Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01RMF}
\chapter{Testovací funkce}
\section{Úvod do problematiky}
\begin{define}
{\bf Nosičem funkce $\phi$} rozumíme množinu $\overline{\{ x \in \R^n \ | \ \phi(x) \neq 0 \} }$. Označujeme jej $\nf \phi$.
\end{define}
\begin{define}
Množinu $\D (\R^n) = \{ \phi \in \Ci (\R^n) \ | \ \nf \phi \mbox{ je omezený} \}$ nazvěme {\bf množinu testovacích funkcí}. Tzn. {\bf testovací funkce} jsou funkce třídy $\Ci (\R^n)$ s kompaktním nosičem.
Buď nyní $G = G^o$ otevřená podmnožina $\R^n$. Pak definujeme $\D (G) = \{ \phi \in \D (\R^n) \ | \ \nf \phi \subset G \}$
\end{define}
\begin{remark}
Je zřejmé, že pokud $\phi \in \D (\R^n)$, pak $\alpha \phi \in \D (\R^n)$ pro $\alpha \in \R$.
Buď nyní $f$ hladká funkce. Pak rovněž $f\phi \in \D (\R^n)$
\end{remark}
Abychom získali jistou intuici a~vhled do dané problematiky, předběžně definujme zobecněné funkce $\D' (\R^1)$. Tuhle definici později zpřesníme a~zobecníme.
\begin{define}
Nechť $f$ je reálná, resp. komplexní funkce reálné proměnné. Nechť dále
$$\exists \displaystyle \int_{\left[a,b \right]}f(x)\phi(x)\dd x < +\infty , \: \forall \left[a,b \right] , \: \forall \phi \in \D(\R^1).$$
Pak nazvěme $f$ {\bf zobecněnou funkcí}.
\noindent {\bf Akcí testovací funkce $\phi$ na $f$} rozumíme
$$\left(f,\phi\right) := \displaystyle \int_\R f(x)\phi(x)\dd x , \: \forall \phi \in \D(\R^1)$$.
\end{define}
\begin{remark}
Zkuste najít množinu funkcí $f$ tak, aby definice zobecněných funkce (výše) byla rozumná.
\end{remark}
\begin{theorem}[ilustrativní, jednoduchá]
Nechť $f, \ g$ jsou spojité reálné funkce reálné proměnné a nechť dále akce libovolné testovací funkce $\phi$ na $f$ a $g$ jsou shodné, tj.
$\displaystyle \int_\R f(x)\phi(x)\dd x = \displaystyle \int_\R g(x)\phi(x)\dd x$. Pak $f=g$.
\begin{remark}
Tahle věta nám má ukázat, že dává smysl testovat funkce pomocí testovacích funkcí.
\end{remark}
\begin{proof}
Tvrzení dokážeme sporem. Pro ten předpokládejme, že $\exists x_0$ takové, že $f(x_0)\neq g(x_0)$. Pak víme, že $\displaystyle \int_\R \left( f(x)-g(x) \right)\phi \dd x = 0$.
Ze spojitosti funkcí $f$ a $g$ plyne existence okolí $U_{x_0}$ takového, že $\forall x \in U_{x_0}$ je BÚNO $f(x) > g(x)$. Pak předpokládejme, že existuje jistá
$\phi' \in \D(\R^1)$ taková, že $\nf \phi' \subset U_{x_0}$. O~tom, že tahle testovací funkce existuje se přesvědčíte na cvičeních. Pak můžeme psát
$\displaystyle \int_\R \left( f(x)-g(x) \right)\phi ' \dd x = \displaystyle \int_{\nf \phi '} \left( f(x)-g(x) \right)\phi \dd x \geq \varepsilon \displaystyle \int_\R \phi' \dd x > 0.$
Toto nám již dává spor s naším předpokladem. Je vhodné zde poznamenat, že nenulovost posledního integrálu plyne z toho, že mohu vždy najít takovou testovací funkci, jejíž integrál bude nenulový.
