Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02GR}
% ****************************************************************************************************************************
% KAPITOLA: Podgrupy
% ****************************************************************************************************************************
\chapter{Podgrupy}
\begin{define}
Neprázdná podmnožina $H$ grupy $G$, tj. $\emptyset\neq H\subset G$, je \textbf{podgrupa} grupy $G$ (značíme $H \leq G$), pokud je grupou vůči násobení v $G$. (Tedy obsahuje jednotku z $G$ a je uzavřená vůči násobení prvků z $H$ a jejich inverzi.)
\end{define}
\begin{example}
Množina $\{E,A\}$ je podgrupou v $D_6$ ($A^2=E$, $A^{-1}=A$).
\end{example}
\begin{theorem}
Množina $\emptyset \neq H \subset G$ je podgrupa $\lra$ $(\all x,y \in H)(xy^{-1} \in H)$.
\begin{proof}
Implikace $\ra$ plyne přímo z definice podgrupy. Dokážeme opačnou implikaci. Z definice je $H$ neprázdná, a tedy můžeme vzít $g \in H$. Pokud nyní položíme $x = g$ a $y = g$, máme $gg^{-1} \in H$, tedy $H$ obsahuje jednotku. Dále tedy volíme $x = 1$ a $y = g$ a dostáváme $1g^{-1} \in H$, tedy $H$ obsahuje inverzi $g$. Nakonec pro libovolné prvky $f,g \in G$ volíme $x = f$ a $y = g^{-1}$, dostáváme $f(g^{-1})^{-1} \in H$, tedy $H$ obsahuje součin $fg$.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Pro konečnou podgrupu $H \leq G$ platí ($\all x \in H$)($|x|\le \infty$).
\end{remark}
%________________________________________Centralizátory, normalizátory, stabilizátory__________________________________________
\section{Centralizátory a normalizátory}
\begin{define}
Buď $\emptyset \neq A \subset G$. Definujeme \textbf{centralizátor} množiny $A$ v $G$ jako: $C_G(A)=\{g \in G | gag^{-1} = a $ pro $ \all a \in A\}$.
\end{define}
\begin{remark}
Jelikož $(gag^{-1} = a) \lra (ga = ag)$, je centralizátor množiny $A$ množina všech prvků z $G$, které komutují se všemi prvky z $A$.
\end{remark}
\begin{theorem}
Množina $C_G(A)$ je podgrupa v $G$.
\begin{proof}
Víme, že $C_G(A)$ je neprázdná, jelikož $1 \in C_G(A)$ (z definice komutuje se vším). Dále mějme $x \in C_G(A)$. Pak pro $\all a \in A$ platí:
\begin{align}
x^{-1} | \quad xax^{-1} &= a \quad | x \nonumber \\
a &= x^{-1}ax, \nonumber
\end{align}
tedy $x^{-1} \in C_G(A)$. Pro dva prvky $x,y \in C_G(A)$ pak máme:
\begin{align}
(xy)a(xy)^{-1} = x(yay^{-1})x^{-1} = xax^{-1} = a, \nonumber
\end{align}
a tedy centralizátor je uzavřený i vůči násobení.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{define}
Definujeme \textbf{centrum} grupy $G$ jako: $Z(G) = \{g \in G | gfg^{-1} = f $ pro $ \all f \in G\}$.
\end{define}
\begin{remark}
Platí, že $Z(G)=C_G(G)$, tedy je to množina prvků $G$, které komutují se všemi ostatními. Jako speciální případ předchozí věty platí $Z(G) \le G$.
\end{remark}
\begin{define}\label{gA}
Pro $A \subset G$ a $g \in G$ zavádíme značení: $gA = \{ga | a \in A\}$. Obdobně pro $Ag$, a tedy konkrétně $gAg^{-1} = \{gag^{-1} | a \in A\}$.
\end{define}
\begin{define}
Buď $\emptyset \neq A \subset G$. Definujeme \textbf{normalizátor} $A$ v $G$ jako: $N_G(A) = \{g \in G | gAg^{-1} = A\}$.
\end{define}
\begin{remark}
Normalizátor se od centralizátoru liší tím, že může prvky $A$ zpermutovat (množina $A$ se tím nezmění). Grupové vlastnosti $N_G(A)$ se ukáží podobně jako u $C_G(A)$.
\end{remark}
\begin{corollary}
Platí, že $C_G(A) \le N_G(A)\le G$.
\end{corollary}
\begin{proof}
$N_G(A)\le G$: Použijeme značení z def. \ref{gA}.
\begin{enumerate}
\item $N_G(A)\neq\emptyset$, protože $e\in N_G(A)$.
