02OKS:Kapitola5

PDF	[ znovu generovat,	výstup z překladu ]	Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly	[ znovu generovat,	výstup z překladu ]	Přeložení pouze této kaptioly.
ZIP			Kompletní zdrojový kód včetně obrázků.
Součásti dokumentu 02OKS

součást	akce		poslední editace			soubor
Hlavní dokument	editovat	Hlavní stránka dokumentu 02OKS	Kyseljar	5. 9. 2015	11:16
Řídící stránka	editovat	Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků	Admin	7. 9. 2015	13:52
Header	editovat	Hlavičkový soubor	Kyseljar	5. 9. 2015	11:04	header.tex
Kapitola1	editovat	Úvodní stránka	Kyseljar	5. 9. 2015	11:06	titlepage.tex
Kapitola2	editovat	Přehled značení	Kyseljar	5. 9. 2015	11:07	Prehled_znaceni.tex
Kapitola3	editovat	Úvod	Maresj23	12. 8. 2017	16:05	Uvod.tex
Kapitola4	editovat	Operátor hustoty	Gajaleks	15. 2. 2023	11:13	Operator_hustoty.tex
Kapitola5	editovat	Matematický aparát	Maresj23	1. 10. 2017	07:30	Matematicky_aparat.tex
Kapitola6	editovat	vonNeumannova entropie	Kyseljar	5. 9. 2015	11:08	vonNeumannova_entropie.tex
Kapitola7	editovat	Kvantové měření	Kyseljar	5. 9. 2015	11:09	Kvantove_mereni.tex
Kapitola8	editovat	Kvantové operace	Kyseljar	5. 9. 2015	11:09	Kvantove_operace.tex
Kapitola9	editovat	Změny kvantového systému	Kyseljar	5. 9. 2015	11:09	Zmeny_kvantoveho_systemu.tex
Kapitola10	editovat	Dovětek	Kyseljar	5. 9. 2015	11:09	Dovetek.tex
Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02OKS}
 
\section{Matematický aparát}
\label{sec:Matematicky_aparat}
 
Abychom si ulehčili práci s různými zobrazeními a především zefektivnili důkazy nejrůznějších tvrzení, zavedeme si v tomto matematickém intermezzu pár pomocných pojmů, jejichž význam je sice čistě matematický, jejich aplikací však budeme dostávat zajímavá fyzikálně interpretovatelná tvrzení. Kromě předeslaných pojmů budeme užívat i jistou notaci a názvosloví, které si nyní letem světem představíme.
 
Se stopou operátoru $A \in \hilb$, značenou $\tr A$, jsme se již seznámili. Připomeňme si, že se jedná o lineární zobrazení s vlastností cykličnosti $\tr(A B C) = \tr(C A B)$, $\forall A, B, C \in \bound{\hilb}$ (a tedy samozřejmě také $\tr(A B) = \tr(B A)$), splňující též $\tr(A \tens B) = \tr A \cdot \tr B$. Pokud budeme počítat se složitými výrazy, je užitečné si explicitně vyjádřit, na jakém prostoru vlastně stopu počítáme. V takovém případě budeme daný prostor psát v závorkách do spodního indexu způsobem $\tre{\hilb} A$. Naproti tomu jsme si už zavedli i částečnou stopu operátoru definovaného na složeném systému $C \in \bound{\hilb_A \tens \hilb_B}$. Částečnou stopu přes podsystém $B$ značíme s dolním indexem $\trPar{B} C$, který vyjadřuje, přes jaký prostor se stopuje. V tomto případě ale nepíšeme závorky, takže záměna stopy a částečné stopy není pro trénované oko možná. Tato a další notace je shrnuta na počátku skript v sekci \ref{sec:Prehled_znaceni}. Pokud budeme hovořit o \emph{superoperátorech}, nemáme tím na mysli nic jiného, než lineární zobrazení definovaná na vektorovém prostoru operátorů. Konečně, občas využijeme vlastností podobnostní transformace. Dva operátory $A$ a $B$ jsou \emph{podobné}, existuje-li regulární operátor $C$ takový, že $A = C B C^{-1}$.
 
