $H$. \QED
\consequence \begin{enumerate} \item
Řád libovolné podgrupy konečné grupy $G$ dělí řád $G$.
\item
Řád libovolného prvku konečné grupy $G$ dělí řád $G$.
\end{enumerate}
\consequence Má-li grupa $G$ prvočíselný řád, je cyklická. Všechny grupy s~prvočíselným řádem $p$ jsou izomorfní.
\proof Grupa není triviální (má řád nejméně 2). Vezmu $a\neq1$. Pak řád prvku $a$ je $p$, (jednotkový řád má jen jednotka), tedy $a$ generuje $G$. \QED
\define Buď $G$ grupa. Řekneme, že podgrupa $H\sg G$ je \defined[podgrupa!normální]{normální}
(\defined[podgrupa!invariantní]{invariantní}), pokud $\HE H$ a $\EH H$ splývají,
a značíme $H\nsg G$.
\lemma $E\nsg G$; $G\nsg G$.
\proof \begin{enumerate} \item $a\HE Eb\Lequiv b^\1a=1 \Lequiv a=b$; $a\EH Eb\Lequiv ab^\1=1 \Lequiv a=b$. \item $a\HE Gb\Lequiv b^\1a\in G$, což platí pro libovolné $a$, $b$; stejně tak pro $\EH G$. \end{enumerate} \QED
\lemma Je-li grupa $G$ Abelova, je libovolná její podgrupa $H\sg G$ normální.
\theorem Rozklad grupy $G$ je rozkladem podle kongruence právě tehdy, je-li rozkladem podle některé normální podgrupy $H\nsg G$.
\proof \begin{description} \ditem{$\Rightarrow$} Nechť $\equiv$ je kongruence na grupě $G=(M,\cdot)$. Vezměme třídu $T_1$ a $a,b\in T_1$. Pak $a\equiv1$ a $b\equiv1$, tedy $ab\equiv1$. Také $a^\1\equiv a^\1$, tedy $1\equiv a^\1$.
Ukážeme, že $H=(T_1,\cdot)\sg G$ je normální. Vezměme lib. $x\in M$. Pak $x\in T_a \Lequiv x\equiv a \Lequiv xa^\1\equiv1 \Lequiv xa^\1\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(xa^\1=h)
\Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ha) \Lequiv x\in H\supdot a$.
Budeme-li násobit $a^\1$ zleva, dostaneme $x\in aH\supdot$. Tedy $T_a=aH\supdot=H\supdot a$, což znamená, že $H\nsg G$ a $(\equiv)=(\HE H)=(\EH H)$
\ditem{$\Leftarrow$} Nechť $H\nsg G$, ukážeme, že $\EH H$ je kongruence. Mějme $a,b,c,d\in M$ takové, že $a\EH Hb$ a $c\EH Hd$. Potom $ac(bd)^\1=acd^\1b^\1$. Označme $h:=cd^\1\in H\supdot$, pak existuje $h'\in H\supdot$ takové, že $ah=h'a$. Tedy celkově dostáváme $ac(bd)^\1=ahb^\1=h'ab^\1\in h'H\supdot=H$. \end{description} \QED
\xxxx{Vnitřní automorfismy}
\define Nechť $\AM G\supdot$ je množina všech automorfismů na $G$. Pak definujme $\AM G=(\AM G\supdot,\circ)$.
\lemma Nechť $G$ je grupa. Pak $\AM G$ je grupa a $\AM G\sg \pS G$.
\proof Součin (složení) 2 automorfismů je automorfismus, existuje jednotka (identita) a každý automorfismus má inverzní. Nechť $x,y\in G\supdot$, $\alpha\in\AM G\supdot$,
pak $\alpha^\1(xy)=\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x))\alpha(\alpha^\1(y))) =\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)))=\alpha^\1(x)\alpha^1(y)$, tedy inverzní je opět morfismem.
\QED
\lemma Nechť $a\in M$, $\AL a(x)=axa^\1$. Pak $\AL a$ je automorfismus.
\proof \begin{description}
\ditem{morfismus} Pro libovolné $x,y\in M$ platí $\AL a(x)\AL a(y)=axa^\1\,aya^\1=axya^\1=\AL a(xy)$.