Kdybychom měli např. lichou testovací funkci, tak můžeme jako vhodnou testovací funkci použít její kvadrát, který je rovněž testovací funkcí. Toto plyne z poznámky pod definicí testovací funkce.
\end{proof}
\end{theorem}
\section{Konvence a domluvy ($L^2$ Hilbertův prostor)}
Mějme prostor $\mathcal{L}^2(\R^n)$, tj. prostor všech komplexních funkcí $f(x)$ reálné proměnné Lebesgueovsky integrabilních s~kvadrátem,
tj. $\displaystyle \int _{\R^n} \vert f(x)\vert ^2 \dd x < + \infty$. Pro $f$, $g \in \mathcal{L}^2(\R^n)$ definujme zobrazení
$\langle f,g \rangle := \mathcal{L} \displaystyle \int _{\R^n} f(x) \overline{g(x)} \dd x$.
Je otázkou, je-li toto zobrazení skalárním součinem na $\mathcal{L}^2(\R^n)$.
Aby jím bylo, musí být splněny následující podmínky:
\begin{enumerate}
\item Zobrazení musí splňovat $\langle \cdot,\cdot \rangle :\mathcal{L}^2 \times \mathcal{L}^2 \longrightarrow \mathbb{C} $;
\item Musí být lineární v 1. argumentu;
\item Musí být hermitovské, tj. $\langle f,g \rangle = \overline{$\langle g,f \rangle}$ pro libovolné $f, \ g \in \mathcal{L}(\R^n)$
\item Musí být positivní, tj. $\langle f,f \rangle \geq 0$ $\forall f \in \mathcal{L}^2$ a $\langle f,f \rangle = 0 \Leftrightarrow f=0$.
\end{enumerate}
Je zřejmé, že 1., 2. i 3. podmínka jsou triviálně splněny (3. vyplývá z vlastnosti komplexního sdružování integrálů). Ve čtvrté podmínce je její první část
triviálně splněna volbou prostoru $\mathcal{L}^2(\R ^n)$. Ve druhé části je ekvivalence směrem zprava doleva triviální, ale problém nastává při implikaci zleva doprava
musí být splněna podmínka $\displaystyle \int _{\R^n} \vert f(x)\vert ^2 \dd x = 0$. Tuhle podmínku ale splňuje nekonečně mnoho funkcí.
Jsou to všechny nulové funkce, které mohou být nenulové na množině nulové míry. Proto toto zobrazení není normou na prostoru $\mathcal{L}^2(\R^n)$.
Můžeme ale vytvořit prostor, na kterém tohle zobrazení normou bude.
\subsection {Zavedení $L^2$}
Definujme relaci ekvivalence $\sim$:
\begin{define}
Buďte $f, \ g \in \mathcal{L}^2(\R^n)$. Pak relaci $\sim$ definujeme následovně:
$f \sim g \Leftrightarrow f-g=0$ s. v. (tj. skoro všude, tedy liší se nejvýše na množině nulové míry).
\end{define}
Jedná se o~ekvivalenci, neboť je tato relace symetrická, reflexivní a~transitivní (triviálně ověřitelné).
Pomocí této ekvivalence potom faktorizujeme množinu $\mathcal{L}^2(\R^n)$ do tříd ekvivalence, které nám budou definovat novou strukturu $L^2(\R ^n)$, tzn.
$L^2(\R ^n) = \mathcal{L}^2(\R^n) \vert_\sim $. Pro tuhle množinu (jejíž prvky nejsou funkce, ale třídy ekvivalence!) je ale výše uvedené zobrazení skalárním součinem.
Můžeme totiž každou třídu ekvivalence ztotožnit s~jedním z~jejich prvků. Pak se již jedná o~funkce a~definice našeho skalárního součinu dává dobrý smysl.
\begin{define}
Buď $V$ vektorový prostor s~normou, posloupnost $\{a_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \left(V, \ \Vert \cdot \Vert)$. Řekneme, že {\bf posloupnost $\{a_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ konverguje k~$a\in V$}, značíme $a_n \longrightarrow a$, právě tehdy, když $\Vert a_n - a \Vert \longrightarrow 0$ pro $n \longrightarrow +\infty$.
