Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01RMF}
\chapter{Zobecněné funkce}
V~této kapitole korektně zavedeme zobecněné funkce a~uvidíme, že naše předešlá definice je jen velmi speciálním případem zobecněné funkce.
Zároveň budeme v~definici požadovat, aby náš nově definovaný objekt byl něco rozdílného od klasické funkce, ale zároveň se od ní příliš nelišil.
Rádi bychom totiž využívali některá tvrzení a~některé věty, které již máme z~předchozího studia matematické analýzy dokázány.
\section{Zavedení zobecněných funkcí}
\begin{define}
Nechť $f$ je lineární funkcionál nad $\D(G)$, tj, $f:\D \longrightarrow \mathbb{C}$ a~$f$ je lineární. Množinu všech lineárních a spojitých,
tj. konvergenci zachovávajících, funkcionálů nad $\D(G)$ nazveme {\bf prostorem zobecněných funkcí}, označujme ji $\D'(G)$.
Hodnotu funkcionálu $f$ na funkci $\phi$ označujme $\left( f, \ \phi \right)$ namísto $f(\phi)$.
\end{define}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item {\it Rovnost zobecněných funkcí} (tj. $f = g$ v $\D'$) nastává právě tehdy, když $\forall \phi \in \D $ platí, že $(f,\phi) = (g,\phi)$.
\item $\D'$ je lineární vektorový prostor s~přirozeně definovanými operacemi sčítání a~násobení, tzn, $\forall f ,g \in \D'$ definujme sčítání
$$ (f+g,\phi) := (f,\phi) + (g,\phi) \: \forall \phi \in \D $$
a pro $\alpha \in \mathbb{C}$ a pro $f\in \D'$ definujeme násobení
$$ (\alpha \cdot f,\phi) := \alpha (f,\phi) \: \forall \phi \in \D. $$
\end{enumerate}
\end{remark}
Vidíme, že prostor zobecněných funkcí závisí na volbě konvergence v $\D$. Tímto pojmem bude $\D'$~značně ovlivněno
(kvůli identifikaci lineárních a~především spojitých funkcionálů nad $\D$). Z~toho důvodu nyní definujeme konvergenci
v~$\D$. Ještě předtím ale zavedeme pojem multiindex a~zavedeme notaci derivací pomocí multiindexu.
\begin{define}
{\bf Multiindexem} $\alpha$ v~n-dimenzionálním prostoru rozumíme uspořádanou n-tici čísel $\left(\alpha_1, \ \alpha_2, \ \dots, \ \alpha_n \right)$ ze
$\mathbb{Z}_+ ^n := \left(\mathbb{N}\cup\{0\}\right)^n$.
Označme $\vert \alpha \vert = \displaystyle \sum_{k=1} ^n \alpha_k $.
Definujme rovněž operátor
$D^{\alpha} : = \displaystyle\frac{\partial^{\vert \alpha \vert}}{\partial^{\alpha_1}x_1 \partial^{\alpha_2}x_2 \dots \partial^{\alpha_n}x_n}$.
\end{define}
\begin{define}
Nechť $\{ \phi_n \}_{n \in \mathbb{N} }$ je posloupnost v $\D(G)$ a $\phi \in \D(G)$. Řekneme, že {\bf $\phi_n$ konverguje
k~$\phi$ v $\D$}, označme $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} \phi$,
právě když
\begin{enumerate}
\item nosiče $\phi_n $ jsou stejně (stejnoměrně) omezené, tj. \left( $\exists R>0 \right) \left(\forall n \in \mathbb{N} \right) \left(\nf \phi_n \subset B_R(0)\right)$\footnote{symbolem $B_R(0)$ značíme otevřenou kouli se středem v bodě 0 a poloměrem R};
\item $\forall \alpha \in \mathbb{Z}_+ ^n$ platí, že $D^\alpha \phi_n$ konverguje stejnoměrně na množině $G$ k~$D^\alpha \phi$, tedy $D^\alpha \phi_n \sk{G} D^\alpha \phi$.
\end{enumerate}
\end{define}
\begin{remark}
Tato definice vyžaduje znalost limitní funkce $\phi$. Je ale možné definovat i~\uv{vlastnost konvergence}
a~to za pomoci Bolzano-Cauchyovy podmínky pro stejnoměrnou konvergenci,
která nám umožňuje nepsat ve druhé podmínce $D^\alpha \phi$. Pak můžeme tvrdit, že posloupnost funkcí
$\{ \phi_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ konverguje v~$\D$ a~tuto vlastnost zapisovat
jako $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} $.
\end{remark}
\begin{theorem}
Buď $\{ \phi_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \D(G)$ a nechť $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} $.
Pak existuje limitní funkce $\phi \in \D(G)$ taková, že $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} \phi$.
\begin{proof}
Důkaz nechť si čtenář provede sám jako cvičení. Při dokazování je vhodné najít kandidáta na funkci $\phi$ pomocí nulté derivace.
Dále je vhodné si uvědomit, že kandidát musí být třídy $\Ci$ a~že $\nf \phi$ má být kompakt.
\end{proof}
\end{theorem}
\subsection{Příklad zobecněné funkce}
{\bf Diracova $\delta$-funkce}
S~touto funkcí jsme se setkali hned na začátku tohoto textu. Nyní ji korektně zavedeme a~dokážeme, že se jedná o~zobecněnou funkci.
$$ \left(\forall \phi \in \D(R) \right) \ \mbox{definujeme } \left(\delta, \ \phi\right) := \phi(0). $$
Pro $\delta$ musíme tedy ověřit, že je to funkcionál nad~$\D$, že je lineární a~že je spojitý.
\begin{enumerate}
\item[{\it Funcionál:}] $\delta: \D \longrightarrow \mathbb{C}$. Jelikož je $\phi(0) < + \infty$, víme, že se tedy jedná o~funkcionál,
neboť jeho definice dává dobrý smysl $\forall \phi \in \D$.
\item[{\it Linearita:}] Uvažujme $\phi, \psi \in \D$ a $\alpha \in \mathbb{C}$. Pak
$$( \delta, \underbrace{\phi + \alpha \psi}_{\eta \in \D} ) = \eta(0) = \left( \phi + \alpha \psi \right) (0)
= \phi (0) + \alpha \psi(0) = \left( \delta, \phi \right) + \alpha \left( \delta, \psi\right)$$
\item[{\it Spojitost:}] Abychom dokázali spojitost námi definovaného funkcionálu, uvažujme konvergentní posloupnost
$\{ \phi_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \D$, která konverguje $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} \phi$.
Chceme ukázat, že odtud plyne, že v~$\mathbb{C}$~konverguje číselná posloupnost$\left(\delta, \phi_n\right) \longrightarrow \left(\delta, \phi\right)$.
Můžeme bez újmy na obecnosti uvažovat, že $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} 0$ \footnote{Pokud by $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} \phi$,
pak víme, že funkce~$\phi$ je opět testovací funkcí a~můžeme přejít od~$\phi_n$ k~$\phi_n - \phi$, která již konverguje~k~0. Funkce $\phi_n - \phi$
je totiž testovací, neboť její nosič je pouze sjednocením nosičů funkcí $\phi_n$ a~$\phi$ a~rozdílem dvou hladkých funkcí je opět funkce hladká. }.
Pak z toho, že posloupnost konverguje, plyne, že
\begin{enumerate}
\item $\left( $\exists R>0 \right) \left(\forall n \in \mathbb{N} \right) \left(\nf \phi_n \subset B_R(0)\right)$;
\item $\forall \alpha \in \mathbb{Z}_+ ^n$ platí, že $D^\alpha \phi_n \sk{\R^n} 0$.
\end{enumerate}
Druhá podmínka platí pro všechny multiindexy, tedy speciálně i~pro nulový. Pak tedy dostáváme $\phi_n \sk{\R^n} 0 \Rightarrow \phi_n(x) \stackrel{\R^n}{\rightarrow} 0$ pro všechna $x\in \R^n$.
Pokud nyní za $x$ volím 0, dostávám tvrzení, které jsem chtěl dokázat, neboť $\underbrace{\lim_{n\to\infty} \left(\delta, \phi_n \right)}_{\displaystyle\lim_{n\to\infty} \phi_n(0) = 0} = \left(\delta, 0 \right) = 0$, přičemž poslední rovnost plyne z linearity funkcionálu.
\end{enumerate}
\noindent Tímto jsme tedy dokázali, že {\it Diracova $\delta$-funkce} je zobecněnou funkcí. Obdobně se dá ukázat, že i~{\it centrovaná Diracova $\delta$-funkce}\footnote{\left(\delta_{x_0}, \ \phi\right) := \phi(x_0)} je zobecněná. Důkaz je zcela totožný, až na poslední krok, kdy se místo 0 volí $x_0$.
\subsection{Souvislost mezi klasickými funkcemi a zobecněnými funkcemi}
V následujícím odstavci bychom chtěli ukázat, že každé klasické funkci $f$ můžeme přiřadit jistou zobecněnou funkci $\tilde{f}$. Jako množinu funkcí $f$, ke které
budeme vytvářet množinu zobecněných funkcí, vezměme lokálně integrabilní funkce na $\R^n$. Pro tyhle funkce jsme již ukázali, že integrál
$\displaystyle \int_{\R^n}f(x)\phi(x)\dd x$ konverguje pro každou $\phi \in \D(\R^n)$. Pro tuhle hezkou vlastnost budeme definovat zobecněnou funkci (tj. funkcionál)
následovně:
$$\left(\tilde{f},\phi \right) := \displaystyle \int_{\R^n}f(x)\phi(x)\dd x.$$
Z konvergence nám okamžitě plyne fakt, že $\tilde{f}:\D \longrightarrow \mathbb{C}$ je funkcionál.
Nyní, podobně jako v předešlém případě, dokážeme, že se jedná o zobecněnou funkci.
\begin{enumerate}
\item[{\it Linearita:}] Buďte $\phi, \psi \in \D$ a $\alpha \in \mathbb{C}$. Pak
$$\left( \tilde{f}, \phi + \alpha \psi \right) = \displaystyle \int_{\R^n}f(x)(\phi + \alpha \psi) (x) \dd x = \displaystyle \int_{\R^n}f(x)\phi(x) \dd x +
\alpha \displaystyle \int_{\R^n}f(x)\psi(x) = \left(\tilde{f},\phi \right) + \alpha \left(\tilde{f},\psi \right). $$
\item[{\it Spojitost:}] Chceme ukázat, že $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} 0 \Rightarrow \left( \tilde{f},\phi_n \right) \longrightarrow 0 \mbox{ pro } n \to +\infty$.
Tedy platí, že $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \left(\tilde{f},\phi \right) = \displaystyle \lim_{n \to + \infty} \displaystyle \int_{\R^n} f(x)\phi_n(x) \dd x= 0$?
Pokud by bylo možné zaměnit limitu a integrál, pak bychom měli $\displaystyle \int_{\R^n} \displaystyle \lim_{n \to + \infty} f(x) \phi_n (x) \dd x
\stackrel{\phi_n(x) \to 0}{=} \displaystyle \int_{\R^n} f(x)\cdot 0 \dd x = 0$. Abychom mohli záměnu provést, je třeba ověřit podmínky věty o záměně, ale prakticky nám stačí nalézt
integrabilní majorantu, která nezávisí na $n$. Tohle bude ukázáno na cvičení.
\end{enumerate}
\begin{define}
O~zobecněné funkci $\tilde{f}$ řekneme, že je {\bf regulární zobecněnou funkcí}, ozn. $\tilde{f} \in \D'_{reg}$, pokud existuje klasická funkce~$f$~taková,
že $(\tilde{f},\phi) := \displaystyle \int_{\R^n} f(x) \phi (x) \dd x \: \forall \phi \in \D $. Klasickou funkci~$f$~pak nazýváme {\bf generátorem zobecněné funkce~$~\tilde{f}$}.
\end{define}
V následující části se budeme věnovat diskusi jednoznačnosti přiřazení klasické funkci regulární zobecněnou funkci, tj. bude nás zajímat, jestli je možné ke každé regulární
zobecněné funkci $\tilde{f}$ najít klasickou funkci $f$. Obráceně to jde, jak je vidno z definice regulární zobecněné funkce. Vyslovíme obecnou větu, kterou nedokážeme v plné obecnosti. Dokážeme její důsledek (ten je ale v~podstatě totožný s~tvrzením věty) a se zesílenými předpoklady. Zájemci o~důkaz věty v~plném znění jej naleznou ve [Šťovíček]. Než ale větu vyslovíme a dokážeme,
připravíme si dvě lemmata a~jeden výsledek z~funkcionální analýzy, které pak pro její důkaz využijeme:
\begin{lemma}[spojitost skalárního součinu]
\label{L1}
Buď $\H $ Hilbertův prostor a~nechť $\{x_n \} _{n\in\mathbb{N}} \subset \H$ taková, že $x_n \to x \in \H$. Pak
$\langle x_n,y \rangle \to \langle x,y\rangle$ pro $n \to + \infty$ pro všechna $y\in \H$.
\begin{proof}
Nejprve přepíšeme výraz $\langle x_n, y\rangle = \langle x_n - x +x ,y \rangle = \langle x_n - x,y \rangle + \langle x,y \rangle$. Využijeme konvergence posloupnosti, tzn.
$x_n \to x \in \H \Leftrightarrow \Vert x_n - x \Vert \to 0 $ v $\mathbb{C}$. Pak na výraz $\langle x_n - x,y \rangle $ aplikujeme Schwarzovu nerovnost, tedy
$\vert \langle x_n - x,y \rangle \vert \leq \Vert x_n-x\Vert \cdot \Vert y \Vert$. Jelikož je $\Vert y \Vert < + \infty$, máme lemma dokázáno, neboť limitním
přechodem pro $n \to + \infty$ získáme $\langle x_n, y\rangle \stackrel{n \to + \infty}{\longrightarrow} \langle x,y\rangle$.
\end{proof}
\end{lemma}
\begin{lemma}
Nechť $\langle a,b\rangle = 0$ pro všechna $b\in M$, kde $\overline{M} = \H$. Pak $a=0$ v $\H$.
\begin{proof}
Důkaz provedeme pro dva případy:
\begin{enumerate}
\item $M=\H$, pak $\langle a,h \rangle = 0$ pro libovolné $h\in \H$ a~tedy i~pro $h=a$. Pak ale $\langle a,a \rangle = 0$~a odtud~z~positivní definitnosti skalárního součinu plyne, že $a =0 $~v~$\H$.
\item $M\subset \H, \ \overline {M} = \H$. Tato vlastnost implikuje, že pro libovolné $h \in \H$ existuje $\{b_n \}_{n\in\mathbb{N}} \subset M $ taková, že $b_n \to h \in \H$.
Pak $\forall n \in\mathbb{N} $ máme pro libovolné $h\in \H$
$$0=\langle a,b_n \rangle \longrightarrow \langle a, \lim b_n \rangle = \langle a, h \rangle.$$
Zde využíváme předešlého lemmatu a první části důkazu tohoto lemmatu - s jejich máme tvrzení dokázáno.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{lemma}
Následující výsledek pochází z funkcionální analýzy a dokazovat jej nebudeme:
\begin{theorem}
\label{Dscarkou}
Buď $\D$ prostor testovacích funkcí s~normou z~$L^p$. Pak $\D$ je v $L^p$ hustý, tedy $\overline{\D} = L^p.$
\end{theorem}
Nyní už věta, jejíž důsledek chceme dokázat:
\begin{theorem}[o jednoznačnosti]
Buďte $f,g \in L^1_{loc}(\R^n)$ a~$\tilde{f},\tilde{g} \in \D'_{reg}(\R^n)$. Pak $\tilde{f} = \tilde{g} \Leftrightarrow f(x) = g(x)$ skoro všude na $\R^n$.