\ditem{bijekce} Ukážeme, že $\AL {a^\1}$ je inverzní k~$\AL a$, tj. $(\AA x\in M)(\AL {a^\1}\AL a=\AL a\AL{a^\1}=\id)$. Pro všechna $x\in M$ platí $\qlb{\AL{a^\1}\AL a}(x)=\AL{a^\1}(axa^\1)=a^\1axa^\1a=1x1=x$,
obdobně $\qlb{\AL a\AL{a^\1}}(x)=x$.
\end{description} \QED
\define Automorfismus $\alpha$ na $G$ je \defined[automorfismus!vnitřní]{vnitřní},
právě když $(\EE a\in G\supdot)(\alpha(x)=axa^\1)$.
Takový automorfismus značíme $\alpha_a$.
Označme $\IM G\supdot$ množinu všech vnitřích automorfismů.
\lemma $\IM G=(\IM G\supdot, \circ)\sg \AM G$ je grupa.
\proof Jednotkou je $\alpha_1$, $\alpha_1(x)=1x1^\1=x$. $(\alpha_a\alpha_b^\1)(x)=ab^\1xba^\1=(ab^\1)x(ab^\1)^\1=\alpha_{ab^\1}(x)$ \QED
\theorem Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům, tj. $$H\nsg G \iff (\AA a\in G\supdot)(\AA x\in H\supdot)(\AL a(x)\in H\supdot).$$
\proof \begin{description} \ditem{$\Rightarrow$} Mějme $H\nsg G$ a libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in H\supdot$. Pak $ax\in aH\supdot=H\supdot a \Limpl (\EE h\in H\supdot)(ax=ha) \Limpl axa^\1\in H\supdot$. \ditem{$\Leftarrow$} Mějme libovolný $x\in aH\supdot$, tedy $x=ah=aha^\1a=\AL a(h)a$ a neboť $\AL a(h)\in H\supdot$, je $x\in aH\supdot$ a $aH\supdot \sse H\supdot a$. Obrácenou inkluzi dokážeme obdobně, tedy $aH\supdot=H\supdot a$. \end{description} \QED
\remark Věta dává návod, jako ověřit, že $H$ je normální. Ale nesmíme opomenout ověřit, že $H$ vůbec je podgrupou.
\define Buď $G$ grupa. Řekneme, že $x,y\in G\supdot$ jsou \defined[konjungace]{kojungované},
existuje-li $a\in G\supdot$ takové, že $y=\AL a(x)$.
Značíme $x\EK y$.
\lemma Relace konjungovanosti je ekvivalence na $G$.
\consequence Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li sjednocením nějakých tříd konjungovaných prvků.
\define Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus. \defined[homomorfismus (grupoidy)!jádro]{Jádrem} homomorfismu $h$
rozumíme množinu $\ker h:=h^\1(\{1\})=\set{h\in G_1\supdot}{h(x)=1}$.
\lemma Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus. Pak $\ker h\nsg G_1$.
\proof \begin{description}
\ditem{je podgrupa} Mějme libovolné $x,y\in\ker h$, tj. $h(x)=h(y)=1$. Pak $h(xy^\1)=h(x)h(y^\1)=h(x)h(y)^\1=11^\1=1$.
\ditem{je uzavřená vůči automorfismům} Nechť $a\in G_1\supdot$, $x\in\ker h$. Pak $h(axa^\1)=h(a)h(x)h(a^\1)=h(a)h(a^\1)=h(aa^\1)=h(1)=1$.
\end{description} \QED
\lemma Mějme $H\nsg G$, faktorgrupu $G\factorset H$ a přirozený epimorfismus $h\subnat(x)=T_x$. Pak $\ker h\subnat=H$.
\proof $\ker h=\set{x\in G\supdot}{T_x=T_1}$, ale $T_1=H\supdot$, tedy $\ker h=H\supdot$. \QED
\theorem Normální podgrupy grupy $G$ jsou právě všechna jádra homomorfismů na $G$, tj. $$H\nsg G \iff (\EE h, \text{$h$ je homomorfismus na $G$})(H=\ker h).$$
\proof Věta shnuje předchozí 2~tvrzení. \QED
\lemma Homomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$ je prostý právě tehdy, je-li $\ker h=\{1\}$.