\end{define}
Vidíme, že jsme definici konvergence na vektorovém prostoru převedli na konvergenci na $\R$.
\begin{define}
Buď $V$ vektorový prostor s~normou, posloupnost $\{a_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \left(V, \ \Vert \cdot \Vert)$. Řekneme, že {\bf posloupnost \{a_n \}_{n \in \mathbb{N}} je cauchyovská}, právě když $\left( \forall \epsilon > 0 \right) \left(\exists n_0 \in \mathbb{N} \rigth) \left( \forall m,\ n > n_0 \right) \left( \Vert a_m - a_n \Vert < \epsilon$.
\end{define}
\begin{define}
Řekneme, že lineární vektorový prostor $V$ s normou je {\bf Banachův}, právě tehdy, když každá cauchyovská posloupnost konverguje ve $V$, tj. limitní prvek je prvek $V$, tzn. prostor $V$ je úplný.
\end{define}
\begin{remark}
Bolzano-Cauchyovo kritérium pro číselné posloupnosti je důkazem úplnosti $\R^n$. \\
Pojmy výše zmíněné je možné zobecnit na prostory s metrikou $\rho$.
\end{remark}
\begin{define}
Úplný lineární prostor se skalárním součinem nazýváme {\bf Hilbertův}.
\end{define}
\begin{remark}
Hilbertovy prostory jsou speciálním případem Banachových prostorů, protože si stačí uvědomit, že skalární součin indukuje normu.
\end{remark}
Nyní uvedeme několik důležitých vět, jejichž důkaz přesahuje rámec přednášky RMF, ale jsou pro výklad látky podstatné. Detaily a důkazy těchto vět se zabývá přednáška z funkcionální analýzy (FA1).
\begin{theorem}
Prostory $L^p$ jsou Banachovy prosotry.
\end{theorem}
\begin{remark}
$$ L^p = \{ \mbox{třídy ekvivalence na} \mathcal{L}^p \ \vert \ \Vert f \Vert_{L^p} = \left( \displaystyle \int_{\R^n} \vert f \vert^p \rigth)^{\frac{1}{p}} \}$$
Opět $f$ chápeme jako jednoho zástupce konkrétní třídy ekvivalence. Zároveň by bylo vhodné ještě dokázat, že takto zvolená norma dává pro všechny prvky jedné třídy ekvivalence
stejnou hodnotu, což ale intuitivně cítíme při použití Lebesgueova integrálu.
Zásadním důsledkem této věty je fakt, že $L^2$ je Hilbertův prostor. Tato vlastnost se nám bude později velmi hodit.
\end{remark}
\begin{remark}
Předchozí poznámku můžeme \uv{rozšířit} na podmnožiny $\R^n$. Pak se zavádí $L^p (G)$ s normou $\Vert f \Vert_{L^p (G)} = \left( \displaystyle \int_{G \subset \R^n}
\vert f \vert^p \rigth)^{\frac{1}{p}}$.
\end{remark}
Jeden ze zásadních výsledků funkcionální analýzy je ještě zmínit:
\begin{theorem}
$L^q (G) \subset L^p (G)$ pro $\mu(G) < +\infty \Leftrightarrow p<q.$
\end{theorem}
\vspace{2cm}
Vraťme se nyní k otázce, kterou jsme si dříve položili: Jaké funkce volit, aby byla definice zobecněných funkcí $\D(G)$ rozumná?
Odpovědí jsou tzv. lokálně integrovatelné funkce na $G$.
\begin{define}
Množinu $L^1_{loc}(G) := \{ f \ \vert \ \forall x_0 \in G \ \exists U_{x_0} \mbox{ takové, že } \displaystyle \int_{U_{x_0}} f < +\infty$ nazýváme
{\bf lokálně integrovatelné funkce na $G$}.