\end{theorem}
\begin{theorem}[důsledek]
Buďte $f\in L^2(\R^n)$ a~$\tilde{f} \in \D'_{reg}(\R^n)$. Pak $\tilde{f} = 0 \Leftrightarrow f(x) = 0$ skoro všude na $\R^n $.
\begin{proof}
Klasicky dokážeme dvě implakce
\begin{enumerate}
\item[$\Leftarrow$] Triviální
\item[$\Rightarrow$] Předpokládejme tedy $\tilde{f}=0$~v~$\D' \Leftrightarrow (\tilde{f}, \phi ) = (0, \phi) =0$ pro všechna $\phi \in \D$.
To ale znamená (dle definice akce) $\forall \phi \in \D: \: 0= \displaystyle \int_{\R^n} f(x)\phi(x) \dd x = \langle f, \phi \rangle_{L^2(\R^n)} $ \footnote{Správně bychom měli psát $\langle f,\overline{\phi} \rangle$, ale je to jedno. } Nyní už máme skalární součin (z~tohoto důvodu jsme požadovali kvadratickou integrabilitu~$f$), takže využijeme druhého lemmatu a věty \ref{Dscarkou}. Pak totiž tyhle podmínky zaručují $f = 0$ v $L^2(\R^n)$, tedy $f(x) = 0$ skoro všude na $\R^n$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Následující poznámky můžeme chápat jako důsledky a drobná pozorování, která z této věty plynou:
\begin{enumerate}
\item Tato věta nám dává odpověď na otázku, jaká je souvislost mezi zobecněnými funkcemi a~klasickými funkcemi a~umožňuje
zahrnout klasické funkce do funkcí zobecněných, resp. je takto elegantně propojit. Toto nás tudíž opravňuje vynechávat vlnku ve značení
a~má smysl si například klást otázku, zda $x^n \in \D'$. Odpověď je ano, protože $x^n$ je spojitá funkce, tedy $x^n \in L^1_{loc}$, a~tedy $x^n \in \D'$.
\item Máme $\tilde{f} = \tilde{g}$ v $\D'$ definovanou jako $(f,\phi) = (g,\phi) \: \forall \phi \in \D$. Nyní jsme k tomuto navíc ukázali, že
$\forall \tilde{f}, \tilde{g} \in \D'_{reg}$ platí, že $(\tilde{f},\phi) = (\tilde{g},\phi) \Rightarrow \tilde{f} = \tilde{g} \mbox{ v } \D'$, ale i~fakt, že~$f=g \mbox{ v } L^2.$
Tímto jsme zobecnili pojem \uv{rekonstrukce funkce z testovací funkce}.
\item Velikost množiny $\D$ je zásadní. Zkuste si vzít za prostor $\D$ např. množinu všech konstantních funkcí a provést naši konstrukci znova.
\end{enumerate}
\end{remark}
\subsection{Příklady}
Na cvičeních jsme ukázali, že funkce $\phi_{\left[-a,a\right]}(x) :=\left\{\begin{array}{ll} \exp\left(-\displaystyle \frac{4}{1-\left(\frac{x}{n} \right)^2}\right), &\mbox{pro } x\in\left[-a,a\right], \\[.2em] 0, &\mbox{pro ostatní } x. \end{array}\right $
je testovací funkcí. Podívejme se, jak se chová integrál
$\displaystyle \int^x_{+\infty}\phi_{\left[-a,a\right]}(y) \dd y$. Tato nová funkce od x je až do $-a$ nulová a od $a$ konstantní.
Zaveďme jistou speciální funkci:
\begin{define}
{\bf Heavisideova funkce $\Theta(x)$} je funkce $\Theta: \R \to \{0,1\}$ definovaná následovně:
$$\Theta(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1, &\mbox{pro } x\geq0, \\[.2em] 0, &\mbox{pro } x<0. \end{array}\right.$$
\end{define}
Definujeme-li ještě opraci konvoluce funkcí, můžeme použít pro náš integrál elegantní zápis.
\begin{define}
Buďte $f,g$ klasické funkce integrabilní s kvadrátem. Pak {\bf konvolucí funkcí $f$ a $g$}, kterou označujeme $f\ast g$, rozumíme
$f \ast g := \displaystyle \int_{\R} f(y) g(x-y) \dd y = \displaystyle \int_{\R}g(y)f(x-y) \dd y. $$
\end{define}
\begin{remark}
Konvoluce funkce a Heavisideovy funkce je vlastně \uv{vyhlazením} Heavisideovy funkce danou funkcí.
\end{remark}
Ve smyslu této definice je pak možno náš integrál psát jako $\Theta(x) \ast \phi_{\left[-a,a\right]}$. Pokud bychom nyní udělali konvoluci funkce $\phi_{\left[-a,a\right]}$
a~\uv{obrácené} Heavisideovy funkce, tj. funkce, která přiřazuje jedničku všem $x<0$ a provedli součin těchto dvou integrálů, získáme opět testovací funkci.
Toto tvrzení, zformulované níže, bude dokázáno na cvičeních, ale je zřejmé.
\begin{theorem}
Nechť $f \in L^1_{loc}$ a buď $\epsilon >0$. Pak $f(x) \ast \phi_{\left[-\epsilon, \epsilon\right]} (x) \in \Ci$.
\end{theorem}
\vspace{1cm}
{\bf Příklady zobecněných funkcí}
\begin{enumerate}
\item Již jsme dokázali, že $\delta_{x_0} \in \D'$.
\item Ukázali jsme, že $\D'_{reg} \subset \D'$.
\item Zobecnění Diracovy $\delta$-funkce do $\R^n$
\begin{define}
Nechť je $S$ je po částech hladká nadplocha v $\R^n$ a $\nu(x)$ je funkce spojitá na $S$. Definujme
$$\left( \nu \delta_S , \phi \right):= \displaystyle \int_S \nu(x)\phi(x) \dd S \: \forall \phi \in \D.$$
Funkcionál $\nu\delta_S$ nazýváme {\bf jednoduchou vrstvou}.
\end{define}
I tento funkcionál je zobecněnou funkcí, tj. $\nu\delta_S \in \D'$ (cvičení)
\item Vyvstává otázka, zda je libovolné funkci možné přiřadit zobecněnou funkci, tj. funkcionál, který by měl podobné chování?
Například bychom chtěli vyřešit problém, který vyvstane, když chceme funkci $f(x) = \frac{1}{x}$ přiřadit zobecněnou funkci. Narážíme na problém, neboť
$\frac{1}{x} \notin L^1_{loc}(R)$, a proto $\frac{1}{x}$ nelze chápat jako zobecněnou funkci.
Cítíme ale, že by bylo vhodné, abychom nějakou takovou zobecněnou funkci měli.
Proto provedeme tzv. {\it regularizaci} této funkce, která by náš problém mohla odstanit.
Vidíme, že problematickým bodem v definičním oboru (a tedy i při integraci) je 0.
Zkusíme tedy definovat funkcionál, který by \uv{suploval} funkci $\frac{1}{x}$ následovně:
$$ \left( P\frac{1}{x}, \phi(x) \right) := \displaystyle \lim_{\epsilon \to 0^+} \displaystyle \int_{\R \backslash (-\epsilon,\epsilon)} \frac{\phi(x)}{x}\dd x $$
Tato limita se běžně označuje jako $V_p\displaystyle \int_{\R} \frac{\phi(x)}{x}\dd x$ a nazývá se {\it integrál ve smyslu hlavní hodnoty}.
Na cvičeních bude ukázáno, že tímto krokem dojde k odstranění našeho problému, tj. $P\frac{1}{x}\in \D'$ a že se zachovávají vlastnosti, které
platily pro klasické funkce (např. $x^n P\frac{1}{x} = x^{n-1}$ v $\D'$ pro $n \geq 1$).
\end{enumerate}
Zabývejme se nyní otázkou, jestli jsou veškeré zobecněné funkce zobecněnými regulárními funkcemi, ekvivalentně jestli je množina $\D' \backslash \D'_{reg}$ neprázdná.
Pokud nějaká taková zobecněná funkce existuje, nazvěme ji {\it singulární zobecněnou funkcí}.
\begin{theorem}
Diracova $\delta$-funkce je singulární zobecněnou funkcí, tj. $\delta \in \D' \backslash \D'_{reg}$.
\begin{proof} (pro jednoduchost a ilustrativitu tohoto tvrzení předpokládejme $\D'(\R^1)$) \\
{\it Sporem:} Nechť $\exists f\in L^1_{loc}$ taková, že $\left( \tilde{f},\phi \right) = \left( \delta, \phi \right)$ pro všechna $\phi \in \D$.
Zároveň z definice Diracovy funkce máme $\phi(0) = \left(\delta, \phi \right) = \displaystyle \int_{\R}f(x)\phi(x) \dd x$ pro všechna $\phi \in \D$.
Buď nyní $\eta(x) = x^2\in \Ci$. Pak zjevně $\eta\phi \in \D$ pro všechna $\phi \in \D$. Zároveň víme, že
$(\eta\phi)(0) = 0 = \displaystyle \int_{\R} f(x) \eta(x) \phi(x) \dd x$ pro všechna $\phi \in \D$. Odtud ale plyne, že
$(f\eta)(x) = 0$ skoro všude a~tudíž $f = 0$ skoro všude. Tohle je ale spor, neboť v~tuto chvíli by Diracova funkce byla vždy nulová.
\end{proof}
\end{theorem}
\section{Zavedení základních operací v $\D'$}
Cílem této části bude zavést operace na prosotru $\D'$ tak, aby co nejvíce odpovídaly operacím na prostoru klasických funkcí. Například nás bude zajímat,
jestli je možné zaměnit derivaci v~$\D$ a~v~$\D'$.
\subsection{Derivace v $\D'$}
Budeme chtít, aby bylo jedno, jestli funkci $f$ nejdříve zderivuji (v $\D$) a~pak z~ní vytvořím
zobecněnou funkci $\widetilde{f'}$, nebo jestli nejprve vytvoříme z klasické funkce $f$ funkci zobecněnou $\tilde{f}$ a~tu zderivujeme v $\D'$,
tj. chceme, aby platilo, že $\widetilde{f'} = \left(\tilde{f}\right)'$.
Zdálo by se přirozené pro $f \in \D'$ zavést tuto derivaci $f' \in \D'$ takto:
$$ \left( f', \phi\right) := \left(f, \phi ' \right) \mbox{ pro všechny } \phi \in \D.$$
Tato definice je intutitvní (nikoliv však na první pohled), ale bohužel špatná.
Abychom tedy nalezli ekvivalent derivace, je třeba se držet striktně našich požadavků.
Proto požadujeme, aby platilo $\widetilde{f'} = \left(\tilde{f}\right)'$, tj. $\left(\left(\tilde{f}\right)', \phi \right) = \left(\widetilde{f'}, \phi \right) = \displaystyle \int_{\R} f'(x)\phi(x) \dd x \stackrel{\mbox{\scriptsize per partes}}{=} \left[ f(x)\phi(x) \right]^{+\infty}_{-\infty} - \displaystyle \int_{\R} f(x)\phi(x)' \dd x = - \left(\tilde{f},\phi'\right). $
Tedy tímto můžeme definovat derivaci v $\D'$, která je kompatibilní s~derivací v~klasickém smyslu.
\begin{define}
Buď $f \in \D'(\R).$ Pak derivaci $f'$~v~$\D'(\R)$ definujeme předpisem
$$ (f',\phi):= - (f, \phi') \mbox{ pro libovolné } \phi \in \D. $$
\end{define}
Nyní ověříme, že takto definovaná derivace zobecněné funkci $f$ přiřadí opět zobecněnou funkci $f'$. Abychom tohle dokázali, je třeba ukázat, že jsou splněny tři podmínky:
\begin{enumerate}
\item[{\it Funkcionál:}] Že se jedná o funkcionál je zřejmé, neboť derivace je definovaná jako $-\left(f, \phi'\right)$ a vzhledem k faktu, že $\phi'\in \D$. Odtud již potom
plyne, že $\vert -\left(f, \phi'\right) \vert < + \infty $, čímž je dokázána dobrá definice funkcionálu.
\item[{\it Linearita:}] Buďte $ \phi, \psi \in \D(\R)$ a $\alpha \in \mathbb{C}$. Pak
$$ \left(f',\phi + \alpha \psi \right) = - \left(f, \left(\phi + \alpha \psi \right)'\right) = -\left(f,\phi' \right) -\alpha \left(f,\psi'\right) = \left(f',\phi\right) + \alpha \left(f',\psi\right)$$
Při dokazování jsme využili nejprve definici derivace v~$D'(R)$ a~následněě faktu, že $f$~je zobecněná.
\item[{\it Spojitost:}] Nechť $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} 0$. Pak chceme ukázat, že $\left(f', \phi_n\right) \to \left(f',0\right) = 0$ v~$\mathbb{C}$. Proto
$$ \limits \lim_{n \to +\infty} \left(f', \phi_n \right) = \limits \lim_{n \to +\infty}\left[ -\left(f, \phi'_n\right)\right] = (f, \underbrace{\limits \lim_{n \to +\infty} \phi'_n}_{0}) = 0$$
První úprava je jen přepsání výrazu v limitě dle definice. Ve druhém kroku bychom chtěli využít spojitosti zobecněné funkce $f$.
Proto musíme ověřit, že platí implikace $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} 0 \Rightarrow \phi'_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} 0 $.
Toto ale platí, neboť posloupnost funkce $\phi'_n $ mají stejnoměrně omezené nosiče. Tato vlastnost plyne z~inkluze $\nf \phi'_n \subset \nf \phi_n$ pro libovolné $n$.
Druhá podmínka, tj. podmínka na stejnoměrnou konvergenci všech derivací, je splněna triviálně díky konvergenci $\phi_n$ v $\D$.
\end{enumerate}
Tedy jsme našli zobrazení na prostoru $\D'(R)$, které libovolné funkci $f\in \D'(R)$ přiřadí $f \longmapsto f' \in \D'(R)$. Tento postup mohu očividně opakovat a~vždy získám zobecněnou funkci.
\begin{theorem}
Každá zobecněná funkce $f$ má všechny derivace.
\begin{proof}
Vizte poznámku výše.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Derivaci jsme zavedli pouze pro $f\in \D'(\R)$. Pokud bychom chtěli provést rozšíření, stačí si uvědomit, že za každý další řád derivace přibude pouze další znaménko \uv{$-$}.
Proto můžeme definovat derivaci pro libovolnou $f \in \D' (\R^n)$ následovně:
$$ \left(D^{\alpha} f, \phi\right): = (-1)^{\vert \alpha \vert} \left( f, D^{\alpha} \phi \right) $$.
\end{remark}
{\bf Příklad}
Najděte $\vert x \vert '$ v $\D'(\R)$. Zjevně hledáme zobecněnou funkci $f$ takovou, že $\left( \vert x \vert ', \phi \right) = \left(f, \phi \right)$ pro všechny $\phi \in \D$.
