02LIAG:Kapitola4

PDF	[ znovu generovat,	výstup z překladu ]	Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly	[ znovu generovat,	výstup z překladu ]	Přeložení pouze této kaptioly.
ZIP			Kompletní zdrojový kód včetně obrázků.

---

Součásti dokumentu 02LIAG

součást	akce		popis	poslední editace			soubor
Hlavní dokument	editovat	Hlavní stránka dokumentu 02LIAG		Hazalmat	3. 8. 2016	20:54
Řídící stránka	editovat	Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků		Hazalmat	7. 7. 2016	06:04
Header	editovat	Hlavičkový soubor		Hazalmat	10. 7. 2016	21:12	header.tex
Kapitola0	editovat	Úvod		Hazalmat	3. 8. 2016	21:12	LIAG_Kapitola0.tex
Kapitola1	editovat	Definice Lieovy grupy a Lieovy algebry		Hazalmat	5. 8. 2016	17:02	LIAG_Kapitola1.tex
Kapitola2	editovat	Vztah mezi Lieovou grupou a její algebrou		Hazalmat	5. 8. 2016	17:27	LIAG_Kapitola2.tex
Kapitola3	editovat	Nástin teorie integrabilních distribucí		Hazalmat	30. 7. 2016	14:10	LIAG_Kapitola3.tex
Kapitola4	editovat	Akce grupy na varietě		Hazalmat	17. 7. 2016	19:23	LIAG_Kapitola4.tex
Kapitola5	editovat	Reprezentace Lieových grup a algeber		Hazalmat	4. 8. 2016	17:21	LIAG_Kapitola5.tex
Kapitola6	editovat	Souvislost Lieových grup a algeber		Hazalmat	4. 8. 2016	18:51	LIAG_Kapitola6.tex
Kapitola7	editovat	Lieovy algebry		Hazalmat	5. 8. 2016	01:06	LIAG_Kapitola7.tex
Kapitola8	editovat	Cartanova kritéria		Hazalmat	5. 8. 2016	17:29	LIAG_Kapitola8.tex
Kapitola9	editovat	Klasifikace pomocí kořenů		Hazalmat	5. 8. 2016	17:34	LIAG_Kapitola9.tex
Kapitola10	editovat	Kořenové diagramy, Cartanova martice		Hazalmat	31. 7. 2016	15:32	LIAG_Kapitola10.tex
Kapitola11	editovat	Dynkinovy diagramy		Hazalmat	5. 8. 2016	17:39	LIAG_Kapitola11.tex
Kapitola12	editovat	Reálné formy komplexních poloprostých algeber		Hazalmat	31. 7. 2016	23:39	LIAG_Kapitola12.tex
Kapitola13	editovat	Význam kompaktních Lieových grup		Hazalmat	31. 7. 2016	23:45	LIAG_Kapitola13.tex
Kapitola14	editovat	Reprezentace poloprostých Lieových algeber		Hazalmat	1. 8. 2016	12:45	LIAG_Kapitola14.tex
Kapitola15	editovat	Spinorové reprezentace		Hazalmat	27. 7. 2016	20:38	LIAG_Kapitola15.tex
Kapitola16	editovat	Symetrie v QM		Hazalmat	27. 7. 2016	21:21	LIAG_Kapitola16.tex
Kapitola17	editovat	Cvičení		Hazalmat	6. 8. 2016	03:42	LIAG_Kapitola17.tex

Vložené soubory

soubor	název souboru pro LaTeX
Image:liag-1.pdf	liag-1.pdf
Image:su3_1.pdf	su3_1.pdf
Image:su3_2.pdf	su3_2.pdf
Image:su3_3.pdf	su3_3.pdf
Image:su3_4.pdf	su3_4.pdf
Image:su3_5.pdf	su3_5.pdf
Image:su3_6.pdf	su3_6.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02LIAG}
\section{Akce grupy na varietě}
 
\Def{
	\textbf{(Levá) akce Lieovy grupy} $G$ na varietě $M$ je hladké zobrazení $\phi : G \times M \to M$ vyhovující
	\begin{itemize}
		\item $\phi (g_1 g_2 , m) = \phi (g_1, \phi(g_2 ,m)) $, $\forall g_1,g_2 \in G$, $\forall m \in M$,
		\item $\phi (e,m)=m$, $\forall m \in M$.
	\end{itemize}
	}
\Pzn{
	Obdobně \textbf{pravá akce}:
	\begin{itemize}
		\item $\phi (m,g_1g_2) = \phi(\phi (m,g_1),g_2),\ \forall g_1,g_2 \in G,\ \forall m \in M$,
		\item $\phi (m,e)=m$, $\forall m \in M$.
		\end{itemize} 
	Pravá akce lze vyjádřit pomocí levé akce záměnou $g \to g^{-1}$.
	}
\Def{
	Pro uzavřenou (v~topolgii $G$) podgrupu $H$ Lieovy grupy $G$. Definujeme \textbf{levé cosety} $gH=\{gh|h \in H \}$. ($gH=\mathcal{O}_g$ jsou tedy orbity pravé akce $H$ na $G$.) Množinu levých cosetů označíme $G/H$, tj. $G/H=\{gH | g \in G\}$.
	}
\Pzn{
	Pro $H=\overline{H} \le G$ lze na $G/H$ zavést právě jednu hladkou strukturu takovou, že $(G,G/H ,\pi ; H)$, $\pi : G \to G/H$, $\pi (g) =gH$, je fibrovaný prostor.  
	}		
\Def{
	Akce $\phi : G \times M \to M$ je \textbf{tranzitivní} $\Leftrightarrow$
	$(\forall m_1,m_2 \in M ) (\exists g \in G )(m_2 =\phi (g, m_1))$.
	}
\Def{
	Nechť $\phi$ tranzitivní $x_0 \in M$. Grupa izotropie (nebo také grupa stability nebo malá grupa) bodu $x_0$ je
	\begin{align}
	H_{x_0}=\{g \in G | \phi (g,x_0 )=x_0 \} \,.
	\end{align}
	}
\Pzn{
	Protože pro libovolné $x \in M,\ \exists g_x \in G$ takové, že $x=\phi(g_x ,x_0)$, tedy $\forall g_0 \in H_{x_0},\ \phi(g_xg_og_x^{-1},x) = \phi(g_x, \phi(g_0, \phi(g_x^{-1},x))) = x$, platí $H_x=g_x H_{x_0} g^{-1}_x$, tj. všechny grupy izotropie jsou konjugované, totožné v~případě normálních $H_x$. 
	}
\Dsl{
	Pro tranzitivní $\phi$ je $M \simeq G/H_{x_0}$ a volba nezávisí na $x_0$, protože $\forall g_x \in G,\ \phi(g_xH_{x_0},x_0) = \phi(g_x,x_0) = x$, máme tedy korespondenci $G/H_{x_0} \ni g_xH_{x_0} \leftrightarrow x \in M$.
	}
\Def{
	Varietu, kterou lze zapsat ve tvaru $M \simeq G/H_{x_0}$ pro nějakou Lieovu grupu $G$ s~tranzitivní akcí nazveme \textbf{homogenní prostor}.
	}