\item Nechť $x,y\in N_G(A)$, tj. $xAx^{-1}=A$ a $yAy^{-1}=A$. Pak platí $(xy)A(xy)^{-1}=x\underbrace{(yAy^{-1})}_A x^{-1}=xAx^{-1}=A.$ (Asociativita platí z vlastností grupového násobení v $G$.) To ale znamená, že $(xy)\in N_G(A)$.
\item Nechť $x\in N_G(A)$. Pak zřejmě platí $xAx^{-1}=A\ra x^{-1}Ax=A$, tj. $x^{-1}\in N_G(A)$, čímž je $N_G(A)\le G$ dokázáno.
\end{enumerate}
$C_G(A)\le G$ již bylo dokázáno a $C_G(A)\leq N_G(A)$ je pak zřejmé z definice podgrupy.
\end{proof}
%__________________________________________________
\section{Cyklické grupy}
\begin{define}
Grupu nazýváme \textbf{cyklická}, pokud je generována jen jedním prvkem $a$ a značíme $H=\cycl{a}=\{a^n|n \in \mathbb{Z},a^0=e\}$.
\end{define}
\begin{remark}
Cyklická grupa je vždy abelovská (komutativní).
\end{remark}
\begin{remark}
Dvě cyklické grupy $\cycl{x}$ a $\cycl\xi$ stejného řádu jsou isomorfní ($\varphi(x^n)=\xi^n$).
\end{remark}
\begin{theorem}
Pro grupu $G=\cycl x$ platí $|G|=|x|$.
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item Pro $|x|=\infty$ jsou všechny prvky $c^\alpha$ různé pro $\all \alpha \in \N$, tedy jich je nekonečně mnoho.
\item Nechť $|x|=n$. Platí $(\all \alpha \in \Z)(\alpha = kn+m)$, pro nějaké $n \in \Z$ a $(m \in \Z^+)(m \le n)$. Potom $s^\alpha = x^{kn}x^m = e x^m$. Máme tedy právě $n$ prvků v $G$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Největší společný dělitel čísel $n$ a $m$ značíme $\gcd{(n,m)}$.
\end{remark}
\begin{theorem}
\label{v:rady}
Mějme grupu $G = \cycl{x}$. Potom platí:
\begin{enumerate}
\item $|G|=\infty \ra |x^\alpha|=\infty$ a navíc $(x^\alpha \neq x^\beta)(\all \alpha,\beta \in \Z\setminus\{0\})$,
\item $|G|=n \ra |x^\alpha|=\frac{n}{\gcd{(n,\alpha)}}$ pro $\alpha \in \Z\setminus\{0\}$.
\end{enumerate}
\begin{proof}
1) $|G|=\infty$ znamená, že $|x|=\infty$, tedy $(\all a \in \N)((x^\alpha)^n = x^{n\alpha} \neq e)$. Důkaz druhé části provedeme sporem, tedy nechť $x^\alpha = x^\beta$. Potom $x^{\alpha - \beta} = x^0 = 1$ (tedy $|x|=\alpha-\beta$), což je spor.
2) Víme tedy, že $|x|=n$. Označme si $d=\gcd{(n,\alpha)}$. Musí existovat celé číslo $c$ takové, že $\alpha = c d$. Jelikož $\alpha$ i $n$ jsou pevná, pak i $c$ je pevně určeno. Nyní budeme hledat nejmenší $a \in \N$ takové, aby $(x^\alpha)^a=x^{\alpha a} = e$. Musí tedy platit $\alpha a = bn$ pro nějaké $b \in \N$, které si můžeme volit. To dále upravíme:
\begin{align}
\alpha a &= b n \nonumber \\
c d a &= b n \nonumber \\
a &= \frac{b}{c} \frac{n}{d}. \nonumber
\end{align}
Víme, že $\frac{n}{d}$ je celé číslo. Jelikož $a$ musí být také celé číslo a navíc chceme, nejmenší možné, zvolíme $b=c$. Nemůžeme volit $b < c$, protože aby pak bylo $a$ celé, muselo by mít $c$ a $n$ společného dělitele, což je spor s definicí $c$. Tím dostáváme tvrzení věty. (Doporučuji si to vyzkoušet na konkrétních číslech, třeba $n=4$ a $\alpha = 6$.)
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Každá podgrupa grupy $\cycl x$ je cyklická.
\end{remark}
\begin{define}
Podgrupa \textbf{generovaná podmnožinou} $M \subset G$ je nejmenší podgrupa $G$ obsahující všechny prvky $M$. Tedy $$\cycl M=\bigcap_{H_i \le G \atop M \subset H_i} H_i.$$
\end{define}
\begin{remark}
Snadno se ukáže, že průnik dvou podgrup je opět podgrupa.