Nejprve se přesvědčíme, že notace $\vert x \vert '$ dává dobrý smysl. Zjevně ano, protože $\vert x \vert \in \D'$, což plyne z faktu, že $\vert x \vert $ je jako klasická funkce lokálně integrabilní na $\R$.
Nyní již hledejme funkci $f$:\footnote{V tomto příkladu budeme pro větší přehlednost používat označení vlnkou pro zobecněnou funkci vytvořenou z~lokálně integrabilní funkce.}
$$\left( \widetilde{\vert x \vert} ' , \phi(x) \right) = - \left( \widetilde{\vert x \vert}, \phi'(x) \right) = - \displaystyle \int_\R \!\vert x \vert \phi'(x) \dd x =
- \displaystyle \int_{- \infty}^0 \!\underbrace{\vert x \vert}_{-x} \phi'(x) \dd x - \displaystyle \int^{+ \infty}_0 \! \underbrace{\vert x \vert}_{x} \phi'(x) \dd x \stackrel{\mbox{\scriptsize per partes}}{=} $$
$$= \underbrace{ \left[ x \phi(x) \right]_{- \infty}^0}_{= 0} - \displaystyle \int_{- \infty}^0\! 1 \cdot \phi(x) \dd x -
\underbrace{ \left[ x \phi(x) \right]^{+ \infty}_0}_{= 0} + \displaystyle \int^{+ \infty}_0 \! 1 \cdot \phi \dd x = \displaystyle \int_{\R} \sgn (x) \phi(x) \dd x = \left(\widetilde{\sgn (x)}, \phi(x) \right). $$
Tímto jsme dokázali, že $\widetilde{\vert x \vert} ' = \widetilde {\sgn(x)}$ v~$\D'(\R)$.
\subsection{Regulární lineární transformace}
\begin{define}
Buď $f\in \D'$, dále $\A \in \R^{n,n}$ regulární matice a $\bb \in \R^n$ vektor. Pak definujeme {\bf regulární lineární transformaci $g^{f}_{\A, \bb}$ } zobecněné funkce $f$ vztahem:
$$\left(g^{f}_{\A, \bb}, \phi \right) := \left( f, \psi^{\phi}_{\A, \bb} \right). $$
Přičemž $\psi^{\phi}_{\A, \bb}(x) := \frac{1}{\vert \det \A \vert}\phi\left(\A^{-1}(x-b)\right)$ pro všechny $\phi \in \D$.
\end{define}
\begin{remark}
Tato definice je korektní, neboť $\psi^{\phi}_{\A, \bb}(x) \in \D \Leftrightarrow \phi \in \D$. Tato transformace funkce $\phi$ neovlivní její hladkost a~support se jen regulárně transformuje,
tj. posune se anebo se přeškáluje.
\end{remark}
\begin{remark}
Obvykle se tato transformace zapisuje ale poněkud odlišně:
$$ \left( f (\A x+\bb), \phi(x) \right):=\frac{1}{\vert \det \A \vert} \left( f(x), \phi\left(\A^{-1}(x-b)\right) \right).$$
\end{remark}
Tato notace je rozumná, jen je třeba si uvědomit, že zobecněná funkce $f\in \D'$ nemá argument $x$, ale jistou funkci! V následujícím odstavci pochopíme, proč se tato notace používá a~že je vlastně velmi přirozená. Naším cílem je totiž získat zobecněnou funkci takovou, aby $\widetilde{f(\A x+\bb)} = \tilde{f}(\A x+\bb)$.
Z~této podmínky pak totiž dostaneme:
$$ \left(\tilde{f}(\A x+\bb), \phi(x) \right) = \left(\wildetilde{f(\A x+\bb)}, \phi(x) \right) = \displaystyle \int_{\R^n} f(\A x+\bb)\phi(x) \dd x = \left\{
\begin{array}{c} \mbox{\scriptsize transformace} \\
y = \A x + \bb \\
x = \A^{-1}(y-b) \\
\vert \mathcal{J} \vert = \frac{1}{\vert \det \A \vert}\\
\end{array}
\right\} =$$
$$ = \frac{1}{\vert \det \A \vert} \displaystyle \int_{\R^n} f(y) \phi\left(\A^{-1}(y-b)\right) \dd y = \frac{1}{\vert \det \A \vert} \left(\tilde{f}(x), \phi\left(\A^{-1}(y-b)\right) \right). $$
Opět ověříme, že regulární transformace je operace, která zobecněnou funkci zobrazuje na zobecněnou funkci.
\begin{theorem}
Buď $f \in \D'$. Pak $f(\A x+\bb) \in \D'$.
\begin{proof}
Opět stačí ověřit tři podmínky.
\begin{enumerate}
\item[{\it Funkcionál:}] zřejmé;
\item[{\it Linearita:}] opět zřejmá, plyne z linearity $f$;
\item[{\it Spojitost:}] Chceme ukázat, že $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} 0 \Rightarrow \left( f(\A x +\bb), \phi_n(x) \right) \to 0$. Tedy
$$\limits \lim_{n \to + \infty} \left( f(\A x +\bb), \phi_n(x) \right) = \limits \lim_{n \to + \infty} \frac{1}{\vert \det \A \vert} \left( f(x), \phi_n\left(\A^{-1}(x-b)\right) \right) = $$
$$=\frac{1}{\vert \det \A \vert} \left( f(x), \underbrace{\limits \lim_{n \to + \infty}\phi_n\left(\A^{-1}(x-b)\right)}_{=0} \right) = 0. $$
V první rovnosti jsme jen použili definici, ve druhé jsme využili spojitosti zobecněné funkce $f$ a~faktu, že pokud $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} 0$,
tak i~$\psi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} 0$,kde $\psi_n = \phi_n\left(\A^{-1}(x-b)\right)$. V~další se pak jen využije stejnoměrné konvergence funkcí $\phi_n$ k nule.
Odtud již plyne bodová konvergence k nule a~poslední rovnost je důsledkem linearity $f. $
\end{proof}
\end{theorem}
Tímto jsme získali zajímavý nástroj, pomocí kterého můžeme zkoumat např. posunutí zobecněných funkcí (to se děje volbou jednotkové matice $\A$).
Rovněž sudost a lichost zobecněných funkcí lze takto vyšetřovat. Toto si ukážeme na následujícím příkladu, kde určíme, jestli je Diracova funkce sudá.
{\bf Příklad}
Je Diracova funkce sudá, tj. platí, že $\delta(-x) = \delta(x)$ v $\D'$?
Vyjdeme z~rovnosti v~$\D'$, tj. ověřujeme, zda platí, že $(\delta(x), \phi(x) ) = (\delta(-x), \phi(x) )$.
Upravujeme nejprve levou stranu výrazu:
$$(\delta(-x), \phi(x) ) \stackrel{\A = \mathbb{I},\\ \bb = 0}{=} (\delta, \phi) = \phi(0) $$
Nyní upravíme pravou stranu a využijeme toho, že tentokrát je $\A = -\mathbb{I}$ a $\bb=0$.
$$(\delta(-x), \phi(x) ) = \frac{1}{1} (\delta(x), \underbrace{\phi(-x)}_{\psi(x)}) = (\delta, \psi) = \psi(0) = \phi(0).$$
Tímto je dokázáno, že Diracova funkce je sudá funkce.
\subsection{Násobení hladkou funkcí v $\D'$}
Opět bychom chtěli vytvořit operaci násobení hladkou funkcí, která by pro $a\in \Ci$ a $\tilde{f} \in \D'_{reg}$ splňovala následující: $\tilde{a}\cdot\tilde{f} = \widetilde{a \cdot f}$.
Z této podmínky dostáváme:
$$\left(\tilde{a}\cdot\tilde{f}, \phi \right) = \left(\widetilde{a \cdot f}, \phi \right) = \displaystyle \int_{\R} a(x)f(x)\phi(x) \dd x =
\displaystyle \int_{\R} f(x)\underbrace{a(x)\phi(x)}_{\in \D} \dd x = \left(\tilde{f}, a\phi \right).$$
Z tohoto důvodu jsme při zavedení testovacích funkcí diskutovali možnost jejich násobení hladkou funkcí.
\begin{define}
Buď $a\in \Ci$ a $\tilde{a}\in \D'_{reg}$ a nechť $f\in \D'$. Pak definujeme $\left(\tilde{a}\cdot f, \phi \right) : = \left( f, a\phi \right)$ pro všechna $\phi \in \D$.
\end{define}
Není možné zeslabit předpoklad na $a \in \Ci$, kvůli požadavku, aby $a\phi \in \D$. Z~tohoto důvodu není možné například vynásobit dvě Diracovy funkce.
\begin{theorem}
Buď $\tilde{a}\in \D'_{reg}$ a $a\in \Ci$ a nechť $f \in \D'$. Pak $\tilde{a}\cdot f \in \D'$.
\begin{proof}
Důkaz je v~podstatě identický jako u předchozích operací a~čtenář si jej může provést sám jako domácí cvičení.
\end{proof}
\end{theorem}
\section{Vlastnosti operací v $\D'$}
V~této sekci se budeme zabývat vlastnostmi operací nad prostorem zobecněných funkcí. Ukážeme si, že nad prostorem zobecněných funkcí lze formulovat podobné věty jako v~matematické analýze
(např. věty o~záměně) a~že se tyto věty dají formulovat oproštěné od veškerých sáhodlouhých předpokladů a~rovněž jejich důkazy jsou vyloženě triviální.
\subsection{Limita v $\D'$}
Nejprve ještě definujeme pojem intuitivní, ale dosud korektně neformulovaný:
\begin{define}
Buď $\{f_n\}_{n\in \mathbb{N}} \subset \D'$ posloupnost zobecněných funkcí. Řekneme, že
{\bf posloupnost zobecněných funkcí $f_n$ konverguje v $\D'$ k zobecněné funkci $f \in \D'$}, ozn. $f_n \to f$, právě tehdy když $\forall \phi \in \D$ platí,
že $(f_n,\phi) \to (f,\phi)$ jako číselná posloupnost.
\end{define}
Když známe pojem konvergence, můžeme zavést i pojem limity v $\D'$ (jedná se téměř o totéž)
\begin{define}
Buď $\{f_n\}_{n\in \mathbb{N}} \subset \D'$ posloupnost zobecněných funkcí a buď $f \in \D'$. Pak řekneme, že
{\bf limita posloupnosti funkcí $f_n$ je rovna $f$}, ozn. $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} f_n = f$, právě tehdy, když
$\displaystyle \lim_{n\to +\infty}(f_n,\phi) = (f,\phi)$ pro libovolnou $\phi \in \D$.
\end{define}
\begin{theorem}[o záměně limity a derivace]
Buď $\{f_n\}_{n\in \mathbb{N}} \subset \D'$. Pak $\left (\displaystyle \lim_{n \to + \infty} f_n\right)' = \displaystyle \lim_{n \to + \infty} (f_n)'$ v $\D'$.
\begin{proof}
Zvolme libovolnou $\phi \in \D$. Pak
$$ \left((\lim_{n \to + \infty} f_n)', \phi \right) \stackrel{\mbox{\scriptsize def. derivace}}{=} - \left(\lim_{n \to + \infty} f_n, \phi' \right) \stackrel{\mbox{\scriptsize def. limity}}{=}
- \limits \lim_{n \to + \infty} \left(f_n,\phi '\right) \stackrel{\mbox{\scriptsize def. derivace}}{=}$$
$$= \limits \lim_{n \to + \infty} \left(f'_n,\phi \right) \stackrel{\mbox{\scriptsize def. limity}}{=} \left(\lim_{n \to + \infty} f'_n, \phi \right)$$
\end{proof}
\end{theorem}
Na následujícím příkladu si ukážeme užitečnost této věty.
{\bf Příklad}
Vypočtěte limitu $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \cos nx$ v $\D'$. Zjevně má smysl se zabývat touto otázkou, neboť $\cos nx \in L^1_{loc}$.
Pokud se pokusíme tuto limitu počítat z definice, brzy narazíme na integrál, který nebudeme schopni spočítat. Proto se nejprve zabývejme
následující limitou v $\D'$: $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} \sin nx$.
$$\left(\limits \lim_{n \to +\infty} \widetilde{\frac{1}{n} \sin nx}, \phi(x) \right) \stackrel{\mbox{\scriptsize def. limity}}{=} \limits \lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{n} \sin nx, \phi(x) \right) =
\limits \lim_{n \to +\infty} \displaystyle \int_{\R} \frac{1}{n} \sin nx \phi(x) \dd x \stackrel{\mbox{\scriptsize záměna}}{=} \displaystyle \int_{\R} 0 \dd x = 0$$
Odtud vidíme, že $\displaystyle \lim_{n \to +\infty}\frac{1}{n} \sin nx = 0$. Proto nyní využijeme věty, kterou jsme dokázali, a s její pomocí máme
$$0= \left(\limits \lim_{n \to +\infty} \widetilde{\frac{1}{n} \sin nx}\right)' \stackrel{\mbox{\scriptsize Věta}} = \lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{n} \sin nx\right)' = \lim_{n \to +\infty}
\cos nx $$
Tímto jsme vypočítali limitu, kterou bychom jinak spočíst nedokázali. Je vhodné si povšimnout, že v poslední úpravě jsme využili naší definice derivace a faktu, že $\sin nx \in L^1_{loc}$.
\begin{theorem}
Buďte $\{f_n \}_{n\in \mathbb{N}}, \{g_n \}_{n\in \mathbb{N}}\subset \D'$ a nechť jsou $f,g \in \D'$ takové, že $f_n \to f$ a $g_n \to g$. Pak
\begin{enumerate}
\item $f_n + g_n \to f+g \mbox{ v } \D'$;
\item $\tilde{a}\cdot f_n \to \tilde{a} \cdot f \mbox{ pro libovolnou } a\in \D'_{reg}, a\in \Ci$;
\item $f'_n \to f'$;
\item $f_n(\A x + \bb) \to f(\A x + \bb)$.
\end{enumerate}
\begin{proof}
Důkaz je ponechán čtenáři jako cvičení. Princip důkazu je ale vždy stejný. Jen se dle definice rozepíše levá strana a její působení na funkci $\phi$ a následně se upravuje dle definic.
\end{proof}
\end{theorem}
\subsection{Identity kalkulu}
V této sekci zformulujeme pro zobecněné funkce již známá tvrzení z matematické analýzy.
\begin{theorem}[o derivaci složené funkce]
Buďte $f,g \in \D'(\R)$ a $0\neq A, b$ konstanty. Pak
$$\left[f(Ax+b)\right]' = A \cdot f'(Ax+b) $$
\begin{proof}
Upravujme levou stranu výrazu:
$$ \left(\left[f(Ax+b)\right]', \phi \right) = - \left( f(Ax+b), \frac{\dd \phi}{\dd x} \right) = -\frac{1}{\| A \|} \left(f(y), \left \frac{\dd \phi}{\dd x} \right|_{x = A^{-1}(y-b)} \right) = (\ast)$$
Na pravé straně jsme tentokrát nedostali přesně ten výraz, který bychom rádi, ale drobným trikem si k němu pomůžeme. Potřebujeme totiž výraz
$$\frac{\dd }{\dd y} \phi( A^{-1}(y-b) ) = \left \frac{\dd \phi}{\dd x}\right|_{x = A^{-1}(y-b)} \underbrace{\frac{\dd }{\dd y}( A^{-1}(y-b) )}_{\frac{1}{A}}$$
Odtud již nyní ale můžeme snadno dosadit do námi upravovaného výrazu $(\ast)$:
$$ (\ast) = -\frac{A}{|A|} \left(f(y), \frac{\dd }{\dd y}\left( A^{-1}(y-b)\right)\right) \stackrel{\mbox{\scriptsize derivace}}{=} \frac{A}{|A|} \left(f'(y), \phi\left(A^{-1}(y-b)\right) \right) =
A \cdot \left(f'(Ax+b), \phi(x) \right).$$
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Je snadno nahlédnutlné, jak by se vztah změnil, pokud bychom uvažovali $\R^n$ a derivovali dle konkrétní proměnné.