\proof \begin{description} \ditem{$\Rightarrow$} Obrazem jednoprvkové množiny je nejvýše jednoprvková množina a
$1$ je v~jádru pro všechny homomorfismy.
\ditem{$\Leftarrow$} Nechť $\ker h=\{1\}$. Mějme $x,y\in G_1$ takové, že $h(x)=h(y)$. Pak $1=h(x)h(y^\1)=h(xy) \Limpl xy^\1\in\ker h \Limpl xy^\1=1 \Limpl x=y$. \end{description} \QED
\lemma Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus. Pak $a\EH{\ker h}b$ právě tehdy, je-li $h(a)=h(b)$.
\proof $a\EH{\ker h}b \Lequiv ab^\1\in\ker h \Lequiv h(ab^\1)=1 \Lequiv h(a)=h(b)$. \QED
\theorem (o homomorfismu pro grupy) Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grup. Potom $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\ker h}$.
\proof $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}={G_1}\factorset{\equiv_{\ker h}}$. \QED
\theorem Buď $G$ grupa a buďte $H_i\nsg G$ pro $i\in I$. Potom $$A:=\bigcap_{i\in I} H_i\nsg G \quad\text a\quad B:=\prod_{i\in I} H_i\nsg G.$$
\proof \begin{description} \ditem{průnik} Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in A$. Pak $(\AA i\in I)(x\in H\supdot) \Limpl (\AA i)(\AL a(x)\in H_i) \Limpl \AL a(x)\in A$.
\ditem{součin} Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in B$. Platí $B=\anglevector{\bigcup_I H_i\supdot}$. Pak $x=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}$, kde $k_j\in\Z$ a $(\AA j)(\EE i_j)(a_j\in H_{j_i}\supdot)$. Protože $H_{j_i}$ je podgrupa, je $a_i^{k_i}\in H_{j_i}\supdot$ a protože, je normální, je
$\AL a(a_i^{k_i})\in H_{j_i}\supdot$.
A konečně $\AL a(x)=\AL a(a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n})=\AL a(a_1^{k_1})\cdots \AL a(a_n^{k_n})$. Tedy každý prvek součinu je ve sjednocení podgrup, tedy je i v~produktu podgrup. \end{description} \QED
\lemma (o tečče) Buď $G$ grupa, $A\nsg G$ a $B\sg G$. Potom $(AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.
\proof $AB=\anglevector{A\supdot\cup B\supdot}$, ale $A\supdot B\supdot=\set{ab}{a\in A\supdot, b\in B\supdot}$. \begin{description} \ditem{$\sse$}
Ukážeme, že $A\supdot B\supdot$ je uzavřená v~grupě $G$.
Platí $A\cup B\sse A\supdot B\supdot$
Zvolme libovolné $x,y\in A\supdot B\supdot$, $x=a_1b_1$, $y=a_2b_2$.
Potom $xy^\1=a_1b_1(a_2b_2^\1)
=a_1\underbrace{b_1b_2^\1a_2^\1(b_1b_2^\1)^\1}_{\AL{b_1b_2^\1}(a_2^\1)\in A\supdot}b_1b_2^\1
=\tilde{a}\tilde{b}$, kde $\tilde a\in A\supdot$ a $\tilde b\in B\supdot$.
Tedy $A\supdot B\supdot$ je podgrupa obsahující $A\supdot\cup B\supdot$.
Ale $AB$ je nejmenší taková, tedy inkluze platí.
\ditem{$\supseteq$}
V~$AB$ jsou všechny součiny $x_1\cdots x_n$, kde $x_i\in A\cup B$ tedy i všechny součiny tvaru $ab$.
\end{description} \QED
\define Buď $G$ grupa. Pak $C_G:=\set{c\in G}{(\AA x\in M)(cx=xc)}$ nazveme \defined[grupa!centrum]{centrum grupy}
(tedy centrum grupy obsahuje právě ty prvky grupy, které komutují s každým prvkem.)
\lemma Buď $G$ grupa, $C_G$ její centrum. Pak: \begin{enumerate} \item
je-li $G$ Abelova, je $C_G=G$;
\item
$C_G\nsg G$;
\item
$G\factorset{C_G}\cong \IM G$.