\subsection{Izomorfizmy}
\label{sec:Izomorfizmy}
 
V následujícím uvažujme dva Hilbertovy prostory $\hilb_1$ a $\hilb_2$, kde $\basis{\mu}{M}$ je ortonormální báze prostoru $\hilb_1$ a podobně $\basis{m}{N}$ je ortonormální báze v prostoru $\hilb_2$. V této sekci si zadefinujeme tři izomorfní zobrazení, která úspěšně využijeme v důkazech tvrzení nadcházejících sekcí.
 
\begin{enumerate}
\item Nechť $A \in \bound{\hilb_1, \hilb_2}$ je omezené lineární zobrazení z prostoru $\hilb_1$ do prostoru $\hilb_2$. První izomorfizmus, který si uvedeme, vzájemně jednoznačně přiřazuje takovémuto zobrazení $A$ vektor $\ket{A}$ z prostoru $\hilb_1 \tens \hilb_2$ způsobem
\begin{equation}
\bra{m} A \ket{\mu} \equiv \braket{m \mu}{A}.
\label{eq:izom_1}
\end{equation}
Zobrazení $A$ lze zřejmě vyjádřit jako $A = \sum_{m \mu} A_{m \mu} \ketbra{m}{\mu}$. Odpovídající vektor $\ket{A}$ je pak tvaru $\ket{A} = \sum_{m \mu} A_{m \mu} \ket{m} \ket{\mu}$. Ukažme si ještě, že přiřazení zobrazení a vektoru zachovává skalární součin. Pro libovolná dvě zobrazení $A, B \in \bound{\hilb_1, \hilb_2}$ platí $(A,B) = \tr(\adj{A} B) = \tr ((\sum_{m \mu} \cc{A}_{\mu m} \ketbra{m}{\mu})(\sum_{n \nu} B_{n \nu} \ketbra{n}{\nu})) =  \tr (\sum_{m \mu \nu} \cc{A}_{\mu m} B_{\mu \nu} \ketbra{m}{\nu}) = \sum_{m \mu \nu \alpha} \cc{A}_{\mu m} B_{\mu \nu} \braket{\alpha}{m}\braket{\nu}{\alpha} = \sum_{\mu \alpha} \cc{A}_{\mu \alpha} B_{\mu \alpha} = \braket{A}{B}$. Zobrazení \eqref{eq:izom_1} je tedy izomorfizmus. Z definice \eqref{eq:izom_1} není hned patrné, jak si takové přiřazení představit, má přitom názorný význam. Představme si operátor $A$ jako matici $(A_{ij})$. Pak právě uvedený izomorfizmus vezme první řádek této matice a udělá z něho sloupcový vektor. Pak vezme druhý řádek, udělá z něho podobně sloupcový vektor a ten připojí pod sloupcový vektor vytvořený z prvního řádku. Takto pokračuje dále až celou matici přemění na sloupcový vektor tím, že její řádky vyskládá za sebe. Graficky lze tento izomorfizmus znázornit jako vztah
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
A_{11} & A_{12} & \ldots & A_{1M} \\
A_{21} & A_{22} & \ldots & A_{2M} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{N1} & A_{N2} & \ldots & A_{NM}
\end{pmatrix}
\quad \leftrightarrow \quad
\begin{pmatrix}
A_{11} \\ A_{12} \\ \vdots \\ A_{1M} \\ A_{21} \\A_{22} \\ \vdots \\ A_{2M} \\ \vdots \\ A_{NM}
\end{pmatrix}.
\end{equation}
 