\end{remark}
\begin{theorem}[Leibnitzovo pravidlo]
Buďte $f\in \D'(\R)$, $\tilde{a} \in \D'_{reg}(\R)$ a nechť $a \in \Ci$. Pak
$$(a\cdot f)' = a'\cdot f + a \cdot f' $$
\begin{proof}
Důkaz začíná neintuitivně (tentokrát neupravujeme levou stranu), ale je triviální\footnote{Z čisté lenosti nebudeme v důkaze psát $a\cdot f$, ale jen stručně $af$ atp.}:
$$(af', \phi) = (f', a\phi) = - (f, (a\phi)' ) = -(f, a'\phi + a\phi ') = -(f, a'\phi) - (f,a\phi') = $$
$$=-(a'f,\phi) -(af, \phi') = -(a'f,\phi) + ((af)',\phi) = (((af)' - a'f),\phi)$$
Odtud již plyne dokazované tvrzení.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Pokud bychom postupovali dále matenatickou indukcí, rozšířili bychom tvrzení i pro n-tou derivaci
\end{remark}
\begin{theorem}[o záměně parciálních derivací]
Buď $f\in \D'(\R^n)$. Pak
$$\frac{\partial ^2}{\partial x_k \partial x_l} f = \frac{\partial ^2}{\partial x_l \partial x_k} f. $$
\begin{proof}
$$\left(\frac{\partial ^2}{\partial x_k \partial x_l} f(x), \phi(x) \right) = - \left(\frac{\partial }{ \partial x_l} f(x), \frac{\partial }{ \partial x_k} \phi(x) \right) = \left(f(x), \frac{\partial ^2}{\partial x_l \partial x_k} \phi(x) \right) \stackrel{\phi \in \Ci}{=}$$
$$ =\left(f(x), \frac{\partial ^2}{\partial x_k \partial x_l} \phi(x) \right) - \left(\frac{\partial }{ \partial x_k} f(x), \frac{\partial }{ \partial x_l} \phi(x) \right) = \left(\frac{\partial ^2}{\partial x_l \partial x_k} f(x), \phi(x) \right).$$
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Notací, kterou používáme pro značení smíšených parciálních derivací, myslíme $$\frac{\partial^2 }{\partial x_k \partial x_l} f(x) := \frac{\partial}{\partial x_k} \left(\frac{\partial f(x)}{\partial x_l}\right).$$
\end{remark}
\begin{theorem}[o derivaci po částech spojitá funkce]
Buď $M \subset \R$, $M = \{ x_n \}$ nejvýše spočetná množina bez hromadného bodu. Buď dále $f \in \mathcal{C}(\R \backslash M )$ a nechť $\forall x\in M$ existují konečné jednostranné limity klasické funkce $f$. Nechť dále je $\{f'\} \in L^1_{loc}$, kde $\{f'\}$ označuje klasickou derivaci funkce $f$ všude, kde je možné ji provést. Pak v $\D'$ platí
$$\tilde{f}' = \widetilde{\{f'\}} + \displaystyle \sum_{s \in M} \left[f\right]_s \delta (x-s),$$
kde symbol $\left[f\right]_s := \displaystyle \lim_{x \to s^+} f(x) - \displaystyle \lim_{x \to s^-} f(x)$.
\begin{proof}
Uvažujme BÚNO množinu $M = \{x_0\}$ jednoprvkovou. Z důkazu vyplyne, že provést zobecnění pro nejvýše spočetnou není problém.
$$(\tilde{f}',\phi ) = - (\tilde{f}, \phi' ) = - \displaystyle \int_{\R} f(x)\phi'(x) \dd x = - \displaystyle \int^{x_0}_{-\infty} f(x)\phi'(x) \dd x -\displaystyle \int_{x_0}^{+\infty} f(x)\phi'(x) \dd x \stackrel{\mbox{\scriptsize per partes}}{=}$$
$$ = -\left( \underbrace{\left[ f(x)\phi(x)\right]^{x_0}_{-\infty} }_{\lim_{x\to x_0^{-}} f(x)\phi(x)} - \displaystyle \int^{x_0}_{-\infty} f'(x)\phi(x) \dd x \right) -
\left( \underbrace{\left[ f(x)\phi(x)\right]_{x_0}^{+\infty} }_{-\lim_{x\to x_0^{+}} f(x)\phi(x)} - \displaystyle \int_{x_0}^{+\infty} f'(x)\phi(x) \dd x \right) =$$
$$ = \displaystyle \int_{\R} \{f'\} \phi(x) \dd x + \underbrace{\displaystyle \lim_{x\to x_0^{+}} f(x)\phi(x)}_{= \phi (x_0)\lim_{x\to x_0^{+}} f(x)} -
\underbrace{\displaystyle \lim_{x\to x_0^{-}} f(x)\phi(x) }_{= -\phi (x_0)\lim_{x\to x_0^{-}} f(x)} =
\displaystyle \int_{\R} \{f'\} \phi(x) \dd x + \delta_{x_0} \left[ \displaystyle \lim_{x\to x_0^{+}} f(x) - \displaystyle \lim_{x\to x_0^{-}} f(x) \right] = $$
$$ = (\widetilde{\{f'\}},\phi) + \left(\underbrace{\displaystyle \lim_{x\to x_0^{+}} f(x) - \displaystyle \lim_{x\to x_0^{-}} f(x) }_{\left[f\right]_{x_0}}\right) (\delta _{x_0},\phi) =
\left(\widetilde{\{f'\}} + \left[f\right]_{x_0}\delta(x-x_0),\phi \right). $$
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
V poslední úpravě jsme použili tvrzení $\delta_{x_0} =\delta(x-x_0)$, které se bude dokazovat na cvičeních, ale čtenář si jej může dokázat snadno sám, protože se jedná jen o regulární transformaci.
\end{remark}
Zkusme nyní tuto větu aplikovat a vypočíst derivaci Heavisideovy funkce $\Theta(x)$. Je zřejmé, že $\{ \Theta'(x) \} = 0$. Jediným problematickým bodem je 0, kde má funkce jednotkový skok. Proto
$\left[\Theta\right]_0 = 1$ \footnote{Zde je třeba si uvědomit, že nás nezajímá jen velikost skoku, ale i jeho \uv{orientace}, tj. je třeba si ohlídat znaménko. }. Pak již $\Theta'(x) = 0 + 1\cdot \delta(x-0) = \delta(x)$ v $\D'$.
Již dříve jsme ukázali, že $|x|' = \sgn x$. Nyní zkusme vypočítat $|x|'{}'{}'$:
$$|x|'{}'{}' = (|x|')'{}' = (\sgn x)'{}' = (\sgn'x)' = (0 + 2\delta(x-0))' = 2\delta'(x) $$
V tomto příkladu jsme větu použili ve druhé a čtvrté rovnosti. V poslední ji použít nemůžeme, neboť nejsou splněny předpoklady věty.
\begin{theorem}
Nechť $f$ je po částech spojitá funkce na $\R$ taková, že $f \in L^1(\R)$ a nechť $\displaystyle \int_{\R} f(x) \dd x $ (toto je pouze normalizační, technická podmínka). Pak pro
$f_a(x) = af(ax)$ platí:
$$ f_a(x) \to \delta(x) \mbox{ v } \D' \mbox{ pro } a\to +\infty $$
\begin{remark}
Definice $f_a(x)$ dává smysl. Buď například $a=n$ a položme $$f(y)= \psi_{\left[-1,1\right]}(y):= \left\{\begin{array}{ll} 1, &\mbox{pro } y \in \left[-1,1\right], \\[.2em] 0, &\mbox{pro } y\notin \left[-1,1\right]. \end{array}\right,$$ tzv. charakteristická funkce intervalu $\left[-1,1\right]$. Pak vidíme, že aby $y=ax = nx \in \left[-1,1\right]$, tak musí $x\in \left[-1/n,1/n \right]$. Pak support
n-té takové funkce je $\left[-1/n,1/n \right]$ a hodnota této funkce na supportu je $n$. V limitě $n\to +\infty$ se nosič mění na jednobodovou množinu a hodnota jde skutečně do nekonečna a integrál přes tuto funkci je pro libovolné $n$ roven 1.
\end{remark}
\begin{proof}
Chceme ukázat, že $\displaystyle \lim_{a\to + \infty} f_a(x) = \delta(x)$ v $\D'$.
$$\left(\displaystyle \lim_{a \to + \infty} f_a(x), \phi(x)\right) \stackrel{\mbox{\scriptsize def. limity}}{=} \displaystyle \lim_{a\to + \infty}\left(f_a(x), \phi(x)\right) =
\displaystyle \lim_{a\to + \infty} \displaystyle \int_{\R} a f(ax) \phi(x) \dd x = (\ast)$$
Zde bychom chtěli provést záměnu limity a integrálu. Narážíme ale na problém, že nejsme schopni nalézt majorantu. Proto je třeba upravovat dále:
$$(\ast) = \left\{ \begin{array}{c}
\mbox{\scriptsize transformace} \\
ax =y \\
a\dd x = \dd y \\
\end{array} \right\} = \displaystyle \lim_{a\to + \infty}\displaystyle \int_{\R} f(y) \phi \left(\frac{y}{a}\right)\dd y $$
Zde již jsme schopni zaměňovat, protože $f\in L^1$ dle předpokladu a $\phi$ je omezená konstantou $K$ díky hladkosti a omezenému supportu. Pak již můžeme psát
$$\displaystyle \int_{\R} f(y) \limits \lim_{a \tp + \infty} \phi \left(\frac{y}{a}\right) \dd y = \phi(0) \underbrace{\displaystyle \int_{\R}f(y)\dd y}_{=1} = \left(\delta,\phi \right).$$
\begin{theorem}[II. o derivaci]
\label{ii_o_derivaci}
Buď $f \in \D'(\R)$. Pak platí
$$ f'(x) = \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{f\left(x+\frac{1}{n}\right) - f(x)}{\frac{1}{n}}$$
\begin{proof}
Opět dokazuje rovnost v $\D'$, tedy
$$\left( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{f\left(x+\frac{1}{n}\right) - f(x)}{\frac{1}{n}}, \phi(x)\right) =
\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left(\frac{f\left(x+\frac{1}{n}\right) - f(x)}{\frac{1}{n}} ,\phi(x) \right) =$$
$$ =\displaystyle \lim_{n \to +\infty}\left[ \left( nf\left(x+\frac{1}{n}\right),\phi(x)\right) -\left(n f(x),\phi(x)\right) \right] \stackrel{\A = \mathbb{I}, \bb = \frac{1}{n}}{=}
\displaystyle \lim_{n \to +\infty} n\left[\left(f(x),\phi \left(x-\frac{1}{n}\right) \right) - \left(f(x),\phi(x)\right) \right] =$$
$$ = \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left(f(x), \frac{\phi\left(x-\frac{1}{n}\right)-\phi(x)}{\frac{1}{n}}\right)$$
V tuto chvíli bychom chtěli \uv{vtáhnout} limitu do závorek. Ze spojitosti funkce $f$ víme, že zachovává konvergenci. Proto stačí ověřit, že
$\psi_n(x):=\frac{\phi\left(x-\frac{1}{n}\right)-\phi(x)}{\frac{1}{n}} \stackrel{\D}{\longrightarrow} $.
Jako kandidáta na limitní funkci zvolme intuitivně $-\phi'(x)$. Pak musí být splněno:
\begin{enumerate}
\item $\nf \psi_n$ jsou stejně omezené. Toto plyne z faktu, že $\nf \phi \subset B(0,R)$ a díky předpisu $\phi\left(x-\frac{1}{n}\right)$ rovněž
víme, že se support $\phi$ se změní nejvýše o jedna. Pak tedy $\nf \psi_n \subset B(0, R+1)$ pro všechna $n \in \mathbb{N}$.
\item Nyní musíme dokázat stejnoměrnou konvergenci derivací. Začněme s $\alpha = 0$. Pak je třeba ukázat, že $\psi_n \sk{\R} - \phi'(x)$.
K tomuto nejlépe využijeme supremové kritérium, které říká, že $\psi_n \sk{\R} - \phi'(x) \Leftrightarrow \sigma_n:=\mathrm{sup}_{\R}|\psi_n(x) + \phi'(x)| \stackrel{n \to +\infty}{\longrightarrow}0$. Supremum odhadneme pomocí Taylorova rozvoje členu $\phi\left(x-\frac{1}{n} \right)$ do řádu 2. derivace:
$$\mathrm{sup}_{\R} \left| \frac{\phi\left(x-\frac{1}{n}\right)-\phi(x)}{\frac{1}{n}} + \phi'(x)\right| = \mathrm{sup}_{\R} \left|\phi'{}'(\xi) \frac{1}{n^2} \right| \to 0$$.
Závěrečný přechod je množné psát, neboť je funkce $\phi$ hladká a je tedy na svém supportu omezená.
Tímto jsme ukázali konvergenci pro $\alpha =0$. Pro $\alpha = n $ použijeme zcela stejnou metodu a odhad jen $n$krát zderivujeme.
\end{proof}
\end{theorem}
Zabývejme se ještě na závěr této podkapitoly násobením v $\D'$. Předpokládejme, že $f,\tilde{g} \in \D'$ a $\tilde{g}\in \D'_{reg}$. Pokud bychom tyhle dvě zobecněné funkce chtěli pronásobit, tak podle naší předešlé definice dostáváme: $(f\cdot \tilde{g},\phi):= (f,g\phi)$. Aby ale argument $g\phi$ byl testovací funkcí, musí být nutně $g\in \Ci$. Odtud vyplvá, že nejsme schopni v $\D'$ pronásobit
např. dvě spojité funkce. Rovněž nejde tímto způsobem zavést $\delta ^2$. Existují sice současné výzkumy jdoucí tímto směrem, ale dalece přesahují rámec tohoto předmětu.
\section{Nosič zobecněné funkce a další poznatky o $\D'$}
\subsection{Nosič zobecněné funkce}
\begin{define}
Buď $f\in \D'(\R^n)$, $G=G^o \subset \R^n$. Řekneme, že {\bf $f$ je nulová na $G$ }, píšeme $f=0$ na $G$, právě když
$(f,\phi) = 0$ pro všechny $\phi \in \D(G)$.
\end{define}
\begin{remark}
Lze ukázat, že pro každou zobecněnou funkci $f$ existuje největší otevřená množina $G$ s touto vlastností. Tuhle množinu nazvěme $\mathcal{N}(f)$. Důkaz tohoto tvrzení najde čtenář ve [Štovíček].
\end{remark}
\begin{define}
Množinu $\nf f := \R^n \backslash \mathcal{N}(f)$ nazveme {\bf nosičem zobecněné funkce $f$}.
\end{define}
\begin{remark}
Je zřejmé, že $\nf f$ je uzavřená množina. Rovněž je třeba zdůraznit, že pro zobecněnou funkci $f$ neplatí, že $\nf f \subset \mathrm{Dom}(f)$, neboť definičním oborem zobecněné funkce jsou testovací funkce
a nosičem je číselná množina.