\end{enumerate}
\proof \begin{enumerate} \item
V~Abelově grupě komutují každé 2 prvky.
\item
Ukážeme, že $C_G$ je uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům. Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $c\in C_G$. Pak $\AL a(c)=aca^\1=caa^\1=c\in C_G$.
\item
Definujme $\map hG{\IM G}$ jako $h(a)=\alpha_a$, $h$ je epimorfismus.
Pak $I_G=h(G)\cong G\factorset{\ker h}$.
Platí $x\in\ker h\Lequiv {h(x)=\AL1=\id_G} \Lequiv (\AA y\in G\supdot)(xyx^\1=y) \Lequiv
(\AA y\in G\supdot)(xy=yx) \Lequiv x\in C_G$, tedy $\ker h=C_G$ a $I_G\cong G\factorset{C_G}$.
\end{enumerate} \QED
\theorem (o izomorfismu) Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sg G$. Je-li $A\nsg AB$, potom $A\cap B\nsg B$ a $AB\factorset A\cong B\factorset{(A\cap B)}$.
\proof Třídy $AB\factorset A$ jsou tvaru $A\supdot c$, kde $c\in (AB)\supdot=A\supdot B\supdot$. Tedy $(\EE a\in A\supdot, b\in B\supdot)(c=ab)$. Vezměme $\map{f\subnat}{AB}{AB\factorset A}$ a položme $f_B=f\subnat/B$. Ukážeme, že $\map fB{AB\factorset A}$ je epimorfismus, tedy, že v každé třídě $A\supdot ab$ leží prvek z~$B$. Tedy i $a^\1ab=b$ je v~každé třídě. Podlě věty o homomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{\ker f_B}$,
ale $\ker f_B=\set{x\in B}{f_B(x)=T_1=A}=\set{x\in B}{x\in A}=A\cap B$.
\QED
\theorem Buď $G$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $k\mid n$. Potom existuje právě jedna podgrupa grupy $G$ řádu $k$.
\proof \begin{description} \ditem{existence} Nechť $a\in G$ je geneártor grupy. Položme $H:=\anglevector{a^{n/k}}$. Pak $\qlb{a^{n/k}}^k=1$ a platí, že pokud $\qlb{a^{n/k}}^\ell=1$, tak $n\ell/k=sn$, tedy $\ell=ks$ a $\ell\geq k$.
\ditem{jednoznačnost} Nechť $K\sg G$ je řádu $k$. Pak $K=\anglevector{a^\ell}$ a $\qlb{a^\ell}k=1$ a $\ell k=sn=skn/k$
a tedy $\ell=sd$ a $a^\ell=\qlb{a^{n/k}}^s\in H$.
Tedy $K\sg H$ a z~rovnosti počtu prvků plyne $K=H$. \end{description} \QED
\define Grupa, která nemá netriviální normální podgrupy, tj. $H\nsg G \Limpl H=G \Lor H=E$,
se nazývá \defined[grupa!jednoduchá]{jednoduchá}.
\example \begin{enumerate} \item $E$ je jednoduchá. \item $G$ o $p\in P$ prvcích jsou jednoduché, současně jsou cyklické, tedy Abelovy. \end{enumerate}
\theorem Buď $G\neq E$ Abelova grupa. Potom $G$ je jednoduchá právě tehdy, má-li prvočíselný řád $p$.
\proof \begin{description} \ditem{$G$ je cyklická} Nebyla-li by cyklická, obsahovala by netriviální podgrupu, která by byla normální,
neboť všechny by byly normální (netriviální podgrupou by bylo libovolné $\anglevector a$, kde $a\neq1$).
\ditem{$G$ je konečná}
Pokud není konečná, pak $G\cong Z=(\Z, +)$, ale např. $S=(\mathbb S, +)\nsg Z$ a $S$ odpovídá nějaké netriviální podgrupa $G$.
\ditem{neex. $1\neq q\mid p$} Podle předházející věty existuje podgrupa $H$ řádu $q$, která je v~Abelově normální, a tedy $G$ není jednoduchá. \end{description} \QED
\xxxx{Grupy permutací}
\define Buď $A$ množina a $M$ množina všech bijekcí $A\rightarrow A$. Pak $\pS A(M,\circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa}. Označme $\epsilon$ identitu v~$\pS A$.