\item Mějme nyní superoperátor $C: \bound{\hilb_1} \to \bound{\hilb_2}$ a nechť $\basisPlain{A^{(k)})}{k=1}^{M^2}$ je ortonormální báze prostoru $\bound{\hilb_2}$ a $\basisPlain{B^{(l)})}{l=1}^{N^2}$ je ortonormální báze prostoru $\bound{\hilb_1}$. Analogicky prvnímu izomorfizmu si definujme přiřazení
\begin{equation}
C = \sum_{k l} C_{k l} \ketbra{A^{(k)}}{B^{(l)}} \quad \leftrightarrow \quad \ket{C} = \sum_{k l} C_{k l} \ket{A^{(k)}} \ket{B^{(l)}}.
\end{equation}
Podobně jako u prvního izomorfizmu, i zde by se analogickým způsobem ověřilo, že toto přiřazení zachovává skalární součin. Zavolíme-li ortonormální báze prostorů operátorů v jednoduchém tvaru $A^{(k)} = A^{m n} \equiv \ketbra{m}{n}$ a $B^{(l)} = B^{\mu \nu} \equiv \ketbra{\mu}{\nu}$, lze definiční vztah přepsat na
\begin{equation}
C = \sum_{m n \mu \nu} C_{\substack{m n \\ \mu \nu}} \ketbra{A^{m n}}{B^{\mu \nu}} \quad \leftrightarrow \quad \ket{C} = \sum_{m n \mu \nu} C_{\substack{m n \\ \mu \nu}} \ket{A^{m n}} \ket{B^{\mu \nu}}.
\end{equation}
Neboť $\ket{A^{m n}} \in \hilb_2^{\tens 2}$ a $\ket{B^{\mu \nu}} \in \hilb_1^{\tens 2}$ je vektor $\ket{C}$ prvkem prostoru $\hilb_2^{\tens 2} \tens \hilb_1^{\tens 2}$.
 
\item Využijme nyní notace pro bazické vektory zavedené v předchozím bodě a uvažujme operátor $X_C \in \bound{\hilb_1 \tens \hilb_2}$ tvaru $X_C = \sum_{m n \mu \nu} C_{\substack{m n \\ \mu \nu}} A^{m n} \tens B^{\mu \nu} = \sum_{m n \mu \nu} C_{\substack{m n \\ \mu \nu}} \ketbra{m \mu}{n \nu}$. Porovnáme-li tento výraz s obecným tvarem operátoru $X_C = \sum_{m n \mu \nu} (X_C)_{\substack{m \mu \\ n \nu}} \ketbra{m \mu}{n \nu}$, dostáváme rovnost
\begin{equation}
(X_C)_{\substack{m \mu \\ n \nu}} = C_{\substack{m n \\ \mu \nu}},
\label{eq:izom_3}
\end{equation}
která nám definuje třetí a poslední izomorfizmus. Ověřme ještě, že toto přiřazení zachovává skalární součin. Mějme dva superoperátory, $C$ a $D$. Potom platí $(X_C,X_D) = \tr(\adj{X}_C X_D) = \tr((\sum_{m n \mu \nu} \cc{(X_C)}_{\substack{m \mu \\ n \nu}} \ketbra{n \nu}{m \mu})(\sum_{a b \alpha \beta} (X_D)_{\substack{a \alpha \\ b \beta}} \ketbra{a \alpha}{b \beta}))$. Tento výraz se redukuje na $\sum_{m n \mu \nu} \cc{(X_C)}_{\substack{m \mu \\ n \nu}} (X_D)_{\substack{m \mu \\ n \nu}} = \sum_{m n \mu \nu} \cc{C}_{\substack{m n \\ \mu \nu}} D_{\substack{m n \\ \mu \nu}} = \braket{C}{D} = (C,D)$, což jsme chtěli dokázat. Anglicky se přiřazení \eqref{eq:izom_3} říká \emph{reshuffling operation}.
\end{enumerate}
 