\end{remark}
\begin{theorem}
Buď $\tilde{f} \in \D'_{reg}$. Pak $\nf \tilde{f} = \nf f$.
\begin{proof}
Důkaz je přenechán jako domácí cvičení.
\end{proof}
\end{theorem}
Ilustrujme nyní pojem nosič zobecněné funkce na konkrétním příkladě. Určeme $\nf \delta_{x_0}$. Před\-po\-klá\-dej\-me, že máme testovací funkci, jejíž support neobsahuje bod $x_0$. Pak v tomto bodě je funkce nulová.
Proto $(\delta_{x_0},\phi) = \phi(x_0) = 0$ pro libovolné $\phi$ splňující tuto vlastnost. Je zřejmé, že zobecněná funkce je tedy nenulová pouze pro ty testovací funkce, které ve svém supportu obsahují bod $x_0$
a tedy platí, že $\nf \delta_{x_0} = \{x_0\}$.
\begin{theorem}[o řešení rovnice $x^m f = 0$ v $\D'(\R)$]
\label{o_reseni_rce}
Buď $m \in \mathbb{N}$. Pak rovnice $x^m f = 0$ v $\D'(\R)$ má řešení tvaru právě $f= \displaystyle \sum_{k=0}^{m-1} c_k \delta^{\left(k\right)}$, kde $c_j \in \mathbb{C}$.
\begin{proof}
Důkaz nebude proveden v plné obecnosti. Dokazuje se matematickou indukcí, zájemci jej naleznou ve [Šťovíček]. Zde bude naznačen pouze první indukční krok.
Buď tedy m=1. Dokzazujeme tedy, že $xf=0 \Leftrightarrow f = c\delta$ v $\D'$.
\begin{enumerate}
\item[$\Leftarrow$] Nechť tedy $f=c\delta$. Jelikož víme, že $a(x)\delta(x) = a(0)\delta(x)$ \footnote{(a(x)\delta(x),\phi(x) )= (\delta(x),a(x)\phi(x))=a(0)\phi(0) = a(0)(\delta(x)\phi(x))},
tak aplikací toho vztahu na náš předpoklad dostáváme $cx\cdot\delta = 0\cdot \delta $ v $\D'$.
\item[$\Rightarrow$] Předpokládejme, že $\forall \phi \in \D$ platí, že $(xf,\phi) = (f,x\phi) = 0$. Nyní uvažujme dvě možnosti:
\begin{enumerate}
\item Buď nejprve $\phi \in \D$ takové, že $\phi(0) = 0$. Pak můžeme $\phi(x)$ rozepsat následujícím způsobem:
$$\phi(x)= \phi(0) + \displaystyle \int_0^x \phi'(t)\dd t = \phi(0) + x \underbrace{\displaystyle \int_0^1 \phi'(x\tau)\dd \tau}_{\psi(x)\in \Ci} \stackrel{\phi(0)=0}{=} x \psi(x)$$
Pak máme rovnost $\phi = x\psi$ a tedy $\psi \in \D$, což plyne právě z poslední podmínky $\phi(0) =0$.\footnote{Jinak bychom nedostali omezený nosič.} Proto odtud plyne, že
$(f,\phi) = (f,x\psi) = 0$.
\item Buď nyní $\eta,\phi \in \D$ a nechť $\eta(0)=1$ (tuhle podmínku lze pro testovací funkci nenulovou v bodě 0 vždy splnit přeškálováním).
Pak funkce $\phi - \phi(0)\eta$ splňuje podmínky z předešlé části a lze psát:
$$ (f,\phi - \phi(0)\eta) \stackrel{\mbox{\scriptsize 1. část}}{=} 0 \stackrel{\mbox{\scriptsize linearita $f$}}{=} (f,\phi) - \phi(0)(f,\eta)$$
Odtud již ale plyne požadované tvrzení, neboť $(f,\phi) = \underbrace{\phi(0)}_{(\delta,\phi)}\underbrace{(f,\eta)}_{\mbox{\scriptsize číslo}}$, tedy $f= c\delta$, kde $c=(f,\eta)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
\subsection{Uzavřenost $\D'$}
Připomeňme definici limity (konvergence) v $\D'$: Buď $\{f_n\}_{n\in \mathbb{N}} \subset \D'$ posloupnost zobecněných funkcí a buď $f \in \D'$. Pak řekneme, že
limita posloupnosti funkcí $f_n$ je rovna $f$, ozn. $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} f_n = f$, právě tehdy, když
$\displaystyle \lim_{n\to +\infty}(f_n,\phi) = (f,\phi)$ pro libovolnou $\phi \in \D$.
\begin{remark}
Následující poznámky slouží ke shrnutí a vyjasnění pojmu uzavřenost v $\D'$:
\begin{enumerate}
\item Jedná se o tzv. slabou konvergenci, která zajišťuje ve výsledku platnost uzavřenosti $\D'$. (více ve FA)
\item Zkoumáme, jestli platí, že $\widetilde{\displaystyle \lim_{n \to +\infty}f_n}=\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \tilde{f_n}$. Tedy
$$\displaystyle \lim_{n\to + \infty } \displaystyle \int_{\R^n}f_n(x)\phi(x)\dd x = \displaystyle \lim_{n\to + \infty } (\tilde{f_n},\phi) = \left(\displaystyle \lim_{n\to + \infty }\tilde{f_n}\phi \right) \stackrel{?}{=} $$
$$\stackrel{?}{=} \left( \widetilde{\displaystyle \lim_{n\to + \infty } f_n},\phi\right) = \displaystyle \int_{\R^n} \displaystyle \lim_{n\to + \infty }f_n(x)\phi(x)\dd x$$
Aby tahle záměna proveditelná, musí mít výraz $|f_n(x)\phi(x)|$ integrabilní majorantu. $\phi(x)$ je spojitá na kompaktu, tedy je omezitelná konstantou $K$ a tedy je potřeba nalézt $g \in L^1_{loc}$ takovu,
aby $|f_n(x)| \leq g(x)$ pro všechna $n\in \mathbb{N}$.
\item {\bf Uzavřenost v $\D'$}
Předpoklad $f\in \D'$ lze v definici konvergence vynechat. Přesněji lze formulovat toto tvrzení následovně:
\begin{theorem}
Buď $\{f_n\}_{n\in \mathbb{N}} \subset \D'(G)$ a nechť $\forall \phi \in \D$ existuje $\displaystyle \lim_{n \to +\infty}(f_n\phi) \in \mathbb{C}$. Pak
$$(f,\phi):= \displaystyle \lim_{n \to +\infty} (f_n,\phi) \ \forall \phi \in \D $$
definuje zobecněnou funkci $f\in \D'(G)$.
\end{theorem}
Je jasné, že se jedná o zobecněnou funkci. Podmínky jsou snadno ověřitelné a plynou přímo z definice $f$.
\end{enumerate}
\end{remark}
Na cvičeních se ukáže využití této vlastnosti pro tzv. {\it Sochockého distribuce}, což jsou možné regularizace funkce $\frac{1}{x}$, které jsou definovány takto:
$$\left( \frac{1}{x \pm \mathrm{i}0},\phi(x) \right):= \displaystyle \lim_{\epsilon \to 0^+}\left( \frac{1}{x \pm \mathrm{i}\epsilon},\phi(x) \right) \ \forall \phi \in \D $$
\begin{theorem}[Sochockého vzorce]
$$\left( \frac{1}{x \pm \mathrm{i}0},\phi(x) \right) = P\frac{1}{x} \mp \mathrm{i}\pi \delta(x) \mbox{ v } \D'.$$
\begin{proof}
Bude dokázáno na cvičeních.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
$x\frac{1}{x \pm \mathrm{i}0} = xP\frac{1}{x} = 1$
\end{remark}
\section{Tensorový součin a konvoluce}
\subsection{Zavední tensorového součinu}
V předešlé části jsme se zabývali problémem nemožnosti násobit dvě zobecněné funkce. Tento problém se nyní pokusíme vyřešit zavedením nového typu násobení, které se ale bude týkat
{\it nezávislých} proměnných. Budeme-li mít dvě klasické funkce, každá bude funkcí jiné nezávislé proměnné, např. $f(x), g(y)$, pak jejich součin $f(x)\cdot g(y)$ budeme nazývat
jako {\it tensorový součin} a budeme jej značit $f(x)\ts g(y)$. Pokud se nám tento koncept podaří zavést na prostoru $\D'$, budeme schopni vytvořit například $\delta^2:= \delta(x) \ts \delta(y)$.
Proto budeme požadovat, aby
$$\widetilde{f(x)} \ts \widetilde{g(y)} = \widetilde{f(x)\ts g(y)} = \widetilde{f(x)g(y)}. $$
Proto zkoumejme
$$\left( \widetilde{f(x)} \ts \widetilde{g(y)},\phi(x,y) \right) = \left(\widetilde{f(x)g(y)},\phi(x,y) \right) = \displaystyle \int_{\R^{n+m}}f(x)g(y)\phi(x,y) \dd x \dd y =
\left|
\begin{array}{c}
Fubini \\
f,g \in L^1_{loc} \\
\end{array}
\right| =$$
$$ = \left\{
\begin{array}{c}
\displaystyle \int_{\R^n} f(x) \left( \displaystyle \int_{\R^m} g(y)\phi(x,y)\dd y\right)\dd x = \left(\widetilde{f(x)},\left(\widetilde{g(y)},\phi(x,y) \right)\right). \\
\displaystyle \int_{\R^m} g(y) \left( \displaystyle \int_{\R^n} f(x)\phi(x,y)\dd x\right)\dd y = \left(\widetilde{g(y)},\left(\widetilde{f(x)},\phi(x,y)\right)\right). \\
\end{array} \right $$
Přitom jsme tiše předpokládali, že $f\in \D'_{reg}(\R^n)$, $g\in \D'_{reg}(\R^m)$ a $\phi \in \D(\R^{n+m})$.
Na základě této úvahy tedy definujme tensorový součin na prostoru zobecněných funkcí.
\begin{define}
Buď $f\in \D'(\R^n)$, $g\in \D'(\R^m)$ a $\phi \in \D(\R^{n+m})$. Pak {\bf tensorovým součinem zobecněných funkcí $f\ts g$} rozumíme:
$$\left(f(x)\ts g(y), \phi(x,y) \right) := \left( f(x), \left(g(y),\phi(x,y)\right) \right).$$
\end{define}
Jelikož se jedná o operaci, která je značně netriviální, budeme si pro účely tohoto předmětu definici tensorového součinu zjednodušovat, jak jen to bude možné. \footnote{Áčkaři prominou a nahlédnou do [Šťovíček]} Bylo by vhodné ověřit, že naše definice je korektní. Proto je třeba se zabývat otázkou, jestli je $(g(y),\phi(x,y) )\in \D(\R^n)$ a jestli je zobrazení
$\ts: \D'(\R^n) \times \D'(\R^m) \longrightarrow \D'(\R^{n+m})$ lineární a spojité, aby obejkt, který vznikne byl rovněž zobecněnou funkcí. Dokázat linearitu je vcelku triviální a zřejmé na první pohled. Dokázat spojitost tensorového součinu je ale značně složité a zájemci o tento důkaz jej najdou ve [Šťovíček]. My si zjednodušíme práci a dokážeme spojitost tensorového součinu
pro speciální prostor testovacích funkcí, který označíme $\D_{sep}(\R^{n+m})$. Tento prostor bude lineární vektorový prostor s prvky $\phi_x(x)\phi_y(y)$, kde $\phi_x(x)\in \D(\R^n)$ a $\phi_y(y)\in \D(\R^m)$.
Odteď tedy předpokládejme, že $\phi(x,y) = \phi_x(x) \phi_y(y)$. Z tohoto předpokladu ale plyne, že $\nf \phi(x,y)$ je vždy obdélník.
Ověřme nyní, že $(g(y),\phi(x,y) )\in \D(\R^n)$:
$$ (g(y),\phi(x,y) ) = (g(y),\phi_x(x)\phi_y(y)) = \phi_x(x) \underbrace{(g(y),\phi_y(y))}_{\in \mathbb{C}} $$
Tímto je toto ověřeno.
\noindent Ověřme ještě, jak se chová $\frac{\partial}{\partial x_k} (g(y),\phi(x,y) )$:
$$\frac{\partial}{\partial x_k} (g(y),\phi(x,y) ) = \left (\frac{\partial \phi_x(x)}{\partial x_k}\right) (g(y),\phi_y(y)) = \left( g(y), \phi_y(y)\frac{\partial \phi_x(x)}{\partial x_k} \right)
= \left(g(y),\frac{\partial }{\partial x_k}\phi(x,y) \right) $$
Toto tvrzení je pravda pro zcela obecnou funkci $\phi \in \D$, nikoliv jen pro $\phi \in \D_{sep}$. Zájemci najdou důkaz ve [Šťovíček].
Ověřením linearity se zabývat nebudeme, to si každý může provést jako domácí cvičení, ale ověříme spojitost. Předpokládejme tedy, že máme $\phi_n(x,y) \stackrel{\D}{\longrightarrow}0 \Leftrightarrow
\phi_x^n(x)\phi_y^n(y) \stackrel{\D(\R^{n+m})}{\longrightarrow}0 $. Zkoumejme limitu
$$ \displaystyle \lim_{n\to + \infty} \left( f(x) \ts g(y),\phi_n(x,y) \right) = \displaystyle \lim_{n\to + \infty} \left( f(x), \left( g(y), \underbrace{\phi_x^n(x)}_{\in \mathbb{C}}\phi_y^n(y) \right) \right) =\displaystyle \lim_{n\to + \infty} \left( f(x),\phi_x^n(x) \underbrace{\left( g(y),\phi_y^n(y)\right)}_{\in \mathbb{C}}\right) =$$
$$=\displaystyle \lim_{n\to + \infty} \left( g(y),\phi_y^n(y)\right) \left( f(x),\phi_x^n(x)\right) =
\displaystyle \lim_{n\to + \infty} \left( g(y),\phi_y^n(y)\right) \displaystyle \lim_{n\to + \infty} \left( f(x),\phi_x^n(x)\right) = (\ast)$$
V tuto chvíli potřebujeme vědět, jestli $\phi_x \stackrel{\D(\R^n)}{\longrightarrow} 0$ a $\phi_y \stackrel{\D(\R^m)}{\longrightarrow} 0$. Tohle ale vyplývá z konvergence
$\phi^n_x(x)\phi^n_y(y) \stackrel{\D(\R^{n+m})}{\longrightarrow}0$. Proto pak můžeme psát
$$(\ast) = \left(g(y),\underbrace{\displaystyle \lim_{n\to + \infty}\phi^n_y(y)}_{=0} \right) \left(f(x),\underbrace{\displaystyle \lim_{n\to + \infty}\phi^n_x(x)}_{=0} \right).$$
\begin{remark}
Prostor $\D_{sep}(\R^{n+m})$ je hustý v $\D(\R^{n+m})$ vzhledem ke konvergenci v $\D(\R^{n+m})$. Toto nás (de facto) má opravňovat k tomu, že vše dokazujeme jen pro prostor separovatelných testovacích funkcí. Ovšem bylo by opět třeba toto (netriviální) tvrzení dokázat.