\define \defined[grupa!permutací]{Grupa permutací} je libovolná podgrupa symetrické grupy $\pS A$.
\theorem (Cayley) Libovolná grupa je izomorfní s~nějakou grupou permutací.
\proof Mějme $G=(M,\cdot)$, $a\in M$; definujeme $\map{\pi_a}MM$ jako $\pi_a(x)=ax$. Pro libovolné $y\in M$ řešme $\pi_a(x)=ax=y$, dostaneme jedno řešení $x=a^\1y$, tedy $\pi_a$ je bijekce (permutace).
Definujme $\map hM{\pS M}$ jako $h(a)=\pi_a$ a ukážeme, že $h$ je homomorfismus: Mějme $a,b,x\in M$; pak $h(ab)(x)=\pi_{ab}(x)=abx=\pi_a(bx)=\pi_a(\pi_b(x))=(\pi_a \pi_b)(x)=(h(a)h(b))(x)$.
Ukážeme, že je $h$ je monomorfní (prostý): $\ker h=\set{a\in M}{h(a)=\epsilon}$, $(\AA x\in M)(\epsilon(x)=x)$, $\pi_a(x)=\epsilon(x)=x$, $a=1$.
Platí $G\cong h(G)\sg\pS M$. Tedy $h(G)$ je grupa permutací. \QED
\remark Cayleyova věta se dá formulovat i následovně: Libovolnou grupu lze izomorfně vnořit do symetrické grupy.
\remark Pro $M=\hatn n$ se $G$ izomorfně vnoří do $\pS{\hatn n}=:\pS n$.
\remark $\pi\in\pS n$ zapisované $\pi=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$ je zobrazení.
\example $\pi\in\pS 8$, $\pi=\qlb{{1\atop2}{2\atop4}{3\atop5}{4\atop1}{5\atop4}{6\atop7}{7\atop6}{8\atop8}}$ lze zapsat jako
$1\rarr2\rarr4(\rarr1); 3\rarr5(\rarr3); 6\rarr7(\rarr6); 8(\rarr8)$, ale zkráceně jako $(124)(35)(67)(8)$.
Zápis současně vyjadřuje složení cyklů a můžeme vynechat cykly s~1 prvkem. Tedy můžeme psát $\pi=(124)(35)(67)$.
\define Mějme $\pi\in\pS n$. Pak $\pi$ je \defined[cyklus]{cyklus}, pokud $\pi=(p_1p_2...p_k)$, $1\leq k\leq n$, $p_k$ jsou různá. Cykly jsou \defined[cyklus!nezávislost]{nezávislé}, pokud neobsahují společný prvek.
\lemma Libovolná permutace lze rozepsat jako součin nezávislých cyklů.
\lemma $$(k_1\ldots k_p)=(k_1k_p)(k_1k_{p-1})\ldots(k_1k_3)(k_1k_2).$$
\proof Obrázkem. \QED
\consequence Transpozice generují $\pS n$. (Každá permutace lze zapsat jako součin transpozic.)
\remark Lze ukázat, že i sousední transpozice generují $\pS n$. Dále lze ukázat, že pro jakékoli $n$ existují 2 permutace,
které generují $\pS n$, a to např. $\tau=(12)$ a $\pi=(123\ldots n)$.
\theorem Buď $n\in\N$ a $\sigma,\pi\in\pS n$, $\sigma=(k^1_1\ldots k^1_{p_1})\ldots(k^m_1\ldots k^m_{p_m})$ je rozklad na ne nutně nezávislé cykly. Potom $\AL\pi(\sigma)=(\pi(k^1_1)\ldots \pi(k^1_{p_1}))\ldots(\pi(k^m_1)\ldots \pi(k^m_{p_m}))$
\proof \begin{description} \ditem{$m=1$} Máme $\sigma=\qlb{k_1\ldots k_p}$, označme $\sigma_\pi:=\qlb{\pi\qlb{k_1}\ldots\pi\qlb{k_p}}$,
tedy chceme $\AL\pi\qlb\sigma=\sigma_\pi$, což, protože $\pi$ je bijekce, je ekvivalentní $\AL\pi\qlb\sigma\circ\pi=\sigma_\pi\circ\pi$.