Jako velmi důležitý případ použití výše zmíněných izomorfizmů je následující situace. Mějme superoperátor $\phi: \bound{\hilb_1} \to \bound{\hilb_2}$, který na vstupní operátory $X$ působí způsobem
\begin{equation}
\phi(X) = A \, X \, B,
\end{equation}
kde $A \in \bound{\hilb_1, \hilb_2}$ a $B \in \bound{\hilb_2, \hilb_1}$. Za použití izomorfizmů, které superoperátoru a operátoru přiřadí vektory, lze dokázat vztah
\begin{equation}
\ket{\phi(X)} = \phi_M \ket{X}, \quad \mathrm{kde} \quad \phi_M = A \tens B^T.
\label{eq:superop_do_matice}
\end{equation}
Počítáme-li se superoperátory působícími na nějaké operátory, lze manipulaci s nimi převést na jednodušší úlohu, kde počítáme s maticemi. Místo superoperátoru $\phi$ stačí tedy pracovat s maticí $\phi_M$. Dokažme si nyní výše uvedený vztah, kde vyjádříme operátory $A$ a $B$ v lokálních bázích jednotlivých prostorů, $A = \sum_{m \mu} A_{m \mu} \ketbra{m}{\mu}$ a $B = \sum_{n \nu} B_{\nu n} \ketbra{\nu}{n}$. Pak dostáváme $\phi_M \ket{X} = (A \tens B^T) \ket{X} = (\sum_{m \mu} A_{m \mu} \ketbra{m}{\mu}) \tens (\sum_{n \nu} B_{\nu n} \ketbra{n}{\nu}) \sum_{\alpha \beta} X_{\alpha \beta} \ket{\alpha} \ket{\beta} = \sum_{m \mu n \nu} A_{m \mu} B_{\nu n} X_{\mu \nu} \ket{m} \ket{n} = \sum_{m n} (A X B)_{m n} \ket{m} \ket{n} = \ket{A X B} = \ket{\phi(X)}$.
 
\begin{priklad}
Připomeňme si Liouvilleův operátor $\liou(\rho(t)) = -\ii (\ham(t) \rho(t) - \rho(t) \ham(t))$ zavedený v rovnici \eqref{eq:Liouvill_rce}. S využitím vztahu \eqref{eq:superop_do_matice} tento superoperátor zřejmě odpovídá matici $\liou_M(t) = -\ii \ham(t) \tens \ident + \ii \ident \tens \ham^T(t)$. Z tohoto vyjádření je ihned patrné, že $\liou$ je antihermitovský. Navíc jsme se zbavili explicitní závislosti na vstupní stavu $\rho(t)$ a vlastnosti operátoru $\liou$ lze tak přímo studovat pomocí odpovídající matice $\liou_M$.
 
Dále jsme si uváděli, že řídí-li se operátor hustoty $\rho(t)$ rovnicí \eqref{eq:Liouvill_rce}, lze jeho vývoj reprezentovat jistým unitárním operátorem $U$ takovým, aby $\rho(t) = U(t) \, \rho(0) \, \adj{U}(t)$. Máme tak přímo výraz tvaru \eqref{eq:superop_do_matice}, který lze převézt na násobení vektoru maticí, $\ket{\rho(t)} = U_M(t) \ket{\rho(0)}$. Příslušná matice $U_M(t) = U(t) \tens \cc{U}(t)$ je přitom unitární.
\end{priklad}
 
Zajímavý je izomorfní obraz maximálně provázaného stavu $\ketME$. Mějme $\ketME \in \hilb_1 \tens \hilb_1$, jehož vyjádření zní $\ketME = \frac{1}{\sqrt{d_1}} \sum_{i=1}^{d_1} \ket{e_i} \tens \ket{e_i}$, kde $d_1 = \dim \hilb_1$. Pak je tento přidružený s násobkem identity
\begin{equation}
\ketME \quad \leftrightarrow \quad \frac{1}{\sqrt{d_1}} \, \ident \ \in \bound{\hilb_1}.
\end{equation}
Uvažujeme-li tedy dvě zobrazení $A \in \bound{\hilb_1, \hilb_2}$ a $B \in \bound{\hilb_2, \hilb_1}$, tak platí důležitý vztah
\begin{equation}
(A \tens B^T) \ketME \quad \leftrightarrow \quad \frac{1}{\sqrt{d_1}} A B.
\label{eq:super_do_mat_ME}
\end{equation}
Nyní využijeme tohoto vztahu, abychom odvodili některé jednoduché, avšak užitečné, vlastnosti maximálně provázaného stavu. Předpokládáme přitom rovnost $\hilb_1 = \hilb_2$.
 