\end{remark}
\subsection{Vlastnosti tensorového součinu v $\D'$}
V následujícím odstavci se budeme snažit ukázat některé důležité vlastnosti tensorového součinu v $\D'$. Budeme vždy využívat v maximální možné míře všech zjednodušení, která jsme již na naši definici uvalili.
\vspace{0,5cm}
\noindent{\bf Komutativita}
Uvažujme $f,g\in \D'(\R^n)$
$$\left(f(x)\ts g(y) ,\phi(x,y)\right) = \left( f(x), \left( g(y), \underbrace{\phi_x(x)}_{\in \mathbb{C}}\phi_y(y) \right) \right)= \underbrace{\left(f(x),\phi_x(x)}_{\in \mathbb{C}} \right) \left(g(y),\phi_y(y)\right) = $$
$$ = \left( g(y), \left(f(x),\phi_x(x)\right) \phi_y(y) \right) = \left(g(y),\left(f(x), \phi_x(x)\phi_y(y) \right)\right) = g(y)\ts f(x) $$
Toto tvrzení lze opět rozšířit i pro libovolnou (tedy ne nutně separovatelnou) testovací funkci.
\vspace{0,5cm}
\noindent{\bf Linearita v obou argumentech}
Z komutativity nám stačí ověřit linearitu pouze v jednom argumentu. Předpokládejme, že $\ts: \D'(\R^n) \times \D'(\R^m) \longrightarrow \D'(\R^{n+m})$
a nechť $f,g\in \D'(\R^n)$, $h\in \D'(\R^m)$ a $\alpha \in \mathbb{C}$. Zajímá nás
$$ \left( (f+\alpha g)(x) \ts h(y) , \phi(x,y) \right) = \left( (f+\alpha g)(x) , (h(y),\phi(x,y) ) \right) = $$
$$ = \left( f(x) , (h(y),\phi(x,y) ) \right) + \alpha \left( g(x) , (h(y),\phi(x,y) ) \right) = \left( f(x) \ts h(y) , \phi(x,y) \right) + \alpha \left(g(x)\ts h(y) , \phi(x,y) \right) =$$
$$ = \left(f(x) \ts h(y) + \alpha g(x)\ts h(y) , \phi(x,y) \right)$$
Tahle úprava je platná $\forall \phi \in \D(\R^{n+m})$. Tímto jsme tedy dokázali linearitu tensorového součinu v obou argumentech, tj. bilinearitu.
\vspace{0,5cm}
\noindent{\bf Asociativita}
Buď $f\in\D'(\R^n)$, $g\in \D'(\R^m)$ a $h\in \D'(\R^r)$. Platí, že $(f(x)\ts g(y))\ts h(z) = f(x) \ts (g(y)\ts h(z) ) $ v $\D'$?
Upravíme obě strany výrazu a provnáme je:
$$ LS = ((f(x)\ts g(y)) \ts h(z),\phi(x,y,z)) = (f(x)\ts g(y), (h(z),\phi(x,y,z) )) = (f(x),(g(y) (h(z),\phi(x,y,z))))$$
$$ PS = (f(x)\ts (g(y) \ts h(z)),\phi(x,y,z)) = (f(x),(g(y)\ts h(z) , \phi(x,y,z))) = (f(x),(g(y) (h(z),\phi(x,y,z))))$$
Vidíme, že levá i pravá strana se rovnají $\forall \phi \in \D(\R^{n+m+r})$, tedy jsme dokázali, že tensorový součin je jako operace asociativní.
\vspace{0,5cm}
\noindent{\bf Spojitost v obou argumentech}
Buď $\{f_k\}_{n\in \mathbb{N}} \subset \D'(\R^n)$, $f\in \D'(\R^n)$ a nechť $f_k \to f$ v $\D'$. Buď navíc $g\in \D'(\R^m)$. Platí pak, že
$f_k(x)\ts g(y) \to f(x)\ts g(y)$ v $\D'$? Resp. $\displaystyle \lim_{k\to + \infty} (f_k(x)\ts g(y) ) = (f(x) \ts g(y))$ v $\D'$?
$$ \left((\displaystyle \lim_{k\to + \infty} f_k(x)\ts g(y) ,\phi(x,y)\right) = \displaystyle \lim_{k\to +\infty} (f_k(x)\ts g(y),\phi(x,y) )= $$
$$=\displaystyle \lim_{k\to +\infty} (f_k(x),(g(y),\phi(x,y))) = \left(\displaystyle \lim_{k\to +\infty} f_k(x), (g(y),\phi(x,y)) \right) =$$
$$ = (f(x),(g(y),\phi(x,y))) = (f(x)\ts g(y), \phi(x,y)).$$
Díky komutativitě nám stačí ukázat spojitost v jednom z argumentů.
\vspace{0,5cm}
\noindent{\bf Záměna derivace a tensorového součinu}
Platí $D^{\alpha}_x (f(x)\ts g(y)) = (D^{\alpha}_x f(x)) \ts g(y) $ v $\D'$?
$$ (D^{\alpha}_x (f(x)\ts g(y) ),\phi(x,y)) = (-1)^{|\alpha|} ( f(x)\ts g(y) , D^{\alpha}_x \phi(x,y)) = $$
$$ = (-1)^{|\alpha|} (f(x), (g(y), D^{\alpha}_x \phi(x,y))) = (-1)^{|\alpha|} (f(x), (D^{\alpha}_x(g(y),\phi(x,y)))) =$$
$$ = (D^{\alpha}_x f(x), (g(y),\phi (x,y))) = (D^{\alpha}_x f(x) \ts g(y), \phi(x,y)).$$
Při dokazování jsme ve druhém řádku použili vztah pro $k$-tou derivaci výrazu $(g(y),\phi(x,y))$ odvozený dříve.
\vspace{0,5cm}
\noindent{\bf Násobení hladkou funkcí}
Buď $f\in\D'(\R^n)$, $g\in \D'(\R^m)$ a nechť $a\in \Ci$. Platí pak, že $a(x) (f(x) \ts g(y)) = (a(x)f(x))\ts g(y)$?
$$(a(x) (f(x) \ts g(y)),\phi(x,y) ) = (f(x)\ts g(y) , a(x)\phi(x,y)) = (f(x),(g(y),a(x)\phi(x,y))) =$$
$$ = (f(x),a(x) (g(y),\phi(x,y))) = (a(x)f(x), (g(y),\phi(x,y))) = ((a(x)f(x))\ts g(y), \phi(x,y)).$$
\vspace{0,5 cm}
\noindent{\bf Posun argumentu}
Buď $f\in\D'(\R^n)$, $g\in \D'(\R^m)$ a nechť $b\in \R^n$. Pak platí, že $(f\ts g)(x+b,y) = f(x+b) \ts g(y)$?
$$((f\ts g)(x+b,y),\phi(x,y)) = ((f\ts g)(z,y),\phi(z-b,y)) = (f(z), (g(y),\phi(z-b,y))) = $$
$$=(f(z), (g,\phi)(z-b,y)) = (f(x+b),(g(y),\phi(x,y))) = (f(x+b)\ts g(y),\phi(x,y))$$
\begin{define}
Řekmene, že $f(x,y) \in \D'(\R^{n+m})$ {\bf nezávisí na $y$}, právě když existuje $h\in \D'(\R^n)$ taková, že $f(x,y) = h(x)\ts 1$.
\end{define}
\subsection{Zavedení konvoluce}
V téhle kapitolce se podíváme na pojem konvoluce, který již byl jednou v těchto skriptech \uv{definován}. Začneme s konvolucí klasických funkcí a postupně přejdeme ke konvoluci
funkcí zobecněných. Náš přístup bude zcela odlišný od přístupů, které se objevují ve [Šťovíček] nebo [Burdík, Navrátil]. U klasických funkcí se omezíme na případ testovacích funkcí,
ale bude vidět, kde je tento předpoklad zbytečný.
\begin{define}
Buďte $\phi,\psi \in \D(\R^n)$. Pak {\bf konvolucí funkcí $(\phi \ast \psi)(x)$} rozumíme
$$(\phi \ast \psi)(x):= \displaystyle \int_{\R^n} \phi(y)\psi(x-y) \dd y. $$
\end{define}
Zamysleme se nyní nad (intuitivním) významem konvoluce. Můžeme na ni nahlížet třeba jako na vážený průměr funkce $\psi$ přes veškeré možné posuny vážený funkcí $\phi$.
Pro všechny příznivce pravděpodobnosti je možné interpretovat konvoluci jako rozdělení pravděpodobností součtu dvou nezávislých jevů.
\begin{remark}
Konvoluce je dobře definovanou operací nad prostorem $L^1\times L^1$. Proto je předpoklad $\phi,\psi \in \D$ zbytečný.
\begin{proof}
Musíme ukázat, že pro $f,g \in L^1$ platí $\left| \displaystyle \int_{\R^n} (f\ast g)(x) \dd x \right| < +\infty$.
$$ \left| \displaystyle \int_{\R^n} \dd x \displaystyle \int_{\R^m} \dd y f(y)g(x-y) \right| \leq \displaystyle \int_{\R^n} \dd x \displaystyle \int_{\R^m} \dd y |f(y)||g(x-y)| \stackrel{\mbox{\scriptsize Fubini}}{=} $$
$$ = \displaystyle \int_{\R^m} \dd y \displaystyle \int_{\R^n} \dd x |f(y)||g(x-y)| = \underbrace{ \displaystyle \int_{\R^m} \dd y |f(y)|}_{ = \Vert f \Vert _1 < +\infty} \underbrace{ \displaystyle \int_{\R^n} \dd x |g(x-y)|}_{ = \Vert g \Vert _1 < +\infty} < + \infty $$
\end{proof}
\end{remark}
\subsubsection{Vlastnosti konvoluce v $\D$}
V následující sekci ukážeme, jaké vlastnosti má konvoluce dvou testovacích funkcí.
\vspace{0,5cm}
\noindent{\it Komutativita}
Ze substituce okamžitě plyne vztah $\phi \ast \psi = \psi \ast \phi$.
\vspace{0,5cm}
\noindent{\it Asociativita}
Chceme ukázat, že $(\phi \ast \psi)\ast \eta = \phi \ast (\psi \ast \eta)$
Nejprve si upravím obě strany výrazů pomocí komutativity:
$$LS =(\phi \ast \psi)\ast \eta = (\psi \ast \phi) \ast \eta = \eta \ast (\psi \ast \psi)$$
$$PS= \phi \ast (\psi \ast \eta) = (\psi \ast \eta) \ast \phi$$
Pak již upravujeme dle definice
$$ \eta \ast (\psi \ast \psi) = \displaystyle \int_{\R^n} \eta(y) (\psi\ast \phi) (x-y) \dd y = \displaystyle \int_{\R^n} \dd y \displaystyle \int_{\R^n} \psi(x-y-z)\phi(z) \eta(y) \stackrel{\mbox{\scriptsize Fubini}}{=}$$
$$ = \displaystyle \int_{\R^n}\dd z \phi(z) \underbrace{\displaystyle \int_{\R^n} \dd y \psi(x-y-z)\eta(y)}_{=(\psi \ast \eta)(x-z)} = (\psi \ast \eta) \ast \phi $$
\vspace{0,5cm}
\noindent{\it Chování $\ast$ vůči posunu v argumentu }
Chceme ukázat, že $(\phi \ast \psi)(x-a) = \phi(x-a) \ast \psi = \phi\ast \psi(x-a)$. Druhá rovnost je zřejmá z komutativity konvoluce, první si rozepíšeme:
$$ (\phi \ast \psi)(x-a) = \displaystyle \int_{\R^n} \phi((x-a)-y) \psi(y) \dd y$$
$$ \underbrace{\phi(x-a)}_{ \mbox{ozn: }\phi_a(x)} \ast \psi(x) = \displaystyle \int_{\R^n} \phi_a(x-y) \psi(y) \dd y = \displaystyle \int_{\R^n} \phi((x-a)-y) \psi(y) \dd y$$
\vspace{0,5cm}
\noindent{\it Chování $\ast$ vůči derivaci}
Chtěli bychom ukázat následující: $D^{\alpha} (\phi \ast \psi)(x) = (D^{\alpha}\phi(x)) \ast \psi(x) = \phi(x) \ast (D^{\alpha}\psi(x))$.
Pokud bychom to dokázali, zjistíme, že konvoluce má \uv{vyhlazovací}\footnote{Hanko, promiň!} schopnost, neboť bereme-li funkci $\phi \in \Ci$ testovací a funkci $\phi$ libovolnou integrovatelnou, dostaneme konvolucí těchto dvou funkcí funkci která je hladká. Důkaz nebudeme provádět přes libovolnou dimenzi $n$, ale spokojíme se s $n=1$.
$$ (\phi \ast \psi)' (x) = \left( \displaystyle\int_\R \dd y \phi(x-y)\psi(y) \right)' = \left\{
\begin{array}{c}
\mbox{\scriptsize Předpoklady věty o záměně:}\\
\mbox{\scriptsize existuje integrabilní majoranta nezávislá na x} \\
\left| \frac{\partial }{\partial x} \phi(x-y)\psi(y) \right | \leq K | \psi(y)| \\
\end{array} \right\} =$$
$$ = \displaystyle \int _\R \left \frac{\dd}{\dd z } \phi(z)\right| _{z = x-y} \psi(y) = \phi'(x) \ast \psi(x) = (\phi' \ast \psi)(x).$$
\begin{remark}
Stojí za povšimnutí, že komutativitu a asociativitu jsme ověřili i pro $L^1$ prostory. Čtenáři je necháno na rozmyšlení, jestli je toto možné provést i u zbývajících vlastností a proč tomu tak je.
\end{remark}
Věnujme se ještě chvíli \uv{vyhlazovací} schopnosti konvoluce. Následující tvrzení nám ukáže, jak velké předpoklady navíc klademe, když používáme testovací funkce.
\begin{theorem}
Buď $f \in \mathcal{C}^1(\R)$ taková, že $\nf f \subset B_R (0)$. Buď dále $g \in L^1 (\R)$. Pak $f\ast g \in \mathcal{C}^1(\R)$.
\begin{proof}
Důkaz je stejný jako v předešlém případě - stačí nalézt integrabilní majorantu výrazu $\frac{\partial}{\partial x} f(x-y)g(y) $ nezávislou na $x$.
$$ \left\vert\frac{\partial}{\partial x} f(x-y)g(y) \right \vert \leq K \vert g(y) \vert \in L^1 (\R).$$
\end{proof}
\end{theorem}
Následující věta bude důležitá, neboť ukáže, že konvoluce dvou testoovacích funkcí je opět testovací funkce, formálně:
\begin{theorem}
Buďte $\phi,\psi \in \D$. Pak $\phi \ast \psi \in \D$.
\begin{proof}
Abychom ukázali, že se jedná o testovací funkci, musíme ověřit hladkost a stejnoměrnou omezenost nosičů.
\begin{enumerate}
\item [\it Hladkost:] Tato vlastnost je zřejmá a plyne přímo z aplikace předešlé věty, konkrétně volbou $\phi^{(k)} = f$ a $\psi = g$ pro všechna $k \in \mathbb{N}$.
Tedy víme, že $\forall \phi,\psi \in \D $ platí, že $\phi \ast \psi \in \Ci$.
