01DIFRcviceni:Kapitola7
\section{Bernoulliho rovnice}
\subsection*{Zamyslete se:}
Jaký tvar má Bernoulliho rovnice a jakým způsobem se řeší? \\ co víme o otázce jednoznačnosti řešení?
\begin{displaymath} tvar: y` + p \big( x \big) \cdot y = q \big( x \big) \cdot y^{ \alpha } \end{displaymath}
\subsection*{Příklad č.1}
Řešte:
\begin{displaymath} y` + 4xy = 2x \cdot e^{-x^2} \cdot \sqrt{y} \end{displaymath}
Můžeme hned v podstatě říci, že $y=0$ je určitě řešením. K zjištění dalších řešení musíme provést operaci známou z přednášky:
\begin{displaymath} \frac{y` }{ \sqrt{y} } + 4x \cdot \sqrt{y} = 2x \cdot e^{-x^2} \end{displaymath}
Takže nyní jen zvolíme známou substituci:
\begin{center} \begin{math} \sqrt{y} = z \end{math}
\begin{math} \frac{ y` }{ 2 \sqrt{y} } = z` \end{math} \end{center}
takže nám po dosazení vyjde rovnice:
\begin{displaymath} z` + 2x \cdot z = x e^{-x^2} \end{displaymath}
což je ale naprosto stejná rovnice, jakou jsme počítali v kapitole LDR, můžu tedy rovnou zapsat řešení:
\begin{displaymath} z = \big( C + \frac{1}{2} x^2 \big) \cdot e^{-x^2} \end{displaymath}
tedy:
\begin{displaymath} y = \big( C + \frac{1}{2} x^2 \big) ^2 \cdot e^{-2x^2} \end{displaymath}
% následující řádky upravují pouze zobrazení stránky na wiki a na obsah dokumentu nemají vliv - prosím neměnit ! %\parentlatexfile{01DIFRcviceni} ........................................... odkaz na hlavní dokument %\usewikiobsah{01DIFRcviceni:Obsah} ............................................ vložení odkazu na Obsah, aby bylo možné se v dokumentu orientovat %\parentlatexpreamble{01DIFRcviceni:Preamble} .................................. odkaz na hlavičkovou stránku dokumentu, jehož vložení umožní překlad částečného pdf, tj. pdf, které vznikne pouze z této stránky