\begin{enumerate}
\item Díky vztahu \eqref{eq:super_do_mat_ME} platí $(A \tens \ident) \ketME \leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{d_1}} A$ a $(\ident \tens A^T) \ketME \leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{d_1}} A$ pro libovolný operátor $A$. Celkem tedy
\begin{equation}
(A \tens \ident) \ketME = (\ident \tens A^T) \ketME.
\label{eq:Alice_ci_Bob}
\end{equation}
 
\item Pro libovolný unitární operátor $U$ máme $(U \tens \cc{U}) \ketME \leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{d_1}} U \adj{U} = \frac{1}{\sqrt{d_1}} \leftrightarrow \ketME$. Neboli
\begin{equation}
(U \tens \cc{U}) \ketME = \ketME.
\end{equation}
 
\item \emph{Z maximálně provázaného stavu lze vyrobit lokálně libovolný stav.} Maximálně provázaný stav je stav dvou provázaných podsystémů, pod pojmem \emph{lokálně} máme na mysli, že používáme pouze ty operátory, které působí jen na jednom z podsystémů a s druhým podsystémem neudělají nic. Přesněji tedy pro každý čistý stav $\ket{\phi} \in \hilb_1 \tens \hilb_1$ existuje nějaký operátor $A_\phi \in \bound{\hilb_1}$ tak, že
\begin{equation}
\ket{\phi} = (A_\phi \tens \ident) \ketME.
\label{eq:lok_tvar_phi_s_ME}
\end{equation}
Důkaz tohoto tvrzení je jednoduchý. K vektoru $\ket{\phi}$ je přidružen operátor $\phi$, jež lze rozložit následovně $\phi = \sqrt{d_1} \phi (\frac{1}{\sqrt{d_1}} \ident) \ident = A_\phi (\frac{1}{\sqrt{d_1}} \ident) \ident$, kde jsme si označili $A_\phi = \sqrt{d_1} \phi$. Platí dále $\phi = A_\phi (\frac{1}{\sqrt{d_1}} \ident) \ident \leftrightarrow (A_\phi \tens \ident) \ketME$, viz \eqref{eq:super_do_mat_ME}. Neboť jsme pracovali s izomorfizmy, tj. bijekcemi, dospíváme ke kýžené rovnosti.
 
Z důkazu též vidíme, že operátor $A_\phi$ je určen jednoznačně. Jako vedlejší produkt lze navíc odvodit i tyto vztahy pro skalární součin
\begin{equation}
\braket{\phi}{\psi} = \tr(\adj{\phi} \psi) = \frac{1}{d_1} \tr(\adj{A}_\phi \adj{A}_\psi).
\end{equation}
a pro tvar matic hustoty jednotlivých podsystémů
\begin{eqnarray*}
\rho_1 & = & \trPar{2}(\ketbraSame{\phi}) \ = \ \frac{1}{d_1} A_\phi \adj{A}_\phi \ = \ \phi \adj{\phi}, \\
\rho_2 & = & \trPar{1}(\ketbraSame{\phi}) \ = \ \frac{1}{d_1} A_\phi^T \cc{A}_\phi \ = \ \phi^T \cc{\phi}.
\end{eqnarray*}
Dokažme si rovnost pro matici hustoty prvního podsystému $\rho_1$. S využitím identity \eqref{eq:lok_tvar_phi_s_ME} máme $\rho_1 = \trPar{2}(\ketbraSame{\phi}) = \frac{1}{d_1} \sum_{i} \bra{i} (A_\phi \tens \ident) (\sum_{j k} \ketbra{jj}{kk}) (\adj{A}_\phi \tens \ident) \ket{i} = \frac{1}{d_1} A_\phi (\sum_j \ketbra{j}{j}) \adj{A}_\phi = \frac{1}{d_1} A_\phi \adj{A}_\phi$. Ostatní vztahy by se dokázali obdobně.
\end{enumerate}
 