\item [\it Nosič:] Připomeňme nejprve definici konvoluce $(\phi \ast \psi)(x) = \displaystyle \int_{\R^n} \phi(x-y)\psi(y) \dd y$. Nyní budeme hledat veškerá $x$ taková, že
$(\phi \ast \psi)(x) = 0 = \displaystyle \int_{\R^n} \phi(x-y)\psi(y) \dd y $. Toto ale nastane právě tehdy, když $\phi(x-y)\psi(y) =0$ pro všechna $y$.
Z předpokladu $\phi \in \D$ vyplývá, že $\exists B_R(0) \supset \nf \phi$. Pokud nyní uvažujme $x$ pevné a $\phi(x-y)$ budeme považovat pouze za funkci od $y$, máme $\nf \phi(x-y) \subset B_R(x)$.
Jelikož i $\psi \in \D$, tak víme, že existuje $B_{R'}(0) \supset \nf \psi$. Pak ale odtud plyne, že pokud $B_R(x) \cap B_{R'}(0) = \emptyset$, pak $\phi(x-y)\psi(y) =0 $ pro všechna $y$.
Tímto je ukázáno, že máme omezený nosič, neboť první podmínku lze vždy splnit vhodnou volbou $x$.
\end{enumerate}
Proto je tedy funkce $\phi\ast \psi$ testovací funkcí.
\end{proof}
\end{theorem}
Zde se časem objeví krásný a názorný obrázek. Snad...
\begin{theorem}[Souvislost konvoluce a skalárního součinu v $\D$]
Označme $\phi^-(x):= \phi(-x)$. Pak pro $\phi ,\psi,\tau \in \D$ platí:
\begin{enumerate}
\item $\left\langle \phi,\psi \right \rangle = \displaystyle \int_{\R^n} \phi(x) \psi(x) \dd x = (\phi \ast \psi^-)(0)$,
\item $\left\langle \phi \ast \tau, \psi \right \rangle = \left \langle \phi, \tau^- \ast \psi \right\rangle$.
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item Zřejmé z definice.
\item $$\left\langle \phi \ast \tau, \psi \right \rangle \stackrel{\mbox{\scriptsize dle 1}}{=} \left((\phi \ast \tau) \ast \psi^-\right)(0)\stackrel{\mbox{\scriptsize asociativita}}{=}
\left( \phi \ast (\tau \ast \psi^-) \right) (0) =$$
$$ = \left( \phi \ast (\tau^-\ast \psi)^- \right)(0) = \left \langle \phi, \tau^- \ast \psi \right\rangle$$
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
\subsection{Konvoluce testovacích a zobecněných funkcí}
Následující odstavec bude důležitým mezikrokem při budování konvoluce zobecněných funkcí. Zde totiž zavedeme konvoluci zobecněné a testovací funkce, pomocí které pak definujeme konvoluci zobecněných funkcí.
Principiálně se jedná o totéž, jako byla definice tensorového součinu na prostoru zobecněných funkcí.
\begin{define}
Buď $f\in \D', \phi \in \D$. Pak {\bf konvolucí zobecněné funkce $f$ a testovací funkce $\phi$} rozumíme $(f\ast \phi):= (f(y),\phi(x-y))$ pro všechna $x\in \R^n$. Výsledkem je klasická funkce.
\end{define}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Naše definice je rozumná, neboť pro $\tilde{f} \in \D'_{reg}$ dostáváme totéž, co předtím:
$$ (\tilde{f} \ast \phi) (x) = (\tilde{f}(y) , \phi(x-y) ) = \displaystyle \int_{\R^n} f(y)\phi(x-y) \dd y = (f\ast \phi) (x) $$
\item Ve smyslu předešlé věty můžeme pro $f \in \D'$ a $\phi \in \D$ definovat $(f,\phi) = (f \ast \phi^-)(0)$
\end{enumerate}
\end{remark}
Následující věty jsou spíše technického rázu a jejich důkazy se na první pohled zdají pracné, ale není na nich nic složitého.
\begin{theorem}
\label{veta1}
Buď $f\in \D',\phi \in \D$. Pak $f \ast \phi \in \Ci$. Má-li navíc zobecněná funkce $f$ kompaktní nosič, pak $f\ast \phi$ má kompaktní nosič, a tudíž $f\ast \phi \in \D$.
\begin{proof}
Pro dokázání prvního tvrzení využijeme dvojice lemmat:
\begin{lemma}
\label{lemma1}
$f\ast \phi$ je spojitá funkce.
\begin{proof}
Důkaz provedeme pomocí Heineovy věty. Berme posloupnost $x_n \to x$ a označme $\phi^x_n(y) := \phi(x_n-y)$, $\phi^x (y) = \phi(x-y)$. Je vidět, že $\phi^x_n(y) \to \phi^x(y)$ bodově.
Nejprve ukážeme, že $\phi^x_n \stackrel{\D}{\longrightarrow}$, tj. že má stejnoměrně omezené nosiče a že veškeré derivace stejnoměrně konvergují:
\begin{enumerate}
\item[{\it i) nosiče}]
Víme, že $\nf \phi \subset B_R(0)$. Pak ale $\nf \phi^x \subset B_R(x)$.
Z konvergence $x_n \to x$ plyne, že existuje $n_0 \in \mathbb{N}$ takové, že $\forall n \in \mathbb{N}, n > n_0$ platí, že $|x_n-x| < 1$. Tudíž $\nf \phi^x_n \subset B_{R+1}(x)$.
Stejná omezenost nosičů už nyní plyne z faktu, že jsme nekonečně mnoho nosičů omezili koulí $B_{R+1}(x)$ a ze zbylých $n_0$ je končený počet a můžeme vzít největší kouli z nich.
\item[{\it ii) derivace}]
Ukažme nejprve případ $n=0$, tj. chceme $\phi^x_n \sk{\R} \phi^x$. Využijme supremové kritérium:
$$\mathrm{sup}_{y\in \R} \left\vert \phi^x_n(y) - \phi^x(y) \right \vert = \mathrm{sup}_{y\in \R} \left\vert\phi(x_n -y) - \phi(x-y) \right \vert \stackrel{\mbox{\scriptsize Taylor}}{\leq} \mathrm{sup}_{y\in \R}\left\vert (x_n-x) \phi'(\xi) \right \vert \leq K \vert x_n - x \vert \to 0$$
Stejný odhad lze provést pro libovolnou derivaci.
\end{enumerate}
Tímto jsme ukázali, že $\phi^x_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} \phi^x$.
Nyní již můžeme ukázat snadno spojitost:
$$ \displaystyle \lim_{n \to +\infty} (f \ast \phi)(x_n) = \displaystyle \lim_{n \to + \infty} \left(f(y), \underbrace{\phi(x_n-y)}_{\phi^x_n(y)} \right) =
\left( f(y), \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \phi^x_n(y) \right) = (f(y),\phi^x(y)) = (f\ast \phi) (x).$$
Tedy konvoluce je spojitá.
\end{proof}
\end{lemma}
\begin{lemma}
\label{lemma2}
Jestliže $f\in \D', \phi\in \D$, pak $(f\ast \phi)' = f' \ast \phi = f \ast \phi'. $
\begin{proof}
Z prvního lemmatu plyne, že $f\ast \phi \in L^1_{loc}$. Tedy se jedná o generátor regulární zobecněné funkce. Proto můžeme psát $f\ast \phi \in \D'$. Pak ale dle věty \ref{ii_o_derivaci} platí:
$$ (f\ast \phi)'(y) = \displaystyle \lim_{n \to + \infty} \frac{(f\ast \phi)\left(y+\frac{1}{n}\right) + (f\ast \phi) (y)}{\frac{1}{n}} =
\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \frac{\left(f(x),\phi\left(y+\frac{1}{n}-x\right) \right) + \left( f(x), \phi(y-x)\right) }{\frac{1}{n}} = $$
Nyní využijeme věto o regulární transformaci, tentokrát ji použijeme obráceně. Vidíme, že $\A^{-1} = -\mathbb{I}= \A$ a $\bb= y +\frac{1}{n}$. Pak můžeme pokračovat v úpravě:
$$ = \displaystyle \lim_{n \to + \infty} \frac{\left(f\left(-x+y+\frac{1}{n}\right) ,\phi(x)\right) - \left( f(-x+y),\phi(x)\right)}{\frac{1}{n}} =
\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \left( \frac{f\left(-x+y+\frac{1}{n}\right) - f(-x+y)}{\frac{1}{n}},\phi(x) \right) =$$
$$=\left( \displaystyle \lim_{n \to + \infty} \frac{f\left(-x+y+\frac{1}{n}\right) - f(-x+y)}{\frac{1}{n}},\phi(x) \right) = \left(f'(x-y),\phi(x) \right) = (f' \ast \phi)(x)$$
\end{proof}
\end{lemma}
Z těchto lemmat tedy plyne, že $f\ast \phi \in \Ci $.
\begin{lemma}
\label{lemma3}
Buď $f\in \D'$ taková, že $\nf f$ je kompakt. Pak $\nf (f\ast\phi) $ je omezená množina.
\begin{proof}
Víme, že $(f\ast \phi)(x) = (f(y),\phi(x-y))$. Jelikož je $\phi \in \D$, má $\phi(x-y)$ nosič omezený nějakou koulí $B_R(x)$. Volbou $x$ tak, že $\nf f \cap B_R(x) = \emptyset$ dostáváme, fakt, že $\nf (f\ast \phi)$ je omezený.
\end{proof}
\end{lemma}
Ze všech tří lemmat již nyní přímo plyne, že $f\ast \phi \in \D$.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}
\label{veta2}
Buď $f\in \D'$, $\phi,\psi \in \D$. Pak $(f\ast \phi)\ast \psi = f\ast (\phi \ast \psi)$.
\begin{proof}
V důkaze se (opět) omezíme pouze na $\R$. Nejprve si všimneme, že na pravé straně je výraz $(\phi \ast \psi) (x) = \displaystyle \int_{\R} \phi(x-y)\psi(y) \dd y$.
Ale v levé straně výrazu se integrál vůbec nevyskytuje. Je důležité si uvědomit, že tento integrál existuje a je konečný.
Abychom tento integrál nějak dostali na druhou stranu, využijeme riemannovské integrální součty:
$$r_n(x) = \frac{1}{n}\displaystyle \sum_{m = -\infty}^{+\infty} \phi\left(x- \frac{m}{n}\right)\psi\left(\frac{m}{n}\right)$$
O nich víme, že bodově konvergují přímo k $(\phi \ast \psi)(x)$. Zároveň jsme si mohli dovolit volit ekvidistantní rozdělení těchto bodů, neboť víme,
že integrál existuje a z vlastností testovacích funkcí $\phi$ a $\psi$ zase můžeme tvrdit, že se jedná pouze o končené sumy
(neboť testovací funkce jsou nenulové na omezené množině a proto hodnoty $m$, pro které je funkce nulová, lze ze sumy vyjmout). Nyní ukážeme, resp. zdůvodníme, že $r_n$ konverguje v $\D$.
To ukážeme tak, že nalezneme stejnoměrně omezené nosiče $r_n$ a využijeme věty o spojité funkci na kompaktním intervalu.
Fakt, že nosiče $r_n$ jsou stejně omezené plyne z faktu, že $\phi$ a $\psi $ mají stejně omezené nosiče a z faktu, že řada je konečná.
Pak totiž od jistého $n_0$ výše platí, že $\nf \phi\left(x-\frac{m}{n}\right) \subset B_{R+1}(x)$ a tudíž $\nf \phi\left(x-\frac{m}{n}\right)\psi\left(\frac{m}{n}\right) \subset B_{R+1}(x)$. Je vidět, že pro index $m$ se supporty přibližují.
Stejnoměrná konvergence je snadno dokázatelná. Vidíme, že $r_n(x)$ bodově konverguje. Přitom funkce $r_n(x)$ je spojitá na kompaktu,
tedy je stejnoměrně spojitá a tedy stejnoměrně konverguje, dokonce na celém $\R$ díky nulovosti funkcí mimo support. Ostatní derivace se ukážou zcela stejně, jen nevyužíváme stejnoměrné spojitosti funkcí
$\phi$ a $\psi$, ale jejich derivací.
Nyní už můžeme přistoupit k úpravě výrazu:
$$(f\ast (\phi \ast \psi))(x) = (f(y),(\phi\ast \psi)(x-y)) \stackrel{\mbox{\scriptsize 1. krok}}{=} \left(f(y),\displaystyle \lim_{n\to + \infty} r_n(x-y)\right) =$$
$$= \displaystyle \lim_{n\to + \infty} \left(f(y),r_n(x-y)\right) = \displaystyle \lim_{n\to + \infty} \left( f(y), \frac{1}{n}\displaystyle \sum_{m = -\infty}^{+\infty} \phi\left(x- y-\frac{m}{n}\right)\psi\left(\frac{m}{n}\right)\right) \stackrel{\mbox{\scriptsize řada je konečná}}{=} $$
$$=\displaystyle \lim_{n\to + \infty} \frac{1}{n}\displaystyle \sum_{m = -\infty}^{+\infty} \left(f(y), \phi\left(x- y-\frac{m}{n}\right)\psi\left(\frac{m}{n}\right)\right) =
\displaystyle \int_{\R} (f(y),\phi(x-y-z)\psi(z))\dd z =$$
$$=\displaystyle \int_{\R} \underbrace{(f(y),\phi(x-y-z))}_{(f\ast \phi)(x-z)} \psi(z) \dd z = ((f\ast \phi) \ast \psi)(x).$$
\end{proof}
\end{theorem}
Následující poznámka je přímým důsledkem právě vyřčené věty.
\begin{remark}
Buďte $f\in \D'$, $\phi ,\psi \in \D$. Pak $(f\ast \phi, \psi) = (f,\phi^- \ast \psi )$.
\begin{proof}
$$(\underbrace{f\ast \phi}_{\mbox{\scriptsize klas. funkce}}, \psi) = \left( (f\ast \phi)\ast \psi^-\right)(0) \stackrel{\mbox{\scriptsize Věta \ref{veta2}}}{=}\left( f\ast (\phi \ast \psi^-) \right) (0) =$$
$$ = \left( f\ast (\phi^- \ast \psi)^- \right) (0) = (f,\phi^- \ast \psi) $$
Je vhodné poznamenat, že při první úpravě se využila definice konvoluce zobecněné a testovací funkce.
\end{proof}
\end{remark}
\begin{theorem}
\label{veta3}
Nechť $f\in \D'$ taková, že $\nf f $ je kompakt. Pak pro libovolnou posloupnost $\{\phi_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ v $\D$ takovou, že $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} \phi \in \D$, platí, že
$f\ast \phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} f\ast \phi $.
\begin{proof}
Aby vůbec mělo smysl se tvrzením věty zabývat, je třeba ukázat, že $f\ast \phi_n, f\ast \phi \in \D $. Tento fakt ale plyne přímo z věty \ref{veta1}.
Proto má smysl ověřovat stejnou omezenost nosičů $f\ast \phi_n$ a stejnoměrnou konvergenci derivací těchto funkcí.
Stejnoměrná omezenost $\nf f\ast \phi_n$ ale vyplývá přímo ze stejné omezenosti $\nf \phi_n$ a z lemmatu \ref{lemma3}.
Pro ověření druhé podmínky konvergence v $\D$ musíme ukázat, že $f\ast \phi_n \sk{\R} f\ast \phi$ a stejně tak pro libovolné další derivace $\phi_n$.
My toto dokážeme pomocí drobného triku. Uvažujme funkci $F\left(x,s=\frac{1}{n}\right) := (f\ast \phi_n) (x)$ a $F(x,0):= (f\ast \phi_n) (0)$.