Ukážeme, že $\qlb{\AA k\in\hatn n}\qlb{\AL\pi\qlb\sigma\qlb{\pi\qlb k}=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}}$. To jest $\qlb{\pi\sigma\pi^\1}\qlb{\pi\qlb k}=\pi\qlb{\sigma\qlb k}?=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}$.
Nechť $k=k_i$, pak $\sigma\qlb k=k_{i+1}$ (položíme $k_{p+1}:=k_1$), tedy $\pi\qlb{\sigma\qlb{k}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$. Současně $\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb{k_i}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$, což jsme potřebovali.
Pro $k\neq k_i$ jsou obě strany rovny $\pi\qlb{k}$.
\ditem{$m\in\N$} S využitím případu $m=1$ dostaneme \begin{eqnarray*} &\AL\pi\qlb{\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}}= \AL\pi\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\AL\pi\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}=\\ &\qlb{\pi\qlb{k^1_1}\ldots \pi\qlb{k^1_{p_1}}}\ldots\qlb{\pi\qlb{k^m_1}\ldots \pi\qlb{k^m_{p_m}}}. \end{eqnarray*}
\end{description} \QED
\consequence $(\AL\pi(\sigma))(\pi(k))=\pi(\sigma(k))$, $\sigma=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$, pak $\AL\pi\qlb\sigma=\qlb{{\pi\qlb1\atop \pi\qlb{p_1}}{\cdots\atop\cdots}{\pi\qlb{n}\atop \pi\qlb{p_n}}}$
\lemma Libovolná podgrupa $H$ grupy $G$, která má index 2, je normální. (Index je počet rozkladových tříd $G\factorset H$).
\proof Jedna ze tříd je $H$, druhá tedy nutně $G\sm H$. Rozklad je tedy jednoznačný. \QED
\define Označme $\pA n$ grupu sudých permutací (ověření, že je grupa, je triviální). Pak $\pA n$ nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující (pod)grupa}.
\consequence $\pA n\nsg \pS n$.
\lemma Nechť $A\sg B\sg G$. Pak $A\nsg G\Limpl A\nsg B$.
\proof Lze jednoduše ukázat pomocí uzavřenosti na vnitřní automorfismy. \QED
\example \begin{description} \ditem{$n=1$} $\pA1=\pS1=E$. \ditem{$n=2$} $\pA2=E$. \ditem{$n\geq3$} $\pA n$ je netriviální normální podgrupa. \ditem{$n=3$} $\pS3=\{\id, (12), (13), (23), (123), (132)\}$ a $\pA3=\{\id, (123), (132)\}$ má prvočíselný počet prvků
a je jednoduchá.
\ditem{$n=4$} $\pA4$ má řád 12 a není jednoduchá, neboť obsahuje např. $\pp K4:=\{\id, (12)(34), (13)(24), (23)(14)\}$
a platí $\pp K4\nsg\pA4$.
Předně je $\pp K4$ uzavřená na skládání, součin 2 se vždy zobrazí na třetí,
např. $(12)(34)\cdot(13)(24)=(23)(14)$.
A každá permutace je sama sobě inverzní, tedy $\pp K4$ je grupa.
$\pp K4$ jsou všechny $(ij)(k\ell)$, kde tato 4 čísla jsou různá.
Ukážeme, že $\pp K4$ je uzavřená vůči vnitřním automorfismům.
$\AL\pi((ij)(k\ell))=(\pi(i)\pi(j))(\pi(k)\pi(\ell))$, ale neboť $\pi$ je bijekce,
jsou to opět čísla $1,2,3,4$, jenom případně přeházené.
$\pp K4$ nazýváme \defined[grupa!Kleinova]{Kleinova grupa}.
Všimněme si, že také $\pp L2:=\{\id, (12)(34)\}\nsg\pp K4$
(má polovinu prvků, tedy index rozkladu podle $\pp L2$ je 2 a je normální).
Ale $\pp L2\not\nsg\pA4$. \end{description}
\theorem Alternující grupy $\pA n$ jsou pro $n\neq 4$ jednoduché (tedy nemají netriviální normální podgrupu).