Význačnost vztahu \eqref{eq:lok_tvar_phi_s_ME} si uvědomíme tehdy, představíme-li si jeho důsledky fyzikálně. Mějme dva systémy $A$ a $B$ nacházející se v maximálně provázaném stavu $\ketME$. Nechť podsystém $A$ vlastní Alice a podsystém $B$ drží ve svých spárech Bob. Alice si chtěla udělat hezkou dovolenou a tak se svým podsystémem $A$ odjela na Havaj, bez Boba. Bob se svým podsystémem $B$ mezitím trčí doma v Praze a rozmýšlí si, jak Alici její dovolenou znepříjemnit. Díky vzorečku \eqref{eq:lok_tvar_phi_s_ME} je však vše snadné, Bob může provést libovolnou operaci $A_\phi$ pouze se \emph{svým} podsystémem, aby \emph{libovolně} změnil celkový stav systému $A + B$. Bob tak může na dálku ovlivňovat i stav Aliciina systému. Abychom však Bobovi nekřivdili, Alice si může počínat stejně zákeřně. Vzorec \eqref{eq:Alice_ci_Bob} nám totiž říká, že pro změnu stavu celého systému $A + B$ je jedno, zda to bude Bob či Alice, kdo provede úpravu na svém podsystému.
 
\begin{priklad}
Nechť $\ketphi = \frac{1}{5} (3 \ket{01} + 4 \ket{10})$ je vektor popisující stav dvou provázaných podsystémů. Tento čistý stav je přidružen operátoru
\begin{equation}
\phi_M = \frac{1}{5}
\begin{pmatrix}
0 & 3 \\
4 & 0
\end{pmatrix}.
\end{equation}
S jeho pomocí již snadno spočteme stav prvního podsystému
\begin{equation}
\rho_1 = \phi_M \adj{\phi}_M = \frac{1}{25}
\begin{pmatrix}
9 & 0 \\
0 & 16
\end{pmatrix}.
\end{equation}
\end{priklad}
 
Než přikročíme ke studiu otevřených systémů je vhodné si uvést dvě nerovnosti dávající do souvislosti stopy jistých operátorů. Těmto dvěma nerovnostem jsou po řadě věnovány následující dvě kapitolky.
 
\subsection{Kleinova nerovnost}
\label{sec:Kleinova_nerovnost}
 
\begin{veta}
\emph{Kleinova nerovnost.} Nechť $f: I \to \R$ je konvexní a diferencovatelná funkce na intervalu $I = [a,b]$. Dále nechť $A$ a $B$ jsou hermitovské operátory takové, že jejich spektra leží v intervalu $I$, tj. $\sigma(A) \subset I$ a $\sigma(B) \subset I$. Pak platí
\begin{equation}
\tr(f(A)-f(B)) \geq \tr((A-B)f'(B)).
\end{equation}
Pokud je funkce $f$ ostře konvexní, tak se rovnosti nabývá právě tehdy, když $A = B$.
\end{veta}
 