Pokud dokážeme, že je tato funkce spojitá na kompaktu a odtud již bude plynou její stejnoměrná spojitost, pomocí které dokážeme stejnoměrnou konvergenci $f\ast \phi_n$.
Je vidět, že funkce $F$ je spojitá dle definice všude, jen v bodě $s=0$ je problém. Abychom ukázali spojitost i v bodě $s=0$, využijeme následujícího lemmatu:
\begin{lemma}
Buď $\{\phi_{k_n}\}_{n\in \mathbb{N}}\subset \D$ posloupnost taková, že $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} \phi \in \D$
a buď dále $\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ číselná posloupnost v $\R$ taková, že $x_n \to x \in \R$. Pak
$$\phi_{k_n} (x_n-y) \stackrel{\D}{\longrightarrow} \phi(x-y) \mbox{ jakožto funkce proměnné }y.$$
\begin{proof}
Pro dokázání stejnoměrné konvergence derivací zkoumejme rozdíl $k_n$-tého členu a limitní funkce.
Pro nultou derivaci dostaneme:
$$\left\vert \phi_{k_n} (x_n -y) - \phi(x-y) \right \vert \leq \left\vert \phi_{k_n} (x_n -y) -\phi (x_n -y) \right \vert + \left \vert \phi(x_n-y) - \phi(x-y) \right \vert < \epsilon + \epsilon = 2 \epsilon $$
První člen jsme odhadli díky konvergenci $\phi_{k_n}$ v $\D$. Konkrétně jsme využili stejnoměrnou konvergenci nulté derivace. Druhý člen je odhadnutelný díky stejnoměrné
spojitosti testovací funkce $\phi$. Tato vlastnost vyplývá z hladkosti $\phi$ a z faktu, že její support je kompaktní množina.
Tento postup je možné analogicky provést pro všechny ostatní derivace.
Je rovněž zřejmné, že nosiče funkcí jsou stejně omezené díky konvergenci $\phi_{k_n}$ v $\D$.
\end{proof}
Když máme k dispozici toto lemma, není těžké ověřit spojitost funkce $F$ v bodě $(x,s=0)$. Využijeme k tomu opět Heineovy věty.
Berme $x_n\to x$ a $k_n \to +\infty$ \footnote{Protože pak $\frac{1}{k_n} \to 0$ a to chceme. } libovolné posloupnosti. Pak
$$F\left(x_n, \frac{1}{k_n} \right) = (f\ast \phi_{k_n})(x_n) = (f(y), \phi_{k_n}(x_n-y) ) \to (f(y),\phi(x-y)) = (f\ast \phi) (x) = F(x,0)$$
Přičemž jsme využili toho, že funkce $f(y)\in \D'$, a tedy je spojitá, a o posloupnosti $\phi_{ k_n}(x_n-y)$ víme, že konverguje v $\D$ dle lemmatu. Proto jsme mohli limitu takto vypočíst.
Tedy o $F$ víme, že je spojitá, je spojitá na kompaktu, tudíž je na něm stejnoměrně spojitá a tedy i speciálně pro $\left(F(x,s = \frac{1}{n} \right) \sk{\R} F(x,0)$, což ale dle naší definice $F$
neříká nic jiného, než $(f\ast \phi_n)(x) \sk{\R} (f\ast \phi) (x)$. To jsme ale chtěli dokázat. V důkazu jsme nikde nevyužívali faktu, že pracujeme s 0. derivací funkce $\phi_n$. Proto můžeme celý postup opakovat pro libovolné derivace testovacích funkcí $\phi_n$.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}[přibližné identity]
\label{veta4}
Buď $\phi \in \D$ a nechť $\phi(x)\geq 0$ a navíc $\displaystyle \int_{\R}\phi(x) \dd x =1$. Označme $\phi_n(x) = n\phi(nx)$, tzv. {\it přibližnou identitu}.
Pak pro libovolnou $\psi \in \D$ platí, že $\phi_n \ast \psi \stackrel{\D}{\longrightarrow} \psi$.
\begin{proof}
Je třeba opět ověřit podmínky konvergence v $\D$. Víme, že konvolucí testovacích funkcí vzniká testovací funkce. Proto stačí ukázat, že posloupnost $\phi_n(x)$ má stejně omezené nosiče.
Nechť $\nf \phi \subset [-R,R]$. Pak pro všechna $n\in \mathbb{N}$ zřejmě platí, že $\nf \phi_n(x) \subset \left[-\frac{R}{n},\frac{R}{n}\right] \subset [-R,R]$. Tímto máme zajištěnu stejnou omezenost nosičů.
V důkazu stejnoměrné konvergence derivací si podstatnou část práce ulehčíme konstatováním, že $(\phi_n \ast \psi)^{(k)} = \phi_n \ast \psi^{(k)}$.
Proto opět stačí uvažovat pouze nultou derivaci, neboť vyšší derivace by se ukázaly zcela stejným způsobem. Zkoumáme tedy rozdíl:
$$\vert (\phi_n \ast \psi)(x) - \psi(x)\vert = \left \vert \displaystyle \int_{-\frac{R}{n}}^{\frac{R}{n }}\phi_n(y) \psi(x-y) \dd y -
\underbrace{\displaystyle \int_{-\frac{R}{n}}^{\frac{R}{n }}\phi_n(y)}_{=1} \psi(x) \dd y\right \vert \leq $$
$$\leq \displaystyle \int_{-\frac{R}{n}}^{\frac{R}{n }}\phi_n(y) \left\vert \underbrace{\psi(x-y) - \psi(x)}_{< \epsilon} \right \vert \dd y \sk{\R}0$$
Fakt, že výraz v posledním integrandu je menší než $\epsilon$ plyne ze stejnoměrné spojitosti testovací funkce $\psi$. Odtud již pak také plyne stejnoměrná konvergence celého výrazu k nule, neboť integrál z funkce $\phi_n(x)$ je dle předpokladu roven jedné a tedy formálně jsme pro libovolné $\epsilon$ nalezli takové $n_0$, že pro všechna $x,y\in \R$ platí,
že $\vert (\phi_n \ast \psi)(x) - \psi(x)\vert < \epsilon$.
\end{proof}
\end{theorem}
Tento výsledek by pro nás neměl být zas až tak překvapivý, neboť jsme již dříve ukázali, že $\phi_n \to \detla$ v $\D'$.
\begin{theorem}[o aproximovatelnosti zobecněných funkcí]
\label{veta5}
Každá zobecněná funkce $f$ je limitou jisté posloupnosti funkcí $\{\phi_n\}_{n\in \mathbb{N}}\subset \Ci$ \footnote{Zde chápejme tuhle notaci jako označení regulárních zobecněných funkcí,
jejichž generátory jsou funkce třídy $\Ci$} ve smyslu konvergence v $\D'$. Má-li navíc zobecněná funkce $f$ kompaktní nosič, pak $\{\phi_n\}_{n\in \mathbb{N}} \subset \D$ a
$\phi_n$ lze volit tak, že $\forall \psi \in \D$ je $\phi_n \ast \psi \stackrel{\D}{\longrightarrow} f\ast \psi$.
\begin{proof}
Nechť $\eta_k$ jsou přibližné identity z předešlé věty. Pak označme $\phi_n = f\ast \eta_n^-\in \Ci$. Toto plyne z věty \ref{veta1}. Pak $\forall \psi \in \D$
$$(\phi_n ,\psi) = (f\ast \eta_n^- ,\psi) = (f, \eta_n \ast \psi) \stackrel{n\to +\infty}{\longrightarrow} (f,\psi)$$
To ale znamená, že $\phi_n \to f$ v $\D'$. Poznamenejme, že při úpravě jsme ve druhém kroku využili poznámky za větou \ref{veta2}, následně jsme využili spojitosti zobecněné funkce $f$ a limitu jsme mohli vypočíst díky větě o přibližných identitách.
Pokud nyní navíc budeme předpokládat, že $\nf f$ je kompakt, máme $\phi_n = f\ast \eta_n^- \in \D$ dle věty \ref{veta1} a tudíž platí
$$\phi_n \ast \psi = (f\ast \eta_n^-)\ast \psi \stackrel{\mbox{\scriptsize Věta \ref{veta2}}}{=} f\ast (\eta_n^- \ast \psi) \stackrel{\D}{\longrightarrow} f\ast \psi.$$
V přechodu ke konvergenci jsme využili věty \ref{veta1} a konvergence plyne z věty \ref{veta3}.
\end{proof}
\end{theorem}
Touto větou jsme vytvořili aparát potřebný pro zavedení konvoluce zobecněných funkcí, kterou zavedeme v následující sekci.
\subsection{Konvoluce zobecněných funkcí}
Než přistoupíme k samotné definici, je třeba vyslovit jistý požadavek. V naší definici budeme potřebovat, aby jedna z \uv{konvoluovaných} zobecněných funkcí měla kompaktní nosič. Tato podmínka totiž dle dříve dokázané věty zajišťuje to, že $f\ast \phi \in \D$, což potřebujeme.
\begin{define}
Buďte $f,g\in \D'$ a nechť $\nf f$ je kompakt. Pak {\bf konvolucí zobecněných funkcí $f$ a $g$} rozumíme
$$(g\ast f,\phi) = (g, f^-\ast \phi),$$
kde $f^-(x) = f(-x)$.
\end{define}
\begin{remark}
Následující poznámky jsou jisté drobné postřehy o takto definovaném zobrazení:
\begin{enumerate}
\item Konvoluce je operace nad zobecněnými funkcemi. Linearita plyne z linearity funkcí $f$ a $g$, spojitost ukážeme snadno. Uvažujme $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} \phi$.
Pak $(g\ast f, \phi_n) = (g, f^- \ast \phi_n) \stackrel{\mbox{\scriptsize věta \ref{veta3}}}{\longrightarrow} (g,f^-\ast \phi ) = (g\ast f, \phi)$.
\item Že je naše definice konzistentní a dobře pasuje do námi budované teorie dokazuje fakt, že beru-li $f\in \D$ (nikoliv z $\D'$!), tak dostávám pro $g\in \D'$ a $\phi \in \D$ dle poznámky pod větou \ref{veta2} toto:
$(g\ast f,\phi) = (g, f^-\ast \phi)$ což je ve shodě s naší definicí.
\item Konvoluce námi takto definovaná není symetrická! Existují obecnější definice konvoluce, např. v [Šťovíček] nebo [Krbálek], které mají vlastnost symetrie, ale je to na úkor jiných vlastností.
\item Konvoluce má vlastnost levé spojitosti. Tzn. buď $g \in \D'$, $\nf g$ je kompakt. Buď dále $\{f_n\}_{n\in \mathbb{N}} \subset \D'$, $f\in \D'$ a nechť $f_n \to f$ v $\D'$.
Pak $f_n\ast g \to f \ast g$ v $\D'$.
\begin{proof}
$$\left(\displaystyle \lim_{n\to + \infty} f_n\ast g, \phi\right) = \displaystyle \lim_{n\to + \infty} (f_n\ast g, \phi) = \displaystyle \lim_{n\to + \infty} (f_n, g^-\ast \phi) =
(\displaystyle \lim_{n\to + \infty} f_n,g^-\ast \phi) = (f, g^-\ast \phi) = (f\ast g,\phi)$$
\end{proof}
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{remark}
Budeme uvažovat konvoluci v $\D'$ funkcí s omezeným nosičem (tj. s kompaktem).
\end{remark}
\begin{theorem}[Vlastnosti konvoluce v $\D'$]
Buďte $f,g,h\in \D'$ zobecněné funkce s omezeným nosičem. Pak
\begin{enumerate}
\item $f\ast g = g\ast f;$
\item $(f\ast g) \ast h = f \ast (g\ast h);$
\item $(f\ast g)' = f'\ast g = f\ast g';$
\item $(f\ast g)(x-a) = (f(x-a))\ast g(x) = f(x) \ast g(x-a).$
\end{enumerate}
\begin{remark}
Z předešlé poznámky a prvního bodu této věty plyne spojitost konvoluce v obou argumentech.
\end{remark}
\begin{proof}
Dokážeme první tvrzení, zbytek je ponechán čtenáři jako cvičení.
Dle věty \ref{veta5} víme, že pro $f\in \D'$ s omezeným nosičem existuje $\{\phi_n\} \subset \D$ taková, že $\phi_n \to f$ v $\D'$ a
$\phi_n \ast \psi \stackrel{\D}{\longrightarrow} f \ast \psi$ pro libovolné $\psi \in \D$. Rovněž pro $g\in \D' $ s omezeným nosičem existuje $\{\eta_n\} \subset \D$ taková, že $\eta_n \to g$ v $\D'$ a $\eta_n \ast \psi \stackrel{\D}{\longrightarrow} g \ast \psi$ pro libovolné $\psi \in \D$.
Pro $\phi_n$ a $\eta_m$ platí, že $\phi_n \ast \eta_m \stackrel{\D}{\longrightarrow} f\ast \eta_m$. Zároveň z komutativity testovacích funkcí plyne, že
$\eta_m \ast \phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} \eta_m \ast f$, protože pro $h\in\D'$ platí $(h\ast \phi_n ,\psi) = (h,\phi_n ^- \ast \psi) \to (h,f^-\ast \psi)$
a volbou $h = \eta_m$. Tedy máme $f\ast \eta_m = \eta_m \ast f$. Pak již postup/limitu stačí provést v $m$ a tvrzení platí.
\end{proof}
\end{theorem}
Věnujme se nyní souvislosti konvoluce a tensorového součinu. Bylo by možné totiž provést následující úvahu:
$(f\ast g, \phi) = (f,g^-\ast \phi) = (f(x),(g^-\ast \phi)(x)) = (f(x), (g^-(y)\phi(x-y))) = (f(x)\ts g(-y), \phi(x-y)) = (f(x)\ts g(y),\phi (x+y))$
Zde ale docházíme k problému, neboť funkce $\phi(x+y) \notin \D(\R^{2n})$. Při této úvaze totiž omezenost výsledného supportu zajišťuje omezenost supportů funkcí $f$ a $g$.
{\bf Příklad}
Určete $\delta \ast f$ pro $f\in \D'$ s kompaktním nosičem.
$$(\delta \ast f,\phi) = (f \ast \delta,\phi) = (f,(\delta ^- \ast \phi)) = (f,\phi), $$
přičemž $(\delta ^- \ast \phi) = (\delta(-y),\phi(x-y)) = (\delta(y) ,\phi(x+y)) = \phi(x)$.
Odtud tedy plyne, že $\delta$ funguje jako jednotka při konvoluci.
\section{Užití konvoluce pro řešení diferenciálních rovnic v $\D'$}
Mějme $\mathrm{L}$ lineární diferenciální operátor (např. pro ODR $\mathrm{L} = \displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_k \frac{\dd^k}{\dd x^k}$). Řešíme nyní rovnici $\mathrm{L}u = f$.
Označíme-li fundamentální řešení $\epsilon$ rovnice $\mathrm{L}\epsilon = \delta$. Pak $\mathrm{L}u=f$ má řešení $u=\epsilon \ast f $. Je tomu skutečně tak, protože
$$\mathrm{L}u = \mathrm{L} (\epsilon \ast f) = (\mathrm{L}\epsilon) \ast f = \delta \ast f = f $$
Tímto jsme dostali odpověď na otázku, k čemu jsou ty zobecněné funkce vlastně vůbec dobré.
