01MAA3:Kapitola9
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 15. 1. 2017, 18:12, kterou vytvořil Kubuondr (diskuse | příspěvky) (Přidán důkaz poznámky pod 8.9)
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01MAA3
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01MAA3 | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 13:09 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 13:46 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 12:36 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Značení | Klinkjak | 9. 9. 2015 | 08:50 | preamble.tex | |
Kapitola1 | editovat | Funkční posloupnosti | Kubuondr | 21. 1. 2017 | 16:45 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Funkční řady | Dedicma2 | 21. 2. 2016 | 23:42 | kapitola2.tex | |
Kapitola4 | editovat | Trigonometrické řady | Peckaja1 | 11. 2. 2016 | 13:14 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Metrika | Kubuondr | 22. 1. 2017 | 17:32 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Topologie | Kubuondr | 3. 2. 2017 | 21:08 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Spojitost | Kubuondr | 22. 1. 2017 | 18:14 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Kompaktní prostory | Kubuondr | 8. 2. 2017 | 21:51 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Souvislé prostory | Kubuondr | 23. 1. 2017 | 10:28 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Úplné prostory | Kubuondr | 23. 1. 2017 | 11:08 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Afinní prostory | Kubuondr | 23. 1. 2017 | 12:43 | kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Totální derivace | Kubuondr | 7. 10. 2017 | 17:50 | kapitola12.tex | |
Kapitola13 | editovat | Derivace vyšších řádů | Kubuondr | 20. 1. 2017 | 09:50 | kapitola13.tex | |
Kapitola14 | editovat | Lokální extrémy | Klinkjak | 9. 9. 2015 | 13:31 | kapitola14.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA3} \section{Souvislé prostory} \index{souvislost} \begin{define} Topologický prostor $(X,\tau)$ nazveme {\bf souvislý}, právě když jeho jediné obojetné podmnožiny jsou $X$ a $\emptyset$. \end{define} \begin{example} Příklad topologického prostoru, který není souvislý je množina X s více než dvěma prvky a s diskrétní topologií. Protože je každá podmnožina X obojetná. \end{example} \begin{remark} \begin{enumerate} \item Prostor $X$ je souvislý, právě když ho nelze zapsat jako sjednocení dvou otevřených neprázdných disjunktních podmnožin. \begin{proof} Pokud by $X$ byl souvislý a přitom ho šlo zapsat jako $X = B_1\cup B_2$, $\emptyset \neq B_\iota=\vn{B_\iota} $, $B_1\cap B_2=\emptyset$, pak by $X \sm B_{1} = B_{2}$ byla uzavřená a tedy i další obojetná množina, což je ve sporu se souvislostí $X$. \end{proof} \item V předchozí ekvivalentní definici by $B_{\iota}$ mohly být uzavřené. Důkaz by byl téměř stejný. \end{enumerate} \end{remark} \begin{define} Buď $(X,\tau)$ topologický prostor. Množinu $A \subset X$ nazveme souvislou, pokud je souvislá jako topologický podprostor. \end{define} \begin{theorem} Buď $A_\alpha$ systém souvislých množin takový, že každé dvě mají neprázdný průnik. Potom sjednocení $A=\bigcup A_\alpha$ je souvislá množina. \begin{proof} (\textit{sporem})Buď $A=B_1\cup B_2$, $B_\iota=\vn{B_\iota}^A$, $B_1\cap B_2=\emptyset$. Potom $A_\alpha=(B_1\cap A_\alpha)\cup(B_2\cap A_\alpha)$ a protože $B_\iota$ jsou v~$A$ otevřené, platí, že $(B_\iota\cap A_\alpha)=\vn{(B_\iota\cap A_\alpha)}^{A_\alpha}$. Protože $A_\alpha$ jsou souvislé, $A_\alpha$ musí být buď podmnožinou $B_1$ nebo $B_2$. Všechny $A_\alpha$ pak musí ležet buď v~$B_1$ nebo $B_2$, neboť každé dvě mají neprázdný průnik. Pak ale $B_1$ nebo $B_2$ je prázdná, což je spor. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} Nechť $A\subset X$, $A\subset B\subset\uz{A}$. Pak je-li $A$ souvislá, jsou i $\uz A$ a $B$ souvislé. \begin{proof} \begin{enumerate}[a)] \setlength{\itemsep}{4pt} \item \emph{ (sporem)} Buď $x\in A'$, $B=A\cup\{x\}$. Nechť $B=B_1\cup B_2$, $B_\iota=\vn{B_\iota}^B$, $B_1\cap B_2=\emptyset$. Potom $A=(A\cap B_1)\cup(A\cap B_2)$. Platí, že $(B_\iota\cap A)=\vn{(B_\iota\cap A)}^{A}$, proto buď $A\subset B_1$ nebo $A\subset B_2$ $\implies$ buď $\uz{A}^B\subset\uz{B_1}^B$ nebo $\uz{A}^B\subset\uz{B_2}^B$, $\implies$ buď $B\subset\uz{B_1}^B$ nebo $B\subset\uz{B_2}^B$, což je spor. \item $B=\bigcup_{x\in B}(A\cup\{x\})$, tedy $B$ vzniklo sjednocením souvislých množin s~neprázdným průnikem. \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} Jedinými souvislými množinami v~$\R$ jsou intervaly. \begin{proof} \begin{enumerate}[a)] \setlength{\itemsep}{4pt} \item $A$ není interval $\implies$ $A$ není souvislá: Nechť tedy $A$ není interval, tj. platí, že \[ (\exists x_1,x_2\in A)(\exists c\in\R)(x_1<c<x_2\wedge c\not\in A). \] Buďte $B_1=A\cap(-\infty,c)$, $B_2=A\cap(c,+\infty)$, tedy $B_\iota=\vn{B_\iota}^A$. $A=B_1\cup B_2$ a přitom $B_1$ a $B_2$ jsou otevřené, neprázdné a disjunktní, tudíž $A$ není souvislá množina. \item $A$ je interval $\implies$ $A$ je souvislá: Nechť $A=/\alpha,\beta/$ je libovolný interval, $B=\uz{B}^A=\vn{B}^A$, $B\not=\emptyset$ neprázdná obojetná podmnožina $A$. Dokážeme, že $B=A$. Buď $c\in B$, $b=\sup\{x\in\R|\left[ c,x\right] \subset B\}$. Předpokládejme, že $b<\beta$. Z~2. vlastnosti supréma vyplývá, že \[(\forall\epsilon>0)(\exists x\in \left( b-\epsilon,b\right] ) (\left[ c,x\right] \subset B),\] tedy v~libovolném okolí bodu $b$ leží bod z~$B$, z~čehož vyplývá, že $b\in\uz{B}^A=B$. Protože $b\in B$, z~otevřenosti $B$ vyplývá existence takového $\epsilon$, že platí $\left[ b-\epsilon,b+\epsilon\right] \subset B$. Současně ale $\left[ c,b\right] \subset B$, takže $\left[ c,b+\epsilon\right] \subset B$, což je spor s~1. vlastností supréma, tedy $b=\beta$. Analogicky se dokáže tvrzení pro dolní hranici intervalu a z~obou pak vyplývá, že nutně $A=B$. \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} Spojitý obraz souvislé množiny je souvislý. \begin{proof} (\textit{sporem})Buď $f(X)=B_1\cup B_2$, $B_\iota=\vn{B_\iota}^{f(X)}$, $B_1\cap B_2=\emptyset$. Pak $X=f^{-1}(B_1)\cup f^{-1}(B_2)$. Množiny $f^{-1}(B_1)$ a $f^{-1}(B_2)$ jsou otevřené (to vyplývá ze spojitosti $f$) a disjunktní (to vyplývá z~jednoznačnosti obrazu), tedy vzor není souvislý, což je spor. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} Spojitá reálná funkce nabývá na souvislé kompaktní množině infima, suprema a všeho mezi tím. \end{theorem} % chybí důkaz \index{svázanost} \index{komponenta souvislosti} \begin{define} Definujme na $X\times X$ relaci svázanosti: $x\sv y$, právě když existuje souvislá množina $A\subset X$ taková, že $x\in A$ a $y\in A$. Všechny třídy podle ekvivalence $x\sv y$ nazveme {\bf komponentami souvislosti}. \end{define} \begin{remark} \begin{enumerate} \item Komponenta souvislosti bodu $x$ je největší souvislá nadmnožina bodu $x$. \item Komponenta souvislosti bodu $x$ je uzavřená množina v X. \end{enumerate} \end{remark} \index{lokální souvislost} \begin{define} Řekneme, že prostor $X$ je {\bf lokálně souvislý}, právě když každé okolí má souvislé podokolí. \end{define} \begin{remark} Otevřené množiny v~lineárním prostoru jsou lokálně souvislé. \begin{proof} Každá otevřená koule je v lineárním prostoru konvexní, tj. každé 2 body z ní lze spojit úsečkou, je tedy lokálně lineárně souvislá. Z toho plyne lokální souvislost (viz \ref{lin. souv. - souv.}) \end{proof} \end{remark} \index{dráha} \index{stopa dráhy} \begin{define} {\bf Dráhou v~topologickém prostoru} rozumíme každé spojité zobrazení kompaktního intervalu z~$\R$ do $(X,\tau)$. Množinu $\la\phi\ra=\{\phi(x)~|~x\in\left[ \alpha, \beta\right] \}$ nazýváme {\bf stopa dráhy}, resp. {\bf geometrický obraz dráhy}. Jestliže $\la\phi\ra\cap A\not=\emptyset$, říkáme, že dráha {\bf protíná} $A$. Jestliže dráha protíná jednobodovou množinu $\{x\}$, říkáme, že dráha {\bf prochází} bodem $x$. \index{orientovaný součet drah} {\bf Orientovaný součet dvou drah}: Jestliže koncový bod jedné dráhy splývá s~počátečním bodem druhé dráhy ($\phi_1(\beta_1)=\phi_2(\alpha_2)$), pak \[ (\phi_1\dotp\phi_2)(t)=\phi(t)= \begin{cases} \phi_1(t) & \text{pro $t\in\left[ \alpha_1,\beta_1\right] $}\\ \phi_2( t+ \alpha_2 - \beta_1) & \text{pro $t\in\left[ \beta_1,\beta_1+\beta_2-\alpha_2\right] $} \end{cases} \] \end{define} \begin{remark} \begin{enumerate} \item Stopa dráhy je vždy souvislá. \item Dráha se též nazývá křivka. Tyto pojmy tedy splývají. \item V cizí literatuře se používá místo pojmu \it{stopa dráhy} spíše \it{geometrický obraz křivky}. \end{enumerate} \end{remark} \begin{define} Opačně orientovanou drahou k~dráze $\phi$ je dráha $\dotm\phi(t)=\phi(-t)$, kde $t\in\left[ -\beta,-\alpha\right]$. \end{define} \begin{remark} $\phi_1\dotm\phi_2=\phi_1\dotp(\dotm\phi_2)$ za předpokladu, že dráhy mají stejný koncový bod. \end{remark} \begin{theorem} Buď $A \subset X$ a $\phi$ dráha spojující nějaký vnitřní a vnější bod množiny $A$, tj. $\la\phi\ra\cap\vn{A}\not=\emptyset \wedge\la\phi\ra\cap\vn{(X\sm A)}\not=\emptyset$. Potom $\la\phi\ra\cap\hr{A}\not=\emptyset$. \begin{proof} \emph{(sporem)} Buď $B$ souvislá množina $(B\cap \vn{A}\not=\emptyset\wedge B\cap \vn{(X\sm A)}\not=\emptyset)$ a předpokládejme, že $B\cap\hr{A}=\emptyset$. Pak ale $B=(B\cap\vn{A})\cup(B\cap\vn{(X\sm A)})$, tedy $B$ lze vyjádřit jako sjednocení dvou disjunktních otevřených množin, což je spor s~tím, že $B$ je souvislá. Tvrzení věty pak dostáváme, pokud položíme $B=\la\phi\ra$, neboť stopa dráhy je souvislá množina (spojitý obraz intervalu v $\R$, tj. souvislé množiny je souvislý). \end{proof} \end{theorem} \index{lineární souvislost} \begin{define} Množina $X$ je lineárně souvislá, právě když libovolné dva body z~$X$ lze spojit dráhou. \end{define} \begin{remark} \begin{enumerate} \label{lin. souv. - souv.