\begin{proof}
Označme si $A = \sum_i a_i \ketbraSame{e_i}$ a $B = \sum_i b_i \ketbraSame{f_i}$. Potom $f(A) = \sum_i f(a_i) \ketbraSame{e_i}$ a $f(B) = \sum_i f(b_i) \ketbraSame{f_i}$. Neboť pracujeme s ortonormálními bázemi $\basisPlain{\ket{e_i}}{i}$ a $\basisPlain{\ket{f_j}}{j}$, plynou z Parsevalovy rovnosti vztahy $\sum_i |c_{ij}|^2 = 1$ a $\sum_j |c_{ij}|^2 = 1$, kde jsme si definovali $c_{ij} = \braket{e_i}{f_j}$. Pro každý bazický vektor $\ket{e_i}$ dále dostáváme, že výraz $\bra{e_i} (f(A) - f(B) - (A-B)f'(B)) \ket{e_i}$ je roven
%$\bra{e_i} (f(A) - f(B) - (A-B)f'(B)) \ket{e_i} = f(a_i) - \bra{e_i} \sum_j f(b_j) \ketbraSame{f_j} \ket{e_i} - \bra{e_i} (\sum_j a_j \ketbraSame{e_j} - \sum_j b_j \ketbraSame{f_j}) \sum_k f'(b_k) \ketbraSame{f_k} \ket{e_i} = f(a_i) - \sum_j f(b_j) |c_{ij}|^2 - a_i \sum_j f'(b_j) |c_{ij}|^2 + \sum_j b_j |c_{ij}|^2 f'(b_j) = f(a_i) \sum_j |c_{ij}|^2 - \sum_j |c_{ij}|^2 (f(b_j) + a_i f'(b_j) - b_j f'(b_j)) = \sum_j |c_{ij}|^2 (f(a_i) - f(b_j) - (a_i - b_j) f'(b_j))$.
\begin{eqnarray*}
& & f(a_i) - \bra{e_i} \sum_j f(b_j) \ketbraSame{f_j} \ket{e_i} - \bra{e_i} \left( \sum_j a_j \ketbraSame{e_j} - \sum_j b_j \ketbraSame{f_j} \right) \sum_k f'(b_k) \ketbraSame{f_k} \ket{e_i} \\
& = & f(a_i) - \sum_j f(b_j) |c_{ij}|^2 - a_i \sum_j f'(b_j) |c_{ij}|^2 + \sum_j b_j |c_{ij}|^2 f'(b_j) \\
& = & f(a_i) \sum_j |c_{ij}|^2 - \sum_j |c_{ij}|^2 (f(b_j) + a_i f'(b_j) - b_j f'(b_j)) \\
& = & \sum_j |c_{ij}|^2 (f(a_i) - f(b_j) - (a_i - b_j) f'(b_j)).
\end{eqnarray*}
Z věty o přírůstku funkce aplikovanou na interval $[c,d]$ platí $f(d) - f(c) = (d-c) f'(\xi)$ pro jisté $\xi \in (c,d)$. Neboť je funkce $f$ konvexní, je její derivace kdekoli uvnitř interválku $[c,d]$ větší než derivace v levém krajním bodě $c$ a současně menší než derivace v pravém krajním bodě $d$, tj. $f'(\xi) \geq f'(c)$ a $f'(\xi) \leq f'(d)$. Celkem tedy $(d-c) f'(d) \geq f(d) - f(c) \geq (d-c) f'(c)$. Z těchto dvou nerovností již plyne, že výraz $f(a_i) - f(b_j) - (a_i - b_j) f'(b_j)$ je vždy nezáporný a tedy i $\bra{e_i} (f(A) - f(B) - (A-B)f'(B)) \ket{e_i} \geq 0$. První tvrzení věty již plyne přímo z definice stopy. Ukažme si ještě, že pro ostře konvexní funkce se rovnosti nabývá právě, když $A = B$. Vidíme, že rozdíl zkoumaný ve výrazech výše je nulový právě tehdy, když pro všechna $i$ a $j$ platí $a_i = b_j$ nebo $c_{ij} = 0$. Pro Hilbert-Schmidtovu normu rozdílu operátorů tedy dostáváme $\|A-B\|^2 = \tr(A-B)^2 = \tr(\sum_i a_i \ketbraSame{e_i} - \sum_j b_j \ketbraSame{f_j})^2 = \tr(\sum_i a_i^2 \ketbraSame{e_i} + \sum_j b_j^2 \ketbraSame{f_j} - 2 \sum_{i j} a_i b_j c_{ij} \ketbra{e_i}{f_j}) = \sum_i a_i^2 + \sum_j b_j^2 - 2 \sum_{i j} a_i b_j |c_{ij}|^2 = \sum_{i j} |c_{ij}|^2 (a_i - b_j)^2 = 0$. Z toho již plyne $A = B$. Druhá implikace je zřejmá.
\end{proof}
 