\proof Pro $n\leq3$ jsme platnost ukázali v~předchozím příkladě. Tedy nechť $n\geq5$. Mějme libovolnou $H\nsg\pA n$, $H\neq E$. Ukážeme, že $H=\pA n$. Důkaz se rozpadá do 3 kroků. \begin{description} \ditem{v~$H$ existuje 3cykl $(u,v,w)$}
Vezměme $\pi\in H\supdot$ takovou, která mění nejmenší co počet prvků a není identitou.
Určitě není transpozice (ta je lichá).
Sporem, nechť $\pi\neq(u,v,w)$.
Pak rozklad na nezávislé cykly může vypadat následovně:
\begin{enumerate}
\item $\pi=(pq)(rs)\cdots$. Pak existuje páté číslo, označme jej $t$.
\item $\pi=(pqr\cdots)\cdots$ a mění ještě nejméně 2~další čísla $s,t$.
\end{enumerate}
Mějme $\varrho:=(rst)\in\pA n$ sudou permutaci.
Pak $\AL\varrho(\pi)=\varrho\pi\varrho^\1\in H\supdot$ (neboť $H$ je normální).
V prvním případě $\AL\varrho(\pi)=(pq)(st)\cdots\neq\pi$ a ve druhém $\AL\varrho(\pi)=(pqs)\cdots\neq\pi$.
Definujeme $\sigma:=\pi^\1(\varrho\pi\varrho^\1)\in H$ a není jednotková.
Ukážeme, že $\sigma$ nechává na místě více prvků, než $\pi$.
(2) Mějme libovolné $k\in\hatn n$ tak, že $\pi(k)=k$. Pak $k\not\in\{p,q,r,s,t\}$ a $\varrho(k)=k$.
Pak $\sigma(k)=k$, neboť žádná z~permutací $\pi$, $\pi^\1$, $\varrho$ a $\varrho^\1$ nemění $k$.
Ale $\pi(p)=q$ a $\sigma(p)=p$ TODO.
Tedy $\sigma$ mění nejméně o 1 méně čísel, než $\pi$.
Obdobně pro (1). Tedy $\sigma$ nechává na místě více čísel než $\pi$.
\ditem{je-li v~$H$ jeden 3cykl $(u,v,w)$, jsou tam všechny 3cykly}
Zvolme libovolný 3cykl $(p,q,r)$.
Položme $\pi:=({u\atop p}{v\atop q}{w\atop r}{y\atop Y}{z\atop Z})$.
Nutně existují takové $y,z,Y,Z$, že $\pi$ je sudá, tj. $\pi\in\pA n$.
Potom $\AL\pi((u,v,w))=(\pi(u),\pi(v),\pi(w))=(p,q,r)$ a neboť $H$ je normální, je $(p,q,r)\in H$.
\ditem{3cykly generují $\pA n$} Ukážeme, že součin $\pi$ 2 libovolných transpozicí lze rozložit na 3cykly.
Je-li $\pi=(p,q)(p,r)=(prq)$ je 3cykl. Je-li $\pi=(p,q)(r,s)=(p,r,s)(p,q,s)$. Je-li $\pi=(p,q)(p,q)=(p,q,r)(r,q,p)$ pro libovolné $r$.
\end{description} \QED
\xxxx{Kartézský a direktní součin grup}
\define Mějme $G_1\cldc G_n$ grupy, $G_i=(M_i,\cdot)$. Označme $M:=M_1\times\cdots\times M_n$ a definujme $(a_1\cldc a_n)\cdot(b_1\cldc b_n):=(a_1b_1\cldc a_nb_n)$. Jednotkou bude $1_M=(1\cldc1)$ a inverzním prvkem $(a_1\cldc a_n)^\1=(a_1^\1\cldc a_n^\1)$. Grupu $G:=(M,\cdot)$ nazýváme \defined[součin!kartézský grup]{kartézský součin grup}
a značíme $G=\mathop{\rm\times}\limits_1^n G_i$..
\define Buďte $G$ grupa a $A,B\sg G$. Řekneme, že $G$ je \defined[součin!podgrup!direktní]{direktní součin} podgrup $A,B$,
je-li zobrazení $\map f{A\times B}G$, $f(x,y)=xy$ izomorfismem grup.
Značíme $G=A\odot B$.