\end{remark}
%________________________________________Uspořádání__________________________________________
\section{Svazy podgrup}
Nyní zavedeme relaci uspořádání, abychom mohli zavést svazy podgrup a kreslit tzv. Hasseho diagramy.
\begin{define}
Relaci $\preceq$ na množině $M$ nazýváme \textbf{částečné uspořádání}, pokud platí:
\begin{enumerate}
\item reflexivita: $(\all x \in M)(x \preceq x)$,
\item tranzitivita: $(\all x,y,z \in M)(x \preceq y \wedge y \preceq z \ra x \preceq z)$,
\item slabá antisymetrie: $(\all x,y \in M)(x \preceq y \wedge y \preceq x \ra x=y)$.
\end{enumerate}
\end{define}
\begin{example}
Mějme libovolnou množinu $A$ a její potenční množinu $\mathcal{P}(A)=2^A$. Zavedeme uspořádání $(\all M,N \in 2^A)(M \preceq N \lra M \subset N)$.
\end{example}
\begin{example}
Grupa $G=\{e,a,b|a^2=e,b^2=e\}$ má podgrupy $\{e\}$, $\cycl a$, $\cycl b$ a $G$. Můžeme zavést uspořádání pomocí relace "být podgrupou", tedy způsobem: $G_1 \preceq G_2 \lra G_1 \le G_2$. Obr. \ref{fig:usporadani}.
\end{example}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=.4]{usporadani.jpg}
\caption{Uspořádání na $G=\{e,a,b|a^2=e,b^2=e\}$ podle relace \uv{být podgrupou}.}
\label{fig:usporadani}
\end{figure}
\begin{define}
Buď $\{M,\preceq\}$ množina s částečným uspořádáním a $A\subset M$ její podmnožina. Prvek $x\in M$ nazveme
\begin{itemize}
\item \textbf{horní závora} množiny $A$, pokud $(\all a \in A)(a\preceq x)$,
\item \textbf{dolní závora} množiny $A$, pokud $(\all a \in A)(x\preceq a)$,
\item \textbf{supremum} množiny $A$ ($x=\sup_\preceq A$), je-li $x$ nejmenší prvek množiny horních závor $A$,
\item \textbf{infimum} množiny $A$ ($x=\inf_\preceq A$), je-li $x$ největší prvek množiny dolních závor $A$.
\end{itemize}
\end{define}
\begin{define}
Buď $\{M,\preceq\}$ množina s částečným uspořádáním. Pak $\all x,y\in M$ definujeme operace
\begin{itemize}
\item \textbf{spojení} $x\vee y=\sup_\preceq \{x,y\}$.
\item \textbf{průsek} $x\wedge y=\inf_\preceq \{x,y\}$,
\end{itemize}
\end{define}
\begin{remark}
Neplést spojení a průsek ($\vee,\wedge$) s operacemi sjednocení a průnik ($\cup,\cap$).
\end{remark}
\begin{define}
Buď $\{M,\preceq\}$ množina s částečným uspořádáním a operacemi $\wedge, \vee$. Potom $\{ M,\wedge,\vee\}$ nazýváme \textbf{svaz}, pokud $(\all x,y \in M)((x\vee y \in M)$ a zároveň $(x\wedge y \in M))$.
\end{define}
\begin{define}
Svaz $\{ M,\wedge,\vee\}$ nazýváme \textbf{modulární}, pokud $(\all x,y,z \in M)((z \preceq x) \ra a\wedge (b\vee c)=(a \wedge b)\vee c)$.
\end{define}
%________________________________________Zobrazení grupy přes podgrupy__________________________________________
%
%\section{Zobrazení grupy přes podgrupy}
%\begin{remark}
%V této sekci popíšeme, jak je možné zobrazit strukturu grupy pomocí jejích podgrup.
%\end{remark}
\subsection{Hasseovy diagramy}
Konstrukce \textbf{Hasseova diagramu} podgrup konečné grupy $G$:
\begin{remark}
Najdeme všechny podgrupy $G$ a seřadíme je podle jejich řádu. Grupu $G$ umístíme nejvýše a grupu $1$ nejníže. Zbytek podgrup rozmístíme podle jejich řádu a čarami spojíme všechny grupy $A$ a $B$, pro něž $A \le B$ a neexistuje podgrupa $C$, pro kterou $C < B$ (vlastní podgrupa) a zároveň $A < C$. (Tedy spojujeme jen \uv{nejbližší} podgrupy.)
\end{remark}
\begin{remark}
Mezi každými dvěma podgrupami $A \le B$ existuje spojnice, ale může vést přes celý řetězec podgrup a těchto spojnic může být i více. Příklad je na Obr. \ref{fig:mrizka}.
\end{remark}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.6]{mrizka.PNG}
\caption{Svaz podgrup grupy $\Z/12\Z.$ Převzato z \cite{AA}.}
\label{fig:mrizka}
\end{figure}