\end{define}
Na první pohled nemusí být jasné, že tahle množina skutečně vyhovuje požadavkům na naše zobecněné funkce. O~tom, že tomu tak skutečně je, nás
přesvědčí následující tvrzení, resp. z něj tato vlastnost okamžitě plyne.
\begin{theorem}
$f \in L^1_{loc}(G) \Leftrightarrow \forall K \subset G \mbox{ kompaktní } \exists \displaystyle \int_K f < + \infty$.
\begin{proof} Důkaz provedeme z definice kompaktnosti:
\begin{remark}
Řekneme, že množina $K$ je {\it pokrytá} systémem množin $\mathcal{S}$, pokud $K \subset \displaystyle \bigcup_{A \in \mathcal{S}}A$.
{\it Podpokrytí} je podmnožina $\mathcal{S}$.
Řekneme, že $K$ je {\it kompaktní}, právě když každé pokrytí $K$ má konečné podpokrytí.
\end{remark}
\begin{enumerate}
\item[$\Letfarrow$] Triviální - stačí nalézt $K$ tak, aby $U_{x_0} \subset K$.
\item[$\Rightarrow$] Beru $K$ libovolnou kompaktní množinu a~pokryji ji okolími $U_{x_0}$ pro všechna $x_0 \in K$. Jelikož je ale $K$ kompaktní množina, víme, že existuje
konečné podpokrytí $$\{ U_{x_0^k} \vert k\in\{1, \2,\ \dots, \ N \} \}. Pak můžeme odhadovat
$$\displaystyle \int_K f \leq \displaystyle \int_K \vert f \vert = \displaystyle \int_{\displaystyle \bigcup_{k=1} ^{N} U_{x_0}} \vert f \vert \leq
\displaystyle \sum_{k=1} ^{N} \displaystyle \int_{U_{x_0}^k} \vert f \vert < +\infty$$
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Jestliže $f\in L_{loc} ^1 (\R^n)$, pak $\left(f,\phi\right) = \displaystyle \int_\R f(x)\phi(x)\dd x \stackrel{\phi \in \D}{=}
\displaystyle \int_{\nf \phi} f(x)\phi(x)\dd x \stackrel {\nf \mbox{ je kompakt}}{<} + \infty$.
\end{remark}
\chapter{Zobecněné funkce}
V~této kapitole korektně zavedeme zobecněné funkce a~uvidíme, že naše předešlá definice je jen velmi speciálním případem zobecněné funkce.
Zároveň budeme v~definici požadovat, aby náš nově definovaný objekt byl něco rozdílného od klasické funkce, ale zároveň se od ní příliš nelišil.
Rádi bychom totiž využívali některá tvrzení a některé věty, které již máme z~předchozího studia matematické analýzy dokázány.
\section{Zavedení zobecněných funkcí}
\begin{define}
Nechť $f$ je lineární funkcionál nad $\D(G)$, tj, $f:\D \longrightarrow \mathbb{C}$ a~$f$ je lineární. Množinu všech lineárních a spojitých,
tj. konvergenci zachovávajících, funkcionálů nad $\D(G) nazveme {\bf prostorem zobecněných funkcí}$, označujme ji $\D'(G)$.
Hodnotu funkcionálu $f$ na funkci $\phi$ označujme $\left f, \ \phi \right)$ namísto $f(\phi)$.
\end{define}
Vidíme, že prostor zobecněných funkcí závisí na volbě konvergence v $\D$. Tímto pojmem bude $\D'$ značně ovlivněno
(kvůli identifikaci lineárních a~především spojitých funkcionálů nad $\D$). Z toho důvodu nyní definujeme konvergenci
v~$\D$. Ještě předtím ale zavedeme pojem multiindex a zavedeme notaci derivací pomocí multiindexu.
\begin{define}
Multiindexem $\alpha$ v~n-dimenzionálním prostoru rozumíme uspořádanou n-tici čísel $\left(\alpha_1, \ \alpha_2, \ \dots, \ \alpha_n \right)$ ze
$\mathbb{Z}_+ ^n := \left(\mathbb{N}\cup\{0\}\right)^n$.