\remark Direktní součin lze přirozeně zobecnit na konečné i spočetné systémy podgrup.
\lemma Zobrazení $f$ z~předchozí definice je homomorfismus právě tehdy, když $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$.
\proof \begin{description} \ditem{$\Rightarrow$} $ab=f(\anglecouple ab)=f(\anglecouple1b\anglecouple a1)=f(1,b)f(a,1)=ba$.
\ditem{$\Leftarrow$} $f(\anglecouple{a_1}{b_1}\anglecouple{a_2}{b_2})=f(\anglecouple{a_1a_2}{b_1b_2})=a_1a_2b_1b_2=a_1b_1a_2b_2=f(\anglecouple{a_1}{b_1})f(\anglecouple{a_2}{b_2})$. \end{description} \QED
\lemma Zobrazení $f$ z~předchozí definice je \uv{na} právě tehdy, když $A\supdot B\supdot=G\supdot$.
\proof $A\supdot B\supdot$ je z~definice obor hodnot $f$. \QED
\lemma Je-li $f$ z~předchozí definice homomorfismus, pak je $f$ prostý právě tehdy, je-li $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.
\proof \begin{description} \ditem{$\Rightarrow$} Víme, že $\ker f=\{\anglecouple11\}$. Nechť $c\in A\cap B$. Pak triviálně $c\in A$ a $c^\1\in B$ a $\anglecouple c{c^\1}\in A\times B$. A neboť $f(\anglecouple c{c^\1})=cc^\1=1$, je $\anglecouple c{c^\1}=\anglecouple11$, tedy hlavně $c=1$.
\ditem{$\Leftarrow$} Nechť $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$. Mějme libovolné $\anglecouple ab\in\ker f$. Pak $f(a,b)=ab=1$, tedy $a=b^\1$ a nutně $a=b^\1\in A\supdot\cap B\supdot$ a tedy $a=b=1$.
\end{description} \QED
\theorem Platí $G=A\odot B$ právě tehdy, když platí: \begin{enumerate} \item $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$; \item $A\supdot B\supdot=G\supdot$; \item $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$. \end{enumerate}
\remark V~aditivní grupě používáme název \defined[součet!direktní]{direktní součet}.
\theorem Je-li $G=A\odot B$, pak platí \begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3} \item $A\nsg G$, $B\nsg G$; \item $AB=G$ (tedy $A$ a $B$ komutují); \item $(\AA x\in G\supdot)(\EE_1\, a\in A\supdot, b\in B\supdot)(x=ab=ba)$. \end{enumerate}
\proof \begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3} \item Mějme $c\in G\supdot$, $x\in A$, $y\in B$ a podle (2) je $c=ab$, $a\in A\supdot$, $b\in B\supdot$. Pak $$\AL c(x)=cxc^\1=abxb^\1a^\1\stackrel{(1)}{=\!\!=}axbb^\1a^\1=axa^\1\in A\supdot$$ a $$\AL c(y)=cyc^\1=a\overbrace{byb^\1}^{\in B\supdot}a^\1=byb^\1aa^\1=byb^\1\in B\supdot.$$
\item Podle lemmatu o tečce je $G\supdot=A\supdot B\supdot\sse (AB)\supdot=G\supdot$, tedy $AB=G$.
\item Zobrazení $f$ je bijekce, tedy existuje právě jedna dvojice $a,b$ taková, že $f(a,b)=c$. \end{enumerate} \QED
\theorem Buď $G$ cyklická grupa řádu $p_1^{k_1}\cdots p_n^{k_n}$ -- standardní rozklad na prvočísla. Pak $G=A_1\odot\cdots\odot A_n$, kde $A_i$ má řád $p_i$.
\example Pro $Z_6=Z\factorset{\equiv_6}=(\{0,1\cldc 5\}, +)$ má řád $6=2\cdot 3$ a lze ji napsat jako $Z_6=A\oplus B$. Platí $A\supdot=\{0,3\}$ a $B\supdot=\{0,2,4\}$.
\theorem Buď $G=A\odot B$. Pak $G\factorset A\cong B$.
\proof Z věty o izomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{A\cap B}$, ale $AB=G$, $A\cap B=E$, tedy $B\factorset E\cong B$, tedy $G\factorset A\cong B$. \QED