} \item Lineárně souvislý prostor je souvislý, opačná implikace neplatí. \begin{proof} Libovolný bod $x\in X$ lze spojit s~ostatními body $X$ dráhou. Tyto dráhy mají neprázdný průnik a jejich sjednocením je prostor $X$. Tedy $X$ lze vyjádřit jako sjednocení souvislých množin s~neprázdným průnikem, takže $X$ je souvislý. \end{proof} \item Naopak to neplatí --- např. množina \[ \{0\}\times\left[ -1,1\right] \cup \left\{\left.\left(x,\sin\frac1x\right)\right|x\in\R\sm\{0\}\right\} \] je souvislá, ale není souvislá lineárně. Množiny $\{(x,\sin\frac1x)|~x\in\Rm\}$ a $\{(x,\sin\frac1x)|~x\in\Rp\}$ jsou souvislé (jsou to spojité obrazy intervalu), souvislé jsou tedy i jejich uzávěry $\{0\}\times\left[ -1,1\right] \cup\{\dots\}$. Sjednocení uzávěrů je souvislé, ale body $(x,\sin\frac1x)$ a $(y,\sin\frac1y)$ pro $x\in\Rm$ a $y\in\Rp$ nelze spojit dráhou. \end{enumerate} \end{remark} \index{lokální lineární souvislost} \begin{define} Prostor $X$ je {\bf lokálně lineárně souvislý}, právě když každé okolí na $X$ má lineárně souvislé podokolí. \end{define} \begin{theorem} Buď $X$ lokálně lineárně souvislý prostor. Potom \begin{enumerate}[(I)] \item Je-li $X$ souvislý, pak je souvislý lineárně. \item Není-li $X$ souvislý, pak všechny komponenty $X$ jsou obojetné a lineárně souvislé. \end{enumerate} \begin{proof} \begin{enumerate}[(I)] \item Zvolme bod $x\in X$ pevně, nechť $A_x=\{y \mid x\phi y\}$ množina všech bodů $y$, které lze spojit drahou s~$x$. Množina $A_x$ je neprázdná (obsahuje přinejmenším bod $x$). Dokážeme, že $A_x$ je obojetná: \begin{enumerate}[a)] \item Důkaz, že $A_x$ je otevřená: Buď $y\in A_x$. Pak existuje lineárně souvislé okolí $\H_y$. Pro libovolné $z\in\H_y$ platí, že $z\psi y\wedge y\phi x$, tedy $x(\phi\dotp\psi)z$, tedy $z$ lze spojit drahou s~$x$ a $z\in A_x$. Každý bod $y\in A_x$ leží v~$A_x$ i~s~okolím, tedy $A_x$ je otevřená. \item Důkaz, že $A_x$ je uzavřená: Buď $y\not\in A_x$. Bod $y$ má lineárně souvislé okolí $\H_y$. Předpokládejme, že $\H_y\cap A_x\not=\emptyset$. Pak ale pro $z\in \H_y\cap A_x$ existují $\phi$ a $\psi$ takové, že $x\phi z\wedge z\psi y$, tedy $y\in A_x$, což je spor. Tedy $\H_y\cap A_x=\emptyset$ a $A_x$ je uzavřená. \end{enumerate} Prostor $X$ je souvislý, tedy jedinými jeho obojetnými podmnožinami jsou $X$ a $\emptyset$. Protože $A_x$ je obojetná a neprázdná, je $A_x=X$, takže $X$ je lineárně souvislý. \item \begin{enumerate}[a)] \item Každá komponenta je souvislá, podle předchozích úvah je souvislá lineárně. \item Pro každý bod $x\in A$ platí, že $A$ je největší souvislá množina obsahující bod $x$, tedy $A$ je uzavřená. \item Každý bod $x\in A$ má lineárně souvislé okolí, které je podmnožinou $A$, takže $A$ je otevřená. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \index{oblast} \begin{define} V~topologickém prostoru se {\bf oblastí} rozumí otevřená a souvislá množina. \end{define} \begin{remark} V~lineárním prostoru je každá oblast lokálně lineárně souvislá a každé dva body v~ní lze spojit lomenou čarou tvořenou konečně mnoha úseky, tedy dráha spojitá po částech. \end{remark} \begin{define} Omezená oblast $G\subset\R^2$ se nazývá {\bf jednoduše souvislá}, právě když $G$ i $\R^2\sm G$ jsou souvislé množiny. \end{define} \begin{remark} Jednoduše souvislá oblast je tedy množina \uv{bez děr}. \end{remark}