Označme $\vert \alpha \vert = \displaystyle \sum_{k=1} ^n \alpha_k $. Definujme rovněž operátor
$D^{\alpha} : = \frac{\partial^{\vert \alpha \vert}}{\partial^{\alpha_1}x_1 \partial^{\alpha_2}x_2} \dots \partial^{\alpha_n}x_n$.
\end{define}
\begin{define}
Nechť $\{ \phi_n \}_{n \in \mathbb{N}\}$ je posloupnost v $\D(G)$ a $\phi \in \D(G)$. Řekneme, že {\bf $\phi_n$ konverguje
k~$\phi$ v $\D$}, označme $\phi \stackrel{\D}{\longrigtharrow} \phi$,
právě když
\begin{enumerate}
\item nosiče $\phi_n $ jsou stejně (stejnoměrně) omezené, tj. $\exists R>0 \forall n \in \mathbb{N} \nf \phi_n \subset B_R ^{0}$;
\item $\forall \aplha \in \mathbb{Z}_+ ^n$ platí, že $D^\alpha \phi_n$ konverguje stejnoměrně na množině $G$ k~$\D^\alpha \phi$.
\end{enumerate}
\end{define}
\begin{remark}
Tato definice vyžaduje znalost limitní funkce $\phi$. Je ale možné definovat i~\uv{vlastnost konvergence}
a~to za pomoci Bolzano-Cauchyovy podmínky pro stejnoměrnou konvergenci,
která nám umožňuje nepsat ve druhé podmínce $D^\alpha \phi$. Pak můžeme tvrdit, že posloupnost funkcí
$\{ \phi_n \}_{n \in \mathbb{N}\}$ konverguje v~$\D$ a~tuto vlastnost zapisovat
jako $\phi_n \stackrel{\D}{\longrigtharrow} $.
\end{remark}
\begin{theorem}
Buď $\{ \phi_n \}_{n \in \mathbb{N}\} \subset \D(G)$ a nechť $\phi_n \stackrel{\D}{\longrigtharrow} $.
Pak existuje limitní funkce $\phi \in \D(G)$ taková, že $\phi \stackrel{\D}{\longrigtharrow} \phi$.
\begin{proof}
Důkaz nechť si čtenář provede sám jako cvičení. Při dokazování je vhodné najít kandidáta na fuknci $\phi$ pomocí nulté derivace.
Dále je vhodné si uvědomit, že kandidát musí být třídy $\Ci$ a že $\nf \phi$ má být kompakt.
\end{theorem}
\subsection{Příklady zobecněných funkcí}
{\bf Diracova $\delta$-funkce}
S~touto funkcí jsme se setkali hned na začátku tohoto textu. Nyní ji korektně zavedeme a~dokážeme, že se jedná o~zobecněnou funkci.
$$ \left(\forall \phi \in \D(R) \right) \ \mbox{definujeme } \left(\delta, \ \phi\right) := \phi(0) $$
Pro $\delta$ musíme tedy ověřit, že je to funkcionál nad~$\D$, že je lineární a~že je spojitý.
\begin{enumerate}
\item[{\it Funcionál:}] $\delta: \D \longrichtarrow \mathbb{C}$. Jelikož je $\phi(0) < + \infty$, víme, že se tedy jedná o~funcionál,
neboť jeho definice dává dobrý smysl $\forall \phi \in \D$.
\item[{\it Linearita:}] Uvažujme $\phi, \psi \in \D$ a $\alpha \in \mathbb{C}$. Pak
$$\left( \delta, \underbrace{\phi + \alpha \psi}_{\eta \in \D} \right) = \eta(0) = \left( \phi + \alpha \psi \right) (0)
= \phi (0) + \alpha \psi(0) = \left( \delta, \phi \right) + \alpha \left( \delta, \psi\right)$$
\item[{\it Spojitost:}]
