Součásti dokumentu 02LIAG
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02LIAG}
\section{Reprezentace Lieových grup a algeber}
\Def{
\textbf{Reprezentace Lieovy grupy $G$} na vekt. prostoru $V$ je (hladký) homomorfismus $\phi : G \to GL(V)$.
}
\Pzn{
V~případě $\dim G= +\infty$ je vhodné uvažovat $\mathscr{H}$ a $\phi : G \to \mathscr{B}(\mathscr{H})$.
}
\Def{
\textbf{Reprezentace Lieovy algebry $\g$} na vekt. prostoru $V$ je homomorfismus $\phi : \g \to \gl (V)$. (Tedy $\phi$ je lineární a platí $[\phi (X),\phi (Y)]=\phi([X,Y])$.
}
\Prl{ \label{Pr_reprezentace_so(3)}
Reprezentace $\mathfrak{so}(3)$ na $\mathcal{C}^{\infty}(\R^3)$: $\phi(X_i)=\varepsilon_{ijk}x_k\partial_{j}$ (sumace podle dolních indexů).
}
\Def{
Reprezentace $G$ (resp. $\g$) je \textbf{věrná}, právě když $\phi$ je prosté zobrazení (monomorfismus).
}
\Pzn{
Na základě věrné reprezentace jsme schopni zrekonstruovat $G$ (resp. $\g$), proto nazýváme věrné reprezentace \textbf{realizací} dané $G$ (resp. $\g$), např. $\mathfrak{so}(3)$ jako matice nebo vektorová pole z~př. \ref{Pr_reprezentace_so(3)}.
}
\Def{
Buď $\Sigma \subset \gl (V)$. $\Sigma$ je
\begin{itemize}
\item \textbf{reducibilní} $\Leftrightarrow$ $(\exists W \subset\subset V, W \notin \{ V,\{0\} \})(\Sigma W \subset W)$,
\item \textbf{ireducibilní} $\Leftrightarrow$ $(\forall W \subset\subset V, W \neq V)((\Sigma W \subset W)\Rightarrow W=\{0\})$,
\item \textbf{úplně reducibilní} $\Leftrightarrow$ $(\forall W \subset\subset V, \Sigma W \subset W)(\exists \tilde{W} \subset\subset V, \Sigma \tilde{W}\subset \tilde{W}) (V=W \oplus \tilde{W})$.
\end{itemize}
Reprezentace $G$ (resp. $\g$) je ireducibilní (reducibilní, úplně reducibilní) právě tehdy když $\phi (G)$ (resp. $\phi (\g)$) je ireducibilní (reducibilní, úplně reducibilní).
}
\Prl{
Reprezentace $\phi: G \to \mathcal{U}(\mathscr{H})$ (\textbf{unitární reprezentace}) jsou úplně reducibilní, protože z~unitarity platí $\phi(G) W \subset W$ $\Rightarrow$ $\phi(G) W^\perp \subset W^\perp$. Navíc na úrovni algeber platí $\phi_* : \g \to \mathfrak{u}(\mathscr{H})$ a pomocí exponenciely dostaneme pro $X \in \g$:
\begin{align*}
\phi ( \e^X ) = \e^{\phi_*(X)} \rimpl \left( \phi (\e^X)\right)^+ &= \phi (\e^X)^{-1} = \e^{-\phi_* (X)} \\
&= \left( \e^{\phi_* (x)}\right)^+ = \e^{\left( \phi_*(X)\right)^+}
\end{align*}
$\Rightarrow \quad (\phi_*(X))^+=-\phi_*(X)$, tj. $\phi_*(X)$ jsou antihermitovské matice, $\mathfrak{u}(\mathscr{H}) = \left\{ B \in \gl(\mathscr{H}) \middle| B + B^+ = 0 \right\}$.
}
Ve fyzice se obvykle používají unitární matice, proto se definují \textbf{fyzikální veličiny}
\begin{align}
A \mapsto A_{\mrm{F}}=-\cu A \,.
\end{align}
$A_{\mrm{F}}$ již splňují $A_{\mrm{F}}^+=A_{\mrm{F}}$.
\subsubsection*{Shurovo lemma}
\Vet{
$V$ vektorový prostor nad $\C$, $\dim V < +\infty$, $\Sigma \subset \gl(V)$ ireducibilní. Potom $\forall A \in \gl (V): ([A,\Sigma ]=0 \Rightarrow (\exists \lambda \in \C)(A=\lambda \mathbb{1}))$.
}
\begin{proof}
$A \in \gl(V) \rimpl \sigma(A) \neq \emptyset \rimpl \exists \lambda \in \C: W = \mrm{ker}(A-\lambda\mathbb{1}) \neq \{ \vec{0}\} \rimpl (A - \lambda \mathbb{1})\Sigma W = \Sigma (A - \lambda \mathbb{1})W = 0 \rimpl \Sigma W \subset \mrm{ker}(A-\lambda \mathbb{1}) \rimpl W$ je invariantní podprostor$\rimpl W = V$
\end{proof}
\Vet{
$V$ nad $\C$, $\Sigma \subset \gl (V)$ úplně reducibilní. Pokud platí $(\forall A \in \gl (V) )([A,\Sigma ]=0 \Rightarrow ( \exists \lambda \in \C ,\ A=\lambda \mathbb{1}))$, potom $\Sigma$ je ireducibilní.
}
\begin{proof}
$W \neq \{ \vec{0} \}$ invariantní podprostor$\rimpl \exists \widetilde{W}$ invariantní podprostor takový, že $V = W \oplus \widetilde{W},\ \forall S\in \Sigma,\ S: W \to W,\ S: \widetilde{W} \to \widetilde{W} \rimpl$definujeme $A:\zuz{A}{W}=\lambda\mathbb{1},\ \zuz{A}{\widetilde{W}} = 0 \rimpl [A,S] = 0,\ \forall S \in \Sigma \rimpl \exists \lambda \in \C,\ A = \lambda\mathbb{1} \rimpl \widetilde{W} = \{ \vec{0} \} \rimpl V =W$
\end{proof}