\begin{priklad}
Uvažme funkci $f$ definovanou na nezáporných číslech způsobem
\begin{equation}
f = 
\begin{cases}
x \ln x & x > 0, \\
0 & x = 0.
\end{cases}
\end{equation}
Její první a druhá derivace zní po řadě $f'(x) = 1 + \ln x$ a $f''(x) = 1/x$. Funkce $f$ je tedy ostře konvexní pro $x > 0$. Pak pro libovolné pozitivní operátory $A$ a $B$ platí díky předchozí větě nerovnost $\tr(A \ln A - B \ln B) \geq \tr((A-B)(\ident + \ln B))$, kterou můžeme upravit do tvaru
\begin{equation}
\tr(A \ln A) - \tr(A \ln B) \geq \tr(A-B).
\label{eq:Klein_ner_lepsi}
\end{equation}
Tento vztah využijeme při studiu entropie v následující kapitole.
\end{priklad}
 
\subsection{Peierlova nerovnost}
\label{sec:Peierlova_nerovnost}
 
\begin{veta}
\emph{Peierlova nerovnost.} Nechť $f$ je konvexní funkce na intervalu $I \subset \R$ a $A \in \bound{\hilb}$ je hermitovský operátor, jehož spektrum leží v $I$, tj. $\sigma(A) \subset I$. Označme si libovolnou ortonormální bázi prostoru $\hilb$ jako $\basisPlain{\ket{f_i}}{i}$. Pak platí
\begin{equation}
\tr(f(A)) \geq \sum_i f(\bra{f_i} A \ket{f_i}).
\end{equation}
\end{veta}
 
\begin{proof}
S využitím notace použité při důkazu Kleinovy nerovnosti můžeme vyjádřit operátor $A$ ve tvaru $A = \sum_j a_j \ketbraSame{e_j}$ a
$\bra{f_i} f(A) \ket{f_i} = \sum_j f(a_j) |c_{ij}|^2 \geq f(\sum_j |c_{ij}|^2 a_j) = f(\sum_j |\braket{f_i}{e_j}|^2 a_j) = f(\bra{f_i} A \ket{f_i})$, kde nerovnost plyne z konvexnosti funkce $f$.
\end{proof}
 
\begin{dusledek}
Pro libovolné číslo $p \in (0,1)$, konvexní funkci $f$ na intervalu $I$ a operátory $A$ a $B$ splňující předpoklady předchozí věty platí
\begin{equation}
\tr f(p A + (1 - p)B) \leq p \tr f(A) + (1-p) \tr f(B).
\label{eq:Peier_ner_lepsi}
\end{equation}
\end{dusledek}
 
\begin{proof}
Označme si symbolem $\basisPlain{\ket{e_i}}{i}$ ortonormální bázi tvořenou vlastními vektory operátoru $p A + (1-p) B$. Pak $\tr f(p A + (1-p) B) = \sum_i \bra{e_i} f(p A + (1-p) B) \ket{e_i}$. Díky vhodné volbě naší báze je tento výraz roven $\sum_i f(\bra{e_i} (p A + (1-p) B) \ket{e_i}) = \sum_i f(p \bra{e_i} A \ket{e_i} + (1-p) \bra{e_i} B \ket{e_i})$. Z~konvexnosti je tento výraz menší nebo roven výrazu $p \sum_i f(\bra{e_i} A \ket{e_i}) + (1-p) \sum_i f(\bra{e_i} B \ket{e_i})$, což je dále díky předchozí větě menší nebo rovno výrazu $p \tr f(A) + (1-p) \tr f(B)$.
\end